大学物理平面简谐波波动方程
大学物理波动部分公式
• 弹簧振子作简谐运动的总能量（守恒）、动能、势能：
1
1
1
1
1
1
1
1
= 2 2 + 2 2 = 2 2 2 = 2 2 ； = 2 2 = 2 2 2 2 ( + )； = 2 2 = 2 2 2 ( + )
• 两个同方向同频率简谐振动的合成
•
=
= 2； =
• ⑤简谐振动的速度： =
2
• ⑥简谐运动的加速度： =
= 2
；=
2
=⥂
1
2
；=
1
= − ( + )
2
2
=
= −2 ( + )
• 单摆作简谐运动：
•
2
运动方程： 2 = −
• 机械振动
• 弹簧振子作简谐运动：
• ①加速度: = = − = −2
•
2
②微分方程: 2
= −2
• ③运动方程: = ( + )
• 或 = ( + ′ ) 其中 ′ = + 2
• ④弹簧振子的角频率、频率、周期、劲度系数之间的关系：
10
0
• 电磁波波速： =
• 声强级： =
电磁震荡与电磁波
2
2
1
+ = 0无阻尼自由震荡（有电容C和电感L组成的电路）
= 0 ( + )
=
1
大学物理_波动方程
《大学物理》 4、波动方程的几点讨论：
I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：
yAco2s(Tt x)
y
II、波动方程中，x取固定值则得
到振动方程。
0
t
y0Aco2s(Tt x0)
y
u
III、波动方程中，t取固定值则
得到波形方程。
yAco2s(T t0x)
0
x
《大学物理》
例2 频率为12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为
0.1 10 3 cos( 25 10 3 t ) m 2
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为
2
， 或 落 后 1 T ， 即 2 10 5 s 。 4
( 4 ) 该 两 点 间 的 距 离 x 10 cm 0.10m
1 ，相应的相位差为 4
2
(5 ) t= 0 .0 0 2 1 s 时 的 波 形 为
1 0
2
根据已知条件,初相为:
x
2
y 1 co (t sx )[ /2 ]
《大学物理》
(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:
y1cos(1[x)/2]
y
u
sinx
1
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点02 Nhomakorabeax
振动方程为:
y1cos(t[0.5)/2] cost()
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
解 棒中的波速
u Y 1.9 1011 N m2 5.0 103 m/s
大学物理平面简谐波波动方程
§4-2平面简谐波的波动方程振动与波动最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。
任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。
对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。
需要定量地描述出每个质点的振动状态。
波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点参考点原点的振动方程为()00cos y A t ωϕ=+任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相位比 O 点落后 22x x ππλλ=P 点的振动方程为区别联系振动研究一个质点的运动。
波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。
振动是波动的根源。
波动是振动的传播。
x02c o s P y A t x πωϕλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。
如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x πλ沿 x 轴负向传播的波动方程为02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=++⎪⎝⎭利用 2ωπν=， u λν=沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭02c o s A t x u πνωϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭0c o s x A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即 0c o s x y A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 xt u∆=P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ⎛⎫- ⎪⎝⎭时刻的振动状态波动方程也常写为x02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()0c o s A t k x ωϕ=-+ 其中 2k πλ=波数，物理意义为 2π 长度内所具有完整波的数目。
《大学物理》 第二版 课后习题答案 第十章
习题精解10-1 在平面简谐波的波射线上，A,B,C,D 各点离波源的距离分别是3,,,424λλλλ。
设振源的振动方程为cos 2y A t πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，振动周期为T.（1）这4点与振源的振动相位差各为多少？（2）这4点的初相位各为多少？（3）这4点开始运动的时刻比振源落后多少？ 解 （1） 122,2,2xxπϕπϕππλλ∆∆∆==∆==3432,222x x πϕπϕππλλ∆∆∆==∆== （2）112233440,,2223,222πππϕϕϕϕππϕϕπϕϕπ=-∆==-∆=-=-∆=-=-∆=-（3） 1212343411,,,24223,,,242t T T t T T t T T t T Tϕϕππϕϕππ∆∆∆==∆==∆∆∆==∆==10-2 波源做谐振动，周期为0.01s ，振幅为21.010m -⨯，经平衡位置向y 轴正方向运动时，作为计时起点，设此振动以1400u m s -=∙的速度沿x 轴的正方向传播，试写出波动方程。
解 根据题意可知，波源振动的相位为32ϕπ= 2122200, 1.010,4000.01A m u m s T ππωπ--====⨯=∙ 波动方程231.010cos 2004002x y t m ππ-⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10-3 一平面简谐波的波动方程为()0.05cos 410y x t m ππ=-，求（1）此波的频率、周期、波长、波速和振幅；（2）求x 轴上各质元振动的最大速度和最大加速度。
解 （1）比较系数法 将波动方程改写成0.05cos10 2.5x y t m π⎛⎫=-⎪⎝⎭与cos x y A t u ω⎛⎫=-⎪⎝⎭比较得1120.05;10;0.21015; 2.5;0.5A m T s v s u m s u T m Tπωππλ--=======∙=∙=（2）各质元的速度为()10.0510sin 410v x t m s πππ-=⨯-∙ 所以1max 0.0510 1.57()v m s π-=⨯=∙ 各质元的加速度为()220.05(10)cos 410a x t m s πππ-=-⨯-∙ 所以22max 0.05(10)49.3()a m s π-=⨯=∙10-4 设在某一时刻的横波波形曲线的一部分如图10.1所示。
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
5-2平面简谐波的波动方程详解
u 沿 x 轴正向 u 沿 x 轴负向
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 平面简谐波波函数的其它形式
大学物理学 （第3版）
t y A cos[2 π( T
y A cos[2 t
y A cos[ 2
2 x
x ) 0 ] λ
0 ]
(ut x) 0 ] A cos[k (ut x) 0 ]
x y A cos (t ) (沿x轴负向传播) u
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 如果原点的
大学物理学 （第3版）
A
O
y
u
初相位不为零
x
x 0, 0 0 A
点 O 振动方程
y0 A cos(t 0 )
波 函 数
x y A cos[ (t ) 0 ] u x y A cos[ (t ) 0 ] u
2 y G 2 y 2 t x2 2 y E 2 y 2 t x 2
G为切变模量
固体内弹性平面纵波
E为杨氏模量
张紧柔软线绳上传播横波
2 y T 2 y 2 t x 2
T为线绳所受张力，为线密度:单位长度线绳的质量
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 2、波速 固体中弹性横波 固体中弹性纵波 张紧软绳中横波
x0 x0 2 π u λ
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
波线上各点的简谐运动图
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理(机械工业出版社)第14章课后答案
第十四章 波动#14－1 如本题图所示，一平面简谐波沿ox 轴正向传播，波速大小为u ，若P 处质点振动方程为)cos(ϕ+ω=t A y P ，求：（1）O 处质点的振动方程；（2）该波的波动方程；（3）与P 处质点振动状态相同质点的位置。
解：（1）O 处质点振动方程：y 0 = A cos [ ω（t + L / u ）+φ] （2）波动方程y 0 = A cos { ω[t - （x - L ）/ u +φ} （3）质点位置x = L ± k 2πu / ω （k = 0 , 1, 2, 3……）14－2 一简谐波，振动周期T =1/2s ，波长λ＝10m ，振幅A =0.1m ，当t =0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值，若坐标原点和波源重合，且波沿ox 轴正方向传播，求：（1）此波的表达式；（2）t 1＝T/4时刻，x 1=λ/4处质点的位移；（3）t 2 ＝T/2时刻，x 1=λ/4处质点的振动速度。
解：（1） y = 0.1 cos ( 4πt - 2πx / 10 )= 0.1 cos 4π（t - x / 20 ） (SI) （2） 当 t 1 = T / 4 = 1 / 8 ( s ) , x 1 = λ/ 4 = 10 / 4 m 处质点的位移y 1 = 0.1cos 4π（T / 4 - λ/ 80 ）= 0.1 cos 4π(1 / 8 - 1 / 8 ) = 0.1 m （3） 振速 )20/(4sin 4.0x t tyv --=∂∂=ππ t 2 = T / 2 = 1 / 4 (S) ,在x 1 = λ/ 4 = 10 / 4( m ) 处质点的振速v 2 = -0.4πsin (π-π/ 2 ) = - 1.26 m / s14－3 一简谐波沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，波速为u 。
设4Tt =时刻的波形如本题图所示，求该波的表达式。
解：由图可看出，在t=0时，原点处质点位移y 0＝－A ，说明原点处质点的振动初相πϕ=0，因而波动方程为])(cos[πω++=uxt A y14－4 本题图表示一平面余弦波在t ＝0时刻与t ＝2s 时刻的波形图，求： (1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波方程。
大学物理学5.2 机械波的波动方程
2、波动方程的物理意义
T
（1）、如果给定x，即x=x0 则y=y(t) 为x0处质点的振动方程
t T
x0处质点的振动初相为
为x0处质点落后于原点的位相
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2 是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差
（2）、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y
O点振动状态传到p点需用
t 时刻p处质点的ຫໍສະໝຸດ 动状态重复tx u时刻O处质点的振动状态
p点的振动方程：
沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程 沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动
为p点的振动落后与原点振动的时间
沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 或
波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的
在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段 距离x—行波
例 一平面简谐波t=0时的波形图所示，波速为u=0.05ms-1，
求：（1）波源的振动方程；（2）波动方程；（3）P点的振
动方程．
y/m
u
解 （1）设波源的振动方程为 0.02
y A cos(t )
o 0.5 P
0.8
x/m
由图知，波长为 0.8m
T 0.8 80 m s1
u 0.05 5
2
T8
t 0 y0
2
v0 0
y
0.02
cos(
t
)(m)
82
（2）波动方程为
y
0.02 cos[(
(t
x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§4-2平面简谐波的波动方程
振动与波动
最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。
任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。
对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。
需要定量地描述出每个质点的振动状态。
波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程
设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点
参考点原点的振动方程为
任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？
沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π
现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相
位比 O 点落后 22x x π
πλλ
=
P 点的振动方程为
由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉
就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。
如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x π
λ
沿 x 轴负向传播的波动方程为 利用 2ωπν=， u λν=
沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为
即 0cos x y A t u ωϕ⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 x
t u
∆=
P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时刻的振动状态
波动方程也常写为 其中 2k π
λ
=
波数，物理意义为 2π 长度内所具有完整波的数目。
☆ 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向
二、波动方程的物理意义
1、固定x ，如令0x x =
()002cos y t A t x πωϕλ⎛
⎫=+-
⎪⎝⎭ 振动方程 0x 处质点的振动方程
0x 处的振动曲线 该质点在 1t 和 2t 两时刻的相位差 2、固定t ，如令0t t =
()002cos y x A t x πωϕλ⎛
⎫
=+-
⎪⎝
⎭
波形方程 0t 时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即 0t 时刻的波形方程。
波形曲线 3、x 和 t 都在变化
各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程 ⇒ 行波
t 时刻，x 处的某个振动状态经过 t ∆ 的时间，传播了 x u t ∆=∆ 的距离，传到了 x x +∆ 处，显然
()(),,y t t x x y t x +∆+∆= 行波必须满足此方程
其中 x u t ∆=∆ 波是振动状态的传播！ 习题类型
（1） 由某质元的振动方程（或振动曲线） ⇒ 求波动方程 （2） 由某时刻的波形曲线 ⇒ 求波动方程
例4.2：一平面波在介质中以速度 20u =m/s 沿直线传播，已知在传播路径上某点A 的振动方程为 ()3cos 4A y t π=，如图4.8所示。
（1）若以A 点为坐标原点，写出波动方程，并求出C ，D 两点的振动方程； （2）若以B 点为坐标原点，写出波动方程，并求出C ，D 两点的振动方程。
解：（1）振幅 3A =m ，圆频率4ωπ=rad/s ，频率 22ω
νπ
=
=Hz ， 波长 10u
λν
=
=m
波动方程为
23cos 43cos 45y t x t x ππππλ⎛
⎫⎛
⎫=-
=-
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
m C 点坐标为 13C x =-m ，振动方程为
A
B
8m
u
C
D
5m
9m
t 时刻
t t +∆ 时刻
133cos 43cos 455C C y t x t ππππ⎛⎫⎛
⎫
=-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
m D 点坐标为 9D x =m ，振动方程为
93cos 43cos 455D D y t x t ππππ⎛⎫⎛
⎫
=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
m （2）A 点坐标为 5A x =m ，波动方程为
()23cos 43cos 45A y t x x t x πππππλ⎡⎤⎛⎫
=--=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
m C 点坐标为 8C x =-m ，振动方程为
133cos 43cos 455C C y t x t πππππ⎛⎫⎛
⎫
=-+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
m D 点坐标为 14D x =m ，振动方程为
93cos 43cos 455D D y t x t πππππ⎛⎫⎛
⎫
=-+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
m 例4.3：一平面简谐横波以 400u =m/s 的波速在均匀介质中沿x +方向传播。
位于坐标原点的质点的振动周期为0.01秒，振幅为0.1m ，取原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。
（1）写出波动方程；
（2）写出距原点2m 处的质点P 的振动方程； （3）画出0.005t =秒和0.007秒时的波形图；
（4）若以距原点2m 处为坐标原点，写出波动方程。
解：（1）由题意 0.1A =m ，0.01T =秒，400u =m/s
可得圆频率 2200T
π
ωπ== rad/s ， 波长 4uT λ==m
由旋转矢量图知，原点处质点的初相位 故原点处质点的运动方程为
030.1cos 2002y t ππ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
m 波动方程为
30.1cos 20022y t x πππ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭ m （2）2P x = m 处质点的振动方程为
30.1cos 2000.1cos 200222P P y t x t πππππ⎛⎫⎛
⎫=+
-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ m （3）10.005t =秒时，波形方程为
因为 2110.00254t t T -==，故由1t 时刻的波形向+x 方向平移4
λ
即可得2t 时刻
的波形。
如图所示
（4）
20.1cos 2000.1cos 200222y t x t x ππππππλ⎛⎫⎛
⎫''=+-
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ Ex. 4：已知 2t
= 秒的波形曲线如图所示，波速0.5u =/m s ，沿x -方向传播
求：（1）O 点的振动方程；（2）波动方程
解：（1）由2t =s 时的波形图可知
0.5A =m ，2λ=m ，∴4T u λ
=
=s ， 22
T ππ
ω=
=
利用旋转矢量图法得出 2t =秒时 O 点振动相位
2t =， 2
π
ω=
O 点的初相位 02
πϕ=
O 点的振动方程为
（2）波动方程 0.5cos 22t x ππξπ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
Ex ：一列机械波沿x 轴正向传播，t =0 时的
波形如图所示，已知波速为10 m ·s -1，波
长为2m ，求： (1) 波动方程；
(2) P 点的振动方程及振动曲线； (3) P 点的坐标；
(4) P 点回到平衡位置所需的最短时间．
解: (1)由题5-13图可知1.0=A m ，0=t 时，
原点处质点振动的初始条件为0,200<=v A y ，∴03
π
ϕ=
由题知2=λm ， 10=u 1s m -⋅，则 10
52
u νλ===Hz ，
圆频率 ππυω102==
原点 O 的振动方程为 波动方程为
(2)由图知，0=t 时，0,2
<-=P P v A
y ，
∴3
4π
φ-=P (P 点的相位应落后于0点，故取负值)
∴P 点振动方程为)3
4
10cos(1.0ππ-=t y p
(3)由 πππ34
|3)10(100-=+-=t x t
解得 67.13
5
==x m
(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)， 则由P 点回到平衡位置应经历的相位角 ∴所需最短时间为。