波函数补充习题
第三、四章补充习题
第三章 化学反应速率一、选择题1. 反应 A 2 + 2B →2D 的速率方程式为υ= k c (A 2) c 2(B)，则该反应（ ）。
（A ）一定是基元反应 （B ）一定是非基元反应（C ）不能确定是否基元反应 （D ）反应为二级反应2. 某化学反应进行20min ，反应完成40%，进行50min 反应完成100%，则该反应是（ ）。
（A ）零级反应 （B ）一级反应 （C ）二级反应 （D ）三级反应3. 质量作用定律适用于（ ）。
（A ）任意反应 （B ）复杂反应 （C ）基元反应 （D ）吸热反应 4. 某反应的速率常数k = 1.48×10-2 L ·mol -1·s -1，则该反应级数为（ ）。
（A ）0级 （B ）一级 （C ） 二级 （D ） 三级5. 反应A (g) + 2B(g) →2D(g)的速率方程为υ= k c (A) c 2(B)，若使密闭的反应容器体积增大一倍，则反应速率为原来的（ ）。
（A ）8倍 （B ）6倍 （C ）18倍 （D ）16倍6. 反应A(g)+ B 2(g)→AB 2(g)，r m 0H ΘΔ<，欲增大正反应速率，下列操作无用的是( )。
（A ）增加B 2的分压 （B ）加入催化剂（C ）升高温度 （D ）减小AB 2的分压 7. 升高温度可以增大反应速率，其主要原因是（ ）。
（A ）活化分子百分数增大 （B ）反应的活化能降低（C ）反应的摩尔吉布斯自由能减小 （D ）反应的速率常数减小 8. 关于化学反应速率，下列叙述正确的是（ ）。
（A ）反应的r m G ΘΔ越小，反应速率越快 （B ）反应的r mH ΘΔ越小，反应速率越快 (C) 反应的E a 越小，反应速率越快 (D) 反应的r m S ΘΔ越小，反应速率越快 9. 在恒温下反应物浓度增大，反应速率加快的原因是（ ）。
（A ）反应的速率常数增大 （B ）反应的活化能增大 （C ）活化分子百分数增大 （D ）活化分子的数目增多10. 有两个相同类型的基元反应，均为A + B = D 2型。
(优选)固体物理习题
b
mω2
b2
x2
i
e
2π a
x
dx
4b b 2
2 1 4b
b mω2 b 2
b2 x2 cos π x dx 2b
8mω2b2 π3
第二禁带宽度为
Eg2 2V2
21 a
a2
V
a 2
i 4π x
x e a dx
2 1
b
mω2
b2
x2
i π
eb
x
dx
4b b 2
2 1 4b
1
eα x ,α为正的常数。
α
（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数；
（2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数 的性质；
（3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及 能量的特征。
解：（1）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为
ψat k,r
1 N
e ikRl aαt
ห้องสมุดไป่ตู้Rl
k Rl
能带中的能量取最小值
Emin E0 A 8J
当 kx 1 a ,k y 1 a ,kz 1 a 时，
能量取最大值
Emax E0 A 8J
因而能带的宽度为
ΔE Emax Emin 16J
5.5由N格原子组成的三维晶体（简单晶格),其孤立原子中的
电子基态波函数为at x
V(x) 解：
x
O
a
2a
3a
如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均
即可，于是得
V 1 a 2 V xdx 1 2b V xdx
a a 2
4b 2b
1 b 1mω2 b2 x2 dx 4b b 2
习题-量子力学
2
me e 4 E(a0 ) 2 2 E1 2(4π 0 )
6、求氢原子处于基态时 ，电子离核的平均距离 r 及 库仑势能的平均值。
解： r1 r R10
0 2 3 3 r 2 r / a0 2 r dr 3 4 e dr a 0 2 a 0 0
2 2 ( 2) r dr sin dd 所求 0
2、设一维运动的粒子在 ( x) Axe x ( x 0)， ( x) 0( x 0) 的状态，其中 0，求： (1)归一化因子； (2)粒子的概率密度分布； (3)在何处找到粒子的概率 最大; (4) x和x 2的平均值。
2 A 解：(1) ( x) 2 dx 1 A 2 x 2 e 2 x dx 查积分表，上述积分 3 4 0
A2 3 1 归一化因子为 A 2 3 4
( 2) ( x ) 43 x 2e 2x ( x 0)
2 2
(3)
d ( x)
0
3、粒子在一维无限深势 阱中运动，能量量子数 为n，求：
（ 1 ）距势阱内壁四分之一 宽度以内发现粒子的概 率；
（2）n为何值时，上述的概率 最大；
(1) P n ( x) dx 解： 1/ 4
2 0 a/4 a/4
（3）n 时，该概率的极限如何 及物理意义。
3a / 4
2
( x) 0
2
( x 0)
3 3 2 x
dx x 0或x 1 /
0
3 ( 4) x ( x) xdx 4 x e dx 2 0 2 2 3 2 3 4 2 x x ( x) x dx 4 x e dx 2
结构第一章练习
结构化学第一章练习题一、判断正误1.( ) “波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。
”是否正确2.( ) “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。
3.( ) 任何波函数ψ (x ， y ， z ， t )都能变量分离成ψ (x ， y ， z )与ψ (t )的乘积，对否？4.( ) 下列说法对否:”ψ=cos x ， p x 有确定值， p 2x 没有确定值，只有平均值。
”5.( ) 一维势箱中的粒子，势箱长度为l ， 基态时粒子出现在x =l /2处的概率密度最小。
二、选择1. 下列算符哪些可以对易：(A) x ˆ 和 y ˆ (B) x∂∂ 和y ∂∂ (C) p ˆx 和x ˆ (D) p ˆx 和y ˆ 2. 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式 ( ) (A) λch E = (B) 222λm h E = (C) 2) 25.12 (λe E = (D) A ，B ，C 都可以 3. 下列算符中，哪些不是线性算符( )A) ∇2 B) d dx C) 3 D) xy 4. 首先提出能量量子化假定的科学家是：( )(A) Einstein (B) Bohr(C) Schrodinger (D) Planck5. 立方势箱中的粒子，具有E =22812ma h 的状态的量子数。
n x n y n z 是( ) (A) 2 1 1 (B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 36. 在一立方势箱中，2247ml h E ≤的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l ， 粒子质量为m )：--------( )(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，147. 一个在一维势箱中运动的粒子，(1) 其能量随着量子数n的增大：( )(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变(2) 其能级差E n+1-E n随着势箱长度的增大： ( )(A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变8. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：( )(A) 薛定谔 (B) 狄拉克(C) 海森堡 (D) 波恩9. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：(A) 电子自旋(保里原理)(B) 微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征(C) 描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的(D) 微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理10. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：.(A) 由经典的驻波方程推得(B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出(D) 量子力学的一个基本假设三、简答1. 作为合理波函数的条件是什么?2. 写出联系实物微粒波动性和粒子性的关系式。
量子力学练习题
量子力学练习题随着科学技术的不断进步，量子力学作为近代物理学的基石，在我们生活中扮演着越来越重要的角色。
量子力学的概念和理论模型不仅用于解释微观世界的现象，还应用于信息处理、材料科学等领域。
为了加深对量子力学的理解，本文将为读者提供一些量子力学练习题，请认真思考并尽力解答。
题目一：平面上的单粒子态考虑一个二维平面上的单粒子，其波函数为Ψ(x, y)。
假设该波函数可以展开为以下形式：Ψ(x, y) = A(xe^(-λx) + ye^(-λy))其中，A和λ均为实常数。
1. 请计算波函数Ψ(x, y)的归一化常数A。
2. 求解波函数Ψ(x, y)对应的概率密度函数|Ψ(x, y)|^2。
3. 计算算符x和y对该波函数的期望值<x>和<y>。
题目二：自旋1/2粒子的测量考虑一个自旋1/2粒子，其自旋算符的本征态为|+⟩和|-⟩，对应自旋向上和向下的状态。
现在进行如下测量：1. 如果对该粒子的自旋以z方向为测量方向，求测量得到自旋向上状态的概率。
2. 假设在z方向上测量得到自旋向上状态后，立即进行对z方向自旋的再次测量，求再次测量得到自旋向上状态的概率。
3. 如果对该粒子的自旋以任意方向为测量方向，求测量得到自旋向上状态的概率。
题目三：简谐振子的能量本征态考虑一个一维简谐振子，其能量本征态可由波函数Ψ_n(x)表示，n 为非负整数。
波函数Ψ_n(x)的表达式为：Ψ_n(x) = N_n H_n(x) e^(-x^2/2)其中，N_n为归一化常数，H_n(x)为Hermite多项式。
1. 请计算波函数Ψ_0(x)的归一化常数N_0。
2. 求解波函数Ψ_1(x)对应的薛定谔方程解，并给出其归一化常数N_1。
3. 计算简谐振子的能量本征值E_n，其中n = 0, 1, 2。
题目四：双缝干涉实验考虑一个双缝干涉实验，光源发射频率为f，波速为v。
光通过双缝后形成干涉条纹，条纹之间的间距为d。
量子力学习题集 NJU
∂x
因此，
∫
+∞
dxj(x) =
1
∫
+∞ dxψ∗(x, t)(−ih¯ ∂
)ψ(x, t) = ⟨pˆ⟩ .
−∞
m −∞
∂x
m
3. 设一维自由运动粒子（能量的本征态为平面波）的初态（t = 0）为ψ(x, 0) = δ(x)，
求ψ(x, t)。
【提示：∫ +∞
−∞
dx
cos(αx2)
=
∫ +∞
−∞
(k + k′)2 2E − V0 + 2 E(E − V0)
T=
jt ji
=
ψt∗(x)pˆψt(x) − ψt(x)pˆψt∗(x) ψi∗(x)pˆψi(x)√− ψi(x)pˆψi∗(x)
ห้องสมุดไป่ตู้
4kk′
=
=
4 E(E√− V0)
.
(k + k′)2 2E − V0 + 2 E(E − V0)
7. 质量为m的粒子在如下一维势场中运动， ∞,
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0,
V (x) = ∞,
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; 其它情况.
求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。
参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为
ψ(x, y) = 0.
在势井内部，定态薛定谔方程为
− h¯2 ∇2ψ(x, y) 2µ
∫ A2
0
∞ e−x(1−e−x)pˆ[e−x(1 − e−x)] dx
∫ = A2
12
∞
(
第二章-波函数与薛定谔方程-习题答案
第二章 波函数与薛定谔方程 1．计算n=4时，所对应经典线性振子的振幅4A =？[解]：由线性谐振子能量公式 1()2E w n =+α=4n =时，2q E w ∴=又2212E w A μ=A A x ∴===即振幅4A =2. 证明在定态中，几率流密度与时间无关2 **()()() () ()，iEtr t r f t r e iJ mψψ-ψ===ψ∇ψ-ψ∇ψ22**** [()()()()] [()()()()]（）（）i i i i Et Et Et Et i r e r e r e r e m ir r r r mψψψψψψψψ----=∇-∇=∇-∇可见t J 与无关。
3. 由下列两定态波函数计算几率流密度ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ1表示向内（即向原点）传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0**111110(1) ()21111 [()()]2ikr ikr ikr ikriJ mi e e e e r m r r r r r rψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂022023111111[()()]2 i ik ik r m r r r r r rk kr r mr mr=----+==r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ikr ikr ikr ikr *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
4．求自由粒子的几率流密度J =？[解]自由粒子波函数()()iEx v Ax r e-=2*()()ii Et EtA x r x r ee--∇2*2*[()()()()]2iA x r x r A x r x r M=∇-∇ 对于自由粒子 ()i p rx r e ⋅= ()ip rix r pe⋅∇=*()i p rx r e-⋅=*()i p rix r pe-⋅∇=-22[()]2i i J A P x r M∴=- 5． 下列波函数中，哪些是定态？哪些是非定态？]（1）1()()()i i ix ETix ETx x xt u eU x e ---=+（2）122()()()i i E T E Thx x xt u e u x e--=+ 12()E E ≠（3）3()()i iETETx x xt u eu x e-=+[解]：（1）是定态，（2）（3）是非定态。
量子力学练习八：题+答案
量子力学练习八：题+答案班级 姓名 学号1．对于考虑自旋态系统，一般用旋量波函数来描述，()()(),/2,,/2z r r s r ψψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2,/2r ψ的物理意义为 电子自旋向上()/2z s = ，位置在r处的几率密度 。
2．在ˆz s表象中，表示自旋向上的态α＝ ，对应的本征值为 ，对应的量子数s m = ，ˆx sα= ，ˆy s α= 。
10⎛⎫ ⎪⎝⎭2 12 2β 2i β3．由于自旋在空间任何方向的投影只取/2± ，因此222ˆˆˆx y z s s s== 2/4 。
4．Pauli 矩阵σ满足反对易关系，写出三个分量的反对易关系式为， ， 。
0x y y x σσσσ+= 0x z z xσσσσ+= 0y z z yσσσσ+=5．两个电子组成体系的自旋态要涉及自旋的相互作用，设两个电子的自旋为1ˆs 和2ˆs ，则自旋之和为ˆs ＝1ˆs＋2ˆs，为了求解问题，常选两种表象，非耦合表象中力学量完全集为 ，对应的本征态共有4个，分别为 ， ， ，。
而在耦合表象中力学量完全集为 ，对于自旋单态，量子数s = ，量子数s m = ，对应的波函数为 。
()12ˆˆ,z z s s ()()11αβ ()()12αα ()()11ββ ()()12βα ()2ˆ,zs s 6．（1）在z σ表象中，求x σ的本征态。
（2）求z σ表象到x σ表象的变换矩阵S（3）计算1x S S σ- 解：（1）在z σ表象中，0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭其本征方程为 0110101a a ab b b λλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭有非零解的条件为1011λλλ-= ⇒ =±-当1λ=时，则01a b a b -=⇒==111φ⎫=⎪⎭当1λ=-时，则01a b a b +=⇒=-=111φ-⎛⎫=⎪-⎭（2）z σ（11φφ-⎛⎫⎪⎝⎭基矢为：）表象到xσ（111110,01φφφφ--'⎛⎫⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭基矢为：，）表象的变换矩阵为1111111111,,,11S S S S φφφφφφφφ+----''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪''-⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以 （3）11101111011101101x s s σ-⎫⎛⎫⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪---⎭⎝⎭⎭⎝⎭ 7．（1）在z σ表象中，求n σ的本征态，已知sin cos sin sin cos x y z x x y y z z n e e e n e n e n e θϕθϕθ=++=++（2）在ˆz s本征态1/2χ下，求n σ的可能测值及相应的几率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n2
i
n3
图
1
波函数习题
• 如图所示，一束振动方向垂直于入射面的简谐平面 波Ei以入射角 θi射向折射率分别为n1和 n2两种均匀 各向同性介质的界面。设入射面为（x, y）坐标平面， 入射波Ei的振幅E0 = 10(v/m)，光波长λ=0.5*10-6(m)， 在O点的初位相 φ0 = 0，入射角 θ i= 60， n1 = 1 ， n2 =1.732。
A I0 45 45 Io
B
C
波函数习题
• 图为一光导纤维示意图。设空气折射率n1 = 1， 包层折射率为n2，芯线折射率为n3。
① 为保证入射角α在0～90范 围内变化时，光波都能在n2/ n3 界面上发生全反射，导出n2和 n3必须满足的关系式。当n1 = n1 1.5时，求n3的范围。 ② 设n2 = 1.5，n3 = 1.7，求此光 纤的接纳角α。 加:设n2 = 1.1，n3 = 1.3，自然 光入射，α=?时，光纤出射光波 是线偏振波。
Ei
（1）试描述反射波 Er 和折射波 Et 的性质。 （2）写出入射波 Ei 、 反射波 Er 和折射波 Et 的波函数。
i
n1 n2 O x
z
波函数习题
• 一束光从真空中射入折射率n1=1.5的均匀各 向同性透明介质，设该光波在真空中的波 长λ0=510nm，光速c=3108m/s。求光波在 介质中的波长λ1、时间频率ν和传播速度V。
•
波函数习题
• 已知一个复杂波的复振幅 2 E ( x ) sin( 2 x ) sin (2x) ，将其分解为 为 一系列简谐平面波的线性叠加。给出各个 简谐平面波成分的振幅、空间频率和初位 相。
波函数习题
• 一束自然光以入射角θi 从折射率为n1媒质射向 折射率为n1和n2的两种 媒质界面(n1 n2)，试 从振幅、位相和偏振态 几个方面定性地描述当 入射角从0˚变化到90˚ 时，反射波相对于入射 波的变化。
波函数习题
• 什么是光波的波面？什么是平面波？什么是球面 波？请写出三维简谐平面波和球面波的波函数表 达式；并给出平面波沿坐标轴x，y，z的空间频 率分量fx，fy，fz与波矢k的关系。 单色自然光从折射率为n1的透明介质1射入折射 率为n2的透明介质2中，在两介质的分界面上， 将发生折反射现象，反射光波成为线偏振光的条 件是 ，此时反射光波的振动方向 为 ；当满足 时将发生全反射， 全反射临界角可表示为 。
波函数习题
•
• •
•
写出三维简谐平面波波函数的表达式，指出其中 各空间参量和时间参量的物理意义及相互关系。 说明三维简谐平面波空间频率的物理意义，平面 波沿坐标轴x，y，z的空间频率分量fx，fy，fz与 波矢的关系是什么？ 已知真空介电常数为ε0，磁导率为μ0；非铁磁性 媒质的介电常数为ε，磁导率μ = μ0，写出电磁波 在真空和媒质中的传播速度c和v，以及媒质折射 率n的表达式。 什么是布儒斯特定律？什么是布儒斯特角？利用 布儒斯特定律产生线偏振光的原理是什么？如何 尽量增大反射线偏振光的强度？
波函数习题
• 在( x, y, z )的直角坐标系中一个三维简谐 平面波的复振幅为：
3 E ( x, y, z ) j 2exp j 2 10 ( x y 2 z )
其中x，y，z的单位为(mm)。 (1)求平面波的振幅E0，原点处的初相位φ0及 光波波长λ； (2)求此平面波沿( x, y, z )坐标轴的空间频率 ( fx, fy, fz )，以及波矢k的方向角( α, β, γ )； (3)定量分析此平面波由z = 0平面传播到z = d 平面时，其复振幅有何变化？
波函数习题
• 一个三维简谐平面波在折射率 n = 1.2的均匀透 明媒质中传播，已知波的振幅为E0，媒质中的波 长 λ=0.5*10-6(m) ，波矢k垂直于y轴，且与z轴的 夹角 θ = 30 ，初位相 φ0 = ，光波在真空中速 度 c=3*108(m/s) 。
(1) 求出此简谐平面波的时间频率，沿k方向和沿 x，y，z坐标轴方向的空间频率。 (2) 用空间频率和时间频率参量写出此简谐平面 波的波函数，并画图表示出该平面波的传播方 向及原点附近的一系列波阵面。 (3) 求该简谐平面波在媒质中沿k方向的位相速 度v和在真空中的波长0。
波函数习题
• 图所示等腰棱镜ABC的顶角A = 45 ，折射率n = 1.5163。强度为I0的激光束从侧面AB垂直入射， 经三次反射后从另一侧面AC垂直出射。设入射 激光为线偏振光，振动方位角（振动方向与入 射面的夹角）β＝ 45。 (1)若不考虑玻璃的吸 收，且棱镜表面不镀 膜，求出射光的强度 I o； (2)求出射光的s分量 和p分量之间的位相 差Δφsp。