《大学物理aii》作业 no08 量子力学基出 参考解答

《大学物理AII 》作业No.08量子力学基础班级________学号________姓名_________成绩_______-------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求****************************1、掌握物质波公式、理解实物粒子的波粒二象性特征。

2、理解概率波及波函数概念。

3、理解不确定关系，会用它进行估算；理解量子力学中的互补原理。

4、会用波函数的标准条件和归一化条件求解一维定态薛定谔方程。

5、理解薛定谔方程在一维无限深势阱、一维势垒中的应用结果、理解量子隧穿效应。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题1、德布罗意在爱因斯坦光子理论的启发下提出，具有一定能量E 和动量P 的实物粒子也具波动性，这种波称为（物质）波；其联系的波长λ和频率ν与粒子能量E 和动量P 的关系为（νh E =）、（λhp =）。

德布罗意的假设，最先由（戴维孙-革末）实验得到了证实。

因此实物粒子与光子一样，都具有（波粒二象性）的特征。

2、玻恩提出一种对物质波物理意义的解释，他认为物质波是一种（概率波），物质波的强度能够用来描述（微观粒子在空间的概率密度分布）。

3、对物体任何性质的测量，都涉及到与物体的相互作用。

对宏观世界来说，这种相互作用可以忽略不计，但是对于微观客体来说，这种作用却是不能忽略。

因此对微观客体的测量存在一个不确定关系。

其中位置与动量不确定关系的表达式为（2 ≥∆⋅∆x p x ）；能量与时间不确定关系的表达式为（2 ≥∆⋅∆t E ）。

4、薛定谔将（德布罗意公式）引入经典的波函数中，得到了一种既含有能量E 、动量P ，又含有时空座标的波函数),,,,,(P E t z y x ψ，这种波函数体现了微观粒子的波粒二象的特征，因此在薛定谔建立的量子力学体系中，就将这种波函数用来描述（微观粒子的运动状态）。

4、按照玻恩解释，波函数的强度2ψ，代表粒子（在空间的概率密度分布）。

由于粒子在整个空间必定出现，因此2ψ对整个空间的积分1d 2=⎰V ψ，这称为波函数的（归一化）条件。

此外波函数还应满足（单值）、（有限）和（连续）的标准条件，只有满足以上条件的波函数才是有物理意义的波函数。

5、一般情况下描述微观粒子状态的波函数是通过求解相关动力学微分方程来获得的。

在薛定谔的量子力学体系中，微观粒子波函数遵循的动力学方程称为（薛定谔方程）。

在该方程中，如果微观粒子所处的势场U 不随时间变化，相应的就称为（定态薛定谔）方程。

在定态问题中，只需求出微观粒子的振幅函数就可确定微观粒子的分布，振幅函数所遵循的方程称为（振幅）方程。

6、微观粒子（被局限在某个区域中，并在该区域内可以自由运动）的问题都可简化为一维无限深势阱问题。

一维无限深势阱的势场函数为：（),0()()0(0)(a x x x U a x x U ≥≤∞=<<=；）。

一维无限深势阱中，粒子的波函数为（）a x x x a x n x an a x ≥≤=<<==,0(0)();0......,3,2,1(sin 2)(ψπψ），粒子的能量是(22222ma n E π =（n=1,2,3......）)，粒子在势阱中不同位置出现的概率（不相等）。

（填相等或不相等）7、按照量子力学计算，总能量低于势垒能量的粒子也能到达势垒另一侧的现象称为（量子隧穿），该效应已经得到了实验的证实，（扫描隧穿）显微镜就是利用这一原理制成的。

8、将波函数在空间各点的振幅同时增大N 倍，则粒子在空间的分布概率将（不变）。

（填变化或不变）9、低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比=αP :p p （1:1）；动能之比=αP :E E （4:1）。

解：由λhp =，二者λ相同，所以1:1:p =αp p 。

由经典动能动量关系，动能m p E 22=，所以1:4::p p ==m m E E αα10、微观粒子的下述性质可由哪个不确定关系式子给出？（1）微观粒子永远不可能静止（位置与动量的不确定关系 ≥∆⋅∆x p x ）。

（2）原子光谱存在自然宽度（能量与时间的不确定关系 ≥∆⋅∆t E ）。

11、波长λ=5000Å的光沿x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量∆λ=103-Å，则光子在x 坐标上的不确定量至少为（2.5m ）。

解：由公式p =λh 知,△322105000-⨯-=∆-=h h p λλ，利用不确定关系h p x x ≥∆⋅∆，可得光子的x 坐标满足91025⨯=∆≥∆xp h x Å=2.5m 12、已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()a x a a x ax ≤≤-⋅=23cos 1πψ，那么粒子在3/2a x =处出现的概率密度为（a 1）。

解：概率密度23(cos 1)(22a x a x πψ=,将32a x =代入上式，得a a a a x 1)3223(cos 1)(22=⋅=πψ二、简答题1、电子静止质量m 0=9.1×10-31Kg ，以v =6.0×106m/s 速度运动。

质量m =50Kg 的人，以v =15m/s 的速度运动。

试比较电子与人的物质波波长，并由此说明为什么只考虑微观客体的波粒二象性，对宏观物体的波动性不考虑？答：电子的物质波长为m mv h e 1063134102.1100.6101.91063.6---⨯=⨯⨯⨯⨯==λ；人的物质波波长为m mv h 3734108.815501063.6--⨯=⨯⨯==人λ。

干涉、衍射是表征物质波动性的最主要特征，根据干涉、衍射理论只有狭缝或者障碍物的大小可以和波长相比拟时，才可能产生明显的干涉衍射图样。

现在已知可被利用的最小狭缝为晶格间距，数量级为m 1010-左右。

从以上计算可以看出，电子的物质波波长是m 1010-数量级，在现有的条件下电子的波动性是可以通过实验进行检验的，讨论电子等微观粒子的波动性具有实际意义；但是宏观物体物质波的波长远远小于m 1010-数量级，无法通过我们所能利用的任何仪器装置来验证其波动性。

因此谈论宏观物体是否遵从德布罗意关系，是否具有波动性是没有意义的，宏观物体的波动性可以不用考虑。

2、设粒子运动的波函数图线分别如下图中的A,B,C,D 所示。

试说明确定粒子动量p x 精度最高的波函数图线是哪一个？为什么？答：由图可知A 图中粒子动量精度最高。

由波函数的概率波假设可知，A 图中粒子可能出现的位置最多，其位置的不确定度最大。

再根据位置动量的不确定关系，其位置的不确定度越大，其动量的不确定量就越小，动量的确定度就越高。

3、一维无限深势阱中，经典力学和量子力学对粒子运动描述有什么差异？答：按照经典力学，粒子在一维无限深势阱中各处出现的概率是相等的，与其能量状态无关。

但是按照量子力学中，粒子在一维无限深势阱中各处的概率分布与其能量状态有关；相同能量状态下，粒子各处的分布也是不一样的。

三、计算题1、设一维粒子的波函数为：)0(0)()0()(≤=≥=-x x x Axe x x ψψλ，其中0>λ。

求：（1）待定系数A 的值；（2）发现粒子概率最大的位置；（3）粒子的平均位置坐标；xxxx解：（1）由波函数归一化条件1)2(2)(3220==⎰∞-λλA dx Axex ，可得32λ=A ；（2）粒子的概率密度x e x x λλϕ22324)(-=（x >=0）,令0)(d 2=x ψ，可得：0)1(243=-⨯-x xe x λλλ，即0)1(=-x x λ。

两个极值：当x =0,x e x x λλϕ22324)(-==0，为极小值；当λ1=x 时，2223244)(--==e e x x x λλϕλ为极大值。

则发现粒子概率最大的位置为λ1=x 。

（3）根据统计平均值公式：x x x x d )(20ψ⎰∞==λ23。

2、计算下列两种情况下的速度不确定量：（1）宏观子弹：m =10克,v =800m/s,Δx =1cm ；（2）原子中的电子：m e =9×10-28克，v e =108cm/s,Δx =10-8cm第一种情况下，如果把普朗克常数视为零结果怎样？第二种情况下呢？根据计算结果总结出采用量子力学与经典力学处理问题的分界线。

解：由位置动量不确定关系：（1）sm x m v /103.52/31-⨯=∆=∆ （2）sm x m v /1086.52/5⨯≈∆=∆ 第一种情况下，由不确定关系得出0/103.531≈⨯=∆-s m v，如果将普朗克常数视为零，则0=∆v，两者结果一致；第二种情况下采用不确定关系的计算结果s m v /1086.55⨯=∆，如果将普朗克常数视为零，则0=∆v ，则差别相当大。

显然第二种情况下，普朗克常数不能忽略不计！！实际上根据所研究的问题中普朗克常数能否视为零或者能否忽略不计，可以看成是量子力学和经典力学处理问题的分界线，即：在所研究问题中，普朗克常数可以忽略不计，则用经典力学处理即可，比如本题中的第一种情况；在所研究的问题中，普朗克常数不可以忽略，则需采用量子力学处理，比如本题中的第二种情况。

3、已知一维无限深势阱中粒子的定态波函数,sin 2a x n a n πψ=a 为常量。

试分别求粒子处于基态和处于激发态n =4时，在x =0到x =3a 之间找到粒子的概率。

解：处于基态时，n=1，则：在x =0到x =3a 之间找到粒子的概率为：()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅===3023023021a d sin 2d sin 2d a a a x a x a a x a x a x x P ππππψ%5.1932sin 413222sin 4121230=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=a a a a a x a x a ππππππ处于n=4的激发态时，则：在x =0到x =3a 之间找到粒子的概率为：()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅===3023023021a 4d 4sin 42d 4sin 2d a a a x a x a x a x x x P ππππψ%9.2938sin 4132218sin 414212130=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=a a a x a x a ππππππ。