李有泉量子力学简明教程课后习题参考答案第三章
量子力学习题解答-第3章
第三章形式理论本章主要内容概要：1. 力学量算符与其本征函数量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足()**ˆˆ()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =⎰⎰或者用狄拉克符号，ˆˆf QgQf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。
厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。
若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。
一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。
而两个不对易的厄米算符没有共同的本征函数系，它们称为不相容力学量。
对任意态测量不相容力学量ˆˆ,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理2221ˆˆ,2QFQ F i σσ⎛⎫⎡⎤≥ ⎪⎣⎦⎝⎭2. 广义统计诠释设力学量ˆQ 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}nq ，即 ()*ˆ()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mnQf x q f x f x f x dx m n δ===⎰或ˆ, n n n m n mnQ f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n nf f =∑（恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开 (,)(),nn nx t cf x ψ=∑ 或nn n n nnf f c f ψ=ψ=∑∑展开系数为*()()(,)n n nc t f fx x t dx =ψ=ψ⎰若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的，21n nc =∑。
广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2n c 。
弹性力学习题提示和答案
《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章 (2)第三章 (3)第四章 (5)第五章 (6)第六章 (8)第七章 (9)第八章 (10)第九章 (12)2－1 是 2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在0M =∑的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA 边上，对于图2－15（a ）、（b ）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量, , x y xy σστ必须满足（1）平衡微分方程， （2）相容方程，（3）应力边界条件（假设σS S =)。
2－14 见教科书。
2－15 见教科书。
2－16 见教科书。
2－17 取3223120, , 6().4y x xy M Fσσy xy I hQS F h y bI h τ===-==--它们均满足平衡微分方程，相容方程及x =0和2hy =±的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量u 和v ，及转动量ω，再令0x y ==,便可得出。
3-1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足， （2）求应力，（3）推求出每一边上的面力,,y x f f 从而得出这个应力函数所能解决的问题。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第三章课后答案3.17-3#11
合，因此有 x,0 x,0 , 故 t=0 时 x * x,0 x x,0 dx 0
并且 x 不随时间变化。 3.18 考虑一质量为 m 的粒子在一维势场 U x U 0
x 中运动，其中 n 是正整数， a
n
其中 an n* x x, 0 dx
因此 x, t
a x e
n n n
iEn t /
对于谐振子 n x N n e
x / 2
2
H n x
2 2
an dxN n e
2 2
x /2
H n x Ae
3.17
在
t=0
时 ， 处 在 谐 振 子 势 U
2
1 2 kx 中 的 一 颗 粒 子 的 波 函 数 是 2
x, 0 Ae x
2
/2
sin cos H 0 x 2 2 H 2 x 其 中 和 A 是 实 常 数 ，
x 2 e [ H n x ] dx
2
1
2
mk ，且厄米多项式归一化条件是
2
2n n !
(i)写出 x, t ； （ii）求出 x, t 态中测量粒子的能量的可能值和相对概率； （iii）求 t=0 时的 x ，并问 x 是否随时间 t 变化？ 解： （1）系统的薛定谔方程为 i
x /2
sin cos H 0 x 2 2 H 2 x
A N0 cos n 0 N 2 2 2 sin n 2 2 2
一二三习题答案回顾.doc
第一章量子力学基础知识1.实物微粒和光一样，既有波动性，又有粒子性，这种性质称为波粒二象性。
2.光的微粒性由光电效应实验证实，电子波动性由晶体电子衍射实验证实。
A 3.电子具有波动性，其波长与下列哪种电磁波同数量级？A（A）X射线（B）紫外线（C）可见光（D）红外线D 4.电子自旋的假设是被下列何人的实验证明的？D（A）Zeeman （B）Gouy （C）Stark （D）Stern-GerlachB 5.如果f和g是算符，则(f+g)(f-g)等于下列的哪一个？B(A)f2-g2；(B)f2-g2-fg+gf；(C)f2+g2；(D)(f-g)(f+g)D 6.在能量的本征态下，下列哪种说法是正确的？D（A）只有能量有确定值；（B）所有力学量都有确定值；（C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值；7.试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式cose x±isine x8.微观粒子的任何一个状态都可以用波函数来描述；ψψ*表示粒子出现的概率密度。
D 9.Planck常数h的值为下列的哪一个？D（A）1.38×10-30J/s （B）1.38×10-16J/s （C）6.02×10-27J·s （D）6.62×10-34J·s10.一维势箱中粒子的零点能是h2/8ml2C 11.由一维势箱的薛定谔方程求解结果所得量子数n，下面论述正确的是( ) A. 可取任一整数B.与势箱宽度一起决定节点数C. 能量与n2成正比D.对应于可能的简并态B 12.下列函数中，22ddx,ddx的共同本征函数是（）。
A cos kxB e –kxC sinxD 2kxe-C 13.立方箱中2264hEml≤的能量范围内,能级数和状态数为( ).A.5,20B.6,6C.5,11D.6,17C 14.粒子处于定态意味着:（）A、粒子处于概率最大的状态B、粒子处于势能为0的状态C、粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关系的状态.D、粒子处于静止状态第二章原子的结构性质A 1.用来表示核外某电子的运动状态的下列各组量子数（n, 1, m, m s）中，哪一组是合理的？(A)2，1，-1,-1/2；(B)0，0，0，1/2；(C)3，1，2，1/2；(D)2，1，0，0D 2.若氢原子中的电子处于主量子数n=100的能级上，其能量是下列的哪一个：(A)13.6Ev ； (B)13.6/10000eV ； (C)-13.6/100eV ； (D)-13.6/10000eV ；C 3.氢原子的p x 状态，其磁量子数为下列的哪一个？(A)m=+1； (B)m=-1； (C)|m|=1； (D)m=0；B 4.若将N 原子的基电子组态写成1s 22s 22p x 22p y 1违背了下列哪一条？(A)Pauli 原理；（B ）Hund 规则；（C ）对称性一致的原则；（D ）Bohr 理论A 5.B 原子的基态为1s 22s 2p 1,其光谱项为下列的哪一个？(A) 2P ；（B ）1S ； (C)2D ； (D)3P ；C 6.p 2组态的光谱基项是下列的哪一个？（A ）3F ；（B ）1D ；（C ）3P ；（D ）1S ；C 7.p 电子的角动量大小为下列的哪一个？（A ）h/2π；（B ）31/2h/4π；（C ）21/2h/2π；（D ）2h/2π；8.采用原子单位，写出He 原子的SchrÖdinger 方程()22121212112Z Z E r r r ψψ⎡⎤-∇+∇--+=⎢⎥⎣⎦。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
量子力学答案(第二版)苏汝铿第3章课后答案3.20-3#12
P r , , dr * dr R2 r dr 2 , d
所以发现粒子在 , 方向上 d 立体角内的概率：
P ,
2 , R 2 rΒιβλιοθήκη dr dr*
2 , R 2 r dr
ˆ exp i n ˆ ˆ R L 于是 ，对有限角度转动，就是累加 ，
ˆ exp i R 所以
R a , R 是幺正算符。
其次证明空间转动不变性对应角动量守恒 因为系统具有空间转动不变性，所以
ˆ exp i n ˆ ˆL ˆ L n
ˆ x x n ˆ x x R
作泰勒展开，可得： （这里展到无穷项，然后求和）
ˆ x exp n ˆ x p ˆ x x n
i i ˆ x p ˆ x exp n i ˆ x ˆL exp n
R 2 r dr 2 , d
1 2 , 8
ˆ 的平均值， A ˆ .A ˆ 为任意算符 ˆ 的本征态中，对易子 H 3.22 求在 H
解：
ˆ n E n ，所以 n H ˆ n H ˆ n E ˆ 的本征值方程为： H 设H n n
所以
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ H . A HA AH HA AH ˆ ˆ n ˆ ˆ n n AH n HA ˆ n n A ˆ n E =E n n A n ˆ n E n A ˆ n 0 =E n n A n
量子力学 第三章习题与解答
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα22122p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
《量子力学教程》_课后答案
(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件
得
( x) dx 1
2
A2
a
2 sin
0
n xdx 1 a
由
a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh ， n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ，得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10