§16.2波函数及其物理意义
波函数知识点
波函数知识点波函数是量子力学中至关重要的概念之一。
它描述了一个量子系统的状态，并提供了有关该系统的各种物理量的概率分布信息。
本文将介绍波函数的定义、性质和意义，以及在量子力学研究和应用中的重要性。
一、波函数的定义与表示波函数可以用数学形式表示为Ψ(x)，其中x表示量子系统的位置，Ψ表示该位置上的波函数振幅。
通常，波函数是关于位置的复数函数。
在三维空间中，波函数则可表示为Ψ(x, y, z)。
二、波函数的性质1. 归一化性：波函数必须满足归一化性条件，即在整个空间范围内积分的结果为1。
这反映了量子系统处于某一状态的概率为1。
2. 可域性：波函数在空间的各点均有定义，且连续可微，除非遇到特殊情况（如量子力学势垒）。
3. 可观测量与算符：波函数通过算符与可观测量相联系。
常见的可观测量包括位置、动量、自旋等。
波函数经由展开，可以用基态、激发态等来表示这些可观测量。
4. 波函数的变化规律：根据薛定谔方程，波函数随时间的演化受到哈密顿算符的影响。
这意味着波函数可以随时间进行量子力学演化，从而揭示出量子系统的动力学特性。
三、波函数的意义波函数描述了量子系统的状态，通过对波函数的解析可以得到很多关于系统性质的信息。
具体包括：1. 粒子位置的概率分布：波函数的模的平方|Ψ(x)|^2表示了粒子在不同位置上出现的可能性。
这种概率分布的解析有助于对量子粒子的位置进行预测。
2. 波函数的叠加性：波函数可以通过线性组合实现叠加。
这就意味着不同状态的波函数可以相互叠加，并形成新的波函数。
这种叠加的结果反映了量子特性中的干涉和叠加效应。
3. 能量本征值与波函数：薛定谔方程的解析求解可以得到波函数的能量本征值和对应的态函数。
通过对能量本征值的研究，可以了解量子系统的能级结构以及能量转移和转换的规律。
4. 态函数和观测量：基于波函数和算符之间的关系，可以用态函数来求解观测量的期望值。
这些期望值与实验结果相比较，可以验证波函数模型的有效性。
波函数及其物理意义
波函数及其物理意义一、微粒的波函数描述自由粒子平面波 设一平面波沿速度υ 的方向传播，该方向的单位矢量为n ，即n υυ=，t 时刻，波面AB 上O 点的振动： ]2cos[σπνψ+=t a o时间后，波面传到A`B`，其上任一点P 的振动和时间前AB 上任一点O 的振动相同： ])(2cos[στπνψ+-=t a p υυθτn r r ⋅==cos OP r = ])t (2cos[σνλπ--⋅=n r a 欧拉公式：ϕϕϕsin cos i e i ±=± 取“＋”)t (2νλπψ-⋅=nr i p Ae――沿n 方向传播的、波长为、频率为的平面简谐波方程。
用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：νh E = n h p λ= )(p r Et i p Ae ⋅--=ψ――自由粒子的波函数，描写动量为p 、能量为E 的自由粒子。
经典力学 位置和速度 量子力学 波函数波函数体现了波粒二象性，其中的E 和p 是描写粒子性的物理量，却处在一个描写波的函数中。
二、波函数的物理意义1926年，德国物理学家玻恩：2),,,(t z y x ψ表示t 时刻、（x 、y 、z ）处、单位体积内发现粒子的几率。
如图为电子衍射的强度分布图。
用粒子的观点，极大值处意味着到达的电子多，极小值处意味着到达的电子少。
从波的观点来看，极大值处表示波的强度大，极小值处表示波的强度小。
如果用玻恩的观点就能将粒子和波的概念统一起来。
因为2),,,(t z y x ψ即波的强度表示t 时刻、（x 、y 、z ）处发现电子的几率密度。
如果2),,,(t z y x ψ大，则电子出现几率大，因而电子出现的数目也多，此处为衍射极大值处；反之，如果2),,,(t z y x ψ小，则电子出现几率小，电子出现的数目也少，此处为衍射极小值处。
ψψψ*),,,(2==t z y x W 表示t 时刻、（x 、y 、z ）处发现粒子的几率密度。
§16.2 物质波的波函数,玻恩的统计解释
§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：()λ-νπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡电磁波的表式单频率平面 ()()λ-νπ=λ-νπ=x t 2cos H H x t 2cos E E 0z z 0y y利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来❶：〔欧拉公式：〕 （16.2.4）根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x （16.2.6）这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）❶ 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.（16.2.2） （16.2.3）（16.2.12） （16.2.13）（二）物质波波函数的统计解释物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．（三）物质波波函数ψ的条件（1）波函数的标准条件在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．（2）波函数的归一化条件在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v <<c 的情况．对此情况，粒子的总能ε与能量E 和动量p 的关系，可用经典力学的关系式来表示．对于自由粒子，由于没受外力作用，其势能E p =0，其能量E 就等于其动能E k ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p+=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v <<c 的粒子的几率密度|ψ|2时，静能E 0=m 0c 2不起作用．因❶ 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ❶．⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v（16.2.14）此式亦可推广于（16.2.8）式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15）❶〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.。
波函数及其物理意义
即：
x A cos ( )dx 1 b / 2 b
2 b/2 2
b A 1 2
2
A
2 b
归一化的波 函数为：
( x, t ) 0
( x b / 2, x b / 2) (b / 2 x b / 2)
2 iE x ( x, t ) exp( t ) cos( ) b b (2)几率密度为：
波的强度是
——表示Φ的共轭复数
dW ( x, y, z, t ) ——在时刻t，在坐标x→x+dx、y → y+dy、
z → z+dz的无限小区域内找到粒子的几率
dW d dxdydz
dW ( x, y, z , t )
2
dW ( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) d
A
1
1 2)粒子坐标概率密度分布函数为 x x x 1 x2
3） 令 x 0 求出，在x=0处概率密度最大
max (0) 1
例2、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
( x, t ) 0
iE x ( x, t ) A exp( t ) cos( ) b
2 2
波函数乘以一常数，其 描述的概率波不变，即 描写的粒子状态不变。
第二章 薛定谔方程
C 1
( x, y, z, t )
( x, y, z , t ) d
和
2
2
( x, y, z, t ) C ( x, y, z, t )
( x, y, z, t ) 描写的是粒子的同一状态
量子力学
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： • 在 t 时刻，r 点，dτ= dx dy dz 体积内，找到由 波函数Ψ (r,t)描写的粒子的几率是： • d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ，其中，C是比例 系数。
定态的物理含义； 当哈密顿算符不显含时间时薛定谔方程存在可分离变量的特解, 这个特解就是定态,它是能量的本征态,能量确定 定态薛定谔方程；它的解就是定态波函数；它就是能量本征方程
i Et ( r , t ) ( r )e
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由 de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。 2 2 [ V ] ( r ) E ( r ) 空间波函数ψ(r)可由 2 方程 和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。
对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能 级是非简并的。值得注意的是，当线性谐振子处于基态： i i E0t 2 x2 /2 E0t e e 0 x, t 0 ( x )e 2 1 E0 , 2 能量不为零，该能量被称为零点能。这是一个用经典物理无法解释 的现象。光在晶体上被散射是由于原子的振动。根据经典物理，当 温度趋于绝对零度时，原子将趋于静止，能量趋于零，这时将不会 产生散射。但实际实验表明此时仍有光散射，且强度趋于某不为零 的极限。此外，表面张力和分子间作用力等也与零点能有关。
波函数
反子，则吸收光子到高能级去。
31
（2）定态只能是这样的状态，电子饶核公转的动 量矩L等于 h 的整数倍。
2
L n h n n 1,2,3
2
玻尔从经典电磁理论和牛顿运动定律算出氢原子 的定态能量，从而得出氢原子所发的光的频率。
中的电子形成驻波.
28
§3 氢原子
一、原子光谱的实验定律
原子都会发光。原子发的光经过光谱仪后就形成 线状光谱。不同的原子，具有不同的线状光谱。 实验得知：每一种原子都有特定的一系列的光谱项，
个T1光,T谱2 ,项T3的,差。，它所发出的光的波数 ，就是两
Tn Tk n k
n为奇数时
nx A eiknx eiknx
n
2 A cos
kn x
A1
cos
x 2a21
n为偶数时
nx A eiknx eiknx
n
2iA sin kn x A2 sin 2a x
归一化（-a,a)的波函数
nx
1 cos n x
波函数。
d2x dt 2
2
x
0
x Acost
2y 1 2y x2 u2 t 2
y Acos 2 t x
8
当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）和动量P之间的关系：
E p2 2m
i 2 Et px
波函数
1
波函数
对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位 置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微 观粒子运动的基本方程。
16-2平面简谐波的波动方程
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
——细棒中平面纵波的波动方程。 解
16.2 平面简谐波和波动方程
概念检测 已知一平面简谐波的表达式为y = A cos ( a tb x )， ( a , b为正值)，则 A. 波的频率为a B. 波的传播速度为b / a C. 波长为π/ b D. 波的周期为2π/ a
0 π / 2
x y A cos[ (t ) 0 ] u π π 0.1cos( t πx ) 2 2
16.2 平面简谐波和波动方程
例题2 一列平面波以波速u沿x轴正向传播，波 长为，已知在x0= /4处的质点的振动表达式 为y0=Acos t，试写出波动方程。
16.2 平面简谐波和波动方程
填空题3. 一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播，t 时刻 波形曲线如图所示。试分别指出图中A，B，C各点处 介质质元在该时刻的运动方向
y
A B
u
C
o
x
16.2 平面简谐波和波动方程
概念检测 下图(a)表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0 时刻的波形图，则图(b)表示的是
解 “振动状态以波速传播”方法 x/4 t 时刻x处的振动状态，就是 (t ) u 时刻x0处的振动状态，因此
x/4 y A cos[( t )] u 2π π / 4 x ) A cos( t x ) A cos( t 2 u u
根据x0处的振动方程，写出波动方程
16.2 平面简谐波和波动方程
16.2 平面简谐波和波动方程
16.2.1 平面简谐波的波动方程
16.2.2 波动方程的物理意义
16.2.3 波动的微分方程
简述波函数的物理意义
简述波函数的物理意义波函数是量子力学中一个重要的概念，描述了处于量子状态的粒子的行为。
它是由施密特（Schmidt）、波尔（Bohr）等人引入，并得到了海森堡（Heisenberg）、薛定谔（Schrödinger）等人的进一步发展。
波函数的物理意义可以通过以下几个方面来描述。
1.粒子位置的概率分布：波函数的模的平方，即，Ψ(x,t)，²，描述了粒子在时间t和位置x处的概率分布。
这意味着波函数在特定时间和位置的值越大，粒子出现在该处的概率越高。
由此可见，波函数的物理意义之一是描述了粒子位置的概率。
2.粒子的运动：波函数是随时间和位置变化的，通过薛定谔方程来描述。
这个变化过程反映了粒子的运动。
薛定谔方程表明，波函数的时间演化由哈密顿算符H控制。
波函数演化的速度由哈密顿算符中的能量项决定。
因此，波函数的物理意义之二是描述了粒子的运动。
3.粒子的角动量：波函数还可以描述粒子的角动量。
对于自旋½的粒子，波函数有两个分量，表示上下自旋。
自旋是粒子固有的性质，描述了粒子对旋转的响应。
波函数中的自旋分量决定了粒子在不同方向上的自旋测量结果。
因此，波函数的物理意义之三是描述了粒子的角动量性质。
4.粒子的态叠加和测量：波函数还可以描述粒子的量子态叠加和测量过程。
量子态叠加是指当一个粒子处于多个不同状态之一时，它可以同时处于所有这些态的叠加态。
波函数中的不同分量对应于不同的态叠加。
测量过程会导致波函数的坍缩，即从叠加态向单个确定态的转变。
波函数的物理意义之四是描述了量子态叠加和测量的过程。
5.波函数的归一化：波函数的平方的积分必须为1，即∫，Ψ(x, t)，²dx=1、这是由于概率密度的归一性要求，即粒子必须出现在整个空间中。
波函数的归一化要求决定了波函数的形式和物理意义。
总的来说，波函数的物理意义是描述了量子态的性质、粒子的位置和运动、角动量等多个方面。
通过波函数可以得到与粒子相关的物理量，比如能量、动量、角动量等的平均值和概率分布。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
粒子在dV体积元内出现的概率
太原理工大学大学物理
玻恩对电子衍射的解释 一个电子通过一个缝后到底落在屏上哪一点
呢？玻恩说：不能肯定，落在哪一点都有可能； 但是由于屏上各处明暗不同，所以落在各处的概 率也不同，落在哪一点有一定的概率分布，这一 概率分布由屏上各点波的强度分布来决定。
接受屏上发现粒子的概率与 (x, y, z,t) 2成正比.
电子在屏上出现概率密度大的地方,出现干涉 图样中的“亮条纹”；概率密度为零的地方,没有 电子到达，显示“暗条纹”。
太原理工大学大学物理
宏观物体服从牛顿的决定论，如可以精确给 出火星的位置,运动轨道；
描述微观粒子的波粒二象性的是概率波， 按照概率波的观点，微观粒子在运动过程中究竟 会出现在何处,只能由概率大小来判断.
A 2/a
（2）求粒子在0到 a/2区域出现的概率； 粒子的概率密度为: 在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为：
太原理工大学大学物理
（3）粒子在何处出现的概率最大？ 概率最大的位置应满足
d ( 2 sin2 x) 0
dx a a
因0<x<a,故得x=a/2 在x=a/2处粒子出现的概率最大。
氢原子核外电子的运动不能使用玻尔的轨道 运动了，只能说电子在原子核外的某些地方比 较容易找到，在某些地方几乎找不到。
在核外空间各处寻找电子的概率各不相同； 即有一定的概率分布，人们用“电子云”来形象 地描绘这种概率分布的空间图形。
太原理工大学大学物理
自由粒子平面波波函数
Ψ r，t
i 2
Ae h
(Et
pr
)
(r ,
t
)
2
A2
常数
则在空间各点发现自由粒子的概率相等
应该强调，对于概率分布来说，重要的是
相 则对Ψ概r率,t分布和．cΨ如果r,Ct是所常描数述(可的以相是对复概数率)分，布
是完全相同的。
太原理工大学大学物理
cΨ
(r1,
t
)
2
c
(r2
太原理工大学大学物理
电子双缝干射实验
电子
3. 微观粒子的波粒二象性 当入射强电子流时,单位时间许多电子通过双
缝，底片上很快出现衍射图样. 太原理工大学大学物理
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝．
7个 电子
100个 电子
20000 个电子
70000 个电子
屏上的一个亮点代表一个电子．
“一个电子”具有的波动性，衍射花样不是电子间 相互作用的结果。
,
t
)
2
(r1, Nhomakorabeat
)
2
(r2
,
t
)
2
四、波函数的归一化条件
在整个空间粒子出现的概率总和为1,要求
2
Ψ dxdydz 1
称为波函数的归一化条件.
描述粒子的波函数应该是:有限,单值,连 续,称为波函数的标准条件.
太原理工大学大学物理
例 作一微运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内。 已知其波函数为 试求：（1）常数 A； 解:（1）由归一化条件得:
§16.2 波函数及其物理意义
一、波函数 1925年，薛定谔首先在德布罗意假设的基础上
提出，用物质波的波函数来描述微观粒子运动状 态,就像用电磁波描述光子的运动一样。
用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的 物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。
机械波
将公式写成复数形式
太原理工大学大学物理
利用关系 自由粒子一维运动时的平面波波函数
太原理工大学大学物理
三、玻恩的波函数统计解释(1926年) 玻恩给出了空间一很小区域(体积元dV=dx dy dz)
内粒子出现概率的计算方法。 在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率
与该时刻、该地点波函数的平方 (r,t) 2 成正比.
(r,t) 2 (r,t)(r,t)* 称为概率密度.
太原理工大学大学物理
当波沿任意 r 方向传播时
太原理工大学大学物理
二、波函数的物理意义
经典粒子:不被分割的整体，有确定位置和运动 轨道；
经典的波: 某种实际的物理量的空间分布作周 期性的变化，波具有相干叠加性.
微观粒子的波粒二象性: 要求将波和粒子两种
对立的属性统一到同一物体上.
描述微观粒子运动状态的波函数
(r ,t)
是时间和
空间的函数，那么，波函数与粒子之间究竟有什么关
系呢？
太原理工大学大学物理
如何来认识物质波呢? 1.微观粒子不同于经典波
按经典波的观点,电子波在介质分界面上发 生反射和折射，电子将被分裂为反射部分和折 射部分，也就是说，从两个方向观察到的只是 电子的一部分。但实验中观察到的总是一个个 具有一定质量和电荷的电子，从来没有观察到 几分之一个电子。
结论:物质波与经典波是完全不同的.
太原理工大学大学物理
2. 微观粒子不同于经典粒子
先分别关闭上,下两缝，子弹分别通过上、下缝到 达屏上，观察子弹密度分布曲线P1、P2.将P1与P2叠 加，得到曲线P1 ＋P2. 再同时打开两个缝，发射两 倍数目的子弹，最后得到的子弹密度分布曲线P3。 结果显示为“非相干叠加”.
太原理工大学大学物理
当入射弱电子流时,电子几乎一个一个地通过 双缝.每通过一个电子,底片上出现一个点,开始时点 呈现无规分布，随着电子数目增多，逐渐形成衍射 图样.
一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果.
结论: 电子的行为既不等同于经典粒子(没有确定 的位置和运动轨道)，也不等同于经典波动(并非某 实际的物理量在空间做周期性的变化)，它兼有粒 子(不可分割的整体)和波动性(相干叠加)的某些特 征，这就是波粒二象性.