波函数及其物理意义
波函数知识点
波函数知识点波函数是量子力学中至关重要的概念之一。
它描述了一个量子系统的状态，并提供了有关该系统的各种物理量的概率分布信息。
本文将介绍波函数的定义、性质和意义，以及在量子力学研究和应用中的重要性。
一、波函数的定义与表示波函数可以用数学形式表示为Ψ(x)，其中x表示量子系统的位置，Ψ表示该位置上的波函数振幅。
通常，波函数是关于位置的复数函数。
在三维空间中，波函数则可表示为Ψ(x, y, z)。
二、波函数的性质1. 归一化性：波函数必须满足归一化性条件，即在整个空间范围内积分的结果为1。
这反映了量子系统处于某一状态的概率为1。
2. 可域性：波函数在空间的各点均有定义，且连续可微，除非遇到特殊情况（如量子力学势垒）。
3. 可观测量与算符：波函数通过算符与可观测量相联系。
常见的可观测量包括位置、动量、自旋等。
波函数经由展开，可以用基态、激发态等来表示这些可观测量。
4. 波函数的变化规律：根据薛定谔方程，波函数随时间的演化受到哈密顿算符的影响。
这意味着波函数可以随时间进行量子力学演化，从而揭示出量子系统的动力学特性。
三、波函数的意义波函数描述了量子系统的状态，通过对波函数的解析可以得到很多关于系统性质的信息。
具体包括：1. 粒子位置的概率分布：波函数的模的平方|Ψ(x)|^2表示了粒子在不同位置上出现的可能性。
这种概率分布的解析有助于对量子粒子的位置进行预测。
2. 波函数的叠加性：波函数可以通过线性组合实现叠加。
这就意味着不同状态的波函数可以相互叠加，并形成新的波函数。
这种叠加的结果反映了量子特性中的干涉和叠加效应。
3. 能量本征值与波函数：薛定谔方程的解析求解可以得到波函数的能量本征值和对应的态函数。
通过对能量本征值的研究，可以了解量子系统的能级结构以及能量转移和转换的规律。
4. 态函数和观测量：基于波函数和算符之间的关系，可以用态函数来求解观测量的期望值。
这些期望值与实验结果相比较，可以验证波函数模型的有效性。
波函数
自由粒子能量 E 和动量 p Nhomakorabea y A cos( k r t ) ~ E E0 e i ( k r t ) ,
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, t ) 0e
i ( Et pr )
说明：用波函数描述粒子的运动状态是量子力学 的基本假设之一。
（1）概率密度 表示在某处单位体积内粒子出现的 概率. 2 Ψ * 正实数 某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为 2 *
Ψ dV ΨΨ dV
（2）物质波又称为概率波
（3）玻恩解释是量子力学的基本原理
三、波函数的性质 1、波函数的标准化条件：单值、有限、连续 2、 某一时刻在整个空间内发现粒子的概率 为
• 不确定度关系的本质就是粒子性与波动性的辩证统一。 对自然过程的理解，应是决定论与概率论的辩证统一。
一、 波函数及其物理意义
1）经典的波与波函数 机械波
电磁波
x E ( x, t ) E0 cos 2π (t ) x H ( x, t ) H 0 cos 2π (t )
§2.2.1波函数及其物理意义
一、单色光子的波函数 二、自由粒子的波函数 三、波函数的物理意义 四、波函数的性质
经典理论和量子理论处理问题的观念不同。
• 经典物理学的“精确性”是建立在“决定论”的基础 之上的，一旦初始条件边界条件确定，过程的结果就 是唯一的。 • 量子力学的“精确性”是建立在“概率论”的基础之 上的这与经典物理对精确性的理解具有本质的不同。
y ( x, t ) A cos 2π (t )
x
经典波为实函数
y ( x, t ) Re[ Ae
x i 2 π (t )
波函数及其物理意义
即：
x A cos ( )dx 1 b / 2 b
2 b/2 2
b A 1 2
2
A
2 b
归一化的波 函数为：
( x, t ) 0
( x b / 2, x b / 2) (b / 2 x b / 2)
2 iE x ( x, t ) exp( t ) cos( ) b b (2)几率密度为：
波的强度是
——表示Φ的共轭复数
dW ( x, y, z, t ) ——在时刻t，在坐标x→x+dx、y → y+dy、
z → z+dz的无限小区域内找到粒子的几率
dW d dxdydz
dW ( x, y, z , t )
2
dW ( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) d
A
1
1 2)粒子坐标概率密度分布函数为 x x x 1 x2
3） 令 x 0 求出，在x=0处概率密度最大
max (0) 1
例2、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
( x, t ) 0
iE x ( x, t ) A exp( t ) cos( ) b
2 2
波函数乘以一常数，其 描述的概率波不变，即 描写的粒子状态不变。
第二章 薛定谔方程
C 1
( x, y, z, t )
( x, y, z , t ) d
和
2
2
( x, y, z, t ) C ( x, y, z, t )
( x, y, z, t ) 描写的是粒子的同一状态
3-3波函数及其物理意义jm
x u
)
借助电磁波波函数概念，量子力学提出了如下假设： （1）、描述微观粒子一切状态的物理量——波 函数Ψ ；
（2）、波函数满足的方程——薛定谔方程。
一门新的理论“量子力学”于1925年诞生了。
3
二、自由粒子的波函数 德布罗意假设： E m c 2 h
p mv h
自由粒子具有确定E 和P，则有确定ν 和 λ 。
(r , t ) A e
i ( p r E t )
波阵面
r
v
y
rn
推导： 0 co s( t
0 cos(2 t
v
rn )
rn )
x
( / 2 )
2
v
0 co s 2 ( t
y
x
0e
或： 0 e 常用：
2 i ( t k r )
r cos
2 i ( t
)
0e
2 i ( k r t )
1 波矢：k n
复数形式的自由 粒子的波函数：
z
波阵面
r
v ,( n )
2、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续。 2．归一化条件： ( x , y , z , t ) dV 1
i
2
3、自由粒子的波函数
e 0
(r pE t)
17
§3.3 波函数及其物理意义
一、波函数的提出 • 同时具有波、粒二象性的粒子，该用什么物理 量描述？
p mv r
简述波函数的物理意义
简述波函数的物理意义波函数是量子力学中一个重要的概念，描述了处于量子状态的粒子的行为。
它是由施密特（Schmidt）、波尔（Bohr）等人引入，并得到了海森堡（Heisenberg）、薛定谔（Schrödinger）等人的进一步发展。
波函数的物理意义可以通过以下几个方面来描述。
1.粒子位置的概率分布：波函数的模的平方，即，Ψ(x,t)，²，描述了粒子在时间t和位置x处的概率分布。
这意味着波函数在特定时间和位置的值越大，粒子出现在该处的概率越高。
由此可见，波函数的物理意义之一是描述了粒子位置的概率。
2.粒子的运动：波函数是随时间和位置变化的，通过薛定谔方程来描述。
这个变化过程反映了粒子的运动。
薛定谔方程表明，波函数的时间演化由哈密顿算符H控制。
波函数演化的速度由哈密顿算符中的能量项决定。
因此，波函数的物理意义之二是描述了粒子的运动。
3.粒子的角动量：波函数还可以描述粒子的角动量。
对于自旋½的粒子，波函数有两个分量，表示上下自旋。
自旋是粒子固有的性质，描述了粒子对旋转的响应。
波函数中的自旋分量决定了粒子在不同方向上的自旋测量结果。
因此，波函数的物理意义之三是描述了粒子的角动量性质。
4.粒子的态叠加和测量：波函数还可以描述粒子的量子态叠加和测量过程。
量子态叠加是指当一个粒子处于多个不同状态之一时，它可以同时处于所有这些态的叠加态。
波函数中的不同分量对应于不同的态叠加。
测量过程会导致波函数的坍缩，即从叠加态向单个确定态的转变。
波函数的物理意义之四是描述了量子态叠加和测量的过程。
5.波函数的归一化：波函数的平方的积分必须为1，即∫，Ψ(x, t)，²dx=1、这是由于概率密度的归一性要求，即粒子必须出现在整个空间中。
波函数的归一化要求决定了波函数的形式和物理意义。
总的来说，波函数的物理意义是描述了量子态的性质、粒子的位置和运动、角动量等多个方面。
通过波函数可以得到与粒子相关的物理量，比如能量、动量、角动量等的平均值和概率分布。
波函数及其物理意义
4、波函数需要满足的条件
1). 波函数的单值、有限性、连续
根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到 粒子的几率必须为单值、有限、连续的
因为，粒子的几率在任何地方 ➢ 只能有一个值； ➢ 不可能无限大； ➢ 不可能在某处发生突变。
以上要求称为波函数的标准化条件
2). 波函数的归一性
rv,t
２ 波函数意义的统计解释：
空间某点波函数的强度（模的平方）和 在这点找到粒子的几率成比例．
| (x, y, z,t) |2 w(x, y, z,t) ３ 态函数定义：
物质波 又叫几率波
物质波的强度决定了粒子出现在空间各点的概率．即
已知
(r ,
t
)
,能定出粒子可能出现的空间坐标及其几率
可能坐标 (r1, r2 ,...rn ,...)
此观点 为实验 所否定
.
. ..
. . ..
.
一个个电子通过单缝，长时间积累也出现衍射效应
2 ) 粒子由波组成，是不同频率的波叠加而成的“波包”
此观点 为实验 所否定
单个电子不能形成衍射花样
介质中频率不同的波 u 不同，波包应发 散，但未见电子“发胖”
不同介质界面波应反射，折射，但 未见电子“碎片”
波函数的强度
e (r, t) A i/( prEt)
例：求一维自由粒子波函数的强度：
| (x,t) |2 *
三维自由粒子
e e
i(
0
i h
(
E
t
p
x
x
)
0
02
二 波函数的解释
关于粒子性和波动性如何统一的有关看法 （一）历史上两种错误看法 1) 波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应
量子力学波函数的物理意义
量子力学波函数的物理意义量子力学是描述微观世界行为的理论，它提出了波粒二象性的概念，即微观粒子既可以表现出粒子的性质，又可以表现出波动的性质。
在量子力学中，波函数是一个重要的概念，它用来描述微观粒子的状态。
波函数的物理意义是什么呢？本文将从不同的角度来探讨波函数的物理意义。
1. 波函数的数学表达在量子力学中，波函数用符号ψ表示，它是一个复数函数。
波函数的平方的模的积分等于1，即∫|ψ(x)|^2dx = 1。
这意味着波函数描述的是微观粒子的概率分布。
波函数的模的平方表示在某个位置找到粒子的概率，而波函数本身则描述粒子的相位性质。
2. 波函数的物理解释：波粒二象性波函数的物理意义可以通过波粒二象性的概念理解。
在实验中，物质粒子表现出波动性质，例如干涉和衍射现象，这可以用波函数来描述。
而在其他实验中，物质粒子又表现出粒子性质，例如只在特定位置上相互作用，这可以用波函数的模的平方来解释。
3. 波函数的时间演化波函数不仅仅是描述粒子在空间中的分布，还可以随时间演化。
根据薛定谔方程，波函数随时间的演化是由哈密顿算符决定的。
波函数的时间演化描述了微观粒子的行为，例如衰变、干涉等现象。
4. 波函数与可测量物理量波函数不仅包含了微观粒子的空间和时间分布信息，还与可测量的物理量有关。
根据量子力学原理，可测量物理量的期望值可以通过波函数的数学处理得到。
例如，对于位置算符x，其期望值为<x> =∫ψ*(x)xψ(x)dx，其中ψ*(x)表示波函数的共轭复数。
波函数的物理意义是提供了可测量物理量的统计信息。
5. 波函数坍缩在测量微观粒子时，波函数会发生坍缩。
坍缩后的波函数描述了粒子被测量后的状态。
量子力学中的测量过程是波函数演化的非线性过程，而波函数的坍缩则使得测量结果是确定的而非概率性的。
波函数的坍缩保证了测量理论与实验结果的一致性。
总结起来，波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学工具，它具有重要的物理意义。
波函数表示
波函数表示波函数表示是量子力学中最为基本和核心的概念之一。
在量子力学中，波函数表示的是一个粒子在空间中的状态，包括粒子的位置、动量、自旋等方面信息。
波函数表示的数学形式是一个复数波函数，可以描述粒子在空间中的概率分布。
下面，我们将逐步介绍波函数表示的一些基本概念和数学方法：1.波函数定义波函数是一个数学函数，通常用ψ表示。
它描述了一个粒子在不同位置上的概率密度。
波函数可以解释为一个在空间中振荡的波。
在量子力学中，波函数也可用于描述粒子的运动状态，包括位置、动量、自旋等方面的信息。
2.波函数的物理意义波函数表示的是一个粒子在空间中的状态，它包含了粒子在不同位置上的概率密度。
在某一位置上观察到粒子的概率分布与波函数的模函数成正比。
波函数的平方模与粒子在空间中的概率分布密度有着紧密的联系。
3.波函数的归一化波函数必须满足归一化条件，即积分值为1。
这是因为粒子在空间中必须存在，其存在的概率必须等于1。
归一化条件可以用如下公式来表示：∫|ψ|²dV = 1其中V表示整个空间。
4.波函数的薛定谔方程波函数的演化是由薛定谔方程描述的。
薛定谔方程是量子力学中最为基本的方程之一。
它能够描述粒子在外场作用下的演化和运动，在数学上表述为：Hψ = Eψ其中H为哈密顿算符，ψ为波函数，E为粒子的能量。
5.波函数的运动与扩散波函数随时间的演化是由薛定谔方程描述的。
在无阻力情况下，波函数会沿着粒子朝向的方向传播，其形状也不断发生变化，这就是波函数的运动。
另一方面，波函数也会发生扩散，即波函数的宽度随时间增长而增大，这说明粒子的位置的不确定性会增大。
6.波函数的解析解与数值解波函数的解析解是一种理论解法，可以推导出波函数的具体表达式。
但是，在大部分实际问题中，波函数的解析解很难求解。
因此，科学家们采用数值方法来求解波函数。
这种方法可以在计算机上通过数值计算得到波函数的近似值，进而分析粒子在空间中的状态。
总之，波函数在量子力学中具有至关重要的作用。
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结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
一个频率为、波长为沿x方向传播的单色平面波 x 的表达式为：
( x, t ) A cos 2 (t
利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理 量来代替描述波动性的物理量，有：
3
)
2 ( x, t ) 0 cos ( Et px ) h
6
同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极 大值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到 粒子的几率最小。 综合以上的波动和粒子观点，得到：在某时刻 t，在空间某处 ，波函数 的平方正比 r (r , t ) 于粒子在该时刻、该地点出现的几率。 玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：
9
3.波函数应满足的条件 1.标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的 几率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单 值的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会 发生突变，所以波函数还必须是连续的。 波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件， 称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连 续可微，且一阶导数也连续可微。
11
量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学 中同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全 不同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。
波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微 观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的另 一个基本原理—态迭加原理表现出来。 3.态迭加原理
可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相 同的，这样，有： 实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模 （振幅）的平方 ||2 与该点邻近体积元 dV的乘积， 正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 W。
注意：在空间某处r
W | | dV dV
2 *
是 的共轭复数。
5
2.波函数的物理意义 为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先 提出来的。 光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较： 1）从波动性看，对光的衍射，空间某处光强与光波在 该处振幅平方成正比，衍射极大值 对应光振动振幅平 方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。 用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在 衍射极大值处，波函数的振幅平方＊具有极大值， 在衍射极小值处，波函数的振幅平方＊具有极小值。 2）从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极 大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的 几率最小。
*
| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子 由此可见， 出现的几率，称为几率密度。即： | |2
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几 率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。
8
根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。
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微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数 正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的 概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质 运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是 一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状， 也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率 分布。
第二节
波函数及其 物理意义
1
经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子 能级时遇到了困难，德布罗意、薛定谔、海森伯、玻 恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学。 量子力学：研究物质波和物质相互作用的学科。
一、波函数
电磁波可以用电场强度和磁场强度在时间和空间 的变化来描述，机械波可以用质点的位移随时间变化 来描述。 物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来 描述，这个函数称为波函数，通常用来表示。
在一维空间量，波函数写成 ( x, t ) 间里写成 (r , t ) 。
2
，在三维空
1.自由粒子的波函数 自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中 作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。
h E 对应的德布罗意波具有频率和波长： , h P
自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。
2 ( x, t ) 0 cos ( Et px ) h
根据t ) 0e
i
2 ( Et Px) h
为波函数的振幅。
这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的 形式，又包含有体现粒子性的物理量E和P，因此它 描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。
波函数为：
对三维空间，沿矢径 r
方向传播的自由粒子的
4
根据波动理论，波函数的强度正比于02。 利用复指数函数的运算法则，有：
0 | |
2
＊
2
＊
为的复共轭函数。
注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。
在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的 形式，而是空间和时间和复杂函数。 下面要研究的问题是如何理解波和它所描写的粒子 之间的关系。
2 波函数模的平方| (r , t ) | 代表时刻 t 、在r 处
粒子出现的几率密度。
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说， 物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波 是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。
7
附近找到粒子的几率除和波 函数平方值大小有关外，还和这个区域的大小有关。
10
2.归一化条件 由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任 意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以 2 应有： | | dV 1
V
V | 0 | dV 1
2
这称为波函数的归一化条件。
量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波 函数与波函数/=c（c为任意常数）所描写的是 粒子的同一状态。 原因：粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数 在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大 小。如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍， 并不影响粒子在空间各点的几率。所以将波函数乘 上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。 如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不 为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值 为1，这个过程称为波函数的归一化过程。