热力学与统计物理期末复习笔记1
热力学与统计物理期末复习..
E
期末复习
12
9、简述能量均分定理；用能均分定理求自由电子的内能 和定容热容量；结果与实验结果有何差异？量子统计的 结果如何解释这些差异？ 10、简述能量均分定理；用能均分定理求辐射场内能U 和定容热容量CV的结果与实验有何差异？量子统计的结 果如何解释这些差异？
p p V ( ) 0 T T
若pα > pβ ，则有δ V α >0。 这时不可逆过程导致压强大的相将膨胀，压强 小的相将被压缩，即压强差异将导致物质流动。
第三章 期末复习 单元系的相变
7
若热平衡已满足，但相平衡未能满足，熵增 加原理要求
n (
T
SC 2 Nk ln T Nk ln V 2 Nk[1 ln( h
2 0
)]
3 V 3 5 2m k SQ Nk ln T Nk ln Nk[ ln( 2 )] 2 N 2 3 h
试讨论这两个熵的性质。(P212~213)
期末复习 3
3、简述熵判据；写出单元两相系的热学平衡条件、力学 平衡条件和相变平衡条件。如果在一个孤立系统内部引入 内能、体积和摩尔数的虚变动 δ Uα 、 δVα 和 δnα 所引起 的熵变为
期末复习
期末复习
1
一 期末考试题型
1 判断题（每小题2分，共20分）
2 填空题（每空2分，共20分）
3 简述题（每小题8分，共16分） 4 计算与证明题（5个小题，共44分）
大学热力学与统计物理期末复习笔记1
《热力学统计物理》期末复习一、简答题1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。
2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。
全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。
描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。
3、简述平衡态统计物理的基本假设。
答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。
等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。
4、什么叫特性函数？请写出简单系统的特性函数。
答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。
这个热力学函数称为特性函数。
简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。
5、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。
答：为了形象的描述粒子的运动状态，用r r p p q q ,,,,11 ；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态()r r p p q q ,,,,11 ；可用μ空间的一个点表示。
6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。
热力学与统计物理复习知识点
三大统计侧重于从一个粒子的角度出发来研究系统。
基于等几原理来研究系统处于平衡态时的统计规律。
三大统计都从等几原理→算出一种{}l a 分布下所对应的微观状态数→最可几分布l a →引入配分函数→热力学量的统计表式→应用 一、 相空间（1）相空间必定是偶数维的，因为是以广义坐标（r q q q ,,,21 ）和广义动量（r P P P ,,,21 ）为轴。
（2）是正交空间：r r P P P q q q ∆∆∆∆∆∆=∆ 2121τ（3）半经典考虑： 考虑测不准关系：h P X ≈∆⋅∆，则一个态的相体积为r h 。
（这是半经典考虑后一个态所所必须占据的最小相体积）二、 状态数在考虑半经典近似的情况下：1个态的相体积为r h ，则可能的状态数为：r hτ∆ 三、 求态密度)(εD态密度指εεεd +→范围内的状态数 四、 研究对象：孤立，近独立的粒子系统 M-B 统计：经典粒子系统：粒子是可分辨的。
F-D 、B-E 统计：量子粒子系统：粒子是不可分辨的（全同性原理），要考虑自旋。
∑∑∑====lNi i l l lla U a N 1,εε，l a 是指一个能级上的粒子数。
因为是孤立系统：则有⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎭⎬⎫==∑∑000ll l ll a a U N δεδδδ约束条件。
因为是孤立系统，因而具有确定的粒子数N 、体积V 、总能U 。
五、等几原理：对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的几率相等用l a 来标记能级l ε上的粒子数，这样一组l a 称为一个粒子在不同能级上的分布，简称分布。
{}一种分布l l l l l a a a a a w w w w ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∆∆∆∆ 210210210210ττττεεεε每一个具体的分布则称为微观态。
!!!!lal l a l l l lBM a w N w a N l l∏=∏∏=Ω⋅)!(!!l l l l lD F a w a w -∏=Ω⋅!!)!()!1(!)!1(l l l l l l l l l lE B w a a w w a a w +∏≈--+∏=Ω⋅ 六、最可几分布：使得系统微观态数目取极大值的分布{}l a ，0ln =Ωδ，考虑拉格朗日不定乘子法：0=∑l a δα，0=∑l l a δεβ⎪⎩⎪⎨⎧----+=+==+EB B M D F e w a f ll l 1011δδβεα 当1>>αe （经典近似条件）时，l l e e βεαβεαδ++≈+，B M E B D F f f f ---→,llw a f =~ l ε能级一个量子态上的平均粒子数。
云南师范大学热力学统计物理期末复习讲解
各章知识点整理和复习第一章 热力学的基本定律知识点1、热力学第一定律dU dQ dW =+2、热力学第二定律3、热力学基本方程dU TdS pdV =-4、热力学第二定律的数学表述dU TdS pdV ≤-5、克劳修斯熵BRB A Ad Q S S T-=⎰，玻尔兹曼熵ln S k =Ω 6、熵增加原理。
复习题1、简述热力学第二定律及其统计解释。
参考：热力学第二定律的开尔文表述：热不可能全部转变为功而不引起其他变化。
热力学第二定律的克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。
或第二类永动机不可能。
热力学第二定律的微观意义是，一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性（或混乱度）增大的方向进行,系统对应的微观状态数增大，根据玻尔兹曼熵ln S k =Ω，因此系统的熵值增加，即熵增加原理。
2、简述熵增加原理及其统计解释。
参考：孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行。
根据玻尔兹曼熵公式ln S k =Ω，可知孤立系统中所进行的自然过程总是向着微观状态数（或混乱度）增大的方向进行。
第二章 均匀物质的热力学性质知识点1、基本热力学函数的全微分和麦氏关系的得出。
dU TdS pdV dH TdS Vdp dF SdT pdV dG SdT Vdp=-=+=--=-+ ()()()()()()()()S V S pT V T p T p V ST Vp SS pV T S V p T∂∂=-∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=-∂∂2、麦氏关系的应用。
2、气体的节流过程。
3、特性函数的应用。
4、热辐射（平衡辐射）的热力学结果，斯特方玻尔兹曼定律。
复习题1、写出焦汤系数的数学表达式，简述节流过程的特点；利用焦汤系数分析通过节流产生致冷效应、致温效应和零效应的原理。
（P57）2、证明能态方程T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。
参考：选T 、V 作为状态参量时，有V TU U dU dT dV TdS pdV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭V TS S dS dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 得： V T S S dU T dT T p dV T V ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦比较得： T TU S T p V V ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 将麦氏关系T V S p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭代入，即得T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭3、证明焓态方程p TH V V T p T ⎛⎫∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。
热力学复习知识点汇总
概 念 部 分 汇 总 复 习第一章 热力学的基本规律1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统其中所要研究的系统可分为三类孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。
2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。
3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。
4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡.5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。
6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。
7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。
8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。
9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。
绝热过程中内能U是一个态函数：A B UU W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式：Q W U U A B +=-；微分形式：W Q Ud d d +=11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：Vp U H ∆+∆=∆，与热力学第一定律的公式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。
12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。
13．定压热容比：ppT H C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=；定容热容比：V V T U C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= 公式：nR C C V p=-14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γTV ；const 1=-γγT p 。
热统期末知识点总结
热统期末知识点总结一、热力学基础知识1. 热力学系统：封闭系统、开放系统、孤立系统2. 热力学过程：等容过程、等压过程、等温过程、绝热过程3. 热力学第一定律：能量守恒定律4. 热力学第二定律：热力学不可逆定律5. 热力学第三定律：绝对零度不可达定律二、热力学状态方程1. 理想气体状态方程：PV=nRT2. 绝热方程：PV^γ=常数3. van der Waals方程：(P+a/V^2)(V-b)=RT三、热力学过程1. 等容过程：ΔU=Q，W=02. 等压过程：ΔU=Q-PΔV，W=PΔV3. 等温过程：Q=W，ΔU=04. 绝热过程：Q=0，ΔU=−W四、热力学循环1. 卡诺循环：由等温膨胀、绝热膨胀、等温压缩、绝热压缩四个过程组成的热力学循环2. 卡诺循环效率：η=1- T2/T13. 高效率循环：例如布雷顿循环、热力循环等五、熵和熵增原理1. 熵：系统的无序程度的度量2. 熵增原理：孤立系统的熵不会减少六、热力学定值1. 等温线：PV=常数2. 等容线：P/T=常数3. 等熵线：PV^(γ-1)=常数4. 绝热线：P*V^γ=常数七、不可逆循环1. 单级制冷机和热泵2. 制冷系数和制冷效率3. 制冷系统和热泵系统的效率八、传热1. 传热方式：导热、对流、辐射2. 热传导方程：Q=κAΔT/Δx3. 对流换热方程：Q=mcΔT4. 辐射换热：∈AσT^4九、热力学关系1. 准静态过程：在系统进行状态变化的过程中，系统每一瞬间的参数都可以近似看作平衡的过程2. 等压过程、等容过程、绝热过程的特点及实际应用3. 内能、焓、熵等热力学量的物理意义和计算公式十、热力学定律1. 卡诺定理：卡诺热机效率只与工作物质两个温度有关2. 克劳修斯不等式：任何两个热机无法达到或超过Carnot热机效率3. 热力学循环ΔS=0：卡诺循环4. 有用工作和抽取热5. 充分条件为ΔU=0十一、工程应用1. 蒸汽发动机2. 内燃机3. 空气压缩机总结：热态学是描述热力学性质以及热力学基本定律的一门学科，它研究热力学定态下物质的性质及其变化。
01热力学与统计物理大总结
01热力学与统计物理大总结热力学与统计物理总复习一、填空题1、理想气体满足的条件：①玻意耳定律?温度不变时，PV?C? ②焦耳定律?理想气体温标的定义P?T? ?在相同的温度和压强下③阿伏伽德罗定律，相等体积所含各种气体的物质的量相等，即n?V11等于kT ，即：axi2?kT22? 2、能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值???????kT。
广义能量均分定理：xi???x?ij?j?。
3、吉布斯相律：f?k?2??其中k是组元数量，?是相的数量。
4、相空间是2Nr 维空间，研究的是：一个系统里的N个粒子；?空间是2r 维空间，研究的是：1个粒子。
二、简答题1、特性函数的定义。
答：适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。
这个热力学函数即称为特性函数。
2、相空间的概念。
答：为了形象地描述粒子的力学运动状态，用q1,?,qr;p1,?,pr 共2r个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为?空间。
根据经典力学，系统在任一时刻的微观运动状态f 个广义坐标q1,q2,?,qf及与其共轭的f个广义动量p1,p2,?,pf在该时刻的数值确定。
以q1,?,qf;p1,?,pf共2f个变量为直角坐标构成一个2f维空间，称为相空间或?空间。
3、写出热力学三大定律的表达和公式，分别引出了什么概念？答：热力学第零定律：如果物体A和物体B各自与处在同一状态的物体C达到热平衡，若令A与B- 1 - 进行热接触，它们也将处在热平衡，这个经验事实称为热平衡定律。
即gA(PA,V A)?gB(PB,VB)，并引出了“温度T”这概念。
热力学第一定律：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不同形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量不变。
即dU?dQ?dW，并引出了“内能U”的概念。
热力学统计物理总复习知识点
热力学部分第一章 热力学的基本规律1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统其中所要研究的系统可分为三类孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统；闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统；开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。
2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。
3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。
4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡.5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。
6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。
7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。
8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。
9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。
绝热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -=10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式：Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d +=11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ∆+∆=∆，与热力学第一定律的公式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。
12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。
13．定压热容比：p p T H C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=；定容热容比：VV T U C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γTV ；const 1=-γγT p 。
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因只与P有关（P>0）,故对积分可得： ，， (s=L2) 3、证明： ，，并由此导出：
； 证明：……………………………⑴ 以为状态参量，将上式求对的偏导数，有 ……………⑵ 其中，第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系，由理 想气体的物态方程知，在不变时，是的线性函数，即，所以。这意味 着，理想气体的定容热容量只是温度的函数。在恒定温度下将式⑵积 分，得
三种情形。
对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的
平均值等于
。
（1）原子内的电子对气体的热容量没有贡献。（2）双原子分子的
振动在常温范围内对热容量没有贡献。（3）低温下氢的热容量所得
结果与实验不符。
28、为什么在熵和体积不变的情况下，平衡态的内能最小？
由热力学第二定律有： 可得：当S、V不变时，即dS=0，dV=0。 所以， 由此可见，在系统由非平衡态趋向平衡态的过程中，系统的内能一 直在减少。
…………………⑶ 同理式（2.2.8）给：…………………………………⑷ 以以为状态参量，将上式再求对的偏导数，有 ……………………⑸ 其中，第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系，由理 想气体的物态方程知，在不变时，是的线性函数，即，所以。这意味 着，理想气体的定容热容量只是温度的函数。在恒定温度下将式⑵积 分，得
因为在体积内，动量大小在-范围内的量子态数为：
，考虑到电子自旋在动量方向的投影有两个可能值。
因此，动量的平均值为： 由：可得，平均速率为： 四、推论题 1、设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’.粒子间的相互作用很 弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子 数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：和。 其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。
色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束；把可 分辨的全同近独立粒子组成，且处在பைடு நூலகம்个个体量子态上的粒子数不 受限制的系统称为玻耳兹曼系统。 联系：在满足经典极限条件>>1时，玻色（费米）系统中的近独立粒子 在平衡态遵从玻耳兹曼分布。
27、经典能量均分定理的内容是什么？举出不满足经典能量均分定理的
有用的电能，这是否违背热力学第二定律。 答：开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变为有用功而不 引起其他变化。由于地球表面和地球内部的温度不同，不是单一热源， 所以不违背热力学第二定律 26、简述玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统有什么区别和联系？ 区别：由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理；由玻
当系统达到平衡时，dU=0，内能取极小值。
29、什么是熵增加原理？
答：绝热过程中系统的熵永不减少。对于可逆绝热过程，系统的熵不
变。对不可逆绝热过程，系统的熵增加。或孤立系统的熵永不减少，这
个结论叫做熵增加原理。
二、计算题
1、已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布分布，其能量表达式为：
，其中是粒子常量，求粒子的平均能量。
解：应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所给能量表达式
中和两项都是的函数，不能直接将能量均分定理应用于项而得出的结
论。要通过配方将表达为
在上式中，仅第四项是的函数，又是平方项。由能量均分定理知
2、系统由N个无相互作用的线性谐振子组成. a)若其能量表达式为： 时，求系统的内能； b)若其能量表达式为：时，求系统的内能。解：a) 由能均分定理
19、吉布斯函数的定义及其物理意义 答：吉布斯函数定义为：。
吉布斯函数是一个态函数,它的变化可以用可逆的等温ֽ等压过程中的除 体积功以外的功来量度。 20、统计物理基本假设是什么？ 答：统计物理基本假设是就是等概率原理,即孤立系统平衡态时各种可
能的微观态出现的概率均等。 21、简述热力学平衡态 答：孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到 各种宏观性质长时间内不随时间变化的状态，这样的状态叫热力学平衡 态。 22、叙述自由能的定义及其物理意义 答：自由能的定义。
解：粒子A能级，粒子数分布：——{al}——简并度 粒子B能级，粒子数分布：——{a’l}——简并度
体系两种粒子分布要满足的条件为： ，
分布，对应的微观状态数为
分布，对应的微观状态数为
则系统的微观态数为 上式表明：当第一类粒子的分布为{al}，而同时第二类粒子的分布为{a’l}时系统的微观态数。 在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件， 下使为极大的分布。利用斯特林公式 可得： 由，得 而由限制条件可得： ， 引入拉氏不定乘子，得 根据拉格朗日未定乘子法原理，每个及的系数都等于零，所以得：
些结论与实验不符（至少例举三项）。 答：第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二、双原 子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没有贡献；第三、低温下氢 的热容量所得结果与实验不符。这些结果都要用量子理论才能解释。 7、写出玻耳兹曼关系，并据此给出熵函数的统计意义。 答：玻耳兹曼关系：S=klnΩ
=== （1）
由可得：
（2）
将（2）式代入（1）式可得： 证毕
因为：，所以：的增减取决于的增减。
方法二：由 可得：
2、 试证明，对于二维自由粒子，在长度L2内，在到的能量范围 内，量子态数
为。 证明：对于二维自由粒子，在体积元内的量子态数为：， 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为 。在面积内，动量大小在 到范围内，动量方向在到范围内，二维自由粒子的可能状态数为：的
自由能是个态函数，它的变化可以用可逆等温过程中的功来量度。 23、简述等概率原理的基本内容 答：孤立系统处于平衡态时，所有可能出现的微观态的概率均相等。 24、玻耳兹曼关系及其物理意义 ，系统愈趋于平衡态，微观态数愈多，熵越大，因此熵是混乱度的量
度。
25、写出热力学第二定律的开尔文表述内容。有人利用地球表面和地球 内部温度不同，做一个热机来发电，称地热发电，把地球内部能量边为
答：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引 起其他变化。
开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变为有用功而不 引起其他变化。 12、写出等概率原理的内容。
答：处于平衡态的孤立系统，各个可能的微观状态出现的概率是相 等的。 13、热力学第二定律的两种表述及其数学表达式。
答：（开尔文表述）不可能制造出这样一种循环工作的热机， 它只使单一热源冷却来做功，而不放出热量给其他物体，或 者说不是外界发生任何变化。 （克劳修斯表述）不可能把热量从低温物体自动传到高温物体而不引 起外界的变化。用数学式表示为：。 14、简述等概率原理 答：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概 率是相等的。该原理是统计物理中一个基本的假设。 15、什么是能量均分定理？ 答：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中的每一个平 方项的平均值等于。这是根据经典玻耳兹曼分布导出的一个重要定理。 16、什么是微观粒子的全同性原理？ 答：该原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统 中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。 17、写出玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统分布{ al }的表 达式 答：三个系统的分布{ al }的表达式分别为： 玻耳兹曼系统：；玻色系统：费米系统： 18、简述卡诺定理的内容。 答：卡诺定理指出：所有工作于同样高温热源和低温热源的卡诺机，以 可逆的卡诺机的效率为最大，。
b) , ,
讨论：高温极限和低温极限。 3、试求双原子分子理想气体的振动熵。
解：双原子分子理想气体的振动配分函数：
引入 ，得： 三、证明题 1、试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等 压下温度随体积的增减。
证明：等压过程中熵随体积的变化率为：，温度随体积的变化率为：
方法一：由雅可比行列式可得：
熵函数的统计意义：微观态数的多少反映系统有序程度的高低。微 观态数增加就是有序程度的降低或是混乱程度增加，相应地熵增加；反 之，微观态数减少就是有序程度的增加或混乱度减少，相应地熵减 少。“熵是度量系统有序程度的量”有了明确定量意义。
8、 简述开系、闭系以及孤立系的定义。 答：热力学研究的对象是由大量微观粒子（分子或其它粒子）组成 的宏观物质系统。与系统发生相互作用的其它物体成为外界。根据系统 与外界相互作用的情况，可以作以下区分：与其它物体既没有物质交换 也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界有能量交换，但没有物质交 换的系统称为闭系；与外界极有能量交换，又有物质交换的系统称为开 系。 9、判断孤立系统是否处于平衡态的基本原则以及熵判据。 答：基本原则：可以设想系统围绕该状态发生各种可能的虚变动， 而比较由此引起热力学函数的变化，根据热力学函数处在平衡态时的性 质来判断系统的状态 。 熵判据：孤立系统中发生的任何宏观过程，都朝着使系统的熵增加的方 向进行。如果孤立系统已经达到了熵为极大的状态，就不可能再发生任 何宏观的变化，系统就达到了平衡态。 因此孤立系统/处在稳定平衡状态的必要和充分条件为：。 10、写出熵判据的內容。 答：孤立系统的熵永不减少，过程进行时熵增加，直到熵达到最大 值，系统处于平衡态。 11、试写出热力学第二定律的克氏表述和开氏表述内容.
4、气柱的高度为H，处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为，
证明：假设气体是单原子分子理想气体。重力场中分子的能量为： ，粒子的配分函数为： 其中 是气柱的截面积。气柱的内能为： 式中 气体的热容量为
5、试求绝对零度下金属电子气体中电子的平均速率。
解：由 可得时电子的分布。
，
，
其中是费米能级，是费米动量。
讨论： （1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的，不同，但有共同的，原 因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交 换能量，但不会相互转化。从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到