高二数学学案离散型随机变量的均值与方差习题课
离散型随机变量的均值与方差复习课(一)(教案)
离散型随机变量的均值与方差复习课（一）【教学目标】1.熟练掌握离散型随机变量的均值和方差的求法，提高应用离散型随机变量的均值和方差概念解决问题的能力.2.自主学习，合作交流，探究并归纳总结离散型随机变量的均值和方差的应用规律及方法.3.激情投入，高效学习，体验探究、归纳、总结的过程，增强应用数学的能力【教学重难点】离散型随机变量的均值和方差的概念及其应用【教学过程】一、预习自学：【预习自测】1.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。
如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值为____0.7______2. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数X的均值为__3.5___,方差为____2.92___.3. 已知ε～B(n，p)，E(ε)=8，D(ε)=1.6，则n与p的值分别是____10______0.8________二、合作探究探究点一：均值和方差在实际中的应用例1.产量相同的2台机床生产同一种零件，他们在一小时内生产出的次品数X 1，X 2的分布列分别如下：试问哪台机床更好？请解释你得出结论的实际含义 解：11.032.023.014.00)(1=⨯+⨯+⨯+⨯=X E9.02.025.013.00)(2=⨯+⨯+⨯=X E因为第2台机床生产零件的平均次品数E(X 2)小于第1台机床生产零件的平均次品数E(X 1),所以第2台机床更好，其实际含义是随着产量的增加，第2台机床生产的次品数要比第1台生产的次品数小.拓展：某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。
买股票的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。
若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。
如果存入银行，假设年利率为8%（不考虑利息可得税），可得利息8000元。
又假设经济形势好、中、差的概率分别为30%，50%，20%。
高二数学学案离散型随机变量的均值与方差习题课2014.5.26
自我把握
【回顾引入】
一、知识回顾 1、定义：若离散型随机变量 X 的分布列为： x1 x2 … … xi X
P
xn pn
. 回顾知识
p1
p2
… , DX
pi
…
则 EX
E (aX b) 2、 性质：
D(aX b) ．
．
3、常见分布： （1）单点分布： EX （2）两点分布： EX （3）二项分布： EX
2
【当堂达标】
自我总结
1． 一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球， 从中同时取 出 2 个，则其中含红球个数的数学期望是 ( C ) 6 2 3 7 A. B. C. D. 5 5 5 5 2．已知 X～B(n，p)，且 E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，则 n、p 的值为 ( D ) 课下检验 A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1 3．设一随机试验的结果只有 A 和 A ，且 P(A)＝m，令随机变量 1 0
X＝
A发生
A．m C．m(m－1) D．m(1－m) 4． 设随机变量的分布列如表所示且 Eξ ＝1.6， 则 a－b＝ ( C) ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4
A不发生 B．2m(1－m)
，则 DX＝(
A
)
【反思﹒提升】 【作业】
1
例 2．盒中装有 5 节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池， 现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题： (1)若直到取到好电池为止，求抽取次数 X 的分布列及均值； (2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验 5 次取到好电池个数 Y 的数学期望．
高二数学(离散型随机变量的均值)学案
江苏省淮安中学高二数学《离散型随机变量的均值》学案教学目标：1、理解取有限值的离散型随机变量的均值的概念和意义； 2、能计算简单离散型随机变量的均值并能解决一些实际问题。
教学重点：离散型随机变量的均值的概念 教学难点：离散型随机变量的均值的计算 教学过程：甲、乙两人生产同一种产品，在相同条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下：如何比较甲、乙两个工人的技术？ 离散型随机变量X 的均值（数学期望）： 作用： 步骤： 性质：巩固练习：67P 1、3例1：高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。
某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望。
课堂练习：67P 2例2：从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X 的数学期望E （X ）。
课堂练习：67P 4例3：在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券一张，可获价值50元的奖品；有二等奖券三张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖。
某顾客从此10张券中任抽2张，求： （1） 该顾客中奖的概率（2） 该顾客获得的奖品总价值X （元）的概率分布列和期望E （X ）例4：已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品。
需要从中抽取出2个正品，每次取出 一个，取出后不放回，直到取出两个正品为止。
设X 为取出的个数。
求X 的分布列及E （X ）。
课堂总结：（1）离散型随机变量X 的均值的概念、求法、性质 （2）几个特殊分布的均值。
学案2：§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布基础知识过关 知识梳理1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为＝ 为随机变量型随机变量取值的 ．(2)D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的_______________，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝ ；(2)D (aX ＋b )＝ (a ，b 为常数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差4(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x )＝12π·σe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)． (2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线 对称；③曲线在 处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定， ，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中； ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 5．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x (即x ＝a ，x ＝b ，正态曲线及x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)． (2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ<X <μ＋σ)＝ ； ②P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝ ； ③P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝ . 诊断自测 1．概念思辨(1)随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可以是负数．( )(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( ) 2．教材衍化 (1)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A.73B ．4C ．－1D ．1(2)正态分布密度函数为φμ，σ(x )＝18πe －x 28 ，x ∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别为( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和2 3．小题热身(1)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%(2)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75 经典题型闯关题型1 与二项分布有关的期望与方差典例 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种，方案a ：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a 、b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所获奖金的期望； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？ 方法技巧与二项分布有关的期望、方差的求法1．求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (aξ＋b )，同样还可求出D (aξ＋b )． 冲关针对训练一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．题型2 离散型随机变量的均值与方差 角度1 求离散型随机变量的均值与方差典例 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．角度2 均值与方差的应用问题典例 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？方法技巧1．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．2．由均值与方差情况求参数问题的求解思路先根据题设条件将均值、方差用待求参数表示，再由已知均值与方差构建关于参数的方程(组)，然后求解．3．利用均值、方差进行决策的方法：均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两个随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，方差越小，则偏离均值的平均程度越小，进而进行决策．提醒：均值E(X)由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值的平均水平．冲关针对训练某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？题型3正态分布典例在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544) A．2386 B．2718 C．3413 D．4772条件探究若将本典例中条件“曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线”变为“曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线”，则结果如何？方法技巧正态分布下两类常见的概率计算1．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．冲关针对训练从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )． 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)＝0.9544.真题模拟闯关1．已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1，2.若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)2．设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)3．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102)，则用电量在320度以上的户数约为()(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%)A．17 B．23 C．34 D．464．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.参考答案基础知识过关知识梳理1．(1) x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n 平均水平(2)平均偏离程度2．(1)aE (X )＋b (2)a 2D (X ) 3． p np p (1－p ) np (1－p )4．(2)②x ＝μ③x ＝μ⑥σ越小 σ越大 5．(2) ①0.6826②0.9544③0.9974 诊断自测1．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化 (1)【答案】 A【解析】 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.故选A.(2)【答案】 C【解析】 根据已知条件可知μ＝0，σ＝2，故选C. 3．小题热身 (1)【答案】 B【解析】 P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6<ξ<6)＝95.44%，则P (3<ξ<6)＝12×(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B. (2)【答案】 B【解析】 设涂0个面的小正方体有x 个，涂1个面的小正方体有y 个，涂2个面的小正方体有z 个，涂3个面的小正方体有w 个，则有0·x ＋1·y ＋2·z ＋3·w ＝25×6＝150， 所以E (X )＝0·x 125＋1·y 125＋2·z 125＋3·w 125＝150125＝65.故选B.经典题型闯关题型1 与二项分布有关的期望与方差典例 解：(1)按方案a 抽奖一次，获得奖金的概率P ＝C 22C 25＝110.顾客A 只选择方案a 进行抽奖，则其可以按方案a 抽奖三次． 此时中奖次数服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫3，110. 设所得奖金为w 1元，则E (w 1)＝3×110×30＝9.即顾客A 所奖资金的期望为9元．(2)按方案b 抽奖一次，获得奖金的概率P 1＝C 23C 25＝310.若顾客A 按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次，则由方案a 中奖的次数服从二项分布B 1⎝⎛⎭⎫2，110，由方案b 中奖的次数服从二项分布B 2⎝⎛⎭⎫1，310， 设所得奖金为w 2元，则E (w 2)＝2×110×30＋1×310×15＝10.5.若顾客A 按方案b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B 3⎝⎛⎭⎫2，310. 设所得奖金为w 3元，则E (w 3)＝2×310×15＝9.结合(1)可知，E (w 1)＝E (w 3)<E (w 2)．所以顾客A 应该按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次． 冲关针对训练解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”， A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X ～B (3,0.6)0.6)＝0.72. 题型2 离散型随机变量的均值与方差 角度1 求离散型随机变量的均值与方差典例 解：(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×( 14×23×34×23＋34×13×34×23 )＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×( 34×13×14×13＋14×23×14×13 )＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×( 34×23×34×13＋34×23×14×23 )＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14. 可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 角度2 均值与方差的应用问题典例 解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X 的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P (X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X 的分布列为(2)由(1)知P (3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n ＝19时，E (Y )＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040. 当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19. 冲关针对训练解：(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X 的分布列为(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n . 因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n ＜300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ， 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n . 所以n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 题型3 正态分布 典例 【答案】 C【解析】 由曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P (0<X ≤1)＝12×0.6826＝0.3413，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0.3413，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.3413×10000＝3413.故选C.条件探究 解：对于正态分布N (－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P (－3<X ≤1)－P (－2<X ≤0)]＝12×[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.13591＝0.1359，投入10000个点，落入阴影部分的个数约为10000×0.1359＝1359. 冲关针对训练解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题意知X ～B (100,0.6826)，所以E (X )＝100×0.6826＝68.26. 真题模拟闯关 1．【答案】 A【解析】 ∵E (ξ1)＝0×(1－p 1)＋1×p 1＝p 1， 同理，E (ξ2)＝p 2，又0<p 1<p 2， ∴E (ξ1)<E (ξ2)．D (ξ1)＝(0－p 1)2(1－p 1)＋(1－p 1)2·p 1＝p 1－p 21， 同理，D (ξ2)＝p 2－p 22.D (ξ1)－D (ξ2)＝p 1－p 2－(p 21－p 22)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)．∵0<p 1<p 2<12，∴1－p 1－p 2>0，∴(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)<0. ∴D (ξ1)<D (ξ2)．故选A. 2．【答案】 C【解析】 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错误；P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错误；当t 为任意正数时，由题图可知P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )，∴P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，故C 正确，D 错误．故选C. 3．【答案】 B【解析】 P (ξ>320)＝12×[1－P (280<ξ≤320)]＝12×(1－95.44%)＝0.0228，0．0228×1000＝22.8≈23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B. 4．【答案】 1.96【解析】由题意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.。
北师大版数学高二学案 离散型随机变量的均值与方差(一)
2.5 离散型随机变量的均值与方差(一)[学习目标] 1.通过实例理解离散型随变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一 离散型随机变量的均值或数学期望一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n ，则EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 叫作这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．思考 某商场要将单价分别为18元/kg 、24元/kg 、36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？答 由于平均在每1 kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是12 kg 、13 kg 和16 kg ，所以混合糖果的合理价格应该是18×12＋24×13＋36×16＝23(元/kg)．这里的23元/kg 就是混合糖果价格的均值． 知识点二 离散型随机变量的性质如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且P (X ＝x i )＝P (Y ＝ax i ＋b )，i ＝1,2,3，…，n .EY ＝E (aX ＋b )＝aEX ＋b . 思考 已知随机变量ξ的分布列为则x ＝________，P (1≤ξ答 x ＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3； P (1≤ξ<3)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.知识点三 两种常见的分布的数学期望1．如果随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则EX ＝np . 2．若随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则EX ＝nM N.题型一 利用定义求离散型随机变量的数学期望例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X 的数学期望． 解 取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135，故X 的分布列如下：∴EX ＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447(分)．反思与感悟 求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P (ξ＝k )；(3)写出分布列；(4)利用计算公式计算Eξ.跟踪训练1 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的分布列和数学期望EX .解 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”， 故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126.{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363；于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的分布列如下表：因此随机变量X 的数学期望 EX ＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.题型二 二项分布、超几何分布的数学期望例2 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设每局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827， P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0,1,2,3. 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19.∴X 的分布列为∴EX ＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.反思与感悟 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键． 二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的； (2)每次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； (4)随机变量ξ是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．跟踪训练2 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．解 (1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24(23)2(13)2＝827.(2)方法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4， 依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4(23)k (13)4－k(k ＝0,1,2,3,4)． ∴ξ的分布列为∴Eξ＝0×181＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.方法二 ∵ξ服从二项分布，即ξ～B (4，23)，∴Eξ＝4×23＝83.题型三 离散型随机变量均值的应用例3 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35， P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615，故所求的分布列为数学期望为EX ＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.反思与感悟 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应数学期望． 跟踪训练3 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求η的分布列及期望Eη.解 (1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A 的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为A ，则 P (A )＝0.63＝0.216， ∴P (A )＝1－P (A )＝0.784.(2)由题意可知η可以取200,250,300，分布列如下∴Eη＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( ) A ．0.6 B ．1 C ．3.5 D ．2答案 C解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以，Eξ＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.2．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且Eξ＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.64答案 C解析 ∵ξ～B (n,0.6)，Eξ＝3，∴0.6n ＝3，即n ＝5.故P (ξ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k(k ＝0,1,2，…，300)，则EX ＝________. 答案 100解析 由P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k ， 可知X ～B (300，13)，∴EX ＝300×13＝100.4．A.B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1.A 2.A 3，B 队队员是B 1.B 2.B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：X ，Y .(1)求X ，Y 的分布列；(2)求EX ，EY . 解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P (X ＝0)＝13×35×35＝325； 根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875；P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325.X 的分布列为Y 的分布列为(2)EX ＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X ＋Y ＝3，所以EY ＝3－EX ＝2315.。
人教A版选修2-32.3.3离散型随机变量的均值与方差习题课.docx
选修2-3 2.3.3 离散型随机变量的均值与方差习题课一、选择题1．已知随机变量X 的分布列是X 1 2 3 P0.40.20.4则E (X )和D (X )分别等于( ) A ．1和0 B ．1和1.8 C ．2和2 D ．2和0.8[答案] D[解析] E (X )＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2D (X )＝(2－1)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(2－3)2×0.4＝0.8. 2．已知随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P715715115且η＝2X ＋3，且E (η)等于( ) A.35B.65 C.215 D.125[答案] C[解析] ∵E (X )＝0×175＋1×715＋2×115＝35，∴E (η)＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝215.3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6[答案] B[解析] ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2＝65.4．已知X 的分布列为X 1 2 3 4 P14131614则D (X )的值为( ) A.2912 B.121144 C.179144D.1712[答案] C[解析] ∵E (X )＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，E (X 2)＝12×14＋22×13＋32×16＋42×14＝8512，∴D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝179144. 5．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316若η＝2X ＋2，则D (η)的值为( ) A ．－13B.59C.109D.209[答案] D[解析] E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59， ∴D (η)＝D (2X ＋2)＝4D (X )＝4×59＝209.6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数，则随机变量X 的方差为( )A.65B.1825C.625D.18125[答案] B[解析] 由X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，∴D (X )＝3×25×35＝1825. 7．已知X 服从二项分布B (n ，p )，且E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n 、p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1 [答案] B[解析] 由E (3X ＋2)＝3E (X )＋2，D (3X ＋2)＝9D (X )，及X ～ B (n ，p )时E (X )＝np .D (X )＝np (1－p )可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3np ＋2＝9.29np (1－p )＝12.96∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6p ＝0.48．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数 7 8 9 10 频数5555乙的成绩环数 7 8 9 10 频数6446丙的成绩环数 7 8 9 10 频数4664s 1、s 2、s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( ) A ．s 3>s 1>s 2 B ．s 2>s 1>s 3 C ．s 1>s 2>s 3 D ．s 2>s 3>s 1[答案] B[解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5. s 1＝120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2] ＝2520.同理，s 2＝2920，s 3＝2120， ∴s 2>s 1>s 3，故选B. 二、填空题9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X ，则D (X )等于________．[答案] 0.196[解析] 由题意知，随机变量服从二项分布，所以D (X )＝npq ＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 10．(2010·福州)设有m 升水，其中含有n 个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X ，则E (X )＝________.[答案]nm[解析] 设A ＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P (A )＝1m ，∴P (X ＝k )＝P n (k )＝C k n (1m )k (1－1m )n －k (k ＝0,1,2,3，…，n )，∴X ～B (n ，1m )． 则E (X )＝n ×1m ＝n m.11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．[答案] 48[解析] 设小王选对个数为X ，得分为η＝5X ， 则X ～B (12,0.8)，E (X )＝np ＝12×0.8＝9.6， E (η)＝E (5X )＝5E (X )＝5×9.6＝48. 12．若X 的分布列如下表：X 1 2 3 4 P14141414则D ⎝⎛⎭⎫14X ＝________. [答案]564[解析] E (X )＝14(1＋2＋3＋4)＝52，D (X )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－522＋⎝⎛⎭⎫2－522＋⎝⎛⎭⎫3－522＋⎝⎛⎭⎫4－522 ×14＝54， ∴D ⎝⎛⎭⎫14X ＝116D (X )＝564. 三、解答题13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X 的数学期望(均值)．[解析] 由题意，可知X 的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A 为第一台机床不需照顾；事件B 为第二台机床不需照顾，事件C 为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P (X ＝0)＝P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝0.1×0.2×0.15＝0.003，P (X ＝1)＝P (A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.056，同上可得P (X ＝2)＝0.329，P (X ＝3)＝0.612，所以E (X )＝0×0.003＋1×0.056＋2×0.329＋3×0.612＝2.55台．14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．[解析] 考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B j )＝13，P (C k )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为： P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3) ＝6×12×13×16＝16.(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知η～B ⎝⎛⎭⎫3，13，且ξ＝3－η.所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827. 故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P1272949827ξ的均值E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23. 3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23. 即：P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫23k ⎝⎛⎭⎫133－k ，k ＝0,1,2,3. ξ 0 1 2 3 P1272949827ξ的均值E (ξ)＝3×23＝2.15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． [解析] (1)ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 P1212011032015∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2.又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求． 16．(2010·湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望(均值)．[分析] (1)由频率和为1，列式求出x 的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X ～B (3,0,1)，其中X ＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39＝1，解得x ＝0.12. (2)由题意知，X ～B (3,0.1)． 因此P (X ＝0)＝C 03×0.93＝0.729， P (X ＝1)＝C 13×0.1×0.92＝0.243， P (X ＝2)＝C 23×0.12×0.9＝0.027， P (X ＝3)＝C 33×0.13＝0.001. 故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.7290.2430.0270.001X 的数学期望为E (X )＝3×0.1＝0.3.[点评] 本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．。
离散型随机变量的均值+学案 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
课题：离散型随机变量的均值课型：新授课课程标准： 1.理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值2.掌握离散型随机变量均值的性质. 会求两点分布的均值；3.能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.学科素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算重点：掌握离散型随机变量均值的计算难点：利用离散型随机变量的均值，解决一些实际问题.教学过程：一、新知导入：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示X 7 8 9 10甲射中的概率0.1 0.2 0.3 0.4乙射中的概率0.15 0.25 0.4 0.2思考：如何比较甲乙两人射箭水平的高低？二、新知探究:离散型随机变量取值的平均值（数学期望）一般地，若离散型随机变量X的分布列为：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则为随机变量X的均值或数学期望，简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．三、典例分析例1 .在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?总结（两点分布）：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0 x (1-p) + 1 x p = p例2．抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值合作探究：设Y＝aX，或Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2） E(Y)=？离散型随机变量均值的运算性质：(1) E(X＋b)＝E(X)＋b，(2) E(aX)＝aE(X)，(3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b.例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表歌曲 A B C猜对的概率0.8 0.6 0.4获得公益基金额/元1000 2000 3000规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.例4 .根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元.方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水.方案3：不采取措施，希望不发生洪水.工地的领导该如何决策呢？四、课堂练习：课本66页1-3五、小结：1.离散型随机变量的数学期望：2.求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．3.离散型随机变量均值的运算性质：(1) E(X＋b)＝E(X)＋b，(2) E(aX)＝aE(X)，(3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b.课题：离散型随机变量的均值(2)课型：习题课课程标准： 1.理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值2.理解离散型随机变量均值的性质. 会求两点分布的均值；3.能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.学科素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算重点：掌握离散型随机变量均值的计算难点：利用离散型随机变量的均值，解决一些实际问题.教学过程：一、复习引入：1.离散型随机变量的数学期望2.求随机变量的均值一般步骤3.离散型随机变量均值的运算性质二、限时小练（10分钟）学导P48典例1,2及对点练清三、典例分析例1（学导P49典例3）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A、B两类问题。
2019-2020学年高中数学 离散型随机变量的均值与方差学案 新人教A版选修2-3.doc
2019-2020学年高中数学 离散型随机变量的均值与方差学案 新人教A 版选修2-3导学目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．自主梳理1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i … p n(1)均值称E (X )＝____________________________________为随机变量X 的均值或___________，它反映了离散型随机变量取值的____________．(2)方差称D (X )＝__________________________为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的______________，其________________________为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝____________.(2)D (aX ＋b )＝____________.(a ，b 为实数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝____，D (X )＝_____________________________. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝______，D (X )＝____________. 自我检测1．若随机变量X 的分布列如下表，则E (X )等于( )X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x xA.118B.19C.209D.9202．(2011·菏泽调研)已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.13．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4004．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.5．(2011·杭州月考)随机变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1 P a b c其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.探究点一 离散型随机变量的期望与方差例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝a ξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．变式迁移1 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X .(1)求随机变量X 的分布列；(2)求随机变量X 的数学期望和方差．探究点二 二项分布的期望与方差例2 (2011·黄山模拟)A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．变式迁移2 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．探究点三离散型随机变量期望与方差的应用例3购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 0000.999.元的概率为1－410(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．变式迁移3 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi(i＝1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．(1)写出ξ1、ξ2的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？1．若η＝a ξ＋b ，则E (η)＝aE (ξ)＋b ，D (η)＝a 2D (ξ)． 2．若ξ～B (n ，p )，则E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )． 3．求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝a ξ＋b 的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 bA.5 B ．6 C ．7 D ．82．设ξ～B (n ，p )，若有E (ξ)＝12，D (ξ)＝4，则n 、p 的值分别为( )A ．18，23B ．16，12C ．20，16D ．15，143．随机变量X 的分布列为X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 4．设掷1枚骰子的点数为ξ，则( )A ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.52B ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3512C ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.5 D ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝35165．(2011·成都调研)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ为“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A.89B.35C.25D.13 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x1 2 3P (ξ＝x ) ？ ！ ？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝____________.7．(2011·泰安模拟)设离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.8．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．10．(12分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．11．(14分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)．设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，对乙项目投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．(1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E (ξ1)、E (ξ2)； (2)当E (ξ1)<E (ξ2)时，求p 的取值范围．学案68 离散型随机变量的均值与方差自主梳理1．(1)x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 数学期望 平均水平 (2)∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 平均偏离程度 算术平方根D X 2.(1)aE (X )＋b (2)a 2D (X ) 3．(1)p p (1－p ) (2)np np (1－p ) 自我检测1．C 2.B 3.B 4.53解析 由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3P 112 13 512 16E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.5.59课堂活动区例1 解题导引 要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法．第(2)小题注意性质E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)的应用．解 (1)ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4 变式迁移1 解 (1)P (X ＝0)＝2A 33＝13；P (X ＝1)＝C 13A 33＝12；P (X ＝3)＝1A 33＝16.∴随机变量X 的分布列为X 0 1 3P 13 12 16(2)E (X )＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D (X )＝(1－0)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16＝1.例2 解题导引 (1)准确理解事件“甲类组”的含义，把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示；(2)第(2)小题首先判断随机变量ξ服从二项分布，再求其分布列和均值．解 (1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2， B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2. 依题意有P (A 1)＝2×13×23＝49，P (A 2)＝23×23＝49.P (B 0)＝12×12＝14，P (B 1)＝2×12×12＝12.所求的概率为P ＝P (B 0A 1)＋P (B 0A 2)＋P (B 1A 2) ＝14×49＋14×49＋12×49＝49. (2)ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，49. P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593＝125729，P (ξ＝1)＝C 13×49×⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝100243， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫492×59＝80243，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝64729.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 125729 100243 80243 64729数学期望E (ξ)＝0×125729＋1×100243＋2×80243＋3×64729＝43.变式迁移2 解 (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A .因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.(2)由题意可得，ξ的可能取值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“ξ＝2k ”等价于事件“该学生在上学路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)，所以P (ξ＝2k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k(k ＝0,1,2,3,4)．即ξ的分布列是ξ 0 2 4 6 8P 1681 3281 827 881 181所以ξ的期望是E (ξ)＝0×1681＋2×3281＋4×827＋6×881＋8×181＝83.例3 解题导引 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，投保人中出险人数ξ～B (104，p )，进而利用二项分布的有关性质求解．解 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B (104，p )．(1)记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ＝0，P (A )＝1－P (A )＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )104，又P (A )＝1－0.999104，故p ＝0.001. (2)该险种总收入为10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10 000ξ＋50 000. 盈利η＝10 000a －(10 000ξ＋50 000)，盈利的期望为E (η)＝10 000a －10 000E (ξ)－50 000，由ξ～B (104,10－3)知，E (ξ)＝10 000×10－3， E (η)＝104a －104E (ξ)－5×104＝104a －104×104×10－3－5×104. E (η)≥0⇔104a －104×10－5×104≥0 ⇔a －10－5≥0⇔a ≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．变式迁移3 解 (1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25， ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44. ξ1、ξ2的分布列分别为：ξ1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15ξ2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08(2)令A 、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件， P (A )＝0.15＋0.15＝0.3， P (B )＝0.24＋0.08＝0.32.可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大． (3)令η表示方案i 的预计利润，则η1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3η2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32所以E (η1)＝14.75，E (η2)＝14.1，可见，方案一的预计利润更大． 课后练习区1．C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1， ∴b ＝0.4.∴E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3. ∴a ＝7.]2．A [E (ξ)＝np ＝12，D (ξ)＝np (1－p )＝4.∴1－p ＝412＝13，∴p ＝23，∴n ＝18.]3．A [∵E (X )＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝11＋4＝15.]4．B [E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5，D (ξ)＝16[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2]＝3512.] 5．A [对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，ξ的可取值有0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29，E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.]6．2解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则 E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2. 7.110解析 离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)，所以(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1， 又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a ＋b ＝110.8.23解析 由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，∴E (X )＝2×13＝23. 9．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.(2分)P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 48(i ＝0,1,2,3,4)．(4分)即X 0 1 2 3 4P 170 835 1835 835 170(6分)(2)令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800,3 500.(8分)则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370.E (Y )＝3 500×170＋2 800×835＋2 100×5370＝2 280.(10分)所以此员工月工资的期望为2 280元．(12分)10．解 (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A ，乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.(2分)红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，(4分) 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(6分) (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.(8分)又由(1)知D E F ，D E F ，D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，(9分)因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.(11分) 所以ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.(12分) 11．解 (1)ξ1的概率分布为ξ1 1.2 1.18 1.17P 16 12 13E (ξ1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.(3分)由题设得ξ～B (2，p )，即ξ的概率分布为ξ 0 1 2P (1－p )22p (1－p ) p 2(5分)故ξ2的概率分布为ξ2 1.3 1.25 0.2P (1－p )22p (1－p ) p 2所以ξ2的数学期望是E(ξ2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(8分)(2)由E(ξ1)<E(ξ2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.因为0<p<1，所以，当E(ξ1)<E(ξ2)时，p的取值范围是0<p<0.3.(14分)。
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离散型随机变量的均值与方差习题课
【当堂达标】
1．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 ( C ) A.65 B.25 C.35 D.75 2．已知X ～B (n ，p )，且E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96，则n 、p 的值为 ( D )
A ．n ＝4，p ＝0.6
B ．n ＝6，p ＝0.4
C ．n ＝8，p ＝0.3
D ．n ＝24，p ＝0.1
3．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量 X ＝⎩⎨⎧
1 A 发生0 A 不发生
，则DX ＝( A )
A ．m
B ．2m (1－m )
C ．m (m －1)
D ．m (1－m )
4．设随机变量的分布列如表所示且Eξ＝1.6，则a －b ＝ ( C) ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B ．0.1 C ．－0.2 D ．－0.4 【反思﹒提升】 【作业】 P69页B 组1、2
【拓展﹒延伸】 A 组
1．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B (10,0.6)，则Eη，Dη分别是( A )
A ．6和2.4
B ．2和2.4
C ．2和5.6
D ．6和5.6
B 组
2．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2
5
，设X 为途中遇到红灯的次数，则=EX 6/5 ,DX = 2/3 . 3．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X ，则D (X )等于__0.2______． C 组
自我总结
课下检验。