矩形-菱形的性质及判定专项练习

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初中数学《平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定与性质证明题》专训40题含答案解析

八年级下学期【（特殊的）平行四边形的判定与性质30题专训】一．解答题（共40小题）1．（2023春•岳麓区校级月考）如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD 上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）在△ABC中，若AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，求BC边上的高AG．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，再得出AF＝EC，即可证明四边形AECF是平行四边形；（2）根据勾股定理求出AB的长，然后根据等积法求出BC边上的高AG即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴AF∥EC，∵BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，∴，∵，∴．2．（2022春•琼海期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．【分析】（1）①由平行线的性质得出∠OAD＝∠OCB，可证明△AOE≌△COF （ASA）；②证得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出OE＝OF，证出BE＝BF，由等腰三角形的性质得出∠OBF ＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，则可得出答案．【解答】（1）①证明：∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；②同理可证△AOD≌△COB，∴AD＝CB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∵EF⊥BD，∴BE＝BF，∴∠OBF＝∠OBE＝32°，∴∠EBF＝64°，∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．3．（2022春•吉林期中）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，延长EC至点F，使FC＝CE，过点D作DG∥BC（点G位于点D右侧），且DG＝2CF，连接FG．（1）求证：四边形DEFG 为平行四边形；（2）若AB ＝8，求FG 的长．【分析】（1）先证明DG ＝EF ，又DG ∥BC 即可得到结论；（2）先证明DE 是△ABC 的中位线，得到，由四边形DEFG 为平行四边形，即可得到答案．【解答】（1）证明：∵FC ＝CE ，DG ＝2CF ，∴DG ＝EF ，∵DG ∥BC ，∴四边形DEFG 为平行四边形．（2）解：∵D 、E 分别是边AC 、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴，∵四边形DEFG 为平行四边形，∴FG ＝DE ＝4．4．（2022春•云梦县期中）如图：△ABD ，△APE 和△BPC 均为直线AB 同侧的等边三角形，点P 在△ABD 内．（1）求证：四边形PEDC 为平行四边形；（2）当点P 同时满足条件：①PA ＝PB 和②∠APB ＝150°时，猜想四边形PEDC 是什么特殊的四边形，并说明理由；（3）若△APB 中，253===PB PA AB ，，，求四边形PEDC 的面积．【分析】（1）证明DE ＝PC ，PE ＝CD 即可；（2）根据正方形的判定解决问题即可；（3）过C 作CH 垂直EP 的延长线于H ，依据ED ＝CP ，EP ＝DC ，即可得出四边形PCDE 是平行四边形，由勾股定理的逆命定理证得∠APB ＝90°，求出∠EPC ＝150°，再由30°的直角三角形性质求出CH的长，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．【解答】（1）证明：∵△AEP，△DAB是等边三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴DE＝BP，∵PC＝PB，∴DE＝PC，同理PE＝CD，∴四边形PEDC是平行四边形；（2）解：此时四边形PEDC为正方形．理由：当PA＝PB时，∵PE＝PA，PC＝PB，∴PE＝PC，∵四边形PEDC是平行四边形，∴四边形PEDC是菱形．当∠APB＝150°时，∵∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，又∵四边形PEDC是菱形，∴四边形PEDC是正方形．（3）解；如图所示，过C作CH垂直EP的延长线于H，∵AB＝3，PA＝，PB＝2，∴PA2+PB2＝AB2，∴∠APB＝90°又∵∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPH＝30°，∵∠PHC＝90°，∴CH＝CP＝PB＝1，又PE＝PA＝，∴S平行四边形PEDC＝CH×EP＝1×＝．5．（2022春•灌南县期中）如图，在▱ABCD中，延长BC到点E，使得BC＝CE，连接AE、DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB＝AE＝5，BE＝4，求四边形ACED的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝CE，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得∠ACE＝90°，则平行四边形ACED是矩形，再由勾股定理得AC＝，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ACED是平行四边形，∵AB＝AE，BC＝CE＝BE＝2，∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°，∴平行四边形ACED是矩形，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝，∴矩形ACED的面积＝AC×CE＝＝2．6．（2022春•唐河县期中）如图，点B，E，F，D在同一条直线上，BE＝DF，AC交BD 于点O，AD∥BC，AE∥FC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若AE⊥AC，AE＝BE，BD＝16，EF＝10，求AC的长．【分析】（1）由AD∥BC得到∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，再证BF＝DE，得到△ADE≌△CBF，即可证明四边形ABCD是平行四边形，由此得证；（2）由AC与BD互相平分，得到OE与AE的长，结合AE⊥AC，即可算出AO，由此得到AC的长．【解答】（1）证明：连接AB，CD，∵BE＝DF，∴BF＝DE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE∥FC，∴∠AED＝∠CFB，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AD＝CB，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分；（2）解：∵AC与BD互相平分，∴，∵BE＝DF，∴，∴AE＝BE＝3，∵AE⊥AC，∴根据勾股定理得：，∴AC＝2AO＝8．。

矩形菱形的性质与判定(附加答案)

矩形菱形的性质与判定（附加答案）一．解答题（共30小题） 1．（2012•娄底）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 、Q 分别是BM 、DN 的中点．（1）求证：△MBA ≌△NDC ；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．2．（2010•泰州）如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB ，∠DEC=90°．（1）求证：AC ∥DE ；（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连接EF ，试判别四边形BCEF 的形状，并说明理由．3．（2010•肇庆）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若∠BOC=120°，AB=4cm ，求四边形ABCD 的面积．4．（2010•常州）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．5．（2008•南京）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD 是矩形．6．（2010•崇左）如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE=BF=CG=DH ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF=2cm ，求矩形ABCD 的面积．7．如图所示，BD ，BE 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线．AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E ，D 为垂足，求证：四边形AEBD 是矩形．8．如图，O 为△ABC 内一点，把AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接形成四边形DEFG ．（1）四边形DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG 是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．9．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE=CG ，AH=CF ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如果AB=AD ，且AH=AE ，求证：四边形EFGH 是矩形．10．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，F 为BA 延长线上的一点，AE 平分∠FAC ，DE ∥AB 交AE 于E ．（1）求证：AE ∥BC（2）求证：四边形AECD 是矩形；（3）BC=6cm ，，求AB 的长．11．（2012•西藏）如图，四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ．求证：AE=AF ．12．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC 的长；（2）求证：AM=DF+ME ．13．（2012•嘉兴）如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE ．（1）求证：BD=EC ；（2）若∠E=50°，求∠BAO 的大小．14．（2012•温州）如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．将△ABC 沿射线BC 方向平移10cm ，得到△DEF ，A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，连接AD ．求证：四边形ACFD 是菱形．15．（2012•聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．16．（2012•恩施州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．17．（2011•宁波）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．18．（2011•临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．19．（2011•济宁）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．20．（2011•恩施州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．21．（2011•常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．22．（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．23．（2010•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为AC的中点，以BD为折痕，将△BCD折叠，使得C点到达C1点的位置，连接AC1．求证：四边形ABDC1是菱形．24．（2010•徐州）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．25．（2010•温州）如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．26．（2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_________．27．（2002•广西）如图所示，DE是▱ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如果∠A=60°，AD=5，求菱形AEFD的面积．28．如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，求证：OE⊥DC．29．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，若AB=5，AC=8，BD=6．（1）求证：AC⊥BD．（2）求证：平行四边形ABCD是菱形．（3）四边形ABCD的面积．30．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG．（1）求证：四边形BCGD是菱形；（2）若BC=1，求DF的长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，在△MAB和△NDC中，∵，∴△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN 的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB．∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∴MP=BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB ，∴∠EDC=∠ACD，∴AC∥DE；（2）解：四边形BCEF是平行四边形．理由如下：∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，∴∠DEC=∠AFB=90°，DC=AB在△CDE和△BAF中，，∴△CDE≌△BAF（AAS），∴CE=BF，DE=AF（全等三角形的对应边相等），∵AC∥DE，即DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD=EF，∵AD=BC，∴EF=BC，∵CE=BF，∴四边形BCEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．3．（1）证明：∵∠1=∠2，∴BO=CO，即2BO=2CO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=OD，∴AC=2CO，BD=2BO，∴AC=BD ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：在△BOC 中，∵∠BOC=120°， ∴∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°， ∴在Rt △ABC 中，AC=2AB=2×4=8（cm ）， ∴BC=（cm ）． ∴四边形ABCD 的面积=4．证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BC ，AB=DE ，AE=BD ． ∵D 为BC 中点， ∴CD=BD ． ∴CD ∥AE ，CD=AE ． ∴四边形ADCE 是平行四边形． ∵AB=AC ，D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ，即∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE 是矩形．5．证明：（1）∵BE=CF ，BF=BE+EF ，CE=CF+EF ， ∴BF=CE ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC ．在△ABF 和△DCE 中，∵AB=DC ，BF=CE ，AF=DE ， ∴△ABF ≌△DCE ．（2）∵△ABF ≌△DCE ， ∴∠B=∠C ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ． ∴∠B+∠C=180°． ∴∠B=∠C=90°． ∴四边形ABCD 是矩形．6．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA=0B=OC=OD ， ∵AE=BF=CG=DH ， ∴AO ﹣AE=OB ﹣BF=CO ﹣CG=DO ﹣DH ，即：OE=OF=OG=OH ， ∴四边形EFGH 是矩形；（2）解：∵G 是OC 的中点， ∴GO=GC ， ∵DG ⊥AC ， ∴∠DGO=∠DGC=90°，又∵DG=DG ， ∴△DGC ≌△DGO ， ∴CD=OD ， ∵F 是BO 中点，OF=2cm ， ∴BO=4cm ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴DO=BO=4cm ， ∴DC=4cm ，DB=8cm ， ∴CB==4， ∴矩形ABCD 的面积=4×4=16cm 2．7．证明：∵BD ，BE 分别是∠ABC ，∠ABP 的平分线， ∴∠ABD+∠ABE=（∠ABC+∠ABP ）=90°．即∠EBD=90°．又∵AE ⊥BE ，AD ⊥BD ， ∴∠AEB=∠ADB=90°， ∴四边形AEBD 是矩形．8．解：（1）四边形DEFG 是平行四边形．理由如下： ∵D 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可证：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：连接OA；∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，∵四边形DEFG是矩形，∴DE⊥EF，∴OA⊥EF，∴OA⊥BC，即O点在BC边的高上且A和垂足除外．9．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．（2分）∴EH=GF．（1分）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）∴GH=EF．（1分）∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°﹣α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD﹣AH=CD﹣CG，即DH=DG．（1分）∴∠DHG=∠DGH=．（1分）∴∠EHG=180°﹣∠DHG﹣∠AHE=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）解法二：连接BD，AC．∵AH=AE，AD=AB，∴，∴HE∥BD，（1分）同理可证，GH∥AC，（1分）∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）10．解：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AE平分∠FAC，∴∠EAD=90°，∴AE∥BC；（2）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ADC=90°，∴四边形AECD是矩形；（3）∵BC=6cm，∴CD=3cm ， ∵，∴AD=4， ∴AB=AC==5，∴AB 的长是5cm ．11．证明：方法一：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠ABC=∠ADC ， ∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠ADC ，即∠ABE=∠ADF ， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB=∠AFD=90°，在△ABE 和△ADF 中，，∴△ABE ≌△ADF （AAS ）， ∴AE=AF ．方法二：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC=CD ， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴菱形ABCD 的面积=BC •AE=CD •AF ， ∴AE=AF ． 12．（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ， ∴∠1=∠ACD ， ∵∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2， ∴MC=MD ， ∵ME ⊥CD ， ∴CD=2CE ， ∵CE=1， ∴CD=2， ∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F 为边BC 的中点，∴BF=CF=BC ，∴CF=CE ，在菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ， ∴∠ACB=∠ACD ，在△CEM 和△CFM 中， ∵，∴△CEM ≌△CFM （SAS ），∴ME=MF ，延长AB 交DF 的延长线于点G ， ∵AB ∥CD ， ∴∠G=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠G ， ∴AM=MG ，在△CDF 和△BGF 中， ∵，∴△CDF ≌△BGF （AAS ）， ∴GF=DF ，由图形可知，GM=GF+MF ， ∴AM=DF+ME ．13．（1）证明：∵菱形ABCD ， ∴AB=CD ，AB ∥CD ，又∵BE=AB ，∴BE=CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°．14．证明：由平移变换的性质得：CF=AD=10cm，DF=AC，∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC===10，∴AC=DF=AD=CF=10cm，∴四边形ACFD是菱形．15．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形．16．证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF是菱形．17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=AB，DF=CD．∴BE=DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴DE=BE，∵四边形DFBE是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．18．证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠DAC=∠FAC，∵∠B+∠BCA=∠FAC，∴∠B=∠FAC，∴∠B=∠FAD，∴AD∥BC，∴∠D=∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD；（2）∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB（AAS），∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形20证明：∵AC=AD，AF是CD边上的中线，∴∠AFC=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°，∵∠ACF+∠PCA=90°，∴∠PCA=∠CAF，∴PC∥AQ，同理：AP∥QC，∴四边形APCQ是平行四边形．∵AF∥CP，AE∥CQ，∴∠EPC=∠PAF=∠FQC，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴CE=BE=CB（等腰三角三线合一），∵AF是CD边上的中线，∴CF=CD，∵CB=DC，∴CE=CF，∵PC⊥CD，QC⊥BC，∴∠ECP+∠PCQ=∠QCF+∠PCQ=90°，∴∠PCE=∠QCF，∴△PEC≌△QFC（AAS），∴PC=QC，∴四边形APCQ是菱形．．21．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）22．（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠FEA=∠CAE ，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA．在△AEC和△EAF中，∵∴△AEC≌△EAF（AAS），∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=AB，∵DE垂直平分BC，∴∠BDE=90°∴∠BDE=∠ACB∴ED∥AC又∵BD=DC∴DE是△ABC的中位线，∴E是AB的中点，∴BE=CE=AE，又∵AE=CE，∴AE=CE=AB，又∵AC=AB，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．23．证明：∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°∴BA=AC．又∵BD是斜边AC的中线，∴BD=AD=AC=CD．∴BD=AB=CD，∴∠C=∠DBC=30°，∵将△BCD沿BD折叠得△BC1D，∴△CBD≌△C1BD，∴CD=DC1，∴AB=BD=DC1，∴∠C1BA=∠BC1D=30°，∴BA∥DC1，DC1=AB，∴四边形ABDC1为平行四边形，又∵AB=BD，∴平行四边形ABDC1为菱形．24．证明：（1）∵CE∥BF，∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；又∵D是BC的中点，即BD=DC，∴△BDF≌△EDC；（AAS）（2）∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；又∵BD=DC，∴AD⊥BC（三线合一），由（1）知：△BDF≌△EDC，则DE=DF，DB=DC；∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．25．证明：（1）在▱ABCD 中，BC∥AF ，∴∠1=∠F，∵BE=BP，∴∠E=∠1，∴∠E=∠F；（2）∵BD∥EF，∴∠2=∠E，∠3=∠F，∵∠E=∠F，∴∠2=∠3，∴AB=AD，∴▱ABCD是菱形．26．（1）证明：∵矩形ABCD，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OD，∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∴四边形AODE是菱形．（2）解：∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴平行四边形AODE是矩形．故答案为：矩形．27．（1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD，∴四边形DAEF是平行四边形．∵∠2=∠AED，∠1=∠2，∴∠AED=∠1．∴AD=AE．∴四边形AEFD是菱形．（2）解：∵∠A=60°，∴△AED为等边三角形．∴DE=5，连接AF 与DE相交于O，则EO=．∴OA==．∴AF=5．∴S菱形AEFD=AF•DE=．28．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵ABCD是矩形，∴OC=OD．∴四边形OCED是菱形，∴OE⊥CD．29．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=AC，BO=BD，∵AC=8，BD=6，∴AO=4，BO=3，∵32+42=52，∴AO2+BO2=AB2，∴∠AOB=90°，（2）∵CA⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）四边形ABCD的面积为：AC•BD=×8×6=24．30．（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，∴∠CFD=90°．∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°．在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，∴Rt△AEC≌Rt△DFC．∴CE=CF．∴DE=AF．而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，∴Rt△AFG≌Rt△DEG．∴GF=GE；（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，∴CE=AC=CD，∴CE=ED ．∴BC=BD=1．又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，∴BE=BC=BD=，在直角三角形ABC中，∠A=30°，则AB=2BC=2．则AE=AB﹣BE=，∵Rt△AEC≌Rt△DFC，∴DF=AE=．。

矩形菱形的性质及判定专项练习

矩形，菱形的性质及判定专项练习）在下列命题中，真命题是（ 1. Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形面积为24cm, 那么这个菱形的周长为______________, 已知菱形的两条对角线长为2.10cm和A_______________. B那度角, 的长方形纸条叠放在一起3.将两张长10cm宽3cm, 使之成60M________________. 么重叠部分的面积的最大值为NO那么两条对角线长度之和为40, 80, 周长为4.一个菱形面积为__________. DC___________. 那么这个特殊四边形是得到一个菱形. 5.顺次连接一个特殊四边形的中点,：BE=1，BC，CE⊥BDOE：，6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点OOF⊥AD BD 的长。

OF=4，求∠ADB的度数和3，EOBC F，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。

是MBC的中点，且MA⊥MD如图所示，矩形7.ABCD中，，，如图，若AB=2重合，得折痕，再折叠使折叠矩形纸片8.ABCD，先折出折痕BDAD边与对角线BDDG 。

BC=1，求AG DCEBAG，，FEABCD如图，9.已知：平行四边形的四个内角的平分线分别相交于点G，EFGH，求证：四边形是矩形。

H页6 共页1 第，矩上一点，，且上一点，10.如图，在矩形中，是是cm2EF?CE,DE?CEABCD?EFEABADF与的长．形的周长为，求CF16cmABCDAE平移后的三角形，其平移的方（1），画出△AOB如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，11.外还有哪（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长。

一种特殊的平行四边形？并给出证明。

CEF°，求∠CD和上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15ABCD12.如图所示，已知菱形中，E、F分别在BC 的度数。

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定(含答案)

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定基础题1. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝C D.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A. AB∥CDB. AD＝BCC. ∠A＝∠BD. ∠A＝∠D2. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第2题图3. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等4. (2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a 个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()第4题图A. 1B. 2C. 3D. 45. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. 对角线BD的长度减小C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变第5题图6. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，EF＝2，BD＝8，则该菱形的面积为()第6题图A. 12B. 16C. 20D. 327. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则ABBC＝()A. 12 B.3－12 C.32 D.33第7题图8. (2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝()第8题图A. 45°＋12α B. 45°＋32αC. 90°－12αD. 90°－32α 9. (2023河北)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形AMEF .若S 正方形AMEF ＝16，则S △ABC ＝( ) A. 4 3 B. 8 3 C. 12 D. 16第9题图10. [新考法—条件开放](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ⊥BD 于点O .请添加一个条件：________，使四边形ABCD 成为菱形．第10题图 11. (2023怀化)如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE ⊥AD 于点E ，PE ＝3.则点P 到直线AB 的距离为________．第11题图12. (2023绍兴)如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝40°，连接AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E ，连接CE ，则∠AEC 的度数是________．第12题图13. (2023河南)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN ＝AB ＝1.当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为________．14. [新考法—条件开放](2023十堰)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点B ，C 为圆心，12AC ，12BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP ，CP . (1)试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形？第14题图15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE ＝DF ，连接AE ，CF ，EH ⊥CF 于点H ，FG ⊥AE 于点G .(1)判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；(2)若AE ＝5，tan ∠DAE ＝2，EG ＝2GF ，求AG 的长．第15题图拔高题16. (2022青羊区模拟)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α，β，将菱形的“接近度”定义为|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．第16题图①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为________；②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．课时2基础题1. (2023湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°第1题图2. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC 中点，则EF的长为()第2题图A. 3B. 4C. 5D. 63. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4 cm，则剪下来图形的周长为()第3题图A. 4 cmB. 4 2 cmC. 16 cmD. 16 2 cm4. (2022青岛改编)如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形．若AB ＝2，则OE 的长度为________．第4题图5. [新考法—数学文化](2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为点F ，G ，则EF ＋EG ＝________.第5题图6. (2023天津)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA ＝ED ＝52.第6题图(1)△ADE 的面积为________；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．7. (2023内江)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交CE 的延长线于点F .(1)求证：F A ＝BD ；(2)连接BF ，若AB ＝AC ，求证：四边形ADBF 是矩形．第7题图8. (2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；(2)当CD＝4时，求EG的长．第8题图拔高题9. (2023绍兴改编)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E 在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.当E，F，O三点重合时，当点E，F分别为OB，OD的中点时，当E，F分别运动到B，D两点时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()第9题图A. 菱形→平行四边形→矩形B. 菱形→矩形→菱形C. 平行四边形→矩形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形10. (2023武侯区二诊节选)如图①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与点A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与点C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G.(1)求证：PE∥FG；(2)如图②，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值．图①图②第10题图参考答案与解析1. C2. C 【解析】∵正方形的边长为3，∴DC ＝BC ＝3，DC 与BC 分别垂直于y 轴和x 轴．∵点C 在第一象限，∴点C 的坐标为(3，3).3. D 【解析】如解图，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12 AC ，FG ＝12BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第3题解图4. B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形，当CD ＝CE ＝4时，▱ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.5. C 【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确，∵向左扭动框架，∴BD 的长度减小，故B 正确；∵平行四边形ABCD 的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD 的面积变小，故C 错误；∵平行四边形ABCD 的四条边长度不变，∴四边形ABCD 的周长不变，故D 正确．6. B 【解析】如解图，连接AC ，∵点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2EF ＝4.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴S 菱形ABCD ＝12 AC ·BD ＝12×4×8＝16.第6题解图7. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∠ABC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB .∵∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12 ∠AOB ＝30°，∴AB BC ＝tan ∠ACB ＝tan 30°＝33. 8. D 【解析】∵四边形ABCD 和四边形BGHF 是完全相同的菱形，∴∠DBE ＝∠BAD ＝α，AB ＝AD ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠CBE ＋∠DBE ＝β＋α.∴∠ADB ＝∠ABD ＝β＋α.∵∠BAD ＋∠ADB ＋∠ABD ＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－32α. 9. B 【解析】∵S 正方形AMEF ＝16，∴AM ＝4.∵M 是斜边BC 的中点，∴AM 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴BC ＝2AM ＝8.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2 ＝43 ，∴S △ABC ＝12 AB ·AC ＝12×4×43 ＝83 . 10. AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】当AD ∥BC ，AD ＝BC 时，四边形ABCD 为平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．11. 3 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠AFP .∵AP ＝AP ，∴△AEP ≌△AFP (AAS)，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第11题解图12. 10°或80° 【解析】如解图，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E 和E ′.在菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BAC ，∵∠DAB ＝40°，∴∠DAC ＝20°.∵AC ＝AE ，∴∠AEC ＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE ′＝AC ，∴∠AE ′C ＝∠ACE ′＝10°.综上所述，∠AEC 的度数是10°或80°.第12题解图 13. 2或2 ＋1 【解析】分两种情况，①当∠DNM ＝90°时，如解图①，则MN ∥AB ，∴AN BM＝AD BD.∵M 是BD 的中点，∴BD ＝2BM ，∴AD ＝2AN ＝2；②当∠DMN ＝90°时，如解图②，连接BN ，∵M 是BD 的中点，∠DMN ＝90°，∴BN ＝DN ＝AB 2＋AN 2 ＝12＋12 ＝2 ，∴AD ＝2 ＋1.综上所述，AD 的长为2或2 ＋1.图①图②第13题解图14. 解：(1)四边形BPCO 为平行四边形．理由如下：由作法得，BP ＝12 AC ，CP ＝12BD ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OC ＝12 AC ，OB ＝12BD, ∴OC ＝BP ，OB ＝CP ,∴四边形BPCO 为平行四边形．(2)当▱ABCD 的对角线垂直且相等时，四边形BPCO 为正方形．理由：∵AC ⊥BD ，∴四边形BPCO 为矩形，∵AC ＝BD ，∴OB ＝OC ，∴四边形BPCO 为正方形．15. 解：(1)四边形EGFH 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AD －DF ＝BC －BE ，∴AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ∥CF ，∴∠AEH ＋∠FHE ＝180°.∵EH ⊥CF ，FG ⊥AE ，∴∠FGE ＝∠FHE ＝∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形；(2)∵FG ⊥AE ，∴∠AGF ＝90°.在Rt △AGF 中，tan ∠DAE ＝GF AG＝2， ∴GF ＝2AG .∵EG ＝2GF ，∴EG ＝4AG .∵AE ＝AG ＋EG ＝5，∴AG ＝1，即AG 的长为1.16. 20°；0° 【解析】①∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴该菱形的“接近度”为|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵当α＝β＝90°时，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°时，菱形是正方形．课时21. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠DCA ＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA ＝70°.2. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝DC ，BE ＝DE ，∵∠DBC ＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD ＝BD ＝10.∵点F 为BC 中点，∴EF ＝12CD ＝5. 3. D 【解析】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，∵∠ABC ＝45°，∴剪下的图形有一个角为90°，∴有一个角为90°的菱形是正方形，∵AB ＝4 cm ，根据勾股定理得BC ＝42 cm ，故剪下来图形的周长为4×42 ＝16 2 cm. 4. 6 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝22 .∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝22 ，AO ＝2 ，∴OE＝6 .5. 6013【解析】如解图，连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°， AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12.在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2 ＝13.∴AC ＝BD ＝13.∵AC 与BD 交于点O ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ＝132 .∵S △BCO ＝14 S 四边形ABCD ＝14×12×5＝15，∴S △BCO ＝S △BEO ＋S △CEO ＝12 BO ·EG ＋12 CO ·EF ＝12 ×132 (EG ＋EF )＝15，∴EF ＋EG ＝15×413 ＝6013.第5题解图6. (1)3 【解析】(1)如解图，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，∵△ADE 是等腰三角形，EA ＝ED ＝52 ，AD ＝3，∴AM ＝12 AD ＝32，∴EM ＝AE 2－AM 2 ＝（52）2－（32）2 ＝2，∴S △ADE ＝12 AD ·EM ＝12 ×3×2＝3. (2)13 【解析】如解图，延长EM 交AG 于点N ，∵∠BAD ＝∠AME ＝90°，∴AB ∥NE ，∴∠ABF ＝∠FEN ，∠BAF ＝∠ENF .又∵点F 为BE 中点，∴BF ＝EF ，∴△AFB ≌△NFE ，∴EN ＝BA ＝3.由(1)知，EM ＝2，∴NM ＝1.∵∠NMD ＝∠ADC ＝90°，且M 为AD 中点，∴NM ∥GD ，∴NM 为△AGD 的中位线，∴GD ＝2NM ＝2，∴AG ＝AD 2＋GD 2 ＝13 .第6题解图7. 证明：(1)∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .又∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AFE 和△DCE 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC.又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD；(2)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，由(1)知F A＝BD，又∵F A∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．又∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形．8. 解：(1)四边形OCDE为菱形，理由如下：∵CE是线段OD的垂直平分线，∴OF＝DF，OC＝DC.∵CD∥OE，∴∠EOF＝∠CDF.∵∠EFO＝∠CFD，∴△OFE≌△DFC，∴OE＝CD，∴四边形OCDE是平行四边形．又∵OC＝CD，∴四边形OCDE是菱形；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OC＝OA，由(1)可知，OC＝DC，∴OC＝DO＝CD，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO ＝∠CDO ＝60°，∴∠FDG ＝90°－60°＝30°.∵四边形OCDE 是菱形，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∠CGD ＝90°－∠DCE ＝60°，∴∠EDG ＝30°，∴DG ＝EG .∵CD ＝4，∴tan ∠DCG ＝DG CD ＝DG 4， ∴DG ＝4·tan 30°＝4×33 ＝433， ∴EG ＝433. 9. B 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∠ABD ＝60°，∴∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠CBD ＝30°.∵OE ＝OF ，O 为对角线BD 的中点，∴DF ＝EB .由对称的性质得DF ＝DF 2，BF ＝BF 1，BE ＝BE 2，DE ＝DE 1，∠F 2DC ＝∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠E 1DA ＝30°，∠F 1BC ＝∠FBC ＝30°，∴E 1F 2＝E 2F 1，∠E 1DB ＝60°，∠F 1BD ＝60°，∴DE 1∥BF 1，∴E 1F 2∥E 2F 1，∴四边形E 1E 2F 1F 2是平行四边形，如解图①，当E ，F ，O 三点重合时，DO ＝BO ，∴DE 1＝DF 2＝AE 1＝AE 2，即E 1E 2＝E 1F 2，∴四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，如解图②，当E ，F 分别为OB ，OD 的中点时，设DB ＝4，则DF 2＝DF ＝1，DE 1＝DE ＝3，在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝23 ，连接AE ，易得AE ＝32 AB ＝3 ，根据对称性可得AE 1＝AE ＝3 ，∵AD 2＝12，DE 21 ＝9，AE 21 ＝3，即AD 2＝AE 21 ＋DE 21 ，∴△DE 1A 是直角三角形，且∠E 1＝90°，∴四边形E 1E 2F 1F 2是矩形；如解图③，当F ，E 分别与D ，B 重合时，△BE 1D ，△BDF 1都是等边三角形，则四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，∴在这三个位置时，四边形E 1E 2F 1F 2形状的变化依次是菱形→矩形→菱形．图①图②图③第9题解图10. (1)证明：由翻折知，∠APE＝∠OPE，∵FG平分∠PFC，∴∠PFG＝∠CFG.∵AD∥BC，∴∠APF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠PFG，∴PE∥FG；(2)解：由翻折知，EA＝EO，∠EOP＝90°.∵E，O，D三点在同一条直线上，∴∠DOF＝∠EOF＝∠C＝90°.又∵DF＝DF，∠OFG＝∠CFG，∴△DOF≌△DCF(AAS)，∴DO＝DC＝AB.∵E是AB的中点，∴设EA＝EB＝EO＝a，∴OD＝CD＝AB＝2a，∴DE＝OE＋OD＝3a.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，∴AD＝（3a）2－a2＝22a.∵AD＝nAB，∴22a＝2na，∴n＝2.。

4.3~4.4矩形,菱形的性质及判定练习

4.3~4.4矩形，菱形的性质及判定练习1．菱形、矩形的有关概念矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.温馨提醒：（1）矩形、菱形具有平行四边形的一切性质；（2）依据矩形的性质，得出直角三角形具有的性质斜边上的中线等于斜边的一半；（3）矩形、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；3．菱形、矩形的判定矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②有三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等的平行四边形是矩形.菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；温馨提示：（1）矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再找一个角为直角或对角线相等。

很多同学容易忽视这个问题。

（2）在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。

（3）两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件；对角线相互垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件。

5．面积、角度、线段等计算问题S 菱形＝12l l ·l 2(l 1、l 2为菱形对角线长) 连对角线，矩形、菱形就可得到特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形），因此，解矩形、菱形问题时，要注意特殊三角形性质的运用。

利用全等三角形解决问题。

跟踪训练：一、填空题：1.矩形的定义：____________________________的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的所有性质；矩形的四个角______________；矩形的对角线______________；矩形是轴对称图形，它的对称轴是______________。

人教版八年级下册数学 18.2矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选(含答案)

矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。

2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。

3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。

4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。

5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。

6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。

7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。

B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。

C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。

D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。

8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。

10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。

11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。

12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。

矩形与菱形性质及判定练习题含答案

矩形与菱形性质及其判断一、精心一（每小 3 分，共 30 分）1．已知一矩形的周是 24cm，相两之比是 1:2 ，那么个矩形的面是⋯⋯⋯⋯（）2222A ． 24cm B． 32cm C．48cm D． 128cm2．矩形拥有而一般的平行四形不拥有的特点是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A．角相等B．相等C．角相等D．角相互均分3．以下形既是称形，又是中心称形的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A ．矩形B．直角三角形C．等腰三角形D．平行四形．以下条件中，不可以判断四形ABCD是菱形的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）4A．□ ABCD中， AB BC．□ ABCD中， AC⊥BD=BC．□ ABCD中， AC=BD D．□ ABCD中， AC均分∠ BAD5．若直角三角形中两直角的分12 和 5，斜上的中是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A ．13B． 6C．6.5D．6.5 或 66．菱形和矩形都拥有的性是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A ．角相等B．角相互均分C．角均分一角D．角相互垂直7．已知：如，在矩形 ABCD中， DE⊥AC,∠ADE=1∠CDE,那么∠ BDC等于⋯⋯⋯⋯（）2A． 60°B． 45°D CoC． 30°D． 22.5 °EA B8．已知菱形的和一条角的均2cm，菱形的面⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （）A．3cm 2B．4cm2．3 cm2D．2 3 cm2C9．菱形相两角的比 1:2 ，那么菱形的角与的比⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）A ． 1:2:3B． 1:2:1C． 1: 3 :2 D ．1: 3:110．将矩形片 ABCD按如所示的方式折叠，AE、EF折痕，∠BAE＝°， AB＝3，折叠后，点 C落在 AD上的 C1 30，而且点 B 落在EC上的 B． BC的（）11A．3B． 2C．3D．2 3二、心填一填（每小 3 分，共 30 分）11．若矩形的一条角均分分一3cm和 5cm两部分，矩形的周．12．如，四形 ABCD是平行四形，使它成矩形的条件能够是．13．若矩形短边长 4cm ，两对角线的夹角为 60 度，则对角线长是cm ．14．如图，在菱形 ABCD 中 , ∠ BAD=80 度， AB 的垂直均分线交对角线 AC 于点 F ，E 为垂足，连结 DF ，则∠ CDF 的度数为．（第 12 题图）（第 14 题图）（第 16 题图）（第 17 题图）15．按序连结对角线相互垂直的四边形各边中点所得的四边形是．16．如图，一斜坡 AB 的中点为 D ， BC=1， CD=1.5 ，则斜坡的坡长．17．如图，在扇形中，∠ AOB=90 度， OA=5，C 是弧 AB 上一点，且 CD ⊥OB ， CE ⊥OA ，垂足分别为点 D 、 E ，则 DE=．18．菱形 OABC 在平面直角坐标系中的地点如下图，标为．AOC 45°， OC 2 ，则点 B 的坐19．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ，则 ∠1度．ABCyADCB1BCOAx（第 18 题图）（第 19 题图）（第 20 题图）20．如图，两张宽为 1cm 的矩形纸条交错叠放，此中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的面积是cm2．三、耐心做一做（此题有 5 小题，共 40 分）21．（此题 6 分）已知：如下图，在矩形ABCD 中， AF ＝EBE ．FAB求证： DE ＝CF ．DC22．（此题 8 分）如图，ABCD是菱形，对角线 AC与 BD订交于 O，ACD30°，BD 6 ．（1）求证：△ ABD是正三角形；D（2）求 AC的长（结果可保存根号）．A O CB23．（此题 8 分）如图，在矩形ABCD中， AC与 BD订交于一点 O，AE均分∠BAD, 若∠ EAO=15° , 求∠ BOE的度数．A DoBE C 24．（此题 8 分）工人师傅做铝合金窗框分下边三个步骤进行：（1）先截出两对切合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD，EF=GH；（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，依据的数学道理是．（ 3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无空隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，依据的数学道理是．①25．（此题 10 分）已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为 9cm和 3cm，把极点 A 和 C 叠合在一同，得折痕 EF（如图）．（1）猜想四边形 AECF是什么四边形，并证明你的猜想．（2）求折痕 EF的长．26、在如下图的图形中，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，此中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形 A、B、C、D的面积和是多少？27、（2010 肇庆）如图，ABCD是正方形． G 是 BC 上的一点， DE⊥AG 于 E，BF⊥AG 于 F．A DEFB G C（1）求证：△ ABF ≌△ DAE ；（2）求证： DE EF FB ．28.（2009 年宜宾）已知：如图，四边形 ABCD是菱形，过 AB 的中点 E 作 AC的垂线 EF，交 AD 于点 M，交 CD的延伸线于点 F.（1）求证： AM=DM；（2）若 DF=2，求菱形 ABCD的周长．A E BMF CD第 21题图参照答案一、选择题题序1答案B 2A3A4C5C6B7C8D9D10C二、填空题11、22cm或 26m12、AC=BD或∠ABC=90度（或其余三个角也能够）13、 814、60 度 15 、矩形16 、1：2217、5 18、（ 2 +1，1）19、120度20、2三、解答题21、略 22、（1）略 2 ） AC=6 323、75度解：方法 1：设 AB=1 ，∵ AE 均分∠ BAD ，∠ EAO=15°，∴∠ BAE= ∠AEB=45°、∠ ACB=30°，∴∠ OBC=30°，∴∠ AOB=60°，∴△ OAB 为等边三角形，∴ OA=1 ， AE=，AC=2 ，∴，∵∠ OAE= ∠EAC ，∴△ AOE ∽△ AEC ，∴∠ AEO= ∠ ACE=30°，又∵∠ AEB= ∠ACE+ ∠EAC=45°，∴∠ BEO=75°，∠ OBE=30°，∴∠ BEO=75° ．方法 2：：∵ ABCD 为矩形，∴∠ BAD=90°∵ABCD 订交于 O 点，∴ AO=CO=BO=DO∵AE 均分∠ BAD 交 BC 于 E 点∴∠ BAE= ∠EAD=45° ∵∠ EAC=15° ∴∠ BA0=60°∵AO=BO ∴∠ ABO=60° ∵∠ BAO+ ∠ABO+ ∠AOB=180° ∴∠ AOB=60°∴△ AOB 为等边三角形即 AB=OA=BO又∵∠ ABC=90° ∠EAB=45°∠ABC+ ∠ EAB+ ∠BEA=180 ∴∠ BEA=45°∴△ ABE 为等腰直角三角形∴BE=BA∵BE=BA 而 BA=BO ∴ BE=BO即△ OBE 为等腰三角形∵∠ ABC=90° ∠ABO=60°∴∠ OBE=30° ∴∠ BOE= ∠BEO= （180-30 ）÷2=75°．故∠ BOE 的度数75°．24、（2）平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选

3、若矩形的一个角的平分线分一边为考点：矩形的性质。
4cm 和 3cm 的两部分，则矩形的周长为
22 或 20 cm．
分析：本题需分两种情况解答．即矩形的一个角的平分线分一边为当矩形的一个角的平分线分一边为
4cm 和 3cm，或者矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm． 4cm 和 3cm 时，矩形的周长为 2×（ 3+4） +2×4=22cm；
则这条对角线和一组邻边组成等边三角形，可得边长为 8cm，则菱形周长为 32cm．
故答案为 32．点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用．
10 、菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是考点：菱形的性质。专题：计算题。
32°，则菱形较小的内角是 58° ．
分析：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是角线垂直平分且为角平分线确．
故选 D．
点评：本题考查的是矩形判定定理，考生同时也要注意平行四边形的判定以及性质，难度一般．
17、四边形 ABCD的对角线相交于点 O，下列条件不能判定它是矩形的是（
）
A、 AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°
B、 AO=CO， BO=DO， AC=BD
C、∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
2
即为对角线的长．
解答：解：
∵四边形 ABCD是矩形，
∴OA=OB， ∵∠AOB=6°0 ， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA=AB=5cm， ∴AC=2OA=10cm，故答案为 10．点评：主要考查矩形的性质；用到的知识点为：矩形的对角线互相平分且相等． 6、（ 1999?河南）已知：如图，在矩形 ABCD中， CE⊥BD，E 为垂足，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE= 45

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M N
O
D C
B
A
矩形，菱形的性质及判定专项练习
1.在下列命题中，真命题是（）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形
Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2.已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为______________, 面积为
_______________.
3.将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那
么重叠部分的面积的最大值为________________.
4.一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为
__________.
5.顺次连接一个特殊四边形的中点, 得到一个菱形. 那么这个特殊四边形是___________.
6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE：BE=1：
3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长。

7.如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。

8.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2，
BC=1，求AG。

9.已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，
G，H，求证：四边形EFGH是矩形。

O
F
E
D
C
B
A
G
E
D C
B
A
10. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩
形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长．
11. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，（1），画出△AOB 平移后的三角形，其平移的方
向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长。

（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。

12. 如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF
的度数。

13. 已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF 。

过点C 作CG ∥EA 交AF 于H ，
交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

14. 如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=
2
1∠EAD ，
AE 交BD 于M ，试说明BE=AM 。

H
G
F E
D
C B A
15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．
16.AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：AD⊥EF。

17.如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证四边形BDEF是菱形。

（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？
18.已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点
F，求证：四边形CDEF是菱形。

19.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四
边形AFCE是菱形。

20.已知：如图，C是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE
各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。

21.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分线BD、CE相交于点M，DF∥CE，EG∥BD，DF与EG
交于N，求证：四边形MDNE是菱形。

R
H
G
F
E
D
C
B
A
22.已知：如图所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB、BC的垂线，与AB、BC，CD，DA分
别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形。

23.如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，AB、CD满足
什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论。

24.如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针
旋转，分别交BC，AD于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时
AC绕点O顺时针旋转的度数．
25. 如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE ＋CF ＝2． (1) 求证：△BDE ≌△BCF ；
(2) 判断△BEF 的形状，并说明理由；
(3) 设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．
15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF 是菱形，证明略． 16．(1)略；(2)△BEF 是等边三角形，证明略．
(3)提示：∵3≤△BEF 的边长＜2
22)2(4
3)3(43<≤∴
S .334
3
<≤∴
S
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。