最新高一数学题库 1.3.4

1．3.4 三角函数的应用
课时目标
1．会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题．
2．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．三角函数的周期性
y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝________，y min ＝________.
(2)A ＝________________，k ＝________________.
(3)ω可由________________确定，其中周期T 可观察图象获得．
(4)由ωx 1＋φ＝________，ωx 2＋φ＝________，ωx 3＋φ＝________，ωx 4＋φ＝________，ωx 5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
一、填空题 1.
如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π
6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s.
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π
2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )＝
______.
3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭
⎫23，3
4内，则正整数m 的值是________． 4．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函
数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭
⎫
g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于______．
6．如图是一个示波器显示的由简易发电机产生的交流电的电压的变化，则电压V 关于时间t 的函数关系式为________．
7．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时
记录的时间t 与水深y 的关系：
经长期观察，函数y ＝f (t )的图象可以近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．(填序号)
①y ＝12＋3sin π
6t ，t ∈[0,24]；
②y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]； ③y ＝12＋3sin π
12t ，t ∈[0,24]；
④y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
2，t ∈[0,24]． 8.
如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是____________________． 二、解答题 9.
如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．
(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？
10．某港口水深y (米
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝A sin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
能力提升
11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x 轴距离d关于时间t的函数图象大致为________．(填序号)
12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
1．3.4 三角函数的应用
知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|
2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2
(3)ω＝2πT
(4)0 π2 π 3
2π 2π
3．周期 作业设计 1.150
2．2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *
) 3．26,27,28
解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <3
4
，
∴8π<m <9π，且m ∈Z ， ∴m ＝26,27,28. 4．80
解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1
T
＝80(次/分)．
5.g 4π
2 解析 T ＝2πg
l
＝1，∴ g l ＝2π，∴l ＝g
4π2.
6．V ＝45cos 80πt
解析 设V ＝A cos ωt ，则A ＝45，T ＝0.14＝0.025，ω＝2π
T
＝80π，故V ＝45cos 80πt .
7．①
解析 在给定的四个函数①②③④中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.
8．h ＝－8cos π
6
t ＋10(t ≥0)
解析 据题意可设h ＝10－8cos ωt (t ≥0)．
由已知周期为12 min ，可知t ＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1.
∴6ω＝π，得ω＝π6.∴h ＝10－8cos π
6
t (t ≥0)．
9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ⎝⎛⎭
⎫－π
2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．
OP 每秒钟内所转过的角为 5×2π60＝π
6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .
由题意可知水轮逆时针转动，
得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2.
当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π
6.
故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫
π6t －π6＋2.
(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫
π6t －π6＋2＝6，
得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π
2
，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.
10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π
6
.
又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝1
2
(y max －y min )＝3，
B ＝1
2
(y max ＋y min )＝10.
∴函数的解析式为y ＝3sin π
6
t ＋10 (0≤t ≤24)．
(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，
即y ＝3sin π
6
t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，
∴sin π6t ≥12，π
6t ∈⎣
⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时． 11．③
解析 ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π
4
.
按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin(t －π
4
)，
∴d ＝2|sin(t －π
4
)|.
当t ＝0时，d ＝2，排除①④；
当t ＝π
4
时，d ＝0，排除②.
12．10sin πt
60
解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，
π
60，所以d＝10sin πt 60.
可得ω＝。