误差理论与数据处理 第九章回归分析
误差分析课件线性回归及应用
案例二：销售预测
总结词
销售预测是商业决策的重要依据，线性回归模型能够预测未来销售情况。
详细描述
通过收集历史销售数据，选择影响销售的因素作为自变量，销售量或销售额作为因变量，建立线性回归模型。通 过模型预测未来一段时间内的销售趋势，帮助企业制定生产和销售计划。
案例三：医学数据分析
总结词
医学数据中存在许多变量之间的关系，线性回归模型可以帮助研究这些关系。
当一个变量的误差以非线性方式影响 另一个变量的预测结果时，产生的误 差传递。
02 线性回归模型
线性回归模型概述
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来预测一个因变量 （目标变量）的值，作为自变量（特征变量）的函数。
它基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来拟 合最佳直线。
曲线拟合
非线性回归允许自变量和因变量之间存在非线性关系，通过将非 线性函数引入模型来拟合数据。
参数估计
使用优化算法或迭代方法来估计非线性回归模型的参数。
模型评估
通过残差图、散点图和决定系数等可视化工具评估模型的拟合效 果。
时间序列线性回归
时间依赖性
时间序列数据具有时间依赖性，即数据点之间存 在时间上的相关性。
线性回归模型适用于因变量与自变量之间存在线性关系的场景，并且自变 量对因变量有显著影响。
线性回归模型的建立
确定因变量和自变量
首先需要明确预测的目标，并选择与该目标 相关的特征作为自变量。
数据收集
收集包含因变量和自变量的数据集，用于训 练和验证线性回归模型。
数据预处理
对数据进行清洗、缺失值处理、特征缩放等 操作，以确保数据的质量和一致性。
结构误差
由于模型结构或参数设置不当导致的误差。
误差理论与数据处理
湖北省高等教育自学考试大纲课程名称：误差理论与数据处理课程代码：06018（理论）第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点《误差理论与数据处理》课程是高等教育自学考试光机电一体化工程专业的一门沟通课程，是一门基础性很强的课程，理论严密、系统完整、逻辑性很强，也是工科学生的一门方法论课程。
没有测量就没有科学。
人类进行的科学研究和生产实践中都离不开测量，由于测量结果中存在误差是必然的和普遍的现象，误差的存在使得测量结果的可靠性和可信赖度大打折扣，甚至使测量试验结果丧失应有的意义和价值。
在当今的信息技术时代，任何科学试验和生产实践所获得的大量数据信息，必须经过合理的数据处理并给出科学的评价才有其实际价值。
《误差理论与数据处理》课程研究误差存在的一般规律、分析误差的影响因素和产生原因、减小误差对测量结果的影响、以及科学实验和工程实际中常用静态测量数据和动态测量数据的各种常用处理方法。
二、课程目标与基本要求课程目标：使学员系统地掌握误差理论与数据处理的基本概念、理论与方法，并且能够灵活进行误差分析、测量结果评价和试验数据处理，具有较强的分析问题与解决问题的能力。
基本要求：通过学习，学员应能正确理解有关测量、误差、精度、显著性检验等基本概念和它们之间的内在联系，正确理解和应用误差理论与数据处理的基本定律和公式，如：贝赛尔公式、随机误差标准差合成公式、随机误差极限差合成公式、最小二乘法原理、正归方程、回归方程等，能运用所学知识正确确定测量方案并解决一些简单的误差合成与分配问题。
三、与本专业其它课程的关系本课程的先修课程主要有：高等数学、概率论与数理统计、大学物理、矩阵代数、检测理论、工程测试技术、过程控制与自动化仪表、信号与系统等。
本课程的重点内容包括：误差的基本性质与误差处理、误差的合成与分配、测量不确定度、线性参数的最小二乘估计、回归分析、动态测试数据处理基本方法、动态测量误差及其评定等。
学好本课程，将为本专业后续专业课程的学习打下基础。
生物实验教学中的数据处理方法
生物实验教学中的数据处理方法在生物实验教学中，数据处理方法是至关重要的一环。
准确、合理地处理实验数据，可以帮助我们获得准确的结果，并对实验结果进行深入的分析与解释。
在本文中，我们将讨论几种常见的生物实验数据处理方法。
一、平均值与标准差的计算在实验过程中，我们通常进行多次重复实验以提高实验结果的可靠性。
在进行数据处理时，我们首先计算实验数据的平均值和标准差。
平均值可以反映实验数据的集中趋势，而标准差则可以反映数据的离散程度。
通过计算平均值和标准差，我们可以对实验数据进行初步的分析。
二、误差分析与数据修正在实验中，我们常常会遇到各种误差，如仪器误差、人为误差等。
这些误差可能会对实验数据产生影响，从而影响实验结果的准确性。
因此，我们需要进行误差分析，并对数据进行修正。
误差分析可以通过计算相对误差或绝对误差来进行。
相对误差是指测量值与理论值之间的差异的比值，而绝对误差则是指测量值与理论值之间的差异的绝对值。
通过分析误差的来源和大小，我们可以找出误差产生的原因，并采取相应的措施进行数据修正。
三、相关性分析在一些实验中，我们希望研究不同变量之间的相关性。
为了了解变量之间的相关关系，我们可以利用相关系数进行相关性分析。
相关系数是反映两个变量之间相关程度的统计指标。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于两个符合正态分布的连续变量之间的相关性分析，而斯皮尔曼相关系数则适用于两个有序变量之间的相关性分析。
通过相关性分析，我们可以了解变量之间的相关性，并进一步分析它们之间的因果关系。
四、方差分析方差分析是一种常用的多组数据比较方法。
通过方差分析，我们可以判断不同处理组之间的差异是否显著。
方差分析的基本思想是比较组内差异与组间差异的大小。
如果组间差异显著大于组内差异，则说明不同处理组之间存在显著差异。
方差分析可以帮助我们确定不同处理对实验结果的影响程度，并进行进一步的统计分析。
五、回归分析回归分析是通过建立数学模型来描述变量之间的关系。
《误差理论回归分析》课件
将原始数据进行变换以满足回归模型的要求。
回归分析方法
简单线性回归
通过拟合一条直线来描述两个变 量之间的线性关系。
多元线性回归
对数线性回归
考虑多个自变量的回归分析方法， 用于复杂的数据集。
将自变量或因变量进行对数转换 后进行的回归分析。
多项式回归
通过拟合多项式曲线来描述变量 之间的非线性关系。
确定测量模型
根据实际需求确定适当的回归模型。
误差分析
计算和分析回归模型中的误差项。
实例分析
1 简单线性回归的误差理论分析
通过实际案例演示简单线性回归中的误差理 论。
2 多元线性回归的误差理论分析
运用多元线性回归模型进行误差分析的实际 应用。
3 对数线性回归的误差理论分析
解析对数线性回归模型中的误差来源与传递 规律。
4 多项式回归的误差理论分析
应用多项式回归模型分析误差和风险。
总结
误差理论回归分析的应用 前景
展望误差理论回归分析在不同领 域的广泛应用。
误差理论回归分析的未来 研究方向
提出开展误差理论回归分析相关 研究的建议。
提高误差理论回归分析能 力的建议
提出提高分析能力和技巧的实际 建议。
误差理论
概念阐述
介绍误差理论的基本 概念和定义。
误差来源
讨论不同误差源对测 量结果的影响。
误差测量方法
介绍常用的误差测量 方法，如标准差和方 差。
误差传递规律
说明误差在测量过程 中如何传递和累积。
误差理论回归分析
1
确定误差来源
2
识别导致误差的因素，进行误差来源分
析。
3
风险评估
4
评估回归模型的风险和不确定性。
误差理论与数据处理答案完整版
误差理论与数据处理答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－＝（mm ）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 ，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
误差分析课件线性回归及应用
表示，记为
N
S yi y2
（1-14）
i 1
N
yi yˆi yˆi y2
i 1
N
N
N
yi yˆi 2 2 yi yˆi yˆi y yˆi y2
i 1
i 1
i 1
NO.V1.0
1.回归方程的方差分析
•
把yˆi b0 bxi; yi b0 bx N
代入中间项，
可推出
2yi yˆiyˆi y 0
i 1
则令
N
N
U yˆi y2,Q yi yˆi2
有
i 1
i 1
S U Q
其中，U 称为回归平方和，反映回归直线 yˆ b0 bxi 对均值 y 的偏离情况，即 y 随 x 变化
NO.V1.0
一元线性回归方程的求法（Ⅱ）
• 示
某一观测y值i 与回归yˆi 值 之vi差用 表
vi yi yˆi yi b0 bxi i 1,2,, N
它表示某一点xi, yi 与回归直线的偏离程度。
记
N
N
2N
2
Q vi2 yi yˆi yi b0 bxi
y2 yN
0 x2
0 xN
2 N
设测量误差 1,2,, N 服从同一正态分布
N0, ，且相互独立，则用最小二乘法估计参
数0, ，设估计量分别为 b0 , b ，那么可得一元 线性回归方程
yˆ b0 bx
（1-2）
式中，b0,b 为常数和回归系数。
误差理论与数据处理 第9章回归分析
❖1、从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 ❖2、对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量 的影响显著，哪些不显著 ❖3、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 值，预测或控制另一个变量的值，并要知道这种预 测或控制可达到的精密度。
U(yˆ) s 1xx2
n
lxx
回归值的波动大 小不仅与剩余标 准差s有关，而且 还取决于试验次 数n及自变量取 值范围。
提高回归方程中各估计量稳定性的方法
(1) 提高观察数据本身的准确度 (2) 尽可能增大观测数据中自变量的取值 范围 (3) 增加观测次数 (4) 减小残余误差，即拟定合适回归方程 使其尽可能合乎实际数据的变化规律
四、回归预测值及其不 确定度
回归预测值及其不确定度
１、利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给 定值x 0 ，求出因变量 y 的一个估计值 yˆ 0 ，就是回归
的预测值
2、预测值 yˆ 0 与实际值 y 之间存在偏差，因此给出 预测值时，还必须给出其不确定度。有以下两种
表示方式
yˆ 的标准不确定度来表述
回归模型的类型
一个自 变量
回归模型
两个及两个 以上自变量
一元回归
多元回归
线性 非线性 线性 非线性 回归 回归 回归 回归
回归模型
1、回答“变量之间是什么样的关系？” 2、方程中运用
1个数字的因变量 1个或多个数字的或分类的因变量
3、主要用于预测或估计
第二节 一元线性回归
一元线性回归模型概念
x x
y) x)
lxy lxx
式中
aˆ y b x
x
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
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yi
110 180 130 110 130 115 240
xi
191 190 153 155 177 177 143
yi
205 220 145 160 185 205 160
151 147
135 155
154 116
150 100
127 115
135 120
直线拟合
【解】
直线拟合计算
x 1 xi 150.09, 34
2、简单线性回归方程的形式如下
E ( y) a bx
方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
a是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x 0 时的期望 值 y b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时， 的平均变动值
经验的回归方程
1、总体回归参数 a 和 b 是未知的，必须利用样 本数据去估计他们 ˆ 代替回归方程中的未知 ˆ 和b 2、用样本统计量 a 参数 a 和 b ，这时就得到了经验的回归方程 3、一元线性回归的经验的回归方程
2 2 i 1 i 1 i 1 n n n 2
总偏差平方和 残余平方和
总
残
回归平方和
回
总 残 回
三个平方和的意义
总偏差平方和
反映因变量 意 的n个观测 义 值与其均值 的总偏差
计算 公式 自由 度
回归平方和
在总的偏差中 因 x 和 y 的线 性关系而引起 y变化的大小
残余平方和
如果是显著的，两个变量之间存在线性关系
如果不显著，两个变量之间不存在线性关系
检验步骤
1、提出假设
H0 : 线性关系不显著 2、计算检验统计量
回 回 F 剩 剩
即
回 1 F 剩 n 2
3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界 值F 1, n 2 。 4、作出决策。若 F F 1, n 2，拒绝 H 0 ，则认为 该回归效果显著。反之，则不显著。
1、当只涉及一个自变量时称为一元回归， 若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称 为一元线性回归
2、对于具有线性关系的两个变量，可以 用一个线性方程来表示它们之间的关系 3、描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误 差项 的方程称为回归模型。
一元线性回归模型概念
由实验获得两个变量 x 和 y 的一组样本数 ( xn , yn ) 据 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ， …，构造如下一元线性 yi a bxi i 回归模型 模型中， y 是 x 的线性函数部分加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对
ˆ n( xy x y ) lxy b 2 n( x x x) lxx ˆ y bx a
二、回归效果F检验
偏差平方和的分解
测量值 方面
y1 , y2 , , yn
之间的差异来源于两个
由于自变量 x 取值的不同造成的 除 x 以外的其它因素(如 x 对 y 的非线 性影响、测量误差等)的影响
(2) 尽可能增大观测数据中自变量的取值 范围 (3) 增加观测次数
(4) 减小残余误差，即拟定合适回归方程 使其尽可能合乎实际数据的变化规律
四、回归预测值及其不 确定度
回归预测值及其不确定度
１、利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给 ˆ0 ，就是回归 定值 x0 ，求出因变量 y 的一个估计值 y 的预测值
回归模型的类型
一个自 变量
回归模型
两个及两个 以上自变量
一元回归 线性 回归 非线性 回归
多元回归 线性 回归 非线性 回归
回归模型
1、回答“变量之间是什么样的关系？”
2、方程中运用
1个数字的因变量 1个或多个数字的或分类的因变量
3、主要用于预测或估计
第二节 一元线性回归
一元线性回归模型概念
估计残余标准误差
1、表征除了x 与 y 线性关系之外其它因素影响 y 值偏离的大小
2、反映实际观测值在回归直线周围的分散状况 3、从另一个角度说明了回归直线的拟合程度 4、残余标准差的计算公式
残 s n2
方差分析表
置信限 F 1, n 2 0.1 0.05 0.01
偏离 平方和 自由度 标准差 统计量
2
y
1 yi 158.28 34
lxx xi x 25453
l yy yi y 50094,
2
lxy xi x yi y 32325
ˆ l l 1.27 b xy xx
ˆ 32.3 ˆ y bx a
如以速度v作匀速运动的物体，走过的距离s与时 间t之间，有如下的函数关系 s=vt
变量间的相关关系
1、变量间关系不能用函数关系精确表达
2、一个变量的取值不能由另一个变量惟一确定 3、当变量x取某个数值时，变量y的值可能有几个
如人的身高(y)与体重(x )之间的关系
什么是回归分析？
一种处理变量间相关关系的数理统计方法。
1 x2 ˆ) s U (a n lxx
ˆ) s U (b
1 lxx
ˆ和 b ˆ 的协方差的计算公式 3、回归系数 a
式中， s 是残余标准差
x 2 sab s ˆˆ lxx
回归方程的稳定性
ˆ 的波动大小，波动愈小，回归方 1、回归值 y 程的稳定性愈好。
ˆ ˆ a ˆ bx y
ˆ 是回归直线在 y 轴上的截距 a
ˆ 是 ˆ 是直线的斜率，它表示对于给定的 x 的值， y b y 的估计值，也表示当 x每变动一个单位时， y 的平 均变动值
ˆ 的计算公式 ˆ 和b a
根据最小二乘法 的要求，可得 式中
n n 1 n 1 n 1 1 2 2 x x , y y , x x xi yi i i i , xy n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n n 2 2 2 2 2 2 l ( x x ) n x n x l ( y y ) n y ny xx i yy i i 1 i 1 n lxy ( xi x )( yi y ) nxy nx y i 1
在总的偏离中除 了 x 对 y 线性影 响之外的其它因 素而引起 y 变化 的大小
总 l yy
总 n 1
回
2 lxy
lxx
ˆ bl xy
残 总 回
残 总 回
n2
回 1
回归方程的显著性检验
1、检验自变量和因变量之间的线性关系是否 显著 2、具体方法是将回归平方和和残余平方和加 以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是 否显著
他主要解决以下几个问题
1 、从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 2 、对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量 的影响显著，哪些不显著 3、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 值，预测或控制另一个变量的值，并要知道这种预 测或控制可达到的精密度。
对一个具体的观测值来说，变异的大 小可以通过该实际观测值与其均值
y_y y_y y_y
y=y
y=a+bx 0 x
三个平方和的关系
ˆi ) ( y ˆi y ) yi y ( yi y
两端平方后求和得到
ˆi y ˆi y yi y yi y
第9章 回归分析
4- 1
教学目的和要求：
通过本章内容的教学，使学生掌握一元线性回归
方程的求法、回归方程的方差分析与显著性检验 方法；了解一元非线性回归方程的求解思路及回 归曲线效果和不确定度评定；了解多元线性回归 方程的求法和显著性检验与不确定度评定方法。
主要内容：
1． 回归分析的基本概念：概念、回归分析的主要内容。 2 ． 一元线性回归：一元线性回归方程的求法、回归方程的方 差分析与显著性检验、重复实验判断回归方程拟合性、回归 直线的简便求法。 3 ． 一元非线性回归：回归曲线类型的选取和检验、化非线性 回归为线性回归、回归曲线效果与不确定度评定。 4 ． 多元线性回归：二元线性回归方程的求法、多元线性回归 、多元线性回归的显著性检验与不确定度评定。 5. 线性递推回归：回归系数的递推计算公式、计算步骤。
故有
ˆ 32.3 1.270x y
方差分析
总 l yy 50094
残 总 回 9057
偏离
回归 残余 总和
2 回 lxy lxx 41037
s 282.5 16.8
回 F 2 145.0 s
F 1,32 置信限 平方和 自由度 标准差 统计量 0.01
例题
试对下表所列实验数据做直线拟合，并作方差分析和预测。
xi
180 104 134 141 204 150 121
yi
200 100 135 125 235 170 125
xi
145 141 144 190 190 161 165
yi
165 135 160 190 210 145 195
xi
123 151 110 108 158 107 180
第一节 基本概念
变量间的关系可分为函数关系和相关 关系。本节介绍这两种关系，并对回归 分析的一些基本概念作一个简要的介绍。
变量间的函数关系
1、是一一对应的确定关系
2、设有两个变量x 和y，变量x 随变量y 一起变化，并 完全依赖于x ，当变量x 取某个数值时, y 依确定的关 系取相应的值，则称y 是x 的函数，记为y =f(x)，其中x 称为自变量，称y 为因变量