第3讲 导数的实际应用

第3讲 导数的实际应用
第一部分 知识梳理
1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
优化问题可归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决。

用导数解决优化问题，即求实际问题中的最大（小）值，其主要步骤如下：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变
量之间的函数关系
，即将优化问题归结为函数最值问题； （2）求导数
，解方程 ； （3）比较函数在区间端点和是 的点的函数值大小，最大者为最大值，最小者为最小值；
（4）检验作答，即获得优化问题的答案。

2.利用导数解决生活中的优化问题的注意事项
（1）在解决优化实际优化问题时，不仅要将问题中涉及的变量关系用函数表示，而且应注意确定该函数的定义域；
（2）在实际优化问题中，会遇到函数在定义域内只有一个点使
的情形，如果函数
在这点有极值，则该极值就是所求的最大（小）值； （3）在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的实际意义，不符合实际意义的解要舍去。

第二部分 精讲点拨
考点1.利用导数解决实际应用题
（1）当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂，刚开始使用的时候，细菌数量还会继续曾加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少。

如果使用杀菌剂 小时后的细菌数量为 。

问：<1>细菌在 和 时增加的瞬时速度； <2>细菌在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？
()y f x ='()f x '()0f x ='()0f x =0()0f x =()y f x =t 5432()101010b t t t =+-5t =10t =
[EX.1]预测人口变化趋势有多钟方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是
0n n p p k =（ 为常数，且 ），其中 为预测期内n 年后的人口数， 为初期人口数， 为预测期内年增长率，如果 ，那么在这期间人口数（ ）
A.呈上升趋势
B.呈下降趋势
C.先上升后下降 C.先下降后上升
考点2.利用导数解决面积、体积的最值问题
（2）从长32cm ，宽20cm 的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形的边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
[EX.2]某工厂需要建一个面积为512
的矩形堆料场，一边可利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长河宽分别是 .
考点3.利用导数解决利润最大化问题
（3）某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次
品则损失100元。

已知该厂制造电子元件过程中，次品率 与日产量
的函数关系是：3,432x
p x N x +
=
∈+。

问：<1>将该厂的日盈利额
（元）表示日产量 （件）的函数； <2>为获得最大盈利，该厂的日产量应为多少件？
[EX.3]已知某商品生产成本 与产量 的函数关系式为 ，价格
与产量 的函数关系式为 。

求产量 为何值时，利润 最大，并求这个最大值。

k
0k >n p 0p k 01k <<2
m p x x C q 1004C q =+p q 1
258
p q =-q L T
考点4.利用导数解决实际应用中的优化问题
（4）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
（升）关于行驶 （千米/小时）的函数解析式可以表示为： 。

已知甲、乙两地相距100千米。

问：<1>当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地道乙地要耗油多少升？ <2>当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？（提示：可直接用 的结果 ）
[EX.4]某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端
桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为
米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考
虑其他因素，记余下工程费用
万元。

问：<1>试写出
关于 的函数关系式； <2>当
米时，需新建多少个桥墩才能使 最小？
第三部分 过关检测
一、选择题
1.函数
的一个单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 2.已知命题甲： ，命题乙：点 是可导函数 的极值点，则甲是乙的
（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数
在 处的切线方程是（ ） A. B. C. D. y x 31
38(0120)12800080
y x x =-+<≤211()'x x
=-x (2)x x +y y x 640m =y cos y x =(,)22
ππ-(0,)π3(,)22
ππ
(,2)
ππ0'()0f x =0x ()f x 1f x =-1
(,2)2
-4y x =44y x =-4(1)y x =+24y x =-
4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过 秒后的位移为32
13232
s t t t =-+，那么速度为零的时刻为（ ）
A.0秒末
B.1秒末
C.2秒末
D.1秒末和2秒末
5.某市在一次降雨过程中，降雨量
与时间 的函数关系式可近似地表示为 ，则在时刻 的降雨强度为（ ）
A.5
B.10
C.
D. 6.某公司租地建仓库，每月土地租用费 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费
与到车站的距离成正比，如果要在距离车站10公里处建仓库，这两项的费用 、 ，分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A.5公里处
B.4公里处
C.3公里处
D.2公里处 7.用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖铁盒时，在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角剪去正方形的边长为（ ）
A.6cm
B.8cm
C.10cm
D.12cm
8.要建造一个长方体的仓库，其内部的高为3m ，长和宽的和为20m ，则仓库的容积的最大值为（ ）
A.1600
B.1800
C.2000
D.2200
二、填空题
9.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 吨与每吨产品的价格
（元/吨）之间的关系式为 ，且每生产 吨的成本为 （元），那么
该产品每月生产 ，才能使利润达到最大。

10.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为 层，则每平方米的平均建筑费用为
（单位：元）。

为了使楼房每平方米的平均费用最少，该楼房应建为
层。

（平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用/建筑总面积）
t
y t
()y f t t ==25t =151
10
1y 2y 1y 2y 3m 3m 3m 3m x p 2
1242005
p x =-x 50000200R x =+(10)x x ≥56048x +
11.在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
12.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
13.已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8
1
25-
=．求产量q 为何值时，利润L 最大？
14.如图，海岛城市A 离海岸120千米，海滨城市B 离C 点160千米，已知陆上汽车速度是海上轮船速度的2倍，要使A 、B 两城市之间运输时间最少，转运码头D 建在何处最佳?
15.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b .
x
x
x
x
60
60
h b
600
E
D
C B
A
16.请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
17.一面靠墙，三面用栏杆围成一个矩形场地，如果杆长40m ，要使围成的场地面积最大，则靠墙的边应该多长？
18.某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为2()A m 的宿舍楼。

已知土地的征用费为2388 ，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一
层2.5倍。

经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用都为445 ，
以后每增高一层，其建筑费用就增加30 。

试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用。

（总费用为建筑费用和征地费用之和）
2/m 元2/m 元2/m 元。