【数学】广东省广州市执信中学2014-2015学年高一上学期期中考试.docx
广州市执信中学2013-2014学年度第一学期期中考试答案
一、 选择题 ABBAC BDD 二、填空题9. 2 10. 3 11. -2 12. [-4,0] 13.2300 14.515.254三、解答题16、解：（1）由正弦定理，2sin sin 2sin cos R B A R A B ，由(0,),sin 0A A π∈≠⇒sin tan (0,)3B B B B B ππ⇒∈∴=（2）111()2+cos 2+=sin(2)2262f x x x x π=++，所以1()sin(2)62f A A π=++ 由（1），m ax23(0,)2(,)sin(2)136626A A A πππππ∈∴+∈∴+=ma x13[s i62m aAfπ∴++17、解：（1）六个函数中是奇函数的有1()f x x =，33()f x x =，4()sin f x x =，由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数．……………2分 记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知23261()5C P A C == …………………4分（2）ξ可取1,2,3,4 …… 5分 13161(1)2C P C ξ===, 113311653(2)10C C P C C ξ==⋅=1113321116543(3)20C C C P C C C ξ==⋅⋅=, 11113321111165431(4)20C C C C P C C C C ξ==⋅⋅⋅=………9分 故ξ的分布列为……………10分13317123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=答：ξ的数学期望为74……………………………12分18、∴123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+=11(1)222nn n A B n n +=-⋅--+……………14分 19、Key ：（2）存在，AP=2；（3）AB=220、解：（I ）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f ，…1分xpxp x x f -=-='11)( …………2分 当),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p 上无极值点 …………4分 当p>0时，令1()0(0,),()()f x x f x f x x p''=∴=∈+∞，、随的变化情况如下表：从上表可以看出：当p>0 时，()f x 有唯一的极大值点1x p= ………………7分 （Ⅱ）当p>0时在1x=p处取得极大值11()lnf pp=，…8分 此极大值也是最大值，要使()0f x £恒成立，只需11()ln 0f pp= ，…9分∴1p ³，即p 的取值范围为[1，+∞) …………………10分（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ， ∴1ln 22-≤nn ，∴22222ln 111n n n n n-≤=- …………11分∴222222222ln 2ln3ln 111(1)(1)(1)2323n n n +++≤-+-++-222111(1)()23n n =--+++…12分 111(1)()2334(1)n n n <--+++⨯⨯+111111(1)()23341n n n =---+-++-+ 21121(1)()212(1)n n n n n --=---=++,∴结论成立 …………………14分 另解：设函数ln x y x =，则/21ln x y x -=，令/0y =，解得x e =，则ln 1lnx e x e e≤= ∴222222ln2ln3ln 111123n n n e e e e -+++≤+++==2212(1)n n n --+2(1)(21)n e n +∙+=2212(1)n n n --+（1121e n +<+2212(1)n n n --+ 21、解：（1）22x py =（2）（i ）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <。
广东省广州市执信中学高三数学上学期期中试题 文(含解析)新人教A版
执信中学2014-2015学年度第一学期高三级文科数学期中考试试卷【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1.已知集合{|13}M x x =-<<，{}|21N x x =-<<，则M N ⋂=（ ） A.(2,1)- B. (1,1)- C.(1,3) D.(2,3)- 【知识点】交集及其运算.A1【答案】【解析】B 解析：因为集合{|13}M x x =-<<，{}|21N x x =-<<，所以M N ⋂=(1,1)-，故选B.【思路点拨】利用交集的运算直接计算即可。
【题文】2.131ii+=-（ ） A.12i + B.12i -+ C.12i -D. 12i --【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案】【解析】B 解析：因为131i i +=-()()()()1312412112i i ii i i ++-+==-+-+，故选B 。
【思路点拨】在原式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再计算即可。
【题文】3．若a R ∈，则0a =是()10a a -=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要、充要条件的判断.A2【答案】【解析】A 解析：由0a =可推出()10a a -=，当()10a a -=时，可得0a =或1a =，所以0a =是()10a a -=的充分不必要条件，故选A 。
广州市执信中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题含答案
2014-2015学年度第一学期高一级数学科期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．空间直角坐标系中，点(2,5,8)M 关于xoy 平面对称的点N 的坐标为（***）A. (2,5,8)-B. (2,5,8)-C. (2,5,8)-D. (2,5,8)--2．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（***） A ．正三角形的直观图仍然是正三角形 B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形 C ．正方形的直观图是正方形 D ．圆的直观图是圆3的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积等于（***） A. 4π B. 6π C. 8π D. 9π4．设0.320.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====，则这四个数的大小关系是（***）A.a b c d <<<B. b a d c <<<C. b a c d <<<D. d c a b <<<5．已知圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4420C x y x y +---=相交，则圆1C 与2C 的公共弦所在的直线的方程为（***）A. 210x y ++=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y --=6．函数221()x f x x+=（***）A. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递增 B. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减C. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递增 D. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减7．下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 正确的是（***）Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④8．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 （***）A ．B ．C ．D ．9．已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线y x b =+将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b =（***）A ．22B．12C ． 21-D ．212-10．若a b 、分别是方程lg 4,104xx x x +=+=的解，2,0()20a bx f x x x +⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，.则关于x 的方程()21f x x =-的解的个数是（***） A ．1 B ．2 C ．3 D. 4第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 把答案填在答卷的相应位置．11．实数24,122x y x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩满足，则目标函数3z x y =+-的最小值是 *** .12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：由上表知，方程220x x -=的一个根所在区间为 *** .13．两条直线022=++y x 与024=-+y ax 互相垂直， 则a = *** .14．如图，直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的 正方形，侧棱长12AA 11A B 与1BD 的夹角大小等于 *** .15．直线(21)(2)0(,,0)m x y n x y m n R m n +-+-+=∈且不同时为经过定点 *** .16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ﹣BD ﹣C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ； ②∆ACD 是等边三角形；③AB 与CD 所成的角为90°；④二面角A ﹣BC ﹣D 2； 其中正确结论是 *** .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本题满分12分）已知集合2{|650}A x x x =-+<，2{|1216}x B x -=<<，{|ln()}C x y a x ==-，全集为实数集R . (1) 求,()R A B C A B ⋃⋂；(2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图. （1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体； （2）求出该几何体的全面积和体积.19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上. (1)求圆C 的方程；(2) 过点31（，的直线l 截圆所得弦长为3l 的方程.20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点.（1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒， 求CDAD的值.EDCP21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A （1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM •AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.22．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）若1,3a b ==，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值.2014年高一数学期末考试参考答案1-10．CBDBB ADACB 11． 4-；12．（1.8，2.2）；13．2-；14．60°；15．(1,1)-；16．①②④ 17. （本题满分12分）已知集合全集为实数集R . (1) 求,()R A B C A B ⋃⋂； (2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.17．解：{|15}A x x =<<，{|26}B x x =<<，{|}C x x a =<， (6分) (1) {|16}A B x x ⋃=<<，(8分)(){|15}{|26}{|56}R C A B x x x x x x x ⋂=≤≥⋂<<=≤<或(10分)(2) A C φ⋂=，所以1a ≤．(12分) 18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图. （1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体； （2）求出该几何体的全面积和体积. 18．解：（1）左视图： 见下图可判断该几何体是一个正六棱锥.（4分）（2）正六棱锥的侧棱长是2a ，底面边长是a .它是由六个腰长是2a ，底面边长是a 的等腰三角形 与一个底面边长是a 的正六边形围成. ∴222211=(2)()6()62222a aS a a a a ⋅-⋅+⋅-⋅表面 =223153322a a +=233(51)2a +.（7分） 由正视图可知，正六棱锥的高22(2)3h a a a =-=，底面积33=2S a 底面，∴2311333=33322V S h a a a ⋅=⋅⋅=棱底 （10分）19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上.(1)求圆C 的方程；(2) 过点313（，）的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程.19.（1）设圆心C(,a a )，（1分）2222(2)(1)(3)0CA CB a a a a a =⇒+-=-++⇒=（4分）所以2r CA == （5分），圆C 的方程为224x y += （6分）（2）若直线l 的斜率不存在，方程为1x =，此时直线l 截圆所得弦长为23，符合题意；若直线l 的斜率存在，设方程为3(1)33330y k x kx y k -=--+-=即. 由题意，圆心到直线的距离222|33|23199k d k -==-=+3k ⇒=-直线l 的方程为320x y +-=.综上，所求方程为1x =或320x y +-= 20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面EDCPPAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点. （1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒，求AD CD的值. 20．解：（1）连结BD 交AC 于O ，连结EO,因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PB EAC PB EAC E 平面平面⊄⊂,0, 所以PB //平面EAC . （4分） （2）法一：AE ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD CD AEPAD ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面CO ABCD ⊂面正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥， 又PD CD D =，所以，AE ⊥平面PCD . （10分）法二：ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面CO ABCD ⊂面正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥，又PDC PAD PD =面面，AE PAD ⊂面，所以，AE ⊥平面PCD .（10分）（3）由（2）AE ⊥平面PCD ，直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE30,2Rt ACE ACE AC AE ∴∠=︒=中，，又32PAD AE AD ∆=正中，， 3AC AD ∴=，又矩形22ABCD AC AD CD +中，223AD CD AD +=解得22CDCD AD=∴=，（14分）21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A（1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度； （2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ， 又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由. 21．(1)AB CB ⊥，所以切线长224AB AC r =-=（4分）(2)易知，若斜率不存在，则1l 与圆相切，若斜率为0，则1l 与圆相离，故直线的斜率存在， 可设1l 的方程：(1)y k x =-由220(1)x y y k x ++=⎧⎨=-⎩解得223(,)2121k k N k k --++又直线1CM l ⊥，14(3)(1)y x k y k x ⎧-=--⎪⎨⎪=-⎩解得22224342(,)11k k k k M k k +++++ 所以2222|21|31161|21|k k AM AN k k k ++=+=++为定值.(也可以用几何法证明)（10分） 22．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠. (1)若1,3a b ==，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值.22. 解：（1）若1,3a b ==，22()42,()320f x x x f x x x x =++=⇒++=，2,1x ⇒=--，则()f x 的不动点为2,1--. （2分） （2）函数()f x 恒有两个相异的不动点，所以方程()f x x =即210(0)ax bx b a ++-=≠恒有两个不等实根，需要判别式大于0恒成立，即224(1)0440b a b b ab a -->⇔-+>对任意实数b 恒成立，2(4)44001a a a ⇒∆=--⨯<⇒<<，所以01a <<.（6分）（3）因为A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，所以AB ⊥直线且中点M 在直线上设1122(,),(,)A x x B x x ，由（2）知，12bx x a+=-所以AB 的中点1212(,)(,)2222x x x x b bM a a++--即易知11AB k k =∴=- 221()222121b b ab a a a a ∴-=--+⇒=-++ 由（2），01a <<所以211212a b a aa =-=-=++min 24a b ====-（12分）。
广东省广州市执信中学2014-2015学年高一上学期期末考试化学试卷 Word版含答案.pdf
2014-2015学年度第一学期 高一级化学科期末考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分。
考试用时90分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
本试题可能用到的相对原子质量是： H-1 O-16 Na-23 Al-27 N-14 C-12 Cl-35.5 Cu-64 Fe-56 S-32K-39 第一部分选择题(共50分) 一、单选题(本题包括15小题，每小题只有一个选项符合题意，各2分，共30分) 当光束通过下列物质时，能观察到丁达尔效应的是 ① 尘埃的空气 ②酒精 ③墨水 ④稀豆浆 ⑤硫酸铜溶液 A．①②④ B．①③⑤ C．①③④ D．②③④ 下列焰色反应实验操作的说明正确的是A．没有铂丝可用无锈铁丝代替B．先灼烧铂丝火焰时，再蘸被检物质 C．焰色反应都要将铂丝蘸取洗涤并灼烧D．焰色反应下列有关钠的叙述中，错误的是 A． B．钠元素只能以化合态存在于自然界 C．Na与Na＋都具有强的还原性 D．钠12.00g胆矾配成500mL溶液 B.将12.50g胆矾溶于少量水中，再用水稀释至500mL C.称取7.68g硫酸铜，加入500mL水 D.在80mL0.6mol/L CuSO4溶液中加入400mL水 5.将Na2O2投入FeCl2溶液中, 完全反应后最终可观察到的现象是 A．生成白色沉淀B．生成红褐色沉淀C．生成绿色沉淀 D．有气泡产生 下列说法正确的是 A.我国流通的硬币材质是金属单质 B.所有的不锈钢都只含有金属元素 .黄铜的熔点高于金属铜，故应用广泛 D.镁合金的硬度和强度均高于纯镁有关物质及其用途的描述，正确的是 ①Al2O3（作耐火坩埚） ②KAl(SO4)2·12H2O（作水剂）③Fe2O3（作④NaHCO3（作食用碱） ⑤⑥Na2O2（作） ①④⑤⑥ B．①②⑤⑥ C．①③④⑤ D．全部 8.用NA表示阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是 A．FeO与足量的盐酸反应，转移的电子数为2NA B．1mol的 Na、Al、Fe0.5NA、1.5NA、1NA C．.6g的铁参与化学反应时，失去的电子数目为NA D．0.1NA铝与足量生成的H2分子数叙述正确的是 A．常温常压下gCO2物质的量为0.1 mol B．常温常压下g Na2O含有的Na+离子数为0.mol C．，1 NA 个H2O分子 mol D．标准状况下，22.4L为mol 10.在下列实验过程中，出现的“异常”现象的解释，不正确的是 A.金属钠投入到硫酸铜溶液中，生成黑色沉淀物，是因为氢氧化铜的生成 B.过氧化钠加入到含有酚酞的水中，溶液变红再变无色，可能有强氧化性物质生成 C. D.在氯化亚铁的溶液中，滴加氢氧化钠溶液 ，先有白色沉淀，随后变灰绿色再变红褐色，说明氢氧化亚铁易被空气中的氧气氧化 11.下列除杂质的方法不可行的是 NaHCO3溶液中Na2CO3：通入过量的CO2 B．除去FeCl2溶液中少量的FeCl3：加入稍过量铁粉，过滤 C．除去K2CO3固体中少量NaHCO3：置于坩埚中加热 D．用盐酸除去AgCl中少量的Ag2CO3 12.在2 L溶有0.2mol NaCl和0.2mol MgCl2的溶液中，Cl—的物质的量浓度为 A．0.05 mol/L B．0.1 mol/L C．0.2 mol/L D．0.3 mol/L 13.我们做了一系列关于Na2CO3和NaHCO3性质实验根据你的实验观察和记录，下面关于Na2CO3和NaHCO3性质的正确的是 A．B．C．Na2CO3和NaHCO3都既能与酸反应，又能与氢氧化钠反应 D．A．等于2.24L B．等于1.12L C．大于1.12L D．小于1.12L15. 在某无色溶液中缓慢地滴入NaOH溶液直至过量，产生沉淀的质量与加入的NaOH溶液体积的关系如右图所示，由此确定，原溶液中含有的阳离子是： A．Mg2+、Al3+、Fe2+ B．H+、Mg2+、Al3+ C．H+、Ba2+、Al3+ D．只有Mg2+、Al3+ 二、项选择题（共小题，每小题分，共0分。
2014届广东省执信中学高三上学期期中考试文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前 2014届广东省执信中学高三上学期期中考试文科数学试卷（带解析） 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则()U A B ð等于（ ） A ．{}2 B ．{}5 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,3,4,5 2．已知i 是虚数单位，则31i i +=（ ） A ．2i - B ．2i C ．i - D ．i 3．已知向量()1,1a = ，()2,b n = ，若a b ⊥ ，则n 等于（ ） A.3- B.2- C.1 D.2 4．已知等比数列{}n a 的前三项依次为t 、2t -、3t -.则n a =（ ） A ．142n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B ．42n ⋅ C ．1142n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．142n -⋅ 5．下列命题：①x R ∀∈，2x x ≥；②x R ∃∈，2x x ≥；③x R ∀∈，2210x x -+>；④x R ∃∈，()log 21x ≥中，其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）A.112814422=+y x 或114412822=+y x B.14622=+y x C.1323622=+y x 或1363222=+y x D.16422=+y x 或14622=+y x 7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数.给出下列函数：①()sin cos f x x x =+；②())sin cos f x x x =+；③()sin f x x =；④()f x x =其中“互为生成”函数的是A.①②B.②③C.③④D.①④8．如图,正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是 （ ）A.线段1BCB.线段1BCC.1BB 中点与1CC 中点连成的线段D.BC 中点与11B C 中点连成的线段9．在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为a 、b ，则使得函数A 1()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率为（ ） A.18π- B.14π- C.12π- D.314π- 10．若存在正数x 使()12<-a x x 成立,则a 的取值范围是（ ） A ．()+∞∞-, B ．()+∞-,2 C ．()+∞,0 D ．()+∞-,1○………○………第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 11．已知点(),x y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则u y x =-的取值范围是 . 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i =__________.13．已知圆O ：x 2+y 2=5，直线l :x cos θ+y sin θ=1(0<θ<π2).则圆O 上到直线l 的距离等于1的点有____________个.14．已知圆的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该圆的半径是 .15．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且，则 .PB PA 3==BC PB………○………__________ ………○……… 三、解答题 16．已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的图象的一部分如图所示. （1）求函数()f x 的解析式; （2）当26,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，求函数()()2y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值. 17．某校高三文科分为五个班.高三数学测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了18人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. （1）问各班被抽取的学生人数各为多少人? （2）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率. 18．某个实心零部件的形状是如下图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A BC D ABCD -，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -. 频率分数901001101201300.050.100.150.200.250.300.350.408070（1）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知10AB =，1120A B =，230AA =，113AA =（单位：cm ），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？19．已知两点()1,0M -、()1,0N ，点P MN MP ⋅ .（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(),0K m 是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆2x +()224y -=的位置关系.20．已知数列{}n a 满足：11=a ，()20a a a =≠，212n n na a p a ++=⋅（其中p 为非零常数，*n N ∈）．（1）判断数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是不是等比数列？（2）求n a ；（3）当1=a 时，令2n n nna b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S .21．已知二次函数()yg x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值()10m m -≠.设()()g x f x x =.（1）若曲线()y f x =上的点P 到点()0,2Q m 的值；（2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点.参考答案1．B【解析】试题分析：{}1,2,3,4,5U = ，{}1,2A =，{}2,3,4B =，所以{}1,2,3,4A B = ，所以(){}5U A B = ð，选B. 考点：集合的基本运算2．A【解析】 试题分析：312i i i i i+=--=-，故选A.考点：复数的运算3．B【解析】 试题分析：12102a b a b n n ⊥⇔⋅=⨯+⨯=⇒=- ，故选B.考点：平面向量的坐标运算4．C【解析】试题分析：由于t 、2t -、3t -成等比数列且为等比数列{}n a 的前三项，则有()()223t t t -=-，解得4t =，所以14a =，22a =，31a =，设等比数列{}n a 的公比为q ，则212142a q a ===，11n n a a q -∴=⋅=1142n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，故选C.考点：1.等比中项的性质；2.等比数列的通项公式5．D【解析】 试题分析：对于命题①，取12x =，则21142x x =<=，即2x x <，命题①错误；对于命题②，取2x =，242x x =≥=，即2x x ≥，命题②正确；对于命题③，2217212048x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，命题③正确；对于命题④，30log 21<< ，取0x =，则()()033log 2log 21x ==，命题④正确，故选D.考点：全称命题与特称命题6．C【解析】试题分析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2126a a =⇒=，离心率123c c a =⇒=，b ∴=2213632x y +=或2213236x y +=，故选C. 考点：1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程7．D【解析】试题分析：根据题中的定义，函数为“互为生成”函数，则这些函数在平移前后振幅不变，对于①中的函数而言，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；对于②中的函数而言，()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；对于③中点的函数而言，()sin f x x =；对于④中的函数而言，()f x x =+ D.考点：1.新定义；2.三角函数图象变换8．A【解析】试题分析：如下图所示，连接1AB 、1B C 、AC ，由于四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，因为1BD DD D = ，所以AC ⊥平面1BDD ，1BD ⊂ 平面1BDD ，所以1BD AC ⊥，同理可证11BD AB ⊥，因为1AB AC A = ，所以1BD ⊥平面1ABC ，因为1B C ⊂平面1ABC ，所以11BD B C ⊥，过点A 有且只有一个平面与1BD 垂直，且过点A 与1BD 垂直的直线都在此平面内，故AP ⊂平面1ABC ，而平面1AB C 平面111BCC B B C=，故点P 在侧面11BCC B 内的轨迹为线段1B C ，故选A.考点：直线与平面垂直 9．B 【解析】 试题分析：由于函数()2222f x x ax b π=+-+，则()()()2222222440a b a b ππ∆=--+=+-≥，即222ab π+≥，事件空间所表示的区域为(){},,a b a b ππππΩ=-≤≤-≤≤，为边长为2π的正方形，其面积为()2224S ππ'==，事件“函数()2222f x x ax b π=+-+有零点”所构成的区域为(){}222,,,A a b a b a b πππππ=+≥-≤≤-≤≤，所表示的区域为正方形内以π为半径的圆的外部，其面积为23S πππ=⨯=，因此，事件“函数()2222f x x ax b π=+-+有零点”的概率为23244S P S πππ'-==14π=-，故选B. 考点：1.二次函数的零点；2.几何概型 10．D 【解析】试题分析：存在正数x 使()12<-a x x成立⇔存在正数x 使得2xx a --<⇔存在正数x 使得2xa x ->-成立，令()2xf x x -=-，则函数()f x 在()0,+∞上单调递增，则()()01f x f >=-，所以1a >-，选D.PD 1C 1B 1A 1D C BA考点：1.特称命题；2.参数分离法 11．[]1,1-. 【解析】试题分析：作不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，直线1x y +=交x 轴于点()1,0B ，交y 轴于点()0,1A ，作直线:l u y x =-，则u 为直线l 在y 轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，此时直线l 在y 轴上的截距最大，当直线l 过可行域上的点B 时，此时直线l 在y 轴上的截距最小，因此min 011u =-=-，max 101u =-=，即目标函数u y x =-的取值范围是[]1,1-.考点：线性规划 12．4. 【解析】试题分析：第一次循环，011i =+=，122A =⨯=，111B =⨯=，A B <不成立； 第二次循环，112i =+=，224A =⨯=，122B =⨯=，A B <不成立； 第三次循环，213i =+=，428A =⨯=，236B =⨯=，A B <不成立；第四次循环，314i =+=，8216A =⨯=，6424B =⨯=，A B <成立，跳出循环体，输出4i =.考点：算法与程序框图 13．4【解析】由圆标准的方程得到圆心O （0，0），半径r=2， ∵圆心O 到直线l 的距离d==1＜2，且r ﹣d=2﹣1=1，∴圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为3，即n =3． 故答案为：3． 14．1. 【解析】试题分析：圆的方程为2cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即co s 2si n ρθθ=，化为直角坐标方程得22x y+，其标准方程为221x y ⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭，故该圆的半径长为1.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化 15．12. 【解析】试题分析：由切割线定理得2PA PB PC =⋅，即23PB PB PC =⋅，所以3PC PB =，因此BC PC PB =- 2PB =，因此12PB BC =. 考点：切割线定理 16．（1）()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当23x =-时，y4x =-时，y 的最小值- 【解析】试题分析：（1）先根据图象得出最大值A ，以及周期，从而求出ω的值，最后将最高点()1,2代入函数解析式并结合ϕ的取值范围得出ϕ的值，从而确定函数()f x 的解析式；（2）求出函数()()2y f x f x =++结合诱导公式以及辅助角公式将函数()f x 的解析式化简为()sin A x b ωϕ++的形式，并计算出x ωϕ+的取值范围，然后结合正弦曲线得到函数的最)4cos(2πθρ+=值，并找出相应的最值时，x ωϕ+的值，从而求解出函数取最值时的x 值. 试题解析：（1）由图像知2A =,2284T T ωπ=⇒==,∴4ωπ=,得()2sin()4f x x ϕπ=+.将最高点()1,2代入，得1424ϕϕπππ⨯+=⇒=， ∴()2sin()44f x x ππ=+； （2）2sin()2sin[(2)]2sin()2cos()44444444y x x x x ππππππππ=++++=+++=)424x x πππ+=，∵2[6,]3x ∈--,∴3[,]426x πππ∈--， ∴当46x ππ=-，即23x =-时，y4x π=-π，即4x =-时，y 的最小值-.考点：1.三角函数图象与三角函数解析式；2.三角函数的最值17．（1）各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人，22人； （2）在抽取的所有学生中，任取一名学生, 求分数不小于90分的概率为0.75. 【解析】试题分析：（1）先利用频率、样本容量以及总容量之间的关系求出抽取的学生总数，利用各班抽取的人数成等差数列这一条件求出公差，进而确定各班被抽取的人数；（2）在频率分布直方图中找出区间[]90,130所对应的矩形，然后利用频率分布直方图的几何意义计算事件“在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分”的概率. 试题解析：（1）由频率分布条形图知，抽取的学生总数为人. ∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为， 由=100, 解得.∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人,22人. （2）在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.考点：1.等差数列；2.频率分布直方图18．（1）详见解析；（2）所需加工处理费为484元.51000.05=d 51810d ⨯+1d =【解析】试题分析：（1）先证11//B D BD ，再证BD ⊥平面22ACC A ，从而得到11B D ⊥平面22ACC A ，在证明BD ⊥平面22ACC A 的过程中，利用四边形ABCD 为正方形得到AC BD ⊥，再由直棱柱的性质得到2AA ⊥平面ABCD ，从而得到2AA BD ⊥，再利用直线与平面垂直的判定定理得到BD ⊥平面22ACC A ；（2）先计算该几何体的表面积，然后利用单价乘以表面积便可以得到加工处理费.试题解析：（1）因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形， 所以AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD ，又因为AB∩AD＝A ，所以AA 2⊥平面ABCD. 连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以AA 2⊥BD. 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD. 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D∩平面ABCD ＝BD ， 平面BB 1D 1D∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥BD.于是 由AA 2⊥BD ，AC ⊥BD ，B 1D 1∥BD ，可得AA 2⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1， 又因为AA 2∩AC＝A ，所以B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.（2）因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB·AA 2＝102＋4×10×30＝1 300(cm 2)． 又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形． 所以S 2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面 ＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h 等腰梯形的高 ＝202＋4×12(10＋＝1120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1300＋1120＝2420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2420＝484(元)． 考点：1.直线与平面垂直；2.空间几何体的表面积19．（1）动点的轨迹方程为24x y =；（2）点D 的纵坐标为1-. 【解析】P试题分析：（1）设动点P 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点P 的轨迹方程；（2）先设点1122()()A x y B x y ,,,，利用导数求出曲线M 在点A 和点B 处的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点D 的坐标，利用两切线垂直得到124x x =-，从而求出点D 的纵坐标.试题解析：（1）设，则，∵，∴． 即，即，所以动点的轨迹M 的方程． 4分（2）设点、的坐标分别为、， ∵、分别是抛物线在点、处的切线， ∴直线的斜率，直线的斜率. ∵,∴, 得. ① ∵、是抛物线上的点,∴∴直线的方程为,直线的方程为.由 解得 ∴点的纵坐标为.考点：1.动点的轨迹方程；2.利用导数求切线方程；3.两直线的位置关系；4.两直线的交点 20．（1）数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）23212n n n n a a p -+-=⋅，n N *∈；（3）(),P x y (),1Q x -QP QF FP FQ ⋅=⋅()()()()0,1,2,1,2y x x y x +⋅-=-⋅-()()22121y x y +=--24x y =P 24x y =A B ()11,x y ()22,x y 1l 2l C A B 1l 1'112x x x k y ===2l 2'222x x x k y ===12l l ⊥121k k =-124x x =-A B C 221212,.44x x y y ==1l ()211142x x y x x -=-2l ()222242x xy x x -=-()()21112222,42,42x x y x x x x y x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩12,22 1.2x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩D 1-221222(1),1,2(1),1,2(1), 1.(1)1n n n n n p n n S p p p np p p p +⎧+=⎪⎪+⎪=-=-⎨⎪⎪--≠±⎪--⎩. 【解析】试题分析：（1）将数列{}n a 的递推式212nn na a p a ++=⋅进行变形得211n n n n a a p a a +++=⋅，从而利用定义得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）在（1）的基础上先求出数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用累乘法求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的基础上，将1a =代入数列{}n a 的通项公式，从而求出数列{}n b 的通项公式，并根据数列{}n b 的通项公式21n n b n p-=⋅，对1p =、1p =-以及()10p p ≠±≠进行三种情况的分类讨论，前两种情况利用等差数列求和即可，在最后一种情况下利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S ，最后用分段的形式表示数列{}n b 的前n 项和n S .试题解析：（1）由n n n a a p a 212++⋅=，得nn n n a a p a a 112+++⋅=． 令1n n na c a +=，则1c a =，1n n c pc +=． 0≠a ，10c ∴≠，p c c nn =+1（非零常数）， ∴数列}{1nn a a +是等比数列． （2） 数列{}n c 是首项为a ，公比为p 的等比数列，∴111n n n c c p a p --=⋅=⋅，即11n n na ap a -+=． 当2n ≥时，230121121()()()1n n n n n n n a a a a a ap ap ap a a a -----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯23212n n n a p-+-=，1a 满足上式，2321*2,N n n n n a a pn -+-∴=∈．（3）12212211()()n n n n n n n n na a a ap ap a p a a a --++++=⋅=⨯=， ∴当1=a 时，212n n n nna b np pa -+==． 132112n n S p p n p -∴=⨯+⨯++⨯ ， ① 232121 1(1)n n n p S p n p n p -+=⨯++-⨯+⨯ ② ∴当21p ≠，即1p ≠±时，①-②得：22132121212(1)(1)1n n n n n p p p S p p pnpnp p-++--=+++-=-- ， 即221222(1),1(1)1n n n p p np S p p p +-=-≠±--． 而当1p =时，(1)122n n n S n +=+++=， 当1p =-时，(1)(1)(2)()2n n n S n +=-+-++-=-． 综上所述，221222(1),1,2(1),1,2(1), 1.(1)1nn n n n p n n S p p p np p p p +⎧+=⎪⎪+⎪=-=-⎨⎪⎪--≠±⎪--⎩考点：1.定义法证明等比数列；2.累乘法求数列通项；3.等差数列求和；4.错位相减法求和 21．（1）1m =或1m =；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先设点()00,P x y 的坐标，利用两点间的距离公式将2PQ 表示为0x 为自变量的函数，利用基本不等式求出相应的最小值，然后列方程求出m 的值；（2）令0y =，将函数()y f x kx =-的零点转化为求方程()2120k x x m -++=的根，对首项系数1k -的符号进行分类讨论，以及在首项系数不为零时对∆的符号进行分类讨论，从而确定函数在定义域上是否存在零点，并且在零点存在的前提下利用求根公式求出相应的零点值.试题解析：（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=；又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a =m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x mf x x x x==++， 设(),o o P x y ，则202020202)()2(||x m x x y x PQ ++=-+= m m m m m x m x 2||2222222220220+=+≥++=当且仅当202202x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0<m 时，2)222(=+-m 解得12--=m（2）由()()120my f x kx k x x =-=-++=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2mx =-；当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->， 若0m >，11k m>-， 函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=，即1)1(11---±=k k m x ；若0m <，11k m<-， 函数()y f x kx =-有两个零点)1(2)1(442k k m x ---±-=，即1)1(11---±=k k m x ；当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=, 11k m=-,函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11综上，当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2m x =-； 当11k m >-(0m >)，或11k m<-（0m <）时， 函数()y f x kx =-有两个零点1)1(11---±=k k m x ；当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11. 考点：1.两点间的距离公式；2.基本不等式；3.分类讨论；4.一元二次方程的求解。
广州市执信中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题及答案
2014-2015学年度第一学期 高一级数学科期末考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．空间直角坐标系中，点(2,5,8)M 关于xoy 平面对称的点N 的坐标为（***） A. (2,5,8)- B. (2,5,8)- C. (2,5,8)- D. (2,5,8)--2．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（***） A ．正三角形的直观图仍然是正三角形 B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形 C ．正方形的直观图是正方形 D ．圆的直观图是圆3．已知一个棱长为3的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积等于（***） A. 4π B. 6π C. 8π D. 9π4．设0.320.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====，则这四个数的大小关系是（***） A.a b c d <<< B. b a d c <<< C. b a c d <<< D. d c a b <<<5．已知圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4420C x y x y +---=相交，则圆1C 与2C 的公共弦所在的直线的方程为（***）A. 210x y ++=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y --=6．函数221()x f x x+=（***）A. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22上单调递增B. 是奇函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减 C. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22上单调递增 D. 是偶函数且在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22上单调递减 7．下列四个说法： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 正确的是（***）Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④ 8．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 （***）A ．B ．C ．D ．9．已知点,直线y x b =+将△分割为面积相等的两部分,则b =（***）A ．22B ．12C ． 21-D ．212-10．若a b 、分别是方程lg 4,104xx x x +=+=的解，2,0()20a bx f x x x +⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，.则关于x 的方程()21f x x =-的解的个数是（***） A ． B ． C ． D.第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 把答案填在答卷的相应位置．11．实数24,122x y x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩满足，则目标函数3z x y =+-的最小值是 *** .12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：由上表知，方程220x x -=的一个根所在区间为 *** .13．两条直线022=++y x 与024=-+y ax 互相垂直， 则a = *** .14．如图，直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的 正方形，侧棱长1=2AA ，则异面直线11A B 与1BD 的夹角 大小等于 *** .123415．直线(21)(2)0(,,0)m x y n x y m n R m n +-+-+=∈且不同时为经过定点 *** .16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ﹣BD ﹣C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ； ②∆ACD 是等边三角形；③AB 与CD 所成的角为90°；④二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角正切值是2；其中正确结论是 *** .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本题满分12分）已知集合2{|650}A x x x =-+<，2{|1216}x B x -=<<，{|ln()}C x y a x ==-，全集为实数集R .(1) 求,()R A B C A B ⋃⋂； (2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图. （1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体； （2）求出该几何体的全面积和体积.19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上. (1)求圆C 的方程；(2) 过点313（，）的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程.20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点. （1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒，EABDCP求CDAD的值.21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A （1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM •AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.22．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）若1,3a b ==，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值.2014年高一数学期末考试参考答案1-10．CBDBB ADACB-；16．①②④11．4-；12．（1.8，2.2）；13．2-；14．60°；15．(1,1)17. （本题满分12分）已知集合全集为实数集R . (1) 求,()R A B C A B ⋃⋂；(2) 若A C φ⋂=，求实数a 的范围.17．解：{|15}A x x =<<，{|26}B x x =<<，{|}C x x a =<， (6分) (1) {|16}A B x x ⋃=<<，(8分)(){|15}{|26}{|56}R C A B x x x x x x x ⋂=≤≥⋂<<=≤<或(10分) (2) A C φ⋂=，所以1a ≤．(12分)18．（本题满分10分）如图是一个几何体的正视图和俯视图. （1）画出其侧视图，判断该几何体是什么几何体； （2）求出该几何体的全面积和体积. 18．解：（1）左视图： 见下图可判断该几何体是一个正六棱锥.（4分）（2）正六棱锥的侧棱长是2a ，底面边长是a .它是由六个腰长是2a ，底面边长是a 的等腰三角形 与一个底面边长是a 的正六边形围成.∴222211=(2)()6()62222a aS a a a a ⋅-⋅+⋅-⋅表面 =223153322a a +=233(51)2a +.（7分）由正视图可知，正六棱锥的高22(2)3h a a a =-=，底面积33=2S a 底面，∴2311333=33322V S h a a a ⋅=⋅⋅=棱底 （10分）19．（本题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(1,3)A B -，且圆心C 在直线y x =上.(1)求圆C 的方程；(2) 过点313（，）的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程. 19.（1）设圆心C(,a a )，（1分）2222(2)(1)(3)0CA CB a a a a a =⇒+-=-++⇒=（4分）所以2r CA == （5分），圆C 的方程为224x y += （6分）（2）若直线l 的斜率不存在，方程为1x =，此时直线l 截圆所得弦长为23，符合题意；若直线l 的斜率存在，设方程为3(1)333303y k x kx y k -=--+-=即. 由题意，圆心到直线的距离222|33|23199k d k -==-=+33k ⇒=-直线l 的方程为320x y +-=.综上，所求方程为1x =或320x y +-= 20．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点. （1）求证：PB //平面EAC ；EABDCP（2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒， 求ADCD的值. 20．解：（1）连结BD 交AC 于O ，连结EO,因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PB EAC PB EAC E 平面平面⊄⊂,0, 所以PB //平面EAC . （4分） （2）法一：CO ABCD ⊂面正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥， 又PD CD D =，所以，AE ⊥平面PCD . （10分）法二：ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面C O A B C D⊂面 正三角形P AD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥，又PDC PAD PD =面面，AE PAD ⊂面，所以，AE ⊥平面PCD .（10分） （3）由（2）AE ⊥平面PCD ，直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE30,2Rt ACE ACE AC AE ∴∠=︒=中，，又32PAD AE AD ∆=正中，， 3AC AD ∴=，又矩形22ABCD AC AD CD =+中，，由223AD CD AD +=解得22CD CD AD AD=∴=， （14分） 21.（本题满分10分）已知圆C ：22(3)(4)4-+-=x y ，直线1l 过定点(1,0)A（1）若直线1l 与圆相切，切点为B ，求线段AB 的长度； （2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ， 又1l 与2l ：220++=x y 的交点为N ，判断AM AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由. 21．(1)AB CB ⊥，所以切线长224AB AC r =-=（4分）(2)易知，若斜率不存在，则1l 与圆相切，若斜率为0，则1l 与圆相离，故直线的斜率存在， 可设1l 的方程：(1)y k x =- 由220(1)x y y k x ++=⎧⎨=-⎩解得223(,)2121k kN k k --++ AE ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD CD AEPAD ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面又直线1CM l ⊥，14(3)(1)y x k y k x ⎧-=--⎪⎨⎪=-⎩解得22224342(,)11k k k k M k k +++++ 所以2222|21|31161|21|k k AM AN k k k ++=+=++为定值.(也可以用几何法证明)（10分） 22．（本题满分12分）对于函数()f x ,若存在0x R ∈使得00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠. (1)若1,3a b ==，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，若()y f x =图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值.22. 解：（1）若1,3a b ==，22()42,()320f x x x f x x x x =++=⇒++=，2,1x ⇒=--，则()f x 的不动点为2,1--. （2分） （2）函数()f x 恒有两个相异的不动点，所以方程()f x x =即210(0)ax bx b a ++-=≠恒有两个不等实根，需要判别式大于0恒成立，即224(1)0440b a b b ab a -->⇔-+>对任意实数b 恒成立，2(4)44001a a a ⇒∆=--⨯<⇒<<，所以01a <<.（6分）（3）因为A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，所以AB ⊥直线且中点M 在直线上 设1122(,),(,)A x x B x x ，由（2）知，12bx x a+=-所以AB 的中点1212(,)(,)2222x x x x b bM a a++--即 易知11AB k k =∴=- 221()222121b b a b a a a a ∴-=--+⇒=-++ 由（2），01a <<所以221112112(2)22a b a a a a a=-=-=-++-+当且仅当min 121222422a ab a ===-=-即时，（12分）。
广东省执信中学2014届高三上学期期中考试理科数学试卷(解析版)
广东省执信中学2014届高三上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．设全集U R =，集合(){}30A x x x =+<，集合{}1B x x =<-，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}31x x -<<- B.{}30x x -<< C.{}0x x >D.{}1x x <- 【答案】A 【解析】试题分析：由于(){}{}3030A xx xx x =+<=-<<，图中所表示的集合为{}31A B x x =-<<-，选A.考点：1.集合的表示法；2.集合的基本运算2．在复平面内O 为坐标原点，复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，则AB =（ ）A.B.2C.D.4【答案】B 【解析】试题分析：由复数的几何意义知，()1,1OA =，()1,3OB =，则()()()1,31,10,2A B O BO A =-=-=，所以2AB =，故选B. 考点：1.复数的几何意义；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模 3．当01x <<时，下列大小关系正确的是 （ ）A.333log x x x <<B.33log 3x x x <<C.333log x x x <<D.33log 3x x x << 【答案】B【解析】试题分析：当01x <<时，33log log 10x <=，33011x <<=，0113333x =<<=，所以33log 3x x x <<，选B.考点：利用中间值法比较大小4．一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A. B.8 C.12 【答案】A 【解析】试题分析：该三棱柱的侧视图为一个矩形，由“长对正，高平齐，宽相等”的原理知，其侧视图的底边长为俯视图正三角形的高，侧视图的高为3，故其侧视图的面积为3S == A.考点：1.三视图；2.侧视图的面积5．已知函数()sin cos f x x x =-，且()()2f x f x '=，则tan 2x 的值是（ ） A.43- B.43 C.34- D.34【答案】C 【解析】 试题分析：()sin cos f x x x =-，所以()c o s s i n f x xx '=+，于是有()cos sin 2sin cos x x x x +=-，整理得s i n 3c o xx =，所以t a n3x =，因此222tan 233tan 21tan 134x x x ⨯===---，选C. 考点：1.导数；2.同角三角函数的商数关系；3.二倍角的正切6．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为（ ）正视图A.12 B.13 C.14 D.16【答案】B 【解析】试题分析：阴影部分的面积)31231200211333S x dx x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰，而正方形OABC 的面积211S '==，故点M 取自阴影部分的概率为13S P S =='，故选B. 考点：1.定积分；2.几何概型7．若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ）A.1⎡-+⎣B.1⎡⎤-⎣⎦C.1,1⎡-+⎣D.1⎡⎤-⎣⎦【答案】D【解析】试题分析：对于曲线3y =得30y -=≤，所以3y ≤，等式两边平方得()2234y x x -=-，即()22430x x y -+-=，即()()22234x y -+-=，故曲线3y =表示圆()()22234x y -+-=的下半圆，如下图所示，当直线y x b =+与圆()()22234x y -+-=相切时，2=，即12b -=解得1b =-或1b =+1b =-，b 为直线y x b =+在y 轴上的截距，当直线y x b =+与y 轴的交点位于点()0,3之上时，则此时直线与曲线无公共点，当直线y x b=+经过点()0,3时，3b=，因此实数b 的取值范围是1⎡⎤-⎣⎦，故选D.xyO AC y x =2y x =(1,1) B考点：1.函数图象；2.直线与圆的位置关系8．已知函数()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若[]11,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(]0,3D.[)3,+∞【答案】D 【解析】试题分析：1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则有()()min min g x f x ≤，()()max max g x f x ≥，而函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值为()()max 13f x f =-=，函数()f x 在区间[]1,2-上的最小值为()()min 11f x f ==-，由于0a >，函数()2g x ax =+在区间[]1,2-上单调递增，则()()max 2g x g ==22a +，()min 2g x a =-+，于是有21a -+≤-且223a +≥，解得3a ≥，故选D.考点：1.存在命题与全称命题；2.函数的值域二、填空题9．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s = （克）（用数字作答）. 【答案】2. 【解析】试题分析：样本的平均数为()11251241211231271245x =++++=，故该样本的标准差为s =2. 考点：样本数据的标准差10．若数列{}n a 中，13a =，()142n n a a n -+=≥，则2013a ＝________. 【答案】3.【解析】试题分析：由题意知14n n a a ++=，可得124n n a a +++=，两式相减得220n n n n a a a a ++-=⇒=，因此数列{}n a 中序数为奇数的项相等，所以201313a a ==.考点：数列的周期性 11．设()()()()92201212122xx a a x a x ++=+++++()11112a x ++，则012a a a a ++++的值为______________________.【答案】3-. 【解析】 试题分析：令21x +=，即令1x =-得()()9201211112113a a a a ⎡⎤++++=-+⋅⨯-+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦.考点：二项式系数12．已知命题:p 方程210x x +-=的两实数根的符号相反；命题0:q x R ∃∈，使2000x mx m --<，若命题“p q ∧”是假命题，则实数m 的取值范围是______.【答案】(][),40,-∞-+∞.【解析】试题分析：设方程210x x +-=的两根分别为1x 、2x ，则1210x x =-<，故命题q 为真命题；由于命题“p q ∧”为假命题，则命题q 为假命题，则x R ∀∈，20x mx m --≥成立，则()()24m m ∆=--⨯-=240m m +≥，解得4m ≤-或0m ≥，故实数m 的取值范围是(][),40,-∞-+∞.考点：1.复合命题；2.不等式恒成立13．某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为____元. 【答案】2300.【解析】试题分析：设该公司需租赁甲设备x 台，乙设备y 台，则x 、y 所满足的约束条件为56501020140,x y x y x y N +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈⎩，目标函数为()20030010023z x y x y =+=+，作出不等式组56501020140,x y x y x y N +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈⎩所表示的平面区域如下图所示，作直线():10023l z x y =+，则z 为直线l 在x 轴上截距的200倍，联立56501020140x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩，即点()4,5A ，当直线l 经过可行域上的点()4,5A 时，此时直线l 在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()min 10024352300z =⨯⨯+⨯=.考点：线性规划应用 14．直线121x ty t=+⎧⎨=-⎩与曲线2cos ρθ=相交，截得的弦长为_【答案】5【解析】试题分析：曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为222x y x +=，标准方程为()2211x y -+=，表示以点()1,0为圆心，半径长为1的圆，直线121x ty t=+⎧⎨=-⎩的一般式方程为230x y +-=，则圆心到直线的距离为d=5=，因此直线与圆相交所得的弦长为== 考点：1.圆的极坐标方程与普通方程之间的转化；2.直线的参数方程为一般方程之间的转化；3.点到直线的距离；4.勾股定理15．如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C 、D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知4AC =，6AB =，则MP NP ⋅= .【答案】254. 【解析】试题分析：由切割线定理得222694AB AB AC AD AD AC =⋅⇒===，所以945CD AD AC =-=-=，由于点P 是CD 的中点，则52CP DP ==，由相交弦定理得252524MP NP CP DP ⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎝⎭.考点：1.切割线定理；2.相交弦定理三、解答题16．已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C，且sin cos b A B . （1）求角B 的大小；（2）若()2cos cos f x x x x =+，求()f A 的最大值. 【答案】（1）3B π=；（2）()max 32f A =. 【解析】N B试题分析：（1）在已知条件中，利用边角互化将条件sin cos b A B =转化为sin sin cos B A A B =，于此得到tan B 的值，从而求出角B 的大小；（2）先利用二倍角的降幂公式与辅助角公式将函数()f x 的解析式化简为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，在（1）的条件下，得到A 的取值范围是20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，问题转化为求函数()f A 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上取最大值，只需先求223A π+的取值范围，结合正弦曲线确定函数()f A 的最大值.试题解析：（1）由正弦定理，2sin sin 2sin cos R B A R A B =，由(0,),sin 0A A π∈≠⇒sin tan (0,)3B B B B B ππ⇒∈∴=；（2）111()2+cos 2+=sin(2)2262f x x x x π=++，所以1()sin(2)62f A A π=++ 由（1），m ax23(0,)2(,)sin(2)136626A A A πππππ∈∴+∈∴+=ma x13[s i62m aAfπ∴++. 考点：1.边化角；2.二倍角公式；3.辅助角公式；4.三角函数的最值17．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：()1f x x =，()22f x x =，()33f x x =，()4sin f x x =，()5cos f x x =，()62f x =.（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）15；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用性质“奇函数+奇函数=奇函数”这一性质得到所抽取的两个函数都是奇函数，然后再用排列组合结合古典概型的概率公式计算相应事件的概率；（2）先列举出随机变量ξ的全部可能取值，利用条件概率的计算公式计算随机变量子在相应的取值下对应的概率，从而列举出随机变量的分布列，最终计算出随机变量的数学期望.试题解析：（1）六个函数中是奇函数的有1()f x x =，33()f x x =，4()sin f x x =， 由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数．记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知23261()5C P A C ==；（2）ξ可取1,2,3,4 ，13161(1)2C P C ξ===, 113311653(2)10C C P C C ξ==⋅=1113321116543(3)20C C C P C C C ξ==⋅⋅=, 11113321111165431(4)20C C C C P C C C C ξ==⋅⋅⋅=， 故ξ的分布列为123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=答：ξ的数学期望为74.考点：1.排列组合； 2.条件概率；3.随机变量的概率分布列与数学期望18．已知数列{}n a 、{}n b 中，111a b ==，且当2n ≥时，10n n a na --=，1122n n n b b --=-.记n 的阶乘()()12321!n n n n --⋅⋅=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （3）若22n nn n n a c b a +=+-，求{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）!n a n =；（2）详见解析；（3）数列{}n c 的前n 项和为()111222nn S n n =-⋅--+. 【解析】试题分析：（1）根据数列{}n a 的通项公式的结构特点选择迭代法求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 的递推式1122n n n b b --=-的两边同时除以2n得到111222n n n n b b --=-，于是得到111222n n n n b b ---=-，从而利用定义证明数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（3）在（2）的基础上求出数列{}n b 的通项公式，并分别求出数列2n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭和数列{}2nn b -的通项公式，然后根据数列{}n c 的通项结构选择分组求和法，分别对数列2nn a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭和数列{}2nn b -进行求和，利用裂项法对数列2n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭进行求和，利用错位相减法对数列{}2nn b -进行求和，然后再将两个和相加即可. 试题解析：（1）10n n a na --=，2n ≥，11a =，()()()()()12311121232!n n n n a na n n a n n n a n n n a n ---∴==-=--==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅=；又111!a ==，所以!n a n =；（2）由1122n n n b b --=-，两边同时除以2n得111222n n n n b b --=-，即111222n n n n b b ---=-， 所以数列2n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12-为公差的等差数列， ()11112222n nb n n ⎛⎫∴=+-⨯-=- ⎪⎝⎭，故212n n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （3）因为()()21111212n n a a n n n n +==-++++，122n n n b n --=⋅， 记3123452n n n a a a a A a a a a +=++++，11111111112334451222n A n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 记{}2nn b -的前n 项和为nB ，则01211222322n n B n -=-⋅-⋅-⋅--⋅， ①()12121222122n n n B n n -∴=-⋅-⋅---⋅-⋅ ②由②-①得，()01211222222212112n n nn n n B n n n --=++++-⋅=-⋅=-⋅--，∴123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+=11(1)222n n n A B n n +=-⋅--+. 考点：1.迭代法求数列的通项；2.构造法求数列通项；3.分组求和法；4.裂项求和法；5.错位相减法19．如图，长方体1111ABCD A BC D -中11AA AD ==，E 为CD 中点.（1）求证：11B E AD ⊥；（2）在棱上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；（3）若二面角11A B E A --的大小为30，求AB 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）存在，且12AP =；（3）AB 的长为2. 【解析】试题分析：（1）以A 为原点，AB 、AD 、1AA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，并设AB a =，利用空间向量法证明110AD B E ⋅=，从而达到证明11AD B E ⊥；（2）设点()0,0,P t ，求出 平面1B AE ，利用//DP 平面1B AE 转化为DP n ⊥，利用向量坐标运算求出t 知，从而确定点P 的坐标，最终得到AP 的长；（3）设AB a =，利用空间向量法求出二面角11A B E A --的余弦值的表达式，再结合二面角11A B E A --为30这一条件求出a 的值，从而确定AB 的长度.试题解析：（1）以A 为原点，AB 、AD 、1AA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB a =，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()10,1,1D ，,1,02a E ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,1B a ， 故()10,1,1AD =，1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,0,1AB a =，,0,12a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1A1B 1C 1D AE11110AD B E ∴⋅=-=，11B E AD ∴⊥；（2）假设在棱1AA 上存在一点()0,0,P t ，使得//DP 平面1B AE ，此时()0,1,DP t =-， 有设平面1B AE 的法向量为(),,n x y z =，n ⊥平面1B AE ，11n BA ∴⊥，n AE ⊥，得002ax t axy +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取1x =，得平面1B AE 的一个法向量为1,,2a n a ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 要使//DP 平面1B AE ，只要n DP ⊥，即有0n DP ⋅=，由此得02a at -=，解得12t =，即10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又DP ⊄平面1B AE ，存在点P ，满足//DP 平面1B AE ，此时12AP =； （3）连接1A D 、1B C ，由长方体1111ABCD A BC D -及11AA AD ==，得11AD A D ⊥，11//B C A D ，11AD BC ∴⊥，由（1）知，11B E AD ⊥，由111B CB E B =，1AD ∴⊥平面1DCB A ，1AD ∴是平面11B A E 的一个法向量，此时()10,1,1AD =，设1AD 与n 所成的角为θ，得11cos aaAD n AD n θ--⋅==⋅，二面角11A BE A --的大小为30，33cos cos30aθ∴===，解得2a =，即AB 的长为2.考点：1.直线与直线垂直；2.直线与平面平行的探索；3.利用空间向量法求二面角 20．设函数()ln 1f x x px =-+.（1）研究函数()f x 的极值点；（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围；（3）证明：()2222222ln 2ln 3ln 21,22321n n n n N n n n ⎛⎫--+++<∈≥ ⎪+⎝⎭. 【答案】（1）详见解析；（2）实数p 的取值范围是[)1,+∞；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先求出函数()f x 的导数()f x '，对p 的符号进行分类讨论，即对函数()f x 是否存在极值点进行分类讨论，结合函数的单调性或导数符号确定函数的极大值或极小值；（2）利用（1）中的结论，将问题转化为()max 0f x ≤，结合（1）中的结论列不等式解参数p 的取值范围；（3）在（2）中，令1p =，得到不等式ln 1x x <-在()1,+∞上恒成立，然后令2x n =得到22ln 1n n <-，两边同除以2n 得到222ln 11n n n <-，结合放缩法得到()222ln 111111111n n n n n n n <-<-=-+++，最后；利用累加法即可得到所证明的不等式.试题解析：（1）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f ，xpxp x x f -=-='11)( 当),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p 上无极值点 当p>0时，令1()0(0,),()()f x x f x f x x p''=∴=∈+∞，、随的变化情况如下表：从上表可以看出：当p>0 时，()f x 有唯一的极大值点1x p=（2）当0p >时在1x p=处取得极大值11()ln f p p =，此极大值也是最大值，要使()0f x £恒成立，只需11()ln 0f pp= ，∴1p ³，即p 的取值范围为[1，+∞)；（3）令1p =，由（2）知，2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ， ∴1ln 22-≤n n ，∴22222ln 111n n n n n -≤=-， ∴222222222ln2ln3ln 111(1)(1)(1)2323n n n+++≤-+-++-222111(1)()23n n =--+++111(1)()2334(1)n n n <--+++⨯⨯+111111(1)()23341n n n =---+-++-+ 21121(1)()212(1)n n n n n --=---=++,∴结论成立 另解：设函数ln x y x =，则/21ln x y x -=，令/0y =，解得x e =，则ln 1lnx e x e e≤=， ∴222222ln2ln3ln 111123n n n e e e e -+++≤+++==2212(1)n n n --+2(1)(21)n e n +∙+=2212(1)n n n --+（1121e n +<+2212(1)n n n --+ 考点：1.函数的极值；2.不等式恒成立；3.分类讨论；4.数列不等式的证明；5.放缩法 21．已知点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0p >，p 是常数），且动点P 到x 轴的距离比到点F 的距离小2p. （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）（i ）已知点()2,2M ，若曲线E 上存在不同两点A 、B 满足0AM BM +=，求实数p 的取值范围；（ii ）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）动点P 的轨迹E 的方程为22x py =；（2）（i ）实数p 的取值范围是()1,+∞；（ii ）详见解析. 【解析】试题分析：（1）首先由题意得到动点P 到直线2py =-和动点P 到点F 的距离相等，从而得到动点P 的轨迹是以点F 为焦点，以直线2py =-为准线的抛物线，从而求出轨迹E 的方程；（2）（i ）先由0AM BM +=得到点M 为线段AB 的中点，并设点1122()()A x y B x y ,,,，从而得到124x x +=，并设直线AB 的方程为2(2)y k x -=-，与抛物线的方程联立，结合∆与韦达定理在∆中消去k ，从而求解参数p 的取值范围；（ii ）先假设点C 存在，先利用（i ）中的条件求出点A 、B 两点的坐标，并设点C 的坐标为2,4t t ⎛⎫⎪⎝⎭，设圆的圆心坐标为(),N a b ，利用A 、B 、C 三点为圆N 上的点，得到NA NB =及NA NC =，利用两点间的距离公式得到方程组，在方程组得到a 、b 与t 的关系式，然后利用导数求出抛物线L 在点C 的切线的斜率，利用切线与圆N 的半径NC 垂直，得到两直线斜率之间的关系，进而求出t 的值，从而求出点C 的坐标. 试题解析：（1）22x py =；（2）（i ）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <， ∵AM BM +=0，可得M 为AB 的中点，即124x x +=．显然直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为2(2)y k x -=-，即22y kx k =+-， 将22y kx k =+-代入22x py =中，得224(1)0x pkx k p -+-=． 2分∴2212416(1)0,2 4.p k k p x x pk ⎧∆=-->⎨+==⎩ ∴1p >． 故p 的取值范围为(1),+∞． （ii ）当2p =时，由（i ）求得A ，B 的坐标分别为()()0044A B ,,,假设抛物线24L x y :=上存在点24t C t ⎛⎫, ⎪⎝⎭（0t ≠且4t ≠），使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N (,)a b ，∵,.NA NB NA NC ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴== 即34,142.8a b a tb t t +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得224,8432.8t ta t tb ⎧+=-⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩∵抛物线L 在点C 处切线的斜率为|2x t tk y ='==，而0t ≠，且该切线与NC 垂直， ∴2412t b t a t -⋅=--．即312204a bt t t +--=．将248t t a +=-，24328t t b ++=代入上式，得32280t t t --=．即(4)(2)0t t t -+=．∵0t ≠且4t ≠，∴2t =-． 故满足题设的点C 存在，其坐标为()2,1-．考点：1.抛物线的定义；2.直线与抛物线的位置关系；3.韦达定理；4.直线与圆的位置关系；5.导数的几何意义。
广东省广州市执信中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)
广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．325．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．49．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=110．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选：B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）若a∈R，则a=0是a（a﹣1）=0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．即可判断出．解答：解：由a（a﹣1）=0解得a=0或1．∴a=0是a（a﹣1）=0的充分而不必要条件．故选：A．点评：本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题．4．（5分）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．32考点：等比数列．分析：由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2•a6解答：解：a2•a6=a42=16故选C．点评：本题主要考查等比中项．5．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，则A=60°．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A．（5，7）B．（﹣3，﹣3）C．（3，3）D．（﹣5，﹣7）考点：向量的减法及其几何意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的减法运算法则求解即可．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，5），∴==（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3）；故选：B．点评：本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义，基本知识的考查．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4=20，S6﹣S2=36，则该等差数列的公差d=（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得结论．解答：解：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得8d=16，即d=2．故选：B．点评：本题考查数列基本量的求法．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．解答：解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f （9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：函数的值；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为x2﹣y2=1．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出C的方程．解答：解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点为（1.0），∴设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），且，∴b2=2﹣1=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．12．（5分）曲线y=5e x﹣3在点（0，2）处的切线方程为5x﹣y+2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数导数，利用导数的几何意义即可求得切线方程．解答：解：∵y=f（x）=5e x﹣3，∴∴f′（x）=5e x，则f′（0）=5e0=5，即f（x）在点（0，2）处的切线斜率k=5，则对应的切线方程为y﹣2=5（x﹣0），即5x﹣y+2=0，故答案为：5x﹣y+2=0．点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键．13．（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为2.5．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，故过点A（1，1.5）时有最大值，最大值为1+1.5=2.5，故答案为：2.5．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=7．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用余弦定理即可得出．解答：解：∵∠AOB=，∴AB2==49，∴AB=7．故答案为：7．点评：本题考查了极坐标的意义、余弦定理的应用，属于基础题．15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB．即可得出．解答：解：∵AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，∴OB⊥BC．在Rt△OBC中，=4．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∵∠A=∠ADO，∴∠BOC=∠DOC．又∵OB=OD，OC为公共边．∴△BOC≌△DOC．∴CD=CB=4．点评：本题考查了圆的切线的性质和勾股定理、平行线的性质和全等三角形的性质，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分79分）16．（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1．（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值．考点：平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．解答：解：依题意f（x）=+1=（cosx，sinx）•（，）=cosx+sinx+1=sin（x+）+1，（Ⅰ）∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴sin（x+）+1∈[0，2]，即函数f（x）的值域是[0，2]．令，解得，∴函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．（Ⅱ）由f（a）=得sin（a+）+1=，得sin（a+）=，∵，∴，得cos（a+）=﹣，∴sin（2a）=sin2（a+）=2sin（a+）cos（a+）=．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的公式．17．（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n 1 2 3 4 5体重x n60 66 62 60 62（Ⅰ）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由平均数和标准差的计算公式可得出x6和s，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．解答：解：（Ⅰ）由题意得=65 解得x6=80 …（2分）则6位同学体重的标准差s==7 …（4分）所以第6位同学的体重x6=80，这6位同学体重的标准差为s=7 …（5分）（Ⅱ）从前5位同学中任意选出2位同学的基本事件个数有10个，它们是（601，66），（601，623），（601，604），（601，625），（66，623），（66，604），（66，625），（623，604），（623，625），（604，625）…（8分）其中恰有1位同学的体重在（58，65）之间的基本事件有4个，它们是（601，66），（66，623），（66，604），（66，625）…（10分）所以恰有1位同学的体重在（58，65）之间的概率P==…（12分）点评：本题考查统计中的一些数字特征，如平均数和方差，以及古典概型，要对概念有足够的重视．18．（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥V C﹣B1FE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B，而D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B1E 即可；（3）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．解答：（1）证明：连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF是三角形BD1D的中位线，即EF∥BD1；…（3分）又EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1…（4分）（2）证明：E、F分别为D1D，DB的中点，则CF⊥BD，又CF⊥D1D∴CF⊥平面BB1D1D，∴CF⊥B1E…（8分）（3）解：由（2）可知CF⊥平面BB1D1D，∴CF为高，CF=BF=∵EF=BD1=，B1F=，B1E=3∴即∠EFB1=90°∴=∴===1…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n+1=（n+1）a n+n（n+1），即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=．当n=1，2时，也成立．点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．20．（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．分析：（1）设过M点的切线方程，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=﹣1相切；（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为，代入x2=4y，消元，利用△=0，即可确定，利用切线过点M（x0，y0），所以可得，同理可得，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，利用韦达定理，确定直线AB的方程，从而可得结论；证法三：利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB的方程，从而可得结论．解答：（1）解：当M的坐标为（0，﹣1）时，设过M点的切线方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=（4k）2﹣4×4=0，解得k=±1，代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（﹣2，1），…（2分）因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y﹣1）2=4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=﹣1相切…（4分）（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1， y1）的切线方程为，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4（kx1﹣y1）=0△=（4k）2﹣4×4（kx1﹣y1）=0，又因为，所以…（6分）从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为即又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）即…（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x2=4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）=0△=（4k）2+4×4（y0﹣kx0）=0即：k2+x0k+y0=0…（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）因为，，，所以AB的中点坐标为…（11分）故直线AB的方程为，即x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A（x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即…（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y﹣m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，确定切线方程，及直线AB的方程是关键．21．（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）．（1）若函数f（x）在[1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[，e]上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn＞++…+．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，解得即可；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求得最值；（3）由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，可得lnx≥，n≥2时，令x=，即ln＞，即可得证．解答：解：（1）由已知：f′（x）=（a＞0），依题意得：≥0对x∈[1，+∞）恒成立．∴ax﹣1≥0，x∈[1，+∞）恒成立又a为正实数∴a﹣1≥0，即：a≥1（2）∵a=1∴f（x）=+lnx，f′（x），x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（，1）上单调减，x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，e）上单调增，f（）=e﹣2，f（1）=0，f（e）=，又f（）＞f（e）所以f（x）在[，e]上的最大值为f（）=e﹣2与最小值为f（1）=0（3）∵a=1∴由（1）知：f（x）+lnx在[1，+∞）上为增函数，∴对任意x≥1时，f（x）≥f（1）=0，∴lnx≥∴n≥2时，令x=，即ln＞lnn=ln+ln+…+ln+ln＞++…++即n≥2时，lnn＞++…+点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查不等式的证明的转化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题．。
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2014-2015 学年度第一学期 高一级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4 页，满分为 150 分 . 考试用时 120 分钟 .注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答 题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题 ( 共 50 分 )一、选择题：本大题共 10 小题，每小题5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合 A2,3,4,5 , B 3,5,6 , 则 A I B =（）A ． 3B ． 2,4C.2,3,4,5,6D ． 3,52. 函数 yln( x 2) 的定义域是 ( )A. ( ,)B.( ,2)C.(0, 2)D.(2, )3. 若 log 7 2a,log 7 3 b ，则 log 7 6 ＝（）A ． a bB． abC．aD．bba4. 已知函数 f ( x)x 1,x 0f ( 2)] 的值为（x 2, x 0 ，则 f [ ）．A ． 1B．2C． 4D ． 55. 设 f (x)(1)xx1, 用 二 分 法 求 方 程 ( 1) xx 1 0 在 (1, 3) 内 近 似 解 的 过 程22中, f (1) 0, f (1.5)0, f (2) 0, f (3)0, 则方程的根落在区间 ()A. (1,1.5)B.(1.5, 2) C.(2, 3)D.(1.5,3)6.a log 0.7 0.8,b log 1.1 0.9,c 1.10.9 的大小关系是 ( )A. c a bB.a b cC.b c aD.c b a7. 下列函数中 , 是偶函数且在区间(0,) 上单调递减的函数是（）1A. yx 2B.y| x |C.y log 1 x D.y x x 238. 函数 yax1(a 0, a 1) 的图象可能是（）a9. 已知函数 f xm log 2 x 2 的定义域是 [ 2, 1] ，且 f x 4 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （）A ． (, 4]B.2 ，C.，2D.[4,+ )10. 已知定义在 R 上的奇函数f ( x) ，满足 f ( x 4)f (x) , 且在区间 [0, 2] 上是增函数 ,若 方 程f ( x)m( m 0 )8,8上 有 四 个 不 同 的 根x 1, x 2 , x 3, x , 则在 区 间x 1 x 2 x 3 x 4 =（）A.8B.8C.D.4第二部分非选择题 ( 共 100 分 )二．填空题：本大题共 6 小题 , 每小题 5 分 , 共 30 分 . 把答案填在答卷的相应位置．11．如果幂函数的图象经过点 (4,2) , 则该幂函数的解析式为___；定义域为_____________12．函数 ya x 11 a 0,a 1 过定点；13．化简 3 ( 64) 2 的结果为 _________;14. 函数 f ( x)13x 24 x5 的单调递减区间是 ______________________15. 若 f (x 1) x 2x ，则 f ( x) =;16 ．定义区间[ x 1 , x 2 ] ( x 1 x 2 ) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 y | log 0.5 (x 2) | 定义域为[ a,b] ，值域为 [0 ， 2] ，则区间 [a, b] 的长度的最大值为 _____________三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本题满分 12 分）已知集合 U0,1,2,3 , Ax U x 2 mx 0 ，(1)若 C U A1,2 ，求实数 m 的值 ;(2) 若集合 A 是单元素集（即集合内元素只有一个） , 求实数 m 的值 .18．（本题满分 12 分）已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数，当 x 0 时， f ( x) 11 ;(1) 求 f (2) 的值及 y f (x) 的解析式；x 1(2) 用定义法判断 yf ( x) 在区间 ( ,0] 的单调性；19．（本小题满分 14 分）函数 f ( x)2x 和 g( x) x 3 的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点A(x 1 , y 1) ， B( x 2 , y 2 ) ，且 x 1 x 2 ．（1）请指出示意图中曲线 C 1 ， C 2 分别对应哪一个函数 ?（2）若 x 1[a, a 1] ， x 2 [b, b1] ，且a ,b 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ,12 ，指出 a ， b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断f (6) ， g(6) ， f (2014) ，g(2014) 的大小 ( 写出判断依据 ) ，并按从小到大的顺序排列．20．（本题满分 12 分）执信中学某研究性学习小组经过调查发现，提高广州大桥的车辆通行能力可改善整个广州大道的交通状况， 在一般情况下， 桥上车流速度 vx（单位： 千米 / 小时） 是车流密度 （单 位：辆 / 千米）的函数 . 统计发现，当桥上的车流密度达到180辆 / 千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 ；当车流密度不超过 30 辆 / 千米时，车流速度是 50 千米 / 小时，研究表明：当30x 180 时，车流速度 v 是车流密度的一次函数 ;（1） 根据题意，当 0 x 180 时，求函数 v( x) 的表达式 ;（2）当车流速度 x 多大时，车流量 g( x)x v( x) 可以达到最大？并求出最大值. （注：车流量指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/ 小时）21.（本题满分 10 分）定义在上的函数f (x)满足：① 对任意x, y(1,1),都有( 1 , 1f ( x ) f y (x y；② f ( x) 在 (1,1)上是单调递增函数，11.f)() f ( )1xy2(1) 求f (0)的值；(2)证明 f (x) 为奇函数；(3)解不等式 f (2 x 1)2.22.（本题满分 10 分）设函数 f ( x)x2ax 3 ( a 0) .（1）求函数 y f (x)最大值;（2）若函数在(0,3) 上有零点，求实数 a 的取值范围;（ 3 ）对于给定的正数 a ，有一个最大的正数l (a) ，使得在整个区间0,l (a) 上，不等式f (x) 5 都成立，求l (a)表达式，并求函数l (a) 最大值.2014-2015 学年度第一学期高一级数学科期中试题答案（2）解：在(,0] 上任取x1, x2，且x1x2,则-------6分f ( x1 ) f (x2 )(111)11x2 x1； ---9分)(1x1 1 x2 1 (x11)( x21)x1 1x21由 x1 10, x210, x2x1 0 ，则f(x1 ) f (x2 )0 ，即 f(x1 ) f ( x2 )--110分由定义可知：函数y f (x) 在区间 (,0]单调递减 --------------12分19 解：（Ⅰ） C 对应的函数为； C 对应的函数为----------2分12（Ⅱ）证明：令，则 x1， x2为函数的零点，由于，，，，∴ ，----------8分（Ⅲ）从图像上可以看出，当时，，∴ ，当 时，，∴， g (2014) f (2014) ，∵ g(6)g(2014) ∴ f (6) g(6) g(2014)f (2014) ， ----------14分20 解：（ 1） 由题意：当0 x 30 时， v( x) 50 ；当 30 x 180 时， v(x) ax b30a b 50a13 ---------3再由已知得b，解得分180a 0b6050 (0 x 30)故函数 v(x) 的表达式为 v( x)1x 60(30 x---------5分180)350x (0 x 30)（2）依题并由（ I ）可得 g (x)1 x---------6分( 60)x (30 x 180)3当 0 x 30 时， g( x) 为增函数，故当 x 30 时，其最大值为 5030 1500 ---------7分当 30<x180 时， g(x) ( 1x 60) x1(x 90)22700 2700 ---------9分33对比可得 : 当 x=90 时， g （x ）在区间 [0 ， 180] 上取得最大值为 2700 ，即当车流密度为 90 辆/ 千米时，车流量可以达到最大值，最大值为2700 辆 / 小时． ---------11 分50 (0 x 30)答：（1） 函数 v （ x ）的表达式 v(x)1 x 60 (30 （ 2） 当车流密度为 90x 180)3辆/ 千米时，车流量可以达到最大值，最大值为2700 辆 / 小时． ---------12分21 解： (1) 取 x y 0 ，则 f (0)f (0)f (0),f (0) 0 ---------2 分（2）令 yx （ 1,1），则xx,f ( x)f ( x)f ( x) f ( x) f ( 1x 2 )f (0) 0则 f (x) 在 ( 1,1) 上为奇函数 ---------5分（3）由于 f (1) f ( 1) f (1 ) f ( 4) 2 ---------7分221 1541 2x 110 x199不等式可化为0 x解集为（ ）1 4x9100,2x105 10---------10分22 解答：（ 1） f ( x)x2ax 3( xa ) 2 1 a 2 3 ，故函数最大值fmax1 a2 32 44---------2 分（2）由题意，因为 f (0) 3 0 ，图像开口朝下，则必有f (3)0 ，解得 a(0,2)---------4分（3）由 f ( x)x2ax 3( xa)21a 23 ，当1a 23 5 时，即 a2 2244l (a) 是方程x 2ax 35 的较小根，解得 l ( a )aa 2 8 ；当 1 a 23 524时 ， 即 0 a 2 2 时 ， l (a) 是 方 程x 2 ax 35 的 较 大 根 ， 解 得a2a a 2 32(0a 2 2) l (a)a32；综上： l ( a)2分2aa 28---------7(a2 2)2（3）当0 a2 2 时， l (a)aa 2 322 28 32 21022当 a 22时，l ( a )aa 2 84 422aa 282 288对比可知：当 a2 2 时， l (a) 取到最大值 2 10 ---------10分。