2015年石家庄市一模文科数学试题及答案

2015年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试高三数学(文科A 卷答案)一、 选择题（A 卷）1-5CCBBA 6-10 DBBAC 11-12 CD一、 选择题(B 卷)1-5DDBBA 6-10 CBBAD 11-12 DC二、 填空题14 2415 ()0,1 16 []1,2-三、 解答题17．（本小题满分12分）解：（1）解法1∵11(),n n a S n N λ*+=+∈∴11n n a S λ-=+(2)n ≥∴1n n n a a a λ+-=，即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠，又1211,11,a a S λλ==+=+∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………………………………2分∴23(1)a λ=+，∴24(1)1(1)3λλ+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=……………………4分 ∴12n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………6分 解法2：∵111,1(),n n a a S n N λ*+==+∈∴2111,a S λλ=+=+2321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++ ∴24(1)1213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ=………………………2分 ∴11(),n n a S n N *+=+∈ ∴11n n a S -=+(2)n ≥ ∴1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， 又121,2a a == ∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分 ∴12n n a -=， 13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………………………………6分 （2）1(32)2n n n a b n -=- ∴121114272(32)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅………………………① ∴12312124272(35)2(32)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅………②…………8分 ① —②得12111323232(32)2n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ 12(12)13(32)212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………10分 整理得：(35)25n n T n =-⋅+…………………………………………………………12分 18. 解：（1）当日需求量10n ≥时， 利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+； ………2分 当日需求量10n <时，利润为50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=- …………4分 所以，关于y 日需求量n 函数关系式为： 30200,(10,)60100,(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩ . ………6分 （2）50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440，有15天获得利润为500，有10天获得的利润为530，有5天获得的利润为560.……………8分②若利润在区间[400,550]时，日需求量为9件、10件、11件该商品，其对应的频数分别为11天、15天、10天.…………10分则利润区间[400,550]的概率为：1115103618505025p ++===. …………12分19.C(1)证明一连接AC BD ，交于点F ,在平面PCA 中做EF ∥PC 交PA 于E ,因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDEPC ∥平面BDE ，---------------2AD 因为∥,BC 1,2AFADFC BC ==所以因为EF ∥PC ,,AE AF EP FC =所以此时，12AEAFAD EP FC BC ===.-------------4证明二在棱PA 上取点E ，使得12AE EP =,------------2 连接AC BD ，交于点F ,AD 因为∥,BC 1,2,AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以所以 所以，EF ∥PC 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE -------------4 （2）证明一 取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形. 连接,AG BD 交于点O ，连接PO ， 0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=， 00,,,90,90.PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABC ∆∆===∆≅∆∠=∠=∆≅∆∠=⊥所以和都是等边三角形，因此又因为所以得到，同理得，所以平面-------------7 所以PO CD ⊥ -------------8 090,22ABC BAD BC AD AB ∠=∠==== 22222BD CD BD CD BC ==+=可得，，所以 所以BD CD ⊥,-------------10 所以，CD ⊥平面PBD ．-------------12 证明二 取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O . 连结,,,OA OB OD OG . 0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=， 所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，因此PA PB PD ==,所以OA OB OD ==,即点O 为正方形ABGD 对角线的交点, -------------7所以.PO PBD ⊂平面 -------------8090,22ABC BAD BC AD AB ∠=∠====所以BD CD ⊥,-------------10又因为PO CD ⊥-------------11所以，CD ⊥平面PBD ．-------------12证明三.AG CD AG PBD ⊥可证明平行于，平面20解：（1）由题意可知圆心到(1,0)的距离等于到直线1x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：24y x =.----------（4分）（2）解法一 由题意，可设l 的方程为y =x -m ,其中0＜m ＜5由方程组24y x my x =-⎧⎨=⎩,消去y ,得x 2-(2m +4)x +m 2=0 ①当0＜m ＜5是，方程①的判别式Δ=(2m +4)2－4m 2=16(1+m )＞0成立.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4+2m ，x 1·x 2=m 2, ----------（6分）∴|MN12x -=又因为点A 到直线l 的距离为d∴S △=2(5m -=----------（９分）令32()91525,(05)f m m m m m =-++<<，2'()318153(1)(5),(05)f m m m m m m =-+=--<<所以函数()f m 在（0,1）上单调递增，在（1,5）上单调递减.当m=1时，()f m 有最大值32，.----------（1１分）故当直线l 的方程为y =x －1时，△AMN 的最大面积为.---------- （12分） 解法二 由题意，可设l 与x 轴相交于B （m,0）, l 的方程为x = y +m ,其中0＜m ＜5由方程组24x y m y x =+⎧⎨=⎩,消去x ,得y 2－4 y －4m =0 ① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m =16(1+m )＞0必成立, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m . .---------- （6分） ∴S △=1211(5)||(522m y y m --=-=2(5m -=----------（９分） 令32()91525,(05)f m m m m m =-++<<， 2'()318153(1)(5),(05)f m m m m m m =-+=--<< 所以函数()f m 在（0,1）上单调递增，在（1,5）上单调递减. 当m=1时，()f m 有最大值32，.----------（1１分） 故当直线l 的方程为y =x －1时，△AMN 的最大面积为8.----------（12分） 21． （1）解析：函数()()2+1ln ln f x a x a x =-的定义域为(0,)+∞ ()()2+12+1()a ax a f x a x x -+'=-= 令()()2+1m x ax a =-+， 因为函数()y f x =在定义域内为单调函数，说明()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，……………2分 即()()2+1m x ax a =-+的符号大于等于零或小于等于零恒成立， 当0a =时，()20m x =>，()0f x '>，()y f x =在定义域内为单调增函数； 当0a >时，()()2+1m x ax a =-+为减函数， 只需()(0)2+10m a =≤，即1a ≤-，不符合要求； 当0a <时，()()2+1m x ax a =-+为增函数，只需()(0)2+10m a =≥即可，即1a ≥-，解得10a -≤<，此时()y f x =在定义域内为单调增函数；……………5分综上所述[1,0]a ∈-………………6分（2）22111()(1)222g x x x x =-=--在区间(1,)+∞单调递增，不妨设121x x >>，则12()()g x g x >， 则1212()()1()()f x f x g x g x ->--等价于1212()()(()())f x f xg x g x ->--等价于1122()()()+()f x g x f x g x +>………………8分设()21()()+()2+1ln (1)2n x f x g x x a x a x ==+-+，则22(1)()(1)(1)2a n x x a a x +'=+-+≥-+=-，由于17a -<<，故()0n x '>，即()n x 在(1,)+∞上单调增加，……………10分从而当211x x <<时，有1122()()()+()f x g x f x g x +>成立，命题得证！………………12分解法二：22(1)(1)2(1)()(1)=a x a x a n x x a x x +-+++'=+-+令2()(1)2(1)p x x a x a =-+++22(1)8(1)67(7)(1)0a a a a a a ∆=+-+=--=-+<即2()(1)2(1)0p x x a x a =-+++>在17a -<<恒成立说明()0n x '>，即()n x 在(1,)+∞上单调增加，………………10分从而当211x x <<时，有1122()()()+()f x g x f x g x +>成立，命题得证！ ………………12分 22. 证明：（1）连结AB ，AC ， ∵AD 为M 的直径，∴090ABD ∠=， ∴AC 为O 的直径, ∴0=90CEF AGD ∠=∠, ∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠， ∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠ ∴CEF ∆∽AGD ∆，……………3分 ∴CE AG EF GD =， ∴GD CE EF AG ⋅=⋅。