数列的概念数列的极限收敛数列的性质
数列与级数的极限与收敛
数列与级数的极限与收敛数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个学科中都有广泛的应用。
了解数列与级数的极限与收敛性质对于深入理解这些概念及其应用至关重要。
本文将介绍数列与级数的极限与收敛，并探讨它们的性质和应用。
一、数列的极限数列可以看作是有序的实数集合。
如果数列的项随着索引的增大而趋近于某个确定的数，我们称这个数为数列的极限。
数列的极限可以分为有限极限和无限极限两种情况。
1. 有限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于一个有限数，我们称这个有限数为数列的有限极限。
记作lim(a_n) = A，其中a_n为数列的第n项，A为有限极限。
例如，数列1/n的极限为0，可以表示为lim(1/n) = 0。
2. 无限极限如果数列的项随着索引的增大而逐渐趋近于正无穷或负无穷，我们称这个无穷数为数列的无限极限。
记作lim(a_n) = ±∞。
例如，数列n 的极限为正无穷，可以表示为lim(n) = ∞。
二、数列的收敛性数列的收敛性描述了数列的极限是否存在。
收敛的数列具有趋近性，而发散的数列没有明确的趋近性。
1. 收敛数列如果数列存在有限极限，我们称这个数列为收敛数列。
收敛数列的项随着索引的增大越来越接近极限值。
例如，数列1/n是一个收敛数列，其极限为0。
2. 发散数列如果数列不存在有限极限，我们称这个数列为发散数列。
发散数列的项随着索引的增大没有明确的趋近性。
例如，数列n是一个发散数列。
三、级数的极限级数是数列部分和的无穷累加。
如果级数的部分和随着项数的增加而趋近于一个确定的数，我们称这个数为级数的极限。
级数的极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛级数如果级数的部分和存在有限极限，我们称这个级数为收敛级数。
记作Σ(a_n) = S，其中a_n为级数的第n项，S为收敛级数的和。
例如，调和级数Σ(1/n)是一个收敛级数。
2. 发散级数如果级数的部分和不存在有限极限，我们称这个级数为发散级数。
发散级数的部分和没有明确的趋近性。
数列的极限与收敛性
数列的极限与收敛性数列是指按一定规律排列并组成序列的一组数的集合。
数列的极限和收敛性是数学中关于数列的重要概念，对于数学分析和应用都具有重要意义。
本文将重点论述数列的极限和收敛性的定义、性质，并给出相关例子以帮助读者更好地理解。
一、数列的极限定义及性质数列的极限是指当数列中的每一项都无限接近某个确定的数时，这个数就是该数列的极限。
下面给出数列极限的正式定义：定义1：数列{an}的极限为L，表示为lim(n→∞) an = L，当且仅当对于任意给定的ε > 0，存在正整数N，使得当n > N时，有|an - L| < ε。
性质1：数列的极限是唯一的。
即对于一个数列只能有一个极限存在。
性质2：如果数列{an}的极限为L，则对于任意给定的ε > 0，存在正整数N，使得当n > N时，有|an| < |L| + ε。
二、数列的收敛性定义及性质数列的收敛性是指数列是否有极限存在的性质。
收敛性有以下两个定义：定义2：数列{an}是收敛的，当且仅当它有有限的极限。
定义3：数列{an}是无界的，当且仅当它没有极限。
性质3：一个数列要么是收敛的，要么是发散的。
性质4：如果数列{an}是收敛的，则其一定是有界的。
三、数列极限的计算方法计算数列的极限是数学分析中的重要内容，常见的计算方法有以下几种：1. 利用数列的性质和定义直接进行计算。
通过逐步逼近，找寻数列中随着n增大而无限接近的数。
2. 利用基本数列的极限性质进行计算。
许多数列的极限可以通过已知的基本数列的极限性质推导出来。
3. 利用数列的递推公式进行计算。
对于一些特殊的数列，可以通过递推公式进行极限计算。
4. 利用数列的特殊性质和方法进行计算。
例如使用夹逼定理、单调有界原理等。
四、数列极限的应用1. 在数学分析中，数列的极限广泛应用于函数的极限、连续性和一致收敛性的研究中。
2. 在物理学中，数列的极限和收敛性在物体运动、力学等领域都有重要的应用。
数列极限的概念及定义性质
局部 保号性
定理 3（收敛数列的 保号性）如果
lim
n
xn
a
且a>0(或a<0), 则总存在正整数N, 当n>N 时, 有
xn>0 (或 xn<0) .
xN +1, xN +2, xN+3,···
(
)x
a− a a+
推论 如果数列{xn}从某项起有 xn 0 (或 xn0), 且
lim
n
xn
a
则 a 0(或 a 0)
n n
lim(1)n 1 ? 0 .
n
n
例2
证明
(1)n
lim
n
(
n
1)2
0.
证 对 > 0,
取N
[1] 1 ,
则当
n>N
时,
有
|xn−0 |=
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1) 2
1 n
<
,
(1)n
故
lim
n
(n
1)2
0.
为了简化解不 等式的运算,常 常把 | xn−a| 作 适当地放大.
给定0.001, 给定0.0001,
只要 n>1000时, 有 |xn−1|< 0.001, 只要 n>10000时, 有 |xn−1|< 0.0001,
给定 >0, 当 n N ( [1] )时, 有 |xn−1|< 成立.
定义2 设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给
定的正数 , 总存在正整数N, 使得当n>N时, 不等式
定义2 “ −N ” 定义
数列的极限与数列的收敛性
数列的极限与数列的收敛性数列是数学中的重要概念，涉及到数列的极限和数列的收敛性是数学分析中的基础知识。
本文将详细介绍数列的极限的概念、性质及相关定理，并探讨数列的收敛性及其与极限的关系。
一、数列的极限的概念及性质数列的极限是数列中数项随着序号趋向无穷时的稳定值。
具体地说，对于数列{an}，若存在一个实数a，使得当n趋向无穷时，数列的每一项an都无限接近于a，那么称a为数列的极限。
记作lim(n→∞)an=a或an→a(n→∞)。
数列的极限具有以下性质：1. 极限唯一性：若数列{an}的极限存在，那么极限是唯一的。
2. 极限的有界性：若数列{an}有极限存在，那么该数列必定有界。
3. 极限的保序性：若数列{an}的极限存在，且a<b，则存在正整数N，使得当n>N时，有an<a和an<b成立。
二、数列极限的相关定理1. 夹逼定理：设{an}、{bn}和{cn}为三个数列，并且对于所有的n都有an≤bn≤cn成立。
若lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=a，那么lim(n→∞)bn=a。
2. 递推数列的极限存在性：设数列{an}满足an+1=f(an)，其中f(x)在x=a的某个邻域内连续且lim(x→a) f(x)=a。
那么数列{an}存在极限lim(n→∞)an=a。
3. 子数列的极限：若数列{an}有极限lim(n→∞)an=a，那么对于任意单调不减的正整数函数φ(n)，子数列{anφ(n)}也有极限lim(n→∞)anφ(n)=a。
三、数列的收敛性数列的收敛性是指数列是否存在极限的性质。
对于数列{an}，若存在一个实数a，使得当n趋向无穷时，数列的每一项an都无限接近于a，那么称数列{an}是收敛的；若不存在这样的实数a，则称数列{an}是发散的。
判断数列收敛的方法有多种，常用的有：1. 夹逼准则：若存在两个收敛数列{bn}和{cn}，且对于所有的n都有bn≤an≤cn成立，那么若数列{bn}和{cn}的极限都为a，则数列{an}的极限也为a。
数列的极限与收敛性
数列的极限与收敛性数列是数学中的一种常见概念，它由一系列有序的数字组成。
在数学中，研究数列的极限与收敛性是非常重要的。
本文将讨论数列的极限以及数列的收敛性，并通过例子来说明这些概念。
一、数列的极限数列的极限是指数列中的元素随着下标的增大或减小而逐渐趋于某个常数或无穷大的现象。
在数学中，我们用符号 lim 来表示数列的极限。
若数列 {an} 的极限为 A，我们可以用以下方式表示：lim(n→∞) an = A其中n→∞ 表示下标 n 趋于无穷大。
数列的极限可以分为有界收敛和无界发散两种情况。
1.1 有界收敛若数列 {an} 的极限存在，并且存在一个有限数 M，使得对于数列中的每个元素 a(n)，都有|a(n)| ≤ M 成立，那么我们称该数列是有界收敛的。
1.2 无界发散若数列 {an} 的极限不存在，并且对于任意的正数 M，存在某个下标 N，使得当 n > N 时，|a(n)| > M 成立，那么我们称该数列是无界发散的。
二、数列的收敛性数列的收敛性是指数列是否趋于一个极限。
根据极限的存在与否，数列可以分为收敛数列和发散数列。
2.1 收敛数列若数列 {an} 的极限存在，并且该极限是一个有限数，那么我们称该数列是收敛数列。
2.2 发散数列若数列 {an} 的极限不存在，或者极限是无穷大，那么我们称该数列是发散数列。
三、数列极限的性质数列的极限有以下性质：3.1 极限的唯一性若数列 {an} 收敛，那么它只能有一个极限。
3.2 保号性若数列 {an} 收敛到 A，且 A > 0，那么对于足够大的 n，有 a(n) > 0；同理，若 A < 0，那么对于足够大的 n，有 a(n) < 0。
3.3 极限的四则运算若数列 {an} 和 {bn} 都收敛到 A 和 B，则有以下性质成立：a) lim(n→∞) (an + bn) = lim(n→∞) an + lim(n→∞) bn = A + Bb) lim(n→∞) (an - bn) = lim(n→∞) an - lim(n→∞) bn = A - Bc) lim(n→∞) (an * bn) = lim(n→∞) an * lim(n→∞) bn = A * Bd) lim(n→∞) (an / bn) = (lim(n→∞) an) / (lim(n→∞) bn) = A / B (若 B ≠ 0)四、数列极限的例子下面通过一些具体的数列来说明极限的概念。
高等数学第二节数列的极限
分析已知条件：只有两个不等式，即数列所在的两个区间,
因此，任给的ε 要取同一个， 由极限为a,得数列所在的区间是以a为中心,ε 为半径的邻域； 由极限为b,得数列所在的区间是以b为中心,ε 为半径的邻域.
若数列所在的两个区间没有交集，则能得到矛盾.
由图知,只要半径ε
, ba 2
两邻域没有交集,即得矛盾,证明完成.
数列极限
收敛数列 性质
有界性 唯一性 保号性 任一子数列收敛于同一极限
第六节 极限存在准则
一、准则1 (夹逼准则 The Squeeze Theorem )
1、如果数列xn,yn,zn 满足
(1) 从某项起, 即 n0 N ,当 n n0时，有
yn xn zn ;
(2)
lim
n
yn
lim
n
(
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
二、准则Ⅱ(单调有界准则)
1、单调有界数列必有极限.
如果数列 xn满足
单调增加只有两种可能:无限 增大或无限接近于一个定点
x1 x2 xn xn1 M (单调增加有上界)
lim xn a ( M ) 有等号，是广义单调
n
x1 x2
xn xn1 a
问题: 无限增大,无限接近,如何用数学语言刻划？
数例分析：
当
n
无限增大时,
xn
n 1 n
无限接近于 1.
当n变得足够大时，|
xn
1
|
1 n
变得任意小.
足够大与任意小相关, 无限接近由n刻画
给定 1 0.01,
具体数
要使
数列的收敛性
数列的收敛性数列是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在数列的研究中，收敛性是一个核心概念，它描述了数列是否趋向于某个特定的值。
本文将介绍数列的收敛性及其相关性质和定理。
一、数列的概念及基本性质数列是按照一定规则排列的一系列数，通常用{an}表示，其中an表示数列的第n项。
数列的基本性质包括有界性和单调性。
1. 有界性如果存在常数M，对于数列中的所有项an，都有|an| ≤ M，那么称该数列是有界的。
有界性是数列收敛性的一个重要判断条件。
2. 单调性如果对于数列中的每一项an，都有an≤an+1（或者an≥an+1），那么称该数列是递增的（或递减的）。
如果一个数列既不递增也不递减，那么它是不单调的。
二、数列的极限数列的极限是数列收敛性的基本概念，它描述了数列是否趋向于某个特定的值。
1. 数列的收敛如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε成立，那么称数列{an}收敛于L，并将L称为该数列的极限。
用符号lim（n→∞）an = L表示。
2. 数列的发散如果数列{an}不满足收敛的条件，那么称其为发散的。
有界的数列可以发散。
三、数列收敛性的判定准则确定数列是否收敛，需要使用一些判定准则。
1. 单调有界准则如果一个数列既是单调递增的（或递减的），又是有界的，那么它一定是收敛的。
2. 夹逼准则如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且lim（n→∞）an = lim（n→∞）cn = L，那么数列{bn}的极限也是L。
3. 子数列收敛准则如果数列{an}收敛于L，并且存在N，使得当n>N时，有an≤bn≤cn，那么数列{bn}也收敛于L。
四、数列收敛的性质和定理在数列的研究中，有一些重要的性质和定理与数列的收敛性密切相关。
1. 收敛数列的性质如果数列{an}收敛于L，那么它满足以下性质：- 数列的极限是唯一的，即如果数列{an}同时收敛于L1和L2，则L1=L2。
数列的极限概念与收敛性判定
数列的极限概念与收敛性判定数列作为数学中的一种重要概念，在许多领域中有着广泛的应用。
数列的极限概念与收敛性判定是数列研究中的重要内容。
本文将围绕这一主题展开讨论，分析数列的极限概念以及如何判定数列的收敛性，旨在深入理解数列的相关知识。
一、数列的极限概念数列的极限是指随着自变量趋于无穷大（或无穷小），函数值趋于某个常数。
对于数列{an}来说，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n大于N时，对应的数列值an与常数a的差的绝对值小于ε，即|an-a|<ε，则称常数a为数列{an}的极限，记作lim(an)=a。
在数列的极限概念中，数列的极限可以是有限的也可以是无限的。
如果数列的极限存在且为有限数，即满足lim(an)=a，则称数列{an}收敛于a。
如果数列的极限不存在或为无穷大或无穷小，即lim(an)不存在或为正无穷、负无穷或无穷小，则称数列{an}为发散数列。
二、数列收敛性判定的方法1. 有界性判定：如果数列{an}存在上界和下界，即存在常数M和m，使得对于任意的n，有m≤an≤M成立，则称数列{an}是有界的。
定理称为有界收敛定理：一个数列收敛的充分必要条件是它有界。
2. 单调性判定：如果数列{an}为单调递增数列且有上界，或为单调递减数列且有下界，则数列{an}收敛。
单调数列的收敛性可由单调有界原理来推导。
3. 函数逼近法：将数列的极限与函数的极限相联系，利用函数的性质进行判定。
例如，若数列{an}收敛于a，则函数f(x)在点a处连续。
4. 递推关系式判定：对于递推数列的情况，通过确定递推关系式，可以利用已知的数学方法判断数列的收敛性。
例如，斐波那契数列的极限存在且为无穷。
除了上述方法，还有一些特殊的数列判定方法，如柯西收敛准则、夹逼定理等，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行判定。
三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：数列的极限如果存在，则极限值唯一。
即如果lim(an)=a且lim(an)=b，那么a=b。
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例8 证 对于任意给定的正数 (不妨设0< <1)，由于
三、收敛数列的性质
数列收敛于a的几何意义如下：
当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一
个邻域
，都存在一个序号N，使得点列
的第N个点 以后的
所有点
都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a
的这个邻域之内，或者说至多有N个点
落在区间
之外.
当我们把数列 看成是n的整标函数，即
其图形是在平面直角坐标系中的二维点列：
数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么
小)，总存在正整数N，当n>N时，二维点 都在直线
与直线
形成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大.
定理2.1(极限的唯一性) 若数列 收敛，则其极限唯一.
例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列是单调减少的. 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有
成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的. 容易验证例2，例3和例4中的数列是有界的；而例1和例5中的数列是无界的.
在几何上，通常用数轴上的点列
来表示数列 .
这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列
是自左
向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间[－M，M]之内，表示无
界数列的点列，无论区间[－M，M]多么长，总有落在该区间之外的点.
二、数列的极限
我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限 思想的体现.
数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.
以
为例来讨论数列极限的含义.
前面已经看到：
当n无限地增大时，xn无限地趋于常数1.
所谓xn无限地趋于1，就是说
可以任意小.
也就是对于任意给定的正数 ， 都可小于 .
而
任意小的前提条件是n充分大.
比如
，欲使
只需n>100.
欲使
只需n>1000. 一般来说，对于任意给定的正数，欲使
这样，就定量地刻画了当 数列极限的精确定义.
定理2.2 (收敛数列的有界性) 收敛数列必有界. 证 设数列 收敛，并且以a为极限.
根据数列极限的定义，对于 ，存在着正整数N，
使得当n>N时，都有
由定理2.2知，无界数列一定是发散的.
注意: 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如，数列
是有界的，而 却是发散数列.
定理2.3(保序性)
一、数列的概念
定义 按一定顺序排列起来的无穷多个数
称为数列.通常称 为数列的第一项， 为第二项，一般地，将第n项 称为通项或 一般项.数列可用通项简记为 .
例1 例2 例3
例4 例5
数列 可以理解为正整数n的函数， 因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数集.
若有
单调增加的；
单调减少的. 单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.
例如
对于
来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势.
当n“充分大”时，
“无限接近于1”;
Hale Waihona Puke 当n“充分大时”，“无限接近于0”.
一般来说，如果当n无限地增大时，xn无限地趋向于常数a，则说，当n趋于无穷大 时， 以为a极限，记成
当n越来越大时，它们各自是否都有确定的变化趋 势？如果有，极限是什么？
时， 以1为极限的这一事实.下面给出
定义 设有 ，a是常数，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正整数N，使当 n>N时，都有
成立.则称数列 当n趋于无穷大时以a为极限，记作
数列 有极限，也称该数列是收敛的.否则，称数列是发散的.
例6 证
例7 证 当q=0时，等式显然成立.
当0<|q|<1时，对任意给定的正数 (不妨设 <1).
且a>b，则存在正整数N，当n>N时，恒有
定理2.3表明两个收敛数列，若它们的极限不相等时，则当n充分大后对应的项 也不相等，且与极限值有相同的大小顺序.
推论1 若
且a>b(或a<b)，则存在正整数N，当n>N时，
证 在定理2.3中取
，即得推论1.
推论2 证 反证法
注意：
证 反证法.设数列 收敛，但极限不唯一，
即 有极限a和b，不妨设a>b.取
.
根据数列极限的定义及{xn}以a为极限可知，存在正整数N1，当 n> N1时，有
又由于 时，有
以b为极限，对上述的
存在正整数N2 ，当
当n>N时，(1)式与(2)式同时成立，这显然是矛盾的.因此，收敛数列的 极限是唯一的.