初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结
双十字相乘法
双十字相乘法分解形如ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f 的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。
则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）目录基本介绍方法：双十字相乘的迁移所以基本介绍方法：双十字相乘的迁移所以展开编辑本段基本介绍适用状况双十字相乘法是一种因式分解方法。
对于型如Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。
这种方法运算过程较繁。
对于这问题,若采用“双十字相乘法”,就能很容易将此类型的多项式分解因式。
例子例：3x^2＋5xy－2y^2＋x＋9y－4＝（x＋2y－1）（3x－y＋4） (3x^2表示3X的二次方）因为3＝1×3，－2＝2×（－1），－4＝（－1）×4，而1×（－1）＋3×2＝5，2×4＋（－1）（－1）＝9，1×4＋3×（－1）＝1编辑本段方法：双十字相乘的迁移分解二次五项式要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，例：ab＋b^2＋a－b－2＝0×1×a^2＋ab＋b^2＋a－b－2＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）＝（b＋1）（a＋b－2）分解四次五项式提示：设x^2＝y，用拆项法把cx^2拆成mx^2与ny之和。
例：2x^4＋13x^3＋20x^2＋11x＋2＝2y^2＋13xy＋15x^2＋5y＋11x＋2＝（2y＋3x＋1）（y＋5x＋2）＝(2x^2＋3x＋1）（x^2＋5x＋2）＝（x+1）(2x+1)（x^2＋5x＋2）简单来说：1.因式分解法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x^2-(5+7y)x-(22y^2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y^2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解编辑本段所以原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕=(x+2y-3)(2x-11y+1)．(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y^2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax^2+bxy+cy^2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．2．求根法我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x^2-3x+2，g(x)=x^5+x^2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)^2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法,
【例12】分解因式：
【例13】分解因式：
【例14】分解因式
【例15】分解因式：
【例16】分解因式：
【例17】分解因式：
【例18】分解因式：
【例19】分解因式：
【例20】分解因式：
【例21】分解因式：
【例22】分解因式：
模块二：拆项与添项
【例21】分解因式：
【例22】分解因式：
【例23】分解因式：
板块二：选主元
【例1】分解因式：
【例2】分解因式：
【例3】分解因式：
【例4】Байду номын сангаас解因式：
【例5】分解因式：
【例6】分解因式：
【例7】分解因式：
板块三：双十字相乘
双十字相乘法：对于某些二元二次六项式 ，可以看作先将关于 的二次三项式
的“常数项” 用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于 的二次三项式分解。
【例35】分解因式：
【例36】分解因式：
【例37】分解因式： =__________.
【例38】分解因式：
由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法.
【例8】分解因式：
【例9】分解因式：
【例10】分解因式：
【例11】分解因式：
【例12】分解因式：
【例13】分解因式：
【例14】分解因式：
【例15】分解因式：
【例16】分解因式：
【例17】已知： 、 、 为三角形的三条边，且 ，求证：
【例18】分解因式：
【例19】分解因式：
【例20】分解因式：
板块一：换元法
【例1】分解因式：
【例2】分解因式：
【例3】分解因式：
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
初中数学因式分解十字相乘的方法.
初中数学因式分解十字相乘的方法
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2），在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.
比如说：把x^2+7x+12进行因式分解。
上式的常数12可以分解为3×4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3）(x+4）。
(完整word)初中数学十字相乘法因式分解
初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。
对这个式子先去括号，得到：pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=1的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。
反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。
（1）232++x x （2）672+-x x 分析：（1）232++x x 的二次项的系数是1，常数项212⨯=，一次项系数213+=，这是一个pq x q p x +++)(2型式子。
（2）672+-x x 的二次项系数是1，常数项)6()1(6-⨯-=，一次项系数=-7)1(- )6(-+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子，因此可用公式pq x q p x +++)(2+=x ( ))(q x p +分解以上两式。
解：（1）因为212⨯=，并且213+=，所以)2)(1(232++=++x x x x（2）因为)6()1(6-⨯-=，并且)6()1(7-+-=-，所以)6)(1(672--=+-x x x x[例2] 把下列各式因式分解。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
双十字相乘法因式分解解析几何
双十字相乘法因式分解解析几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：双十字相乘法是一种常用的因式分解方法，在解析几何中也有广泛的应用。
通过双十字相乘法可以将一个多项式分解为两个或多个二次项的乘积，从而简化计算或求解问题。
在解析几何中，双十字相乘法可以帮助我们快速分解复杂的几何形状或问题，提高解题效率和准确度。
本文将介绍双十字相乘法的原理和方法，并通过实例分析其在解析几何中的应用。
让我们来了解一下双十字相乘法的基本原理。
双十字相乘法是一种通过分解一个二次项的乘积为两个一次项的乘积的方法。
具体来说，对于一个二次项a^2 + 2ab + b^2，我们可以将其分解为两个一次项(a + b)^2。
这种分解方法可以帮助我们简化计算或求解问题，特别是在解析几何中，有时候我们需要将复杂的几何形状或问题分解为更简单的部分，以便更好地理解和处理。
接下来，让我们通过一个实例来说明双十字相乘法在解析几何中的应用。
假设我们需要求解一个三角形的面积，已知三角形的边长为a、b和c，其中a和b是两条边的长度，c是这两条边之间的夹角的余弦值。
我们可以通过双十字相乘法将这个问题分解为更简单的部分。
我们可以根据三角形的面积公式S=1/2absinC来求解三角形的面积，其中a、b和c分别为三角形的边长，C为夹角的余弦值。
接着，我们可以将面积公式分解为两个一次项的乘积，即S=1/2ab*sinC=1/2*2ab*sinC=1/2*2ab*sqrt(1-c^2)。
通过双十字相乘法，我们可以将sinC分解为sqrt(1-c^2)，从而将原问题分解为更简单的部分，以便我们更好地求解面积。
第二篇示例：双十字相乘法因式分解是一种在解析几何学中常用的方法，用于将一个复杂的几何图形或方程式分解成简单的因子。
这种方法以其简单易懂的特点，在数学教学中得到广泛应用。
在本文中，我们将详细介绍双十字相乘法因式分解的原理、步骤和应用。
双十字相乘法因式分解的原理是基于代数的乘法公式和几何图形的面积关系。
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2
即：-22y +35y-3=(2y-3)(-11y+1)． 再利用十字相 乘法对关于 x]
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)． (2) 所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如 果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得 到下图： 原式=(x+y+1)(x-y+4)． (3)原式中缺 x 项，可把这一项的系数看成 0 来分 解．
4 3 2 2
为： 的根，则必有 p 是 a0 的约数，q 是 an 的约数．特别 地，当 a0=1 时，整系数多 项式 f(x)的整数根均为 an 的约数． 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式 的一次因式，从而对多项式进行因式分解． 例 2 分解因式：x -4x +6x-4． 分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数 根， 必是-4 的约数， 逐个检验-4 的约数： ±1，±2， ±4，只有 f(2)=2 -4×2 +6×2-4=0， 即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理 1，原式必 有因式 x-2．
2 2 2 5 2 n n-1
原式=(x -2x )-(2x -4x)+(2x-4) =x (x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x -2x+2)． 解法 2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，
2 2
3
2
2
所以 原式=(x-2)(x -2x+2)． 说明 在上述解法中， 特别要注意的是多项式的有理 根一定是-4 的约数，反之不成立，即-4 的约数不一 定是多项式的根．因此，必须对-4 的约数逐个代入 多项式进行验证． 例 3 分解因式：9x -3x +7x -3x-2． 分析 因为 9 的约数有±1，±3，±9；-2 的约数有 ±1，±
2
它表示的是下面 三个关系式： (x+2y)(2x- 11y)=2x -7xy-22y ；
2 2
原式=(y+1)(x+y-2)． (4)
解法 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)． 说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似． 2．求根法 我们把形如 anx +an-1x +…+a1x+a0(n 为非负整数)的 代数式称为关于 x 的一元多项式， 并用 f(x)， g(x)， … 等记号表示，如 f(x)=x -3x+2，g(x)=x +x +6，…， 当 x=a 时， 多项式 f(x)的值用 f(a)表示． 如对上面 的多项式 f(x) f(1)=1 -3×1+2=0； f(-2)=(-2) -3×(-2)+2=12． 若 f(a)=0，则称 a 为多项式 f(x)的一个根． 定理 1(因式定理) 若 a 是一元多项式 f(x)的根， 即 f(a)=0 成立，则多项式 f(x)有一个因式 x-a． 根据因式定理，找出一元多项式 f(x)的一次因式的 关键是求多项式 f(x)的根．对于任意多项式 f(x)， 要求出它的根是没有一般方法的， 然而当多项式 f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下 面的定理来判定它是否有有理根． 定理 2
3 2 3 2
所以，原式有因式 9x -3x-2． 解 9x -3x +7x -3x-2 =9x -3x -2x +9x -3x-2 =x (9x -3x-2)+9x -3x-2 =(9x -3x-2)(x +1) =(3x+1)(3x-2)(x +1) 说明 若整系数多项式有分数根， 可将所得出的含有 分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
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(2y-3)(-11y+1)=-22y +35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法． 用双十字相乘法对多项式 ax +bxy+cy +dx+ey+f 进 行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解 ax +bxy+cy ，得到一个十字 相乘图(有两列)； (2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要 求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式 中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等 于原式中的 dx． 例 1 分解因式： (1)x -3xy-10y +x+ 9y-2； (2)x -y +5x+3y+4； (3)xy+y +x-y-2； (4)6x -7xy-3y -xz+7yz-2z ． 解 (1)
(x -3)(2x+1)=2x -5x-3；
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初中数学竞赛专题培训 因式分解
1．双十字相乘法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某 些二元二次六项式(ax +bxy+cy +dx+ey+f)，我们也 可以用十字相乘法分解因式． 例如，分解因式 2x -7xy-22y -5x+35y-3．我们将上 式按 x 降幂排列，并把 y 当作常数，于是上式可变 形为 2x -(5+7y)x-(22y -35y+3)， 可以看作是关于 x 的二次三项式． 对于常数项而言，它是关于 y 的二次三项式，也可 以用十字相乘法，分解为
2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 4 3 2
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可以化为 9x -3x-2，这样可以简化分解过程． 总之，对一元高次多项式 f(x)，如果能找到一个一 次因式(x-a)，那么 f(x)就可以分解为(x-a)g(x)， 而 g(x)是比 f(x)低一次的一元多项式，这样，我们 就可以继续对 g(x)进行分解了． 3．待定系数法 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用 很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它 能分解成某 几个因式，但这几个因式中的某些系数 尚未确 定，这时可以用一些字母来表示待定的系 数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多 项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取 多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系 数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这 种因式分解的方法叫作待定系数法． 例 4 分解因式：x +3xy+2y +4x+5y+3． 分析 由于 (x +3xy+2y )=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m 和 x＋y＋n 的形式，应用待定系数法即可求 出 m 和 n，使问题得到解决． 解 设 x +3xy+2y +4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x +3xy+2y +(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有