河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(理)试题(扫描版)

高二数学（理）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
B
B
B
A
C
A
C
B
C
D
A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．[)2,3 14. 2213
+
15. 20(62)- 16. 2n
n ∙ 17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ． 因为3660a a =-=，， 所以112650.
a d a d +=-⎧⎨
+=⎩，
解得1102a d =-=，．
所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-． ------------5分
（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．
因为21231248b a a a b =++=-=-，，
所以824q -=-，即3q =．
所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)
4(13)1n n n b q S q
-=
=--．-----------10分 18. 解：（Ⅰ）2
()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，
所以的解集是()0,5，
所以
是方程
的两个根，
由韦达定理知， 2()210f x x x =-. ------------5分
（Ⅱ）()2f x t +≤ 恒成立等价于021022≤-+-t x x 恒成立,
设2
()2102g x x x t =-+-，则()g x 的最大值小于或等于
则由二次函数的图象可知2102)(2
-+-=t x x x g 在区间]1,1[-为减函数，
所以t g x g +=-=10)1()(max ，所以10t ≤-. -----------12分
19. 解:（Ⅰ）证明：∵A、B 、C 成等差数列，∴B =600
，
220
x bx c ++<05
和220
x bx c ++=5,0,10,0,22
b c
b c -
==∴=-=
又∆ABC 的面积为3，∴
360sin ac 2
1
0=，∴ac=4 ∴a、2、c 成等比数列 --------------------------4分 （Ⅱ）在∆ABC 中，根据余弦定理，得 b 2
=a 2
+c 2
-2accos600
=a 2
+c 2
-ac≥2ac -ac=ac=4，∴ b≥2, 当且仅当a=c 时，等号成立 ----------------8分 ∴∆ABC 的周长L =a+b+c≥b ac 2+=4b +.当且仅当a=c 时，等号成立 ∴426L ≥+=, 当且仅当a=c 时，等号成立 ∴∆ABC 周长的最小值为6，
因为a=c ，B=600
，此时∆ABC 为等边三角形. -----------------12分 20.解：由题意得，1300v x =
，2
50
v y =
∵1230100,,420v v ≤≤≤≤ ∴525
310,
22
x y ≤≤≤≤
由题设中的限制条件得149≤+≤y x
于是得约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≤≤≤≤≤+≤2252
5103149y x y x
目标函数y x y x p 23131)8(2)5(3100--=-+-+= ………６分
做出可行域（如图），（没有图扣２分） 当2
23,23z
x y y x z +-
=+=即平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时p 最小. 所以当4,10==y x ，即5.12,3021==v v 时，93min =p 元 ……１２分 21．（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C =，
因为sin 0A ≠，解得tan 3C =，3
C π
=
． ……… 4分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得2sin
sin(
2)3sin 23
3
A A π
π
+-=， 即
331cos 2sin 23sin 2222A A A ++=． 35(1cos 2)sin 222
A A += 23cos 5sin cos A A A = ……… 8分
若cos 0A =，则2
A π
=
，
tan 3
c b π
=，213b =， ABC ∆的面积173
26
S bc ==
．
若cos 0A ≠，则3cos 5sin A A =，
5721cos ,sin ,1414
A A =
= 由正弦定理，得1a =． 321sin sin()14B A C =+=
， ABC ∆的面积133
sin 24S ac B ==
． 综上，ABC ∆的面积为
736或33
4
． ……… 12分
解法二：由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，
整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． 若cos 0A =，则2
A π
=
，
tan 3
c b π
=，213b =， ABC ∆的面积173
26
S bc ==．
……… 8分
若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．
由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．
ABC ∆的面积133
sin 24
S ab C ==．
综上，ABC ∆的面积为
736或33
4
． ……… 12分
22. （Ⅰ）
12311
232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=
，n N *∈① 123123(1)2
n n n
a a a n a a -∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥②
①-②：1122n n n n n na a a ++=-，131
22
n n n n a a ++∴=， ……… 2分 即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又由①得n=1时，121a a ==222a ∴=，
2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.
223(2)n n na n -∴=⋅≥，故2
1,123,2n n n a n n
-=⎧⎪
=⎨⋅≥⎪⎩ ……… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2n ≥时，2223n n n a n -=⋅，
∴当1n =时，11T =；
当2n ≥时,0121436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①
12213343632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,②
①-②得，1221222(333)23n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅
=1123323n n n ---+-⋅ =11(12)3n n --+-⋅
111
()3(2)22n n T n n -∴=
+-≥，又11T =也满足 111
()3()22n n T n n N -*∴=+-∈ ……… 8分
（Ⅲ）()11
n
n a a n n λλ≤+⇔≥
+，由（Ⅰ）可知： 当2n ≥时，()2231n n n λ-⋅≥+，令()()2
231n f n n n -⋅=+，
则()()()()
()12
11233112232n n f n n n n
f n n n n --++⋅=⋅=>++⋅+， 又()0f n >，∴()()1f n f n +>
∴当2n ≥时，()f n 单增，∴()f n 的最小值是()1
23
f = 而1n =时，
11112a =+，综上所述，1n a n +的最小值是1
3 ∴13λ≥，即λ的最小值是1
3
……… 12分。