三角函数图像变换1
三角函数图像(1)
制作人：曹 懿 平
函数图象的伸缩
y轴方向伸长 y轴方向缩短
y = Af (x)( A >1)
y轴方向正比形象
y = Af (x)(0 < A <1) y = f (ωx)(0 < ω <1) x轴方向反比形象 y = f (ωx)(ω >1)
y = f (x)
x轴方向伸长
x轴方向缩短
制作人：曹 懿 平
5 2
y
制作人：曹 懿 平
2
3 2
π
1
•
3π 4 8
5π − π 3π π π − − − − 2 8 4 8 8
•
1 2
0
−1 −2
O π • π
8
π 5π
2
8
•
x
x
2x −
π
4
−π −
π
20 2
2
π
π
0
•
y 0−
0
2
五点法作出函数y = Asin(ωx +ϕ)或 y = Acos(ωx +ϕ)( A > 0,ω > 0)的图象
设 (x) = 2sin x(sin x + cos x). f (1)求 (x)的 小 周 和 大 ； f 最 正 期 最 值 (2)在 出 角 标 中画 函 y 给 直 坐 系 , 出 数 = f (x)在 间 [− , ] 上 图 . 区 的 象 2 2
f (x) = 2sin(2x − ) +1 (x ∈[− , ]) 4 2 2
作法 图象的作法 图象的变换 图象的性质 性质 变换
1 2
3
三角函数图象的综合应用
高三数学三角函数的图象1
③A---振幅
T
2
----周期 x 相位
初相
1 f ----频率 T 2
4 ) 的 例2．[P58例1]把函数 y cos( x 3
图象向左平移a个单位,所得到的函数为偶 函数,则a 的最小值是
2 5 A. .......B. .....C. ,.....D. 6 3 13 3
例3.[P59例2] 1 试述如何由 y sin(2 x )
三、小结： 1．用五点法作图 2．图象变换 3．三角函数图象的应用
四、作业
Hale Waihona Puke ； /fengkuangwei/ 冯矿伟
hxh70kyd
一步，咬牙道：“别以为你多了不起。我还有一个办法对付你！”“是的。”宝音安静道，“但姐姐不忍罢了。”再没有声音。 两个女孩子只是凝然相对。冬天，黄昏来得早，太阳已无力的贴近地平线，松树梢沙沙的响，房间里颇暗，没有人来上灯，明 秀金步摇上垂下来的琼珠，映着窗口的微光，摇摆不定。“四 。四 在吗？”柳少姨娘恰在此时，一路呼寻过来。筱筱守在廊 后，忙迎上去：“少姨奶奶。”“你家姑娘在这儿呢？”柳少姨娘怀里抱着个朱红匣子，笑问。“姑娘„„”筱筱含糊一句， 不便明言，打岔开去，指着那匣子好奇道，“里面装着什么呀？”“送你们姑娘的。”柳少姨娘引颈四眺，“她人呢？”“送 我们姑娘的，是什么呀？”筱筱安心要同她打混时间。“小丫头！”柳少姨娘“呵呵”笑道，“这么关心，你也是要嫁人了 吗？”“嗳哟少姨奶奶！”筱筱举起手来捂住脸，柳少姨娘趁机从她旁边钻了过去，从她的眼神里，已判断明秀十有八九在旁 边的某扇门里。“少姨奶奶！”筱筱追过去。门开了，当先露出脸来的，是明秀，神情毫无异样：“少姨娘？”洛月急着伸脖 子往里头看。宝音在明秀的身后出现，也是平静如常：“少姨娘。”“原来两姐妹在这里，”柳少姨娘笑道，“怎么灯也不 点？”是宝音答道：“是与四姐姐行到此处，说了会儿话，贪看窗口冬景，一时没顾得上点灯。”看了看柳少姨娘抱的匣子， 行礼道，“少姨娘同姐姐有事，笙儿就不打扰，先行告辞了。”柳少姨娘深深回礼：“表 连日辛苦，妾身不敢留您多说话儿， 您忙去罢！”宝音便与洛月离去。离开时，她擦过柳少姨娘肩头，交换一个微妙难言的眼神。“少姨娘寻秀儿有事么？”明秀 询问柳少姨娘。“四 大喜在即，”柳少姨娘贺道，“妾身送了件薄礼来，还望 笑纳！”便打开匣盖，里头一双鹤舞彩带木屐， 描画极其精美，正是嫁妆中依古礼得用的物品，明秀已知定是柳少姨娘亲笔画的，连声道谢，叙了好一会儿人情，才得脱身， 忙忙回自己院子，寻乐韵交来的那簿子烧毁，烧到一半，忽悟过来，吩咐筱筱：“你去问文大娘一件事。”自己一边为晚宴重 整妆容，整好了，筱筱也回来复命了：“大娘道，没有的事儿，问是谁说的，姑娘可要她查么？”“不必了，空穴来风的事 儿„„”明秀说到一半，索然无味的断了。空穴来风，一诈定了胜负，说它作什么？“ 。”筱筱偷眼看一眼明秀，欲言又止。 “你讲。”明秀道。“ 曾说，表 识相倒也罢了，如若不然，您还有杀手锏哪！”“嗯。”“那 为什么„„不使出来呢？” 筱筱不解。另一边，洛月也在问宝音：“您说她还有杀手锏，是什么？为什么不使出来？”“她自然有本事废了我，让我永远 没法出嫁，不是含羞自尽、就是削
三角变换中“1”的妙用
三角变换中“1”的妙用作者：陈秀娟来源：《中学教学参考·理科版》2010年第07期三角式的变形问题,包括三角式的简化、求三角式的值、证明恒等式、条件等式和三角不等式内容.特别是三角式的求值、化简是三角函数的重要内容.在三角函数中“1”的变换有--等等.在具体变换中根据题目的不同特征选择不同的变换,在三角函数的变形时,若能把常数“1”恰当处理,并灵活运用三角基本公式,变形起来就比较顺利.现举例说明.第一,三角函数式如含有1时可将1变换为【例1】已知-1=-1,求的值.分析:由已知可以求出再由同角三角函数关系式可以求得和进而求出关系式的值,但实际操作中,往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.解析=135.评析:形如的式子称为关于、的二次齐次式,对涉及它们的三角式通常利用进行变换.【例2】若、是关于方程的两个实根,求k的值.解:由题意知-6k8=-3k4,∵-4×8×(2k+1)≥0,∴k≥8+2349或k≤8-2349.又∵---2×2k+18,∴-8k-20=0,解得k=-109或k=2(舍去),∴k=-109.第二,三角式中有1和、时,则利用-进行变换.【例3】化简-解--------第三,在含有根号的三角函数等式的变形中、时1可以不变,但为“脱”去根号常借助三角函数的平方关系.【例4】化简三角函数式--1--1--分析:利用同角三角函数平方关系式化简.原式-(1----1----1-4(当α在第一、三象限时-4(当α在第二、四象限时).评析:解该题时易犯的错误是缺少对、正负的讨论,直接“脱去”分母中的绝对值符号,或是不注意正、余函数的有界性,盲目对、的正负进行讨论.第四,三角式中有1和有时把1换成【例5】化简-解:原式-第五,三角式中含有则有时不宜变动1,而将化为将1-化为【例6】化简-解:原式-----又∵00.∴上式-=-第六的妙用.【例7】已知实数x,y满足-若对满足条件的任意x,y都有x+y-c≤0恒成立,求参数c的取值范围.解:设-即则x+y-c≤0恒成立转化为-c≤0恒成立,即恒成立.设则恒成立等价于下面我们求函数的最大值.由正弦函数的有界性知当时,函数取得最大值,即所以c≥2+1.即c取值范围是[2+1,+∞).评析:本题考查不等式的恒成立问题中参数范围的确定,集圆的参数方程、二元不等式、三角函数的性质等于一体,是一道好题,利用圆的参数方程(即是解决问题的关键.(责任编辑金铃)。
三角函数的图像和性质(1)
− 6π
− 4π
y=sinx, x ∈ R
− 2π
1 0 -1
2π
4π
6π
x
正弦曲线 y
1
y=cosx, x ∈ R
− 6π
− 4π
− 2π
0 -1
2π
4π
x
余弦曲线
二、重难点讲解
y
1-
5. 五点作图法的五个关键点
图象的最高点 (π ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
，
_
，
y P A(1,0)
x
正弦线： 正弦线： MP 余弦线： 余弦线：OM 正切线： 正切线： AT
M
O T
一、复习引入
1. 作出下列各角 的正弦线、余弦线、正切线 的正弦线、余弦线、正切线.
，
_
，
y
M 正弦线： 正弦线： MP 余弦线： 余弦线：OM 正切线： 正切线： AT O P
A(1,0)
x
2π
-
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
图象的最低点 图象的最低点
简图作法： 五点作图法 五点作图法) 简图作法：(五点作图法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
利用三角函数线 作三角函数图象
作三角函数线得三角函数值， 作三角函数线得三角函数值，描点 ( x, sin x ),连线 连线 如: x
10 三角函数的图像与性质(1)
10、三角函数的图像与性质（1）教学目标：1、能借助正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；2、借助图像理解正（余）弦函数的性质（定义域、值域、周期性、奇偶性）．教学过程：一、引入为了更加直观的研究三角函数的性质，先作出它们的图像．怎样作出三角函数的图像？（描点法）二、建构1、 正弦函数的图像由于sin y x =是以2π为周期的函数，故只要先画出在[0,2]π上的图像，然后由周期函数向两边延伸可得整个图像．取2110,,,,,...,,263236x ππππππ=，可计算得110,,022y =-（代数方法），也可以借助单位圆作出sin ,sin ,...63ππ（几何方法）据此可作出一系列点，再用光滑的曲线把这些点连接起来，就得正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图像．将sin y x =，[0,2]x π∈的图像向左、右平移（每次2π个单位），得到正弦函数sin ,y x x R =∈的图像，即正弦曲线．说明：如图可见其图像上起着关键作用的点有以下五个：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ-，今后我们一般先找出这五个关键点，可画出函数的简图，这种方法叫“五点法” ．2、 余弦函数的图像你有什么办法画余弦函数的图像吗？方法一、列表描点法； 方法二，图像变换法．由cos sin()2x x π=+知，由sin y x =图像向左平移2π个单位得到cos y x =的图像．3、 正、余弦函数的性质：（观察图像）（1） 定义域：R（2） 值域：均为[1,1]-（3） 周期性：都是以2π为最小正周期的周期函数（4） 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．三、运用例1 用“五点法”画图：sin 2y x =变式：（1）画图 sin2y x =；（2）求sin 2y x =图像对称中心坐标、对称轴方程．例2 求函数x x y sin 21cos lg -+=的定义域．例3 求函数2cos3x y =-的最大值及此时x 的集合．变式： 求函数⎪⎭⎫⎝⎛--=63cos 2πx y 的最大值及此时x 的集合． 四、小结五、作业。
三角变换中“1”的妙用
： －
—０的两个实根 ， 是的值． 求
３ ４
ｔ
］ｔ号 －ｎ ａ
中学教学参考 （ 中旬 ）２ １ ． ０ ０ ７总第 ５ ６期
解 题方 法与技 巧 Ｈ ＮＸＥ Ｊ Ｏ Ｕ Ａ ＫＯ ＺＯＧＵ Ｉ ＸＥ ＣＮ Ａ Ａ
一ａ叶号 ・ ｔ（ ） ｎ
第三 ， 含有 根 号 的三 角 函数 等 式 的变形 中， ± 在 １
系式可以求得 ｓ ａ和 ＣＳ ， ｉ ｎ Ｏｏ 进而求 出关 系式 的值 ， 实 ￣ 但
际操作 中 ， 往往借助题 目条件 的特殊性来整 体考虑使用
条件．
【 ３ 化简 ：＋ ｃ＋ｔｒ 例 １ 再 ｓ ａｏ １ ｅＯ
．
解：
解 析 ：ｉ。 ＋ｓｎ ｃ ｓ ＋２ ｓｎａ ｉａ ｏａ
ＣＯＳ ａ．
又 ’ １ ｓ ＋ Ｃ Ｓ 一 （ ｉＯ ｃ ｓ ） 一 ２ ｉＯ ｏ Ｏ ． 一 ｉ ０ Ｏ ‘ ｎ ｓｎ ＋ ｏ Ｏ 。 ｓｎ ｃ ｓ
（ ２ ， 一 × 警
． ．
ｑｂ —Ｒ易— ｎ— ｎ ． Ｚ— —
解 志一 或一（ ） 得一 萼 ２ 去， 舍
中学教 学 参 考
解题 方法 与技巧
■ 角 三 Ｊ ■ ● ■ 一 ０ ■ ● 一 Ｉ ０ Ｊ ● 变 换
中 “ １ ’ 的 妙 用 ’
广 西玉林 市福 绵 高级 中学（ ３ ０ ３ 陈秀娟 ５７２ ）
三角 式 的变形 问题 ， 包括 三角式 的简化 、 三角式 求 的值 、 明恒等式 、 证 条件 等式 和三角不等式 内容． 特别是 三角式 的求 值 、 化简 是三角 函数 的重要 内容． 三角 函 在
一
—
—
±
ｃ ｓ ｏＯ
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
人教版高中数学必修四第一章三角函数图像变换
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:(按 ,ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左>0 (向右<0) 平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
课后作业
1、指出函数y=2/5sin3x的振幅、周期，并画出其图象。 2、作出y=2sin1/2x的简图。
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
谢谢莅临指导！ 再见！
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
教学重点： “用五点法”作函数y=Asinx和y=sinωx的简图及振 幅、周期对正弦函数图象的影响。
教学难点：在直角坐标中会寻找“五点”的位置及由y=sinx的 图象变为y=Asinωx的图象规律。
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
人教版高中数学必修四第一章三角函 数图像 变换
导入课题：
解：∵函数y=sin4x的周期T=/2 ∴在[0, /2]上作图
令Z=4x 则x=Z/4 从而sinZ=sin4x
x
0
8
4
3
8
2
4x 0
2
3 2
2
sin 4 x 0 1 0 -1 0
y
1
y sin 4 x
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重点
难点
掌握 y sin x 的图像到 y sin wx 的变换
预
习
案
1、 将函数 y sin x 的图像横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 3 倍，得 预习 检测 2、 将函数 y sin x 的图像向左平移
个单位，得 4
1 ，得 2
3、将函数 y sin x 的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的
3 x 的图像如何由 y cos x 得 4
（2） y cos
3、写出下列函数的周期 （1） y sin 4 x
1 x 3
（3） y sin( 2 x
4
)
巩固 练习
1、 将函数 y sin x 的图像向右平移 坐标不变，横坐标变为原来的 伸长为原来的 2 倍，得
个单位，得 4
，再将所得图像纵 ，再将所得图像的纵坐标 .
1 ，得 3
行动是成功的阶梯，行动越多，登得越高！
行动是成功的阶梯，行动越多，登得越高！
神木七中高一数学导学案
班级： 课题 目标 姓名： 学习小组： 主备人：赵超 审核人： 编号：48
函数 y A sin(wx ) 图像 1 掌握函数 y A sin(wx ) 图像如何由 y sin x 图像得到 1、 理解 y sin x 的图像到 y sin(x ) 的变换 2、 理解 y sin x 的图像到 y sin wx 的变换
3 sin x 的图像如何由 y sin x 图像得到？ 2 1 2、函数 y cos x 的图像如何由 y cos x 图像得到? 2
相位变换
探究点二
例 2：画出函数 y sin( x
4
)和y sin( x
6
) 的图像，讨论它们与函数 y sin x 的关系.
行动是成功的阶梯，行动越多，登得越高！
探
探究点一 振幅变换 例 1：作出 y 2 sin x 和 y
究
案
1 sin x 的图像，讨论它们与函数 y sin x 的关系. 2
发现：当横坐标不变时，纵坐标怎样变化？ 结论：函数 y A sin x, ( A 0) 的图像是将函数 y sin x 横坐标 纵坐标 称A为 思考：周期是否变化？ 练习：1、函数 y 原来的 ，称这样的变换为 倍 . 变换. ，
) 的图像如何由 y sin x 得到? 3 2 ) 的图像如何由 y cos x 得到? 2、函数 y cos( x 3
周期变换
探究点三
例 3：画出函数 y sin 2 x 和 y sin
1 x ห้องสมุดไป่ตู้图像，讨论它们与函数 y sin x 的关系. 2
发现： （1）它们的周期是否变化？ （2）图像的横坐标发生怎样的变化？
；
决定了函数的周期 T
结论：函数 y sin wx 的图像是将函数 y sin x 图像的 缩短为 的 倍. 为原来的 为原来的 倍； 倍
不变，
伸长或
注：当 0 w 1时， 当 w 1 时， 练习：1、函数 y sin 2、函数 y cos
4 x 的图像如何由 y sin x 得到？ 3
发现：将 y sin x 的图像整体
平移得到. 平移 个单位得到 （方向）平移. 变换.
结论：函数 y sin(x ) 的图像是将函数 y sin x 的图像 注：当 0 时，向 称 为相位， （方向）平移；当 0 时，向 为初相. 称这样的变换为
思考：周期是否发生改变？ 练习：1、函数 y sin( x