2018届江西省赣州市高三上学期期末考试数学理卷

赣州市2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}1lg 1|{≤≤-=x x A ，}42|{<=x x B ，则=B A （ ） A ． }2101|{<≤x x B ．}20|{<<x x C ．}102|{≤<x x D ．}100|{≤<x x2.复数3)1(11i i -++（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ． i 23 B ． 23 C ．i 25- D ．25-3.已知函数⎩⎨⎧≤+>=0),4(0,log )(2x x f x x x f ，则=-)2018(f （ ） A ． 0 B ． 1 C ． 3log 2 D ． 24.若函数)sin()(ϕω+=x x f 的部分图像如图所示，则ω和ϕ的取值可以为（ ）A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-== C. 6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==5.设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤--0830112022y x y x y x ，则x y x z +=的最大值为（ ）A ．2B ．37C. 5 D ．6 6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0=x ，则一开始输入的x 的值为（ ）A ．43 B ．87 C. 1615 D ．3231 7.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足B c C b A a cos cos cos 2+=，且4=+c b ，则a 的最小值为（ ）A ． 2B ．22 C. 3 D ．32 8. 6)12)(2(+-x x 的展开式中4x 的系数为（ ） A ． -160 B ．320 C. 480 D ．6409.如图，格纸上小正方形的边长为1，如图所示画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ． 32B ．3 C. 6 D ．510.双曲线122=-y x 的左右顶点分别为21,A A ，右支上存在点P 满足αβ5=（其中βα,分别为直线P A P A 21,的倾斜角），则=α（ ）A ．36π B ．24π C. 18π D ．12π11.已知圆1:22=+y x O 交y 轴正半轴于点A ，在圆O 内随机取一点B ，则1||≤-OB OA 成立的概率为（ ） A ．ππ6334- B ． ππ12334- C. 31 D ．6112.命题p ：关于x 的不等式0ln ≥--m x e x（e 为自然对数的底数）的一切),0(+∞∈x 恒成立；命题q ：]613,(-∞∈m ；那么命题p 是命题q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量),12(k =，)14,1(k -=，若⊥，则实数=k ． 14.已知31)16cos(=+πα，其中α为锐角，则)163sin(πα-的值为 ． 15.若三棱锥ABC S -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，32=AB ，7===SC SB SA ，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．16.已知过抛物线y x 42=的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两个不同的点，过B A ,分别作抛物线的切线且相交于点C ，则ABC ∆的面积的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}{n a 的前n 项和n S ，满足522-+=n a S n n ，)(+∈N n . （1）求证：数列}2{-n a 为等比数列； （2）记nn n n a a a b 12+-=，求数列}{n b 的前n 项和n T . 18. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是棱AB BC ,的中点，点F 在1CC 棱上，且AC AB =，31=AA ，2==CF BC .（1）求证：//1E C 平面ADF ；（2）当2=AB 时，求二面角111B E C A --的余弦值.19. 计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去0年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不足120的年份有30年，不低于120且不足160的年份有8年，不低于160的年份有2年，将年入流量在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 的限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为500万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损1500万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为21,A A ，其离心率35=e ，过点)0,2(B 的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点（异于21,A A ），当直线l 的斜率不存在时，354||=PQ . （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线P A 1与Q A 2交于点S ，试问：点S 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.21. 已知函数b ax x x x f ++=ln )()),1[(+∞∈ex 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y -=平行，且函数)(x f 有两个零点.（1）求实数a 的值和实数b 的取值范围；（2）记函数)(x f 的两个零点为21,x x ，求证：e x x 221>+（其中e 为自然对数的底数）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x l 22221:（t 为参数），曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2:1y x C （θ为参数）.（1）求直线l 与曲线1C 的普通方程；（2）已知点)0,1(),0,1(1-F F ，若直线l 与曲线1C 相交于B A ,两点（点A 在点B 的上方），求||||11B F A F -的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|||2|)(a x x x f -++=)0(>a . （1）当2=a 时，求不等式6)(>x f 的解集；（2）若函数)(x f 的图像与直线5=y 所围成封闭图形的面积为8，求实数a 的值.2017—2018赣州市期末考试试题（理）参考答案一．选择题12．解析：由题设可记()e ln x f x x =-，则()e xf x x'=-， 显然()f x '在()0,+∞上单调递增，又2132123e 20,e 0232f f ⎛⎫⎛⎫''=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故存在012,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x f x x '=-=， 当()00,x x ∈，()0f x '<， 当()0,x x ∈+∞，()0f x '>，所以()()0000min 01e ln x f x f x x m x m x ==--=+-，因为012,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以0012313326x x +>+=，记001n x x =+，知136n >，故e ln 0x x m --≥，故得(],m n ∈-∞，又(]13,,6n ⎛⎤-∞⊆-∞ ⎥⎝⎦，故选C ． 二．填空题13．6-； 14．4615．494π； 16．4；16．解析：点C 在抛物线的准线上，设直线:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，则()2,1C k -联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx ⇒--=进而得：12124,4x x k x x +=⋅=-易得以A 为切点的方程为：211124x y x x =-，B 处的切线方程为：222124x y x x =-解得：12122,124C C x x x xx k y +⋅====- (21412ABC S AB d k ∆=⋅=+∴当0k =时()min 4ABC S ∆=. 三．解答题17．解：（1）由522-+=n a S n n …………① 当1n =时，1123a a =-，得3a =1当2n ≥时，11227n n S a n --=+-…………② ①-②得：122n n a a -=-即()1222n n a a --=-且a 1-2=1故数列{}2-n a 是首项为1，公比为2等比数列． （2）由（1）知：112222n n n n a a ---=⇒=+故()()1111221122222222n n n n n n n n n a b a a ---+-===-++++111111......01121222222222222T nn n ∴=-+-++--++++++011112222322n n nT ∴=-=-+++．18．解：（1）(法一)连接CE 交AD 于点P ，连接PF由,D E 分别是棱,BC AB 中点，故点P 为ABC ∆的重心∴在1CC E ∆中，有123CP CF CE CC ==∴1//PF EC ，又1EC ⊄平面ADF ∴1//C E 平面ADF（法二）取BD 的中点G ，连接1EG,C G由E 是棱AB 的中点，G 为BD 的中点，∴EG 为ABC ∆的中位线，即//EG 平面ADF 又D 为棱BC 的中点，G 为BD 的中点 由23CD CG =，由13,2AA CF ==，且111C B A ABC -为直三棱柱 ∴123CF CC =，进而得1CD CFCG CC =∴ 1//DF C G ，即1//C G 平面ADF又1C G EG=G∴ 平面1//EGC 平面ADF 又1C E ⊆平面1EGC∴1//C E 平面ADF（2）由111C B A ABC -为直三棱柱∴1AA ⊥平面ABC ，取11A B 的中点M，连接,CE EME 是棱AB 的中点，∴1//EM AA ，即EM ⊥平面ABC 2AB AC BC === ∴ABC ∆为等边三角形E 为AB 的中点∴CE AB ⊥且CE =故以E 为坐标原点，以射线,,EA EM EC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系则()1110,0,0,(1,3,0),(1,3,0),E A B C -()11,3,0EA =，(1EC = ，()11,3,0EB =-设平面E C A 11的法向量为()111,,z y x =则：1111113030m EA x y m EC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨取11y =，则(3,1,m =- 设平面E C B 11的法向量为()222,,z y x =则：1221223030n EB x y n EC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨取21y =，则(3,1,n = 记二面角111B E C A --为θ5cos 13m n m nθ⋅===⋅故二面角111B E C A --的余弦值为135． 19．解：（1）依题意：()5180401=<<=X P P ，()53120802=<≤=X P P ， ()2541601203=<≤=X P P ，()2511604=≥=X P P . 所以年入流量不低于120的概率为()51120435=+=≥=P P X P P 由二项分布，在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率为：()()12511251543541123525133503=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=P P C P C P（2）记水电站的总利润为Y （单位：万元） ①若安装2台发电机的情形：87005410000513500=⨯+⨯=EY②若安装3台发电机的情形：85005115000538500512000=⨯+⨯+⨯=EY因为85008700>，故应安装2台发电机． 20．解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为c ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=523192043522222c b a c b a b a ac所以椭圆C 的方程为：14922=+y x(2)设直线l 的方程为2+=my x ，()11,y x P ，()22,y x Q联立()020********2222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=my y m y x my x由21,y y 是上方程的两根可知：12212216492049m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩()121245my y y y ⇒⋅=+直线P A 1的方程为：()3311++=x x y y 直线Q A 2的方程为：()3322--=x x y y 得：()()()()21123333x y x x y x -+=+-()()2112215325y y x my y y y ⇒+=⋅+-把()212154y y y my +=⋅代入得：()()121221125295252535y y y y y y x y y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+即29=x ，故点S 恒在定直线29=x 上． （由对称性可知，若存在定直线，则该直线应垂直x 轴，故也可由特殊位置——当直线斜率不存在时，探究得出该直线方程，给2分）21．解：（1）由()ln f x x x ax b =++，1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭得：()ln 1f x x a '=++由()1112f a a '=+=-⇒=-进而得()ln 2f x x x x b=-+，()ln 1f x x '=-故当1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>； 所以函数)(x f 在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()e,+∞单调递增，要使函数()f x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个零点，则 ()e e 2e 01111ln 20e e e e fb f b =-+<⎧⎪⎨⎛⎫=-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩1,e e b ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭且1b ≠ （用分离参数，转化为数形结合，可对应给分）（2）由（1），我们不妨设()121,e ,e,x x e ⎡⎫∈∈+∞⎪⎢⎣⎭欲证122e x x +>，即证212e x x e >->又函数)(x f 在()e,+∞单调递增，即证()()212e f x f x >-由题设()()12f x f x =，从而只须证()()112e f x f x >-记函数()()()2e F x f x f x =--，1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ()()()()ln 22e ln 2e 22e F x x x x x x x =----+-()()ln 2e ln 2e 44x x x x x e=----+则()()ln ln 22F x x e x '=+--，记()()g x F x '=，得()()112e 22e 2e xg x x x x x -'=-=--因为1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()0g x '>恒成立，即()F x '在1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，又()e 0F '= 所以()0F x '<在1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上恒成立，即()F x 在1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减 所以当1,e x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()e 0F x F >=，即()()112e f x f x >- 从而得122e x x +>．上恒成立，即()F x 在()0,e 单调调递所以当()0,e x ∈时，()()e 0F x F >=，即()()112e f x f x >-从而得122e x x +>．22．解：（1）由直线已知直线1,:,2x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），消去参数t 得：10x y --=曲线12cos ,:,x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数θ得：13422=+y x . （2）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221122,221,22,221t t B t t A 将直线l 的参数方程代入13422=+y x 得：0182672=-+t t 由韦达定理可得：718,7262121-=⋅-=+t t t t结合图像可知0,021<>t t ，由椭圆的定义知：11F A F B FB FA -=-()21127FB FA t t t t -=--=-+=. 23．解：（1）由2=a 得()6>x f 等价于622>-++x x即226x x ≥⎧⎨>⎩或2246x -≤<⎧⎨>⎩或226x x <-⎧⎨-<⎩即3x >或3x <-故不等式()6>x f 的解集为{}33-<>x x x 或； （用绝对值几何意义解同样给分）（2）由0a >得：()⎪⎩⎪⎨⎧-<-+-<≤-+≥-+=-++=2,222,2,222x a x a x a ax a x a x x x f由题意可得：352<⇒<+a a设直线5=y 与()x f y =交于B A ,两点不妨设：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-5,23,5,27a B a A所以封闭图形面积为：()[]()825221=--⋅-++=a x x a S A B 即：24501a a a +-=⇒=或5a =-（舍去） 故1a =.。