有界变差连续函数族的纲性
《数学分析》考试大纲
《数学分析》考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：100分钟五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。
六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。
2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。
七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。
应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。
能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。
八、考试范围第一章实数集与函数（一）考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。
区间与邻域，有界集与确界原理。
函数概念,函数的表示法。
函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。
具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
（三）考核要求1、了解实数域及性质；2、掌握几种不等式及应用；3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第二章数列极限（一）考核内容数列。
数列极限的定义,无穷小数列。
收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。
子列及子列定理。
有界变差函数 有界变差函数
称 V ( , f ) 为 f 关于分划 D 的变差。 D
若存在常数 M，使对一切分划 D ，都有
V ( , f ) £ M ，则称 f (x 为 [ , b 上的有 D ) a ]
界变差函数。令
V ( f ) = sup V ( , f ) D ，
D b a
。
将 D , D 2 合并起来得 [ , b 的一个分划 a ] 1
D1 : a = x < x <L x = y < y <L< y = b < n 0 1 0 1 m ，于是由 D f ) £ V b ( f ) 及 V ( , a V ( , f ) = V ( 1 , f ) + V ( 2 , f ) D D D c b b e 得 V ( f ) + V ( f ) - 2 £ V ( f ) ， a c a 由 e 的任意性立得 c b b V ( f ) + V ( f ) £ V ( f ) 。 a c a
e > 0
D1 : a = x < 1 ，可以找到分划 x < L < x = c 0 n 及分划 D2 : c = y < y < L < y = b ，使得 0 1 m
b V ( 1 , f ) ³ V c ( f ) - e ，V D , f ) ³V ( f ) -e D ( 2 a c
n
V ( , f ) = å f ( x ) - f ( x -1 ) | D | i i
i 1 = i 0
£ å f ( x ) - f ( x -1 ) | + | f ( ) - f ( i 0 ) | | i c x i
有界变差函数
力上的有界变差 *:，则
"上的有界变
证明：任取I 的一个分划 /. ，": 1" . , • 对应到 的一个
分划 A:必：：布c:《c4 c兄w ：*「如以", 于是 r（A, /）＜ r（A,/）＜r/m,进 而 ,证毕。
性质6设f是W婀上的有界变差函 数，c 是*内任一数，则
得
，于是
ZJf V
的任意性得
i- ：2
rv j.
yH yc《r\ . u/ b z o (j )，! <
G
顷次Jf),证毕。
,所以
性质7若m｝是〔纯b\上的有界变 差
函数列，是有界数列， 且很妙处处 收敛到 心,则g也 是矿上的有界变差函数，且
证明：记
的一个分划
i- 协
：“lira.〉
k-》诚)/, i
性质1若f是角例上的有界变差函 数， 则/必为有界函数。
证明：若不然，则存在
使
，由/是有界变差函数知
对任意S作 的分划, 则
由""":j「;"一，得 2|/3>«(/)|.|/(砌山|/(切1。 这与 矛盾，故必为有界 函数，证毕。
性质2若K都是 的有界变 差函数，则对任意常数 L 矿;您 也 是IW的上的有界变差函数，且
证明：由性质1知存在使得
§|M <• Il <x)91 g(x) | < M < • li
<x)9
设为 的任一分划：
i-』
£： ：］1
故
证毕。
是，上的有界变差函数, 且， U <,则r是常数。
证明：若/不为常数，贝IJ存在 II"』
关于函数的连续性的讨论
V ol. 12, No . 5
高等数学研究
Sep. , 2009
就称 f 在点 x 0 处上半连续( 下半连续) ( 连续) . 以上是对涉及 f 在一点处的连续性的分析, 它们都是 f 的局部性质. 而说 f 是区间 I 上的连续
函数、一致连续函数、绝对连续函数、几乎处处连续函数以及基本上连续函数均是指函数本身的整
体性质. 以下仍然运用 E-D定义对这些概念进行分析比较, 可以发现它们之间的差别与联系. 3 连续、一致连续及绝对连续
( 3) 若函数 f 在( a, b) 上一致连续, 则 f 在 a 点的右极限、在 b 点的左极限均存在.
这个定理说明, 有界区间上的一致连续函数均可看作有界闭区间上的连续函数. 但是函数的绝对连续性不是这样.
定义 3. 1[ 2] 设 f 为定义在闭区间[ a, b] 上的实值函数, 若对任给 E> 0, 存在 D> 0, 使得对任
a [ x 1 < y 1 [ x 1 < y 2 [ ,x n < yn [ b,
n
E 且 | y i - x i | < D时, 就有 i= 1
n
n
n
E E Q EQ | f ( y i ) - f ( x i ) | =
|
g( t) dt | =
| g( t) | dt =
i= 1
i= 1
[ x i, yi <
定理 3. 4 函数 f 在[ a, b] 上绝对连续的充分必要条件是函数 f 在[ a, b] 上几乎处处可导, 导
lp有界变差函数
lp有界变差函数1.引言1.1 概述概述部分的内容引言是一篇文章的开端，它为读者提供了对接下来内容的预览，旨在引起读者的兴趣并提供背景知识。
本文的标题为"lp有界变差函数"，将探讨lp空间和有界变差函数的定义、性质以及其应用。
在lp空间的定义和性质部分，我们将介绍lp空间是由具有有限lp范数的函数组成的函数空间，并探讨一些重要的性质。
然后，我们将探讨有界变差函数的定义和性质，了解它们在分析和概率论等领域的重要性。
在结论部分，我们将讨论lp有界变差函数的一些应用，并对整篇文章进行总结。
通过本文的阅读，读者将对lp有界变差函数有更深入的了解，并了解它们在实际问题中的应用。
1.2文章结构文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对文章的研究背景和意义进行概述，介绍了lp有界变差函数的研究内容，并阐明了本文的目的。
正文部分主要包括两个主要内容，分别是lp空间的定义和性质以及有界变差函数的定义和性质。
在2.1节中，将会详细介绍lp空间的定义，并探讨lp空间的几个重要性质，如完备性、稠密性和嵌套性等。
同时，还将会对lp空间中的一些特殊情况进行讨论，如l1空间和l2空间等，以便读者更好地理解lp空间的性质。
在2.2节中，将会引入有界变差函数的概念，并详细定义有界变差函数及其几个重要性质。
有界变差函数是lp空间的一个重要子集，它在数学分析、泛函分析等领域有着广泛的应用。
本节将介绍有界变差函数的基本定义和性质，以及与lp空间的关系。
结论部分将对lp有界变差函数的应用进行探讨，并总结本文的研究内容和结果。
此外，还将对lp有界变差函数的研究进行展望，指出未来研究的方向和可能的发展趋势。
通过以上的文章结构，读者可以全面了解lp有界变差函数的定义和性质，以及其在数学和应用领域中的重要性和应用价值。
同时，本文还试图为后续的进一步研究提供了一些思路和方向。
1.3 目的本文的目的是研究和探讨lp有界变差函数的性质和应用。
高等数学(同济第七版)提纲
函数、极限、连续一、函数：五大类根本初等函数幂函数，指数函数，对数函数反函数，有界性，奇偶性三角函数：正割函数，余割反三角函数二、极限1、数列的极限夹逼准那么2、函数的极限〔1〕两个重要极限〔2〕无穷小：高阶，低阶，同阶，等价；性质：有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小。
等价无穷小代换；三、连续间断点：第一类，第二类左右极限都存在；可去间断点，跳跃间断点无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都连续。
闭区间上连续函数的性质：零点定理：方程根的存在性第二章导数与微分、相关概念1、导数的两大定义式；2、左右导数；3、几何意义；4、可导与连续的关系。
5、16 个根本导数公式，4 个求导法那么二、六大类函数求导1、复合函数求导；2、隐函数求导；3、参数方程所确定的函数求导；4、幂指函数求导；对数求导法5、分段函数求导；6、抽象函数求导。
三、微分1、概念；可微2、计算第三章微分中值定理与导数的应用一、中值定理罗尔定理：驻点拉格朗日中值定理二、洛必达法那么三、单调性和凹凸性单调性：求单调区间；求极值；证明不等式；证明方程根的唯一性。
极值的第一充分条件有且仅有；凹凸性：凹凸区间；拐点四、渐近线1、水平渐近线2、垂直渐近线3、斜渐近线第四章不定积分一、不定积分的概念；〔13+2〕原函数；被积函数；积分变量二、计算1、凑微分法〔第一类换元法〕2、第二类换元法3、分部积分法〔一〕4 小题〔二〕2 小题〔三〕1 小题简单根式的积分第五章定积分一、相关概念和性质积分下限，积分上限几何意义：面积的代数和[a,b] 积分区间比拟性质定积分的中值定理二、关于计算方面的内容1、定积分的计算；2、广义积分〔反常积分〕；〔1〕无穷限的广义积分；收敛；发散〔2〕无界函数的广义积分〔瑕积分〕无界间断点，瑕点3、积分上限的函数；〔1〕变上限定积分；〔2〕求导运算；4、用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积。
两个简便公式第六章微分方程一、相关概念定义：未知函数，未知函数的导数，自变量；阶，解，通解，特解初始条件二、四类方程1、可别离变量的微分方程；2、一阶线性微分方程；一阶齐次线性。
第五章 第四节 4.4 有界变差函数
b
证毕。
≤ f (b) f (a).
第四节 有界变差函数 应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式 的差别，此处严格不等式样可能成立的， 例如，若 x0 ∈(a, b),(x) =θ (x x0 )，则
b
′(x) = 0 a.e.。于是 ∫ ′(x)dx = 0，但 a (b) = 1，(a) = 0，故 (b) (a) = 1，
∞ ∞
1 0 ≤ ∑{ f (x) Snk (x)} ≤ ∑{ f (b) Snk (b)} < ∑ k =1. k =1 k =1 k =1 2
∞
第四节 有界变差函数 这说明 ∑{ f (x) Snk (x)}也是由单调 增加函数列 f (x) Sn (x)构成的收敛 k 级数，将上面关于 ∑ fn (x) 的结论用 到 ∑{ f (x) Snk (x)} 上，得
∑f '
n
(x) = f ' (x)。
第四节 有界变差函数 由于 lim Sn (b) = f (b) ，对任意自然数 k， 可取 nk，使得
n→∞
1 f (b) Snk (b) < k ， 2 但 f (x) Sn (x) 也是单调增加函数，且 k
，所以, f (a) = Snk (a) = 0
第四节 有界变差函数 推论2 上跳跃函数， 推论 若 是 [a, b] 上跳跃函数，则
' = 0 a.e.。 证明：设 = 1 2 ,1,2 是 [a, b] 上的
单调增加函数，注意对任意 xn∈(a, b) ，
θ ' (x xn ) = 0 a.e., θ '1 (x xn ) = 0 a.e.，
V ( f ) = sup V (, f )，
有界变差函数
V f ( x0 , L x n ) = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) = ∑ ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) = f (b) − f (a.).
i =1 i =1
n
n
因此 V ( f ) = f (b) − f ( a ). 所以 f ∈ V [ a, b].
x
则 p ( x) 和 n( x) 都是单调增加的, 并且满足 (6)
我们称(6)式为 f 的标准分解.分别称 p ( x) 和 n( x) 为 f 的正变差函数和负变差函数. 定理 5 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则 V ( f ) 在 [a, b] 上是右连续的(或左连续
a x
n−2 b a
(令k = n − i )
令 n → ∞ 知道 V ( f ) = +∞. 因此 f 在 [0,1] 不是有界变差函数. 定理 2 有界变差函数具有如下性质:
(i). 若 f ∈ V [a, b], 则 f 是有界函数. (ii). 若 f ∈ V [a, b], α ∈ R1 , 则 α f ∈ V [a, b], 并且 V (α f ) ≤ α V ( f ). a a (iii). 若 f , g ∈ V [a, b],
因此
x1 x2
x2
x1
V ( f ) + f ( x1 ) ≤ V ( f ) + f ( x 2 ). a a
这表明 g ( x1 ) ≤ g ( x 2 ). 即 g 是单调增加的.类似可证 h 也是单调增加的. 推论 4 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则 (1) (2) (3)
f ( x) − f ( x0 ) < ε . 取 区 间 [ x0 , x0 + δ ] 的 一 个 分 割
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１ 预备知识和定理
符号 Ｃ ［ ａ ，６ １ 表示闭区间 ， 上连续函数全体 ，定义
ｄ （ ｆ ， ｇ ） ＝ ａ Ｉ ｆ （ ｘ ） － ｇ （ ｘ ） Ｉ ， ｖ ｆ ， ｇ ∈Ｃ ［ ａ ， ｂ 】 口≤ ≤６
则Ｃ ［ ａ ，６ 】 成为一个完备度量空间。 熟知 的事实是闭区间 ，６ ］ 上连续 函数，∽ 的图像未必是可求长曲线 ，
摘要 ：利用 Ｂ ａ ｉ ｒ ｅ纲定理 证 明 了连 续 函数 空 间 Ｃ ［ ａ ， ６ 】 上有界变差函数全体是第一纲集，多数连续函数的 图像 是不 可 求长 曲线。 关键词 ：可 求长 曲线 ；有 界 变差 ；第一 纲集 中 图分 类 号 ：Ｏ１ ７ ４ ． １ 文献 标识 码 ： Ａ 文章编 号 ：１ ６ ７ ４ — ９ ２ ０ ０（ ２ ０ １ ３ ）０ ３ — ０ ０ ３ ２ — ０ ２
［ ２ ］包 淑华 ． 基 于有 界变差函数的研究 ［ Ｊ ］． 廊坊师范学院学报 ，２ Ｏ ｌ ｌ（ ２ ） ：１ ６ — １ ８ ． ［ ３ ］张恭 庆 ，林源渠 ． 泛函分 析讲 义 （ 上册 ） ［ Ｍ］ ． 北京 ：北京大学 出版社 ，１ ９ ８ ７ ： ９ ０ － ９ ３ ． ［ ４ ］ 汪林 ． 实分析 中的反 例 ［ Ｍ］ ． 北京 ：高等教育 出版社 ，１ ９ ８ ９ ： ３ ０ ８ — ３ ０ ９ ．
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ —０ ４—２ ６
作者简介 ：王磊杰 （ １ ９ ８ ０一），男 ，河北武安人 ，文山学院数理 系助教 ，硕士 ，主要从事动力系统研究 。
３ ２
王磊杰 ：有界变差连续函数族的纲性
ｔ ｎ ， 。＜
：
【０ ， ． ］ ｃ ＝ ０
在 【 ０ ，ｌ 】 上全 变 差为 无穷 大 …。 即使 的导 函数无 界 ，也有 可 能有界 变 差 ，例 如 函数
一
２ ｆ （ ｄ ） ｆ（ ｃ ） ¨ ２ ｄ ｆ （ ｃ ） － ｃ ｆ （ ｄ ） ｇ （ － ＝ ，
—
，
口 一 Ｃ 口ຫໍສະໝຸດ Ｃ ∈（ ２ ， ）
） ＋ ・ 鲁兀 一（ ｃ ＇ 字】
则ｇ 不是有界变差函数 ，且 ＜ｓ ， 所以 中含有非有界变差函数。
证 明：令 表示 Ｃ ［ ａ ，切上有界变差函数全体所成集合。 设
明 中含有 非有 界变 差 函数 。
∈Ａ ，对 的任意 ｓ 邻域 ，我们证
由
的连续性知 ，存在子区间 ［ ｃ ， ｃ ，６ Ｉ ，
在［ ｃ 棚 上 的振 幅小于 。令
，
ｆ（ ｘ ）
－
， 诺（ ｃ ， ）
下证 是闭集。令Ａ 表示全变差小于等于ｍ的 有界变差函数全体， 则 ＝ （ ＝ 】 。
设 是Ａ 的聚点，函数列删 ∈Ａ ＝ ｌ ，２ ，…） 收敛到删 ，因为函数列 ∞ 满足
ｂ
Ｖ（ ） ≤ ｍ
且一 致 收敛￣ Ｕ ｆ ｏ （ ｘ ） ，所 以 ∽ 也 是有 界变差 函数 ，即 Ａ 是闭集 。
综上所述 ，
是疏集，所以 是Ｃ ［ ａ ， 中的第一纲集 。
由这个定 理及 Ｂ ａ ｉ ｒ ｅ 定理 可得 如下 重要结 论
定理 ２ 连续 函数空间 Ｃ ［ ａ ， 中非有界变差 函数全体是第二纲集 ，即多数连续函数的图像不可求长。
注： 显然 ，有界变差函数未必处处可导，例如折线函数 ；另外 ，可微函数也未必有界变差 ，函数
Ｔｈ ｅ Ｃａ ｔ ｅ ｇ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ Ｃｏ ｎ ｉｎ ｔ ｕ ｏ ｕ ｓ Ｆｕ ｎ ｃ ｉｏ ｔ ｎ ｓ ｏ ｆ Ｂｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ Ｖａ ｒ ｉ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ
ＷＡＮＧＬ ｅ ｉ － ｊ ｉ ｅ
（ Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ， Ｗｅ ｎ ｓ ｈ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｗｅ ｎ ｓ ｈ ａ ｎ ６ ６ ３ ０ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｊ ｕ ｓ ｔ ｉ ｉ ｆ ｅ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｈｅ ｔ ｓ ｅ ｔ ｏ ｆ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｂ ｏ ｕ ｎ ｅｄ ｄ ｖ ａ ｔ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ Ｃ［ ａ ， ｂ 】 ｉ ｓ ｎ ｏ ｗｈ ｅ ｒ ｅ ｄ ｅ ｎ ｓ ｅ ｓ ｅ ｔ ｂ ｙ
第２ ６ 卷 第 ３期 ２ ０ １ ３ 年 ６月
文 山学 院学报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｗ ＥＮ Ｓ ＨＡＮ Ｕ ＮＩ ＶＥ ＲＳ Ｉ ＴＹ
Ｖｏ ｌ ＿ ２ ６ Ｎｏ ． ３
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ｌ ３
有界 变差 连 续 函数 族 的 纲性
王 磊 杰
（ 文山学院 数理 系，云南 文山 ６ ６ ３ ０ ０ ０ ）
它可求长当且仅 当Ａ ｘ ） 是有界变差 函数 …。关于有界变差 函数较细致的研究可参看文献 ［ ２ ］ 。
Ｂ ａ ｉ ｒ ｅ 定理 ［ ， ］ 完备度量空间是第二纲集。
２ 主 要 结论
Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ 证 明了处处不可微连续函数全体是第二纲集 ，见文献 ［ ３ ］ 。 采用相似 的做法可以证 明不可求长 连续 函数全体是第二纲集 。 定理 １ 空间 Ｃ ［ ａ ，６ 】 上有界变差函数全体是第一纲集 ．
厂（ ） ：． －
汶 例 子 ｔ ｂ ． 说 明 非 右 界 蛮 姜
￣ ｘ ， ０ ＜ ｘ ６ １
裤 的 纲 忡 盲 椿 得 到
【 ０ ， ＝ ０
诈 的 纲 件 涣 从 不 可 ， 衢
参考 文献 ：
［ １ ］周 民强 ． 实变 函数论 ［ Ｍ ］． 北京 ：ｊ Ｅ 京大学 出版社 ，２ Ｏ Ｏ ｌ ：２ ４ ６ — ２ ４ ７ ．