§5.2 有界变差函数

140
2 ( v) 容易知道 V ( f ) 是单调增加的.
a
x
定 理 3 (Jordan 分 解 定 理 ) f 是 [a, b] 上 的 有 界 变 差 函 数 当 且 仅 当 f 可 以 表 成
f = g − h, 其中 g 和 h 是 [a, b] 上的单调增加的实值函数.
证明 由例 1 和定理 2, 充分性是显然的. 必要性. 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 令
a x
当且仅当 f 在 [a, b] 上是右连续的(相应地, 左连续的). 证明 我们只证右连续的情形. 左连续的情形证明是类似的. 必要性. 设 V ( f ) 在 [a, b] 上是右连续的, x0 ∈ [ a, b). 则对任意 x0 < x ≤ b, 利用定理
a x
2 ( v) , 我们有
141
定理 2 有界变差函数具有如下性质:
(i). 若 f ∈ V [a, b], 则 f 是有界函数.
(ii). 若 f ∈ V [a, b], α ∈ R1 , 则 α f ∈ V [a, b], 并且
V (α f ) ≤ α V ( f ). a a
b b
(iii). 若 f , g ∈ V [a, b],
g ( x) =
1 x 1 x (V ( f ) + f ( x )), h ( x ) = (V ( f ) − f ( x)). 2 a 2 a
x2
1
(5)
则 f = g − h. 当 x 2 > x1 时, 利用定理 2 ( v) , 我们有
f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ V f ( x1 , x 2 ) ≤ V (f ) =V ( f ) −V ( f ). x a a
称 V ( f ) 为 f 在 [a, b] 上的全变差 . 若 V ( f ) < +∞, 则称 f 是 [a, b] 上的有界变差函数 .
a a b b
b
[a, b] 上的有界变差函数的全体记为 V [a, b].
例 1 区间 [a, b] 上的单调函数是有界变差函数. 事实上, 不妨设 f 在 [a, b] 上是单调增加. 则对 [a, b] 的任一分割 {xi }i =0 , 我们有
n
V f ( x0 , " x n ) = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) ≤ ∑ M xi − xi −1
i =1 n i =1
n
n
= ∑ M ( xi − xi −1 ) = M (b − a).
i =1
因此 V ( f ) ≤ M (b − a ). 所以 f ∈ V [a, b].
V (f ) =V ( f ) +V ( f ). a a c
139
b c b
(2)
证明 我们只证明 (iii) 和 ( v) , (i) , (ii) 和 (iv) 的证明留作习题. 对 [a, b] 的任一分割 {xi }i =0 , 我们有
n
V f + g ( x0 , ", x n ) = ∑ f ( xi ) + g ( xi ) − f ( xi −1 ) − g ( xi −1 )
x0 +δ t1
< ∑ f (t i ) − f (t i −1 ) + ε − ∑ f (t i ) − f (t i −1 ) = ε + f (t1 ) − f (t 0 ) < 2ε .
于是当 x ∈ [ x0 , t1 ] 时,
x x0 x
i =1 i =2
n
n
n
V f ( x0 ," x n ) = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) = ∑ ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) = f (b) − f (a.).
i =1 i =1
n
n
因此 V ( f ) = f (b) − f ( a ). 所以 f ∈ V [a, b].
i =1 i =1
′ ) ≤ V ( f ). = V f ( x0 , ", x m a
分别对 [a, c] 的分割和 [c, b] 的分割取上确界得到
b
V ( f ) +V (f ) ≤V ( f ). a c a
另一方面, 对任意 ε > 0, 存在 [a, b] 的一个分割 {xi }i =0 , 使得
1 1 = ∑ + π kπ + π k =1 (k − 1)π + 2 2 n−2 1 >∑ k =1 ( k + 1)π
n−2 b a
(令k = n − i )
令 n → ∞ 知道 V ( f ) = +∞. 因此 f 在 [0,1] 不是有界变差函数.
因此
x2
x1
V ( f ) + f ( x1 ) ≤ V ( f ) + f ( x 2 ). a a
这表明 g ( x1 ) ≤ g ( x 2 ). 即 g 是单调增加的.类似可证 h 也是单调增加的.■ 推论 4 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则 (1) (2) (3)
x1
x2
n
中 {xi }i =0 满足 a = x 0 < x1 < " < x n = b, 作和式:
n
V f ( x0 ," x n ) = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) .
i =1
n
称 V f ( x0 , " x n ) 为 f 关于分割 {xi }i =0 的变差. 令
n
V ( f ) = sup{V f ( x 0 , ", x n ) : {x0 ," , x n }是[a, b]分割}. a
n
b
V ( f ) − ε < V f ( x0 , ", x n ) ≤ V f ( x0 , ", x k −1 , c, x k , ", x n ) a = V f ( x 0 , ", x k −1 , c) + V f (c, x k , ", x n ) ≤ V ( f ) +V ( f ). a c
i =1
n
≤ ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) + ∑ g ( xi ) − g ( xi −1 ) ≤V ( f ) +V ( g ). a a
因此 f + g 是 [a, b] 上的有界变差函数, 并且(1)式成立. 故 (iii) 得证. 往证 ( v) 成立. 对 [a, c] 的任一分割 {xi }i =0 和 [c, b] 的任一分割 {xi′}i =0 , 将它们合并后
x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时 ,
f ( x) − f ( x0 ) < ε .
n
取 区 间 [ x0 , x0 + δ ] 的 一 个 分 割
x0 = t 0 < t1 < " < t n = x0 + δ , 使得
∑
i =1
f (t i ) − f (t i −1 ) > V ( f ) − ε. x
n m i =1 b i =1 b
Hale Waihona Puke nn得到 [a, b] 的一个分割
′ < " < x′ a = x0 < " < x n = c = x0 m = b.
我们有
n m
′ ,", xm ′ ) = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) + + ∑ f ( xi′ ) − f ( xi′−1 ) V f ( x0 , ", x n ) + V f ( x0
之差. 但这种分解显然不是唯一的. 例如, 若 f = g − h 是一个这样的分解, 则对任意常数
c , f = ( g + c) − (h + c) 也是 f 的一个分解. 为避免这种不唯一性, 我们令
p ( x) =
1 x 1 x (V ( f ) + f ( x ) − f ( a )), n ( x ) = (V ( f ) − f ( x) + f (a)). 2 a 2 a f ( x) − f (a) = p ( x) − n( x).
a
b
例 2 若 f 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件:
f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ M xi − x 2 , x1 , x 2 ∈ [a, b].
其中 M > 0 为一常数. 则 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 证明 对 [a, b] 的任一分割 {xi }i =0 , 我们有
n
c
b
b
(3)
V f ( x0 ,", x n ) > V ( f )−ε. a
设 x k −1 < c ≤ x k . 则 {x 0 , x1 , " , x k −1 , c} 和 {c, x k , " , x n } 分别是 [a, c] 和 [c, b] 的分割. 注意 到在 {xi }i =0 中增加一个分点 c 后, f 关于新的分割的变差不会减小. 因此我们有
§5.2
有界变差函数
教学目的 本节介绍有界变差函数的性质 . 证明有界变差函数的 Jordan 分解定理. 教学要点 有界变差函数的概念, 变差函数的性质, Jordan 分解定理.
定义 1 设 f 是定义在区间 [a, b] 上的实值函数. 对 [a, b] 的任一分割 P = {xi }i =0 , 其