2014.5双十文数最后一卷

第4题图福建省厦门双十中学2014届高三热身考数学（文）试卷1.已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}420，，=B ，则B A ⋃ 等于 A ．{}4,2,1,0,1- B ．{}4,2,0,1- C ．{}420，， D ．{}4210，，， 1A 【解析】由已知，{}2,1,0,1-=A ，{}4,2,1,0,1-=⋃B A ，选A2．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2A 【解析】ABC ∆中，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⇒>32,323sin ππA A ，故选A3. 已知函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是A. R m ∈B. 1>mC. 0>m4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 4D 【解析】3,223242,431,1,12==⨯+=→==+=→==k S k S S k 82,4,10010333223==∴=>=⨯+=→k x k S ，选D5．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =15A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又C 的渐近线为by x a=±，点P （2,1）在C 的渐近线上，得2a b=. 又222c a b =+，a ∴==∴C 的方程为220x -25y =1.C6．设1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y ，是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是 由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图），以下结论中正确的是（ ）A ．x 和y 正相关B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在－1到0之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 6C 【解析】x 和y 的相关系数()1,1-∈r ，负相关时为负，故选C7. 如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则∙的值是（ ） A.34-B. 89-C. 14- D. 不确定7B 【解析】法一：向量分解法()()()()9822-=-=-∙+=+∙+=∙AD FA AD FA AD FA AE FA AD FA FE FD法二： 特殊法：让DE 与BC 重合，则有98180cos 3432-=⋅⋅=∙︒8．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.245 B. 285C.5D.6 8．C 【解析】x+3y=5xy ，135y x +=， 113131213(34)()()555x y x y yx y x +⋅+=++≥1132555⨯=.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位9. A 【解析】由已知，,1=A 2,,431274=∴=∴=-=ωππππT T ,127π=x 时，231272πϕπϕω=+⨯=+x ，3πϕ=∴，()⎪⎭⎫⎝⎛+=∴32sin πx x f ，只需用6π-x 代入可得xx g 2sin )(=的图像，故选A10．已知函数()xx e x f -=sin ，有如下四个结论：①是奇函数 ②是偶函数 ③在R 上是增函数 ④在R 上是减函数 其中正确的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．310. B 【解析】定义域为R ，()10=f ，故①错；()ππe f =-，()eef 1==-ππ，故②错； 设()()01cos ,sin ≤-='∴-=x x u x x x u ，故(),sin x x x u -=在R 上是减函数，()x x e x f -=sin 在R 上是减函数，故④正确，③错误，故选B11．若x,y 满足y ax z y x y x y x 2,22,1,1+=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+且仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是A ．(]0,4-∈aB ． [)2,0∈aC ．(4,2)a ∈-D 。

()()2,00,4⋃-∈a 11. C 【解析】画出区域图，可知当0=a 时，y z 2=，即z y 21=，符合题意； 当0>a 时，z x a y 212+-=，斜率12->-a ，即20<<a 时符合题意；当0<a 时，z x a y 212+-=，斜率22<-a ，即04<<-a 时符合题意；综上，(4,2)a ∈-12．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的集合：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立．现有两个函数：()()0f x ax b a =+≠，()2log g x x =，则函数()f x 、()g x 与集合M 的关系为A ．()()M x g M x f ∈∈,B ．()()M x g M x f ∈∉,C ．()()M x g M x f ∉∈,D ．()()M x g M x f ∉∉,12. B 【解析】（1）若()f x ＝ax ＋b ∈M ，则存在非零常数k ，对任意x ∈D 均有()f kx ＝akx ＋b ＝2k＋()f x ，即a (k －1)x ＝2k恒成立，得100k k -=⎧⎨=⎩，，无解，所以()f x ∉M ． （2）2log ()kx ＝2k ＋2log x ，则2log k ＝2k，k ＝4，k ＝2时等式恒成立，所以()f x ＝2log x ∈M ．13．如果mi i+=-112（R m ∈，i 表示虚数单位），那么=m 13.1【解析】111,112=⇒+=+⇒+=-m mi i mi i14. 在半径为1的圆内一条直径AB 上任取一点M ，过点M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率14.21【解析】当截得的弦长等于3时，半弦长等于2，因为半径为1，12OM =，故符合条件的M 应 满足12OM ≤，故1212212P ⨯==⨯ 15．已知抛物线y 2=2px(p ＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y=2x,则抛物线的方程为15 y 2=58x.【解析】因为一直角边的方程是y=2x,所以另一直角边的方程是y=-21x.由⎪⎩⎪⎨⎧==px y xy 222，解得⎪⎩⎪⎨⎧==p y p x 2,或⎩⎨⎧==00y x （舍去）， 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy xy 2212,解得⎩⎨⎧-==p y p x 48,或⎩⎨⎧==00y x （舍去）,∴三角形的另两个顶点为⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ,2和（8 p,-4p ）. ∴22)4()82(p p p p ++-=213.解得p=54,故所求抛物线的方程为y 2=58x.16．已知函数)(x f 是定义域为R ，且,x y R ∀∈∈都有：()()()f x y xf y yf x ⋅=+，且(2)2f =，若数列{}n a 满足()*(2)n n f a n N n-=∈，求数列{a n }的通项公式n a = 16．12n-【解析】因为对任意,x y R ∈，()()()f x y xf y yf x ⋅=+成立，令1x y ==可得()10f =， 令1,22x y ==可得()()1112222f f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得1122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()11122211n n n f f a n n --++⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∴==++()111222222211nn n n na f f n n ---⎛⎫+-⨯+ ⎪⎝⎭==++ 得()11212n n n n a na ++=-+ 得 ()111221n nn n n a n a +++-=- 所以数列{}2n n n a 是等差数列，公差为1-，首项为121a =-，故2nn n a n =-，得12n na =-法二：求出1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得211-=a ；令41,2==y x 得2141-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，412-=a ； 令81,2==y x ，8381-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，813-=a ……归纳出12n n a =-17．（本小题12分）某校高一新生1000人中，来自A, B ，C ，D ，E 五个不同的初中校，现从中随机抽取20人，对其所在初中校进行统计分析，得到频率分布表如下：初中校 AB C D E 频率0.05 m 0.15 0.35 n (Ⅰ)在抽取的20个同学中，来自E 学校的为2人，求m ，n 的值；（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，从来自C 和E 两学校的同学中任取2人，求抽取的2个人来自不同学校的概率． 17【解析】：(1)由频率分布表得：45.0,135.015.005.0=+∴=++++n m n m ----------------2分由抽取的20人中，来自E 学校恰有2个人，则35.01.045.0,1.0202=-=∴==m n --------------------5分(2)由(1)得来自C 学校有3人，记作321,,x x x ，来自E 学校的有2个，记作21,y y从21321,,,,y y x x x 中任取2个，有),(),,(),,(),,)(,(),,(),,(22123221113121y x y x x x y x y x x x x x),(),,(),,(212313y y y x y x 共10种 ------------------------------------------------------------------------8分记事件A 为“从21321,,,,y y x x x 中任取2个人，来自不同学校”，则A 包含的基本事件是),)(,(),,(),,)(,)(,(231322122111y x y x y x y x y x y x 共6个 ---------------------------------------------10分所求概率53106)(==A P ------------------------------------------------------------------------------------------12分18．（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }中，其前n 项和c n S n +=2（其中c 为常数），(1)求{a n }的通项公式；(2)设{}n n b a b +=,11是公比为2a 等比数列，求数列{b n }的前n 项和n T18．【解析】：(1) ,111c S a +== ,3122=-=S S a 5233=-=S S a -----------2分 因为等差数列{a n }，所以3122a a a += 得0=c -------------------------------------4分 211==∴d a 12-=n a n -----------------------------------6分(2) 32=a ，211=+b a 132-⨯=+∴n n n b a ------------------------------8分n n n a b -⨯=∴-132-----------------------------------------------9分()()1331312221--=+++---=∴n a a a S n n nn -------------------12分19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y=x (x ≥0).(1)求sin(2)6πα+的值；(2)若点P ，Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ =4，求△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标． 19. 【解析】：19：(1 )由射线l的方程为y =，可得31cos ,322sin ==αα，----------------------4分7sin(2)sin 2cos cos 2sin 666918πππααα+=+=-故．-----------6分(2) 设()()()0,022,,0,>>b a b b Q a P在POQ ∆中， 因为()168222=+-=b b a PQ ，---------------------------------------------7分即ab ab ab ab b a 426291622=-≥-+=，所以ab ≤4．--------------------------------8分∴POQ S ∆≤b a 3=，即332,32==b a 取得等号．--------------10分 所以POQ ∆面积最大时，点,P Q 的坐标分别为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛364,332,0,32Q P ．--------------12分已知长方体1111ABCD A B C D -，其中2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的，且这个几何体的体积为403. （1）求几何体111ABCD AC D -的表面积；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直， 如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由. 20．【解析】：（1）1111111111ABCD AC D ABCD A B C D B A B C V V V ---=- 1111110402222,3233AA AA AA =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==14AA ∴=.------------------------------------------------------3分22,521111===C A B C B A ，设11C A 的中点H ，所以62311=∴=∆B C A S BH ---------------------------5分∴表面积3662483=+++⨯=S ----------------------6分（2）在平面11CC D D 中作11D Q C D ⊥交1CC 于Q ，过Q 作//QP CB 交1BC 于点P ，则11A P C D ⊥.----------------------------------------7分因为1111111111,,A D CC D D C D CC D D C D A D ⊥⊂∴⊥平面平面，而1111//,//,//QP CB CB A D QP A D ∴， 又1111,A D D Q D C D A PQC =∴⊥平面，111PQCD A D C 平面⊥∴且11111,A P A PQC A P C D ⊂∴⊥平面.…………………9分 11D C Q ∆∽11111111,,1,//,42C QD C Rt C CD C Q PQ BC PQ BC CD C C ∆∴=∴=∴==又.11A PQD 四边形为直角梯形，且高112D Q A P ===……12分A 1DD 1C 1 ACPQ B已知椭圆C:22221x y a b+=( 0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若椭圆C 的两条切线交于点M (4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B ,试利用结论:在椭圆22221x y a b+=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y ya b+=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ； (Ⅲ)试探究2211||||AF BF +的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由. 21【解析】： (Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0a b >>) ，431222=-=e ab ①点(1,32)在椭圆C 上,221914a b +=②, 由①②得:224,3a b ==∴椭圆C 的方程为22143x y +=， 4分 (Ⅱ)设切点坐标11(,)A x y ,22(,)B x y ,则切线方程分别为11143x x y y +=,22143x x y y+=. 又两条切线交于点M(4,t ),即1113t x y +=,2213tx y += 即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=,显然对任意实数t ,点(1,0)都适合这个方程， 故直线AB 恒过椭圆的右焦点2F . ……………… 8分 (Ⅲ)将直线AB 的方程13t x y =-+，代入椭圆方程,得223(1)41203ty y -++-=, 即22(4)2903t y ty +--= 所以122612t y y t +=+,1222712y y t =-+……………… 10分不妨设120,0y y ><,21||3AF y ===,同理22||3BF y =-所以2211||||AF BF +21121211()y y y y y y --==1243= 所以2211||||AF BF +的值恒为常数43.----------------------------------12分已知函数()21ax b f x x +=+（其中常数,a b R ∈），()2sin g x x x π=- ( π是圆周率) . （Ⅰ）当1=a 时，若函数()f x 是奇函数，求()f x 的极值点； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）当0,,2b a ππ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦时，求函数()g x 在[]0,a 上的最小值()h a ，并探索：是否存在满足条件的实数a ，使得对任意的x R ∈，()()f x h a >恒成立．22【解析】：解：（Ⅰ）函数()f x 是奇函数，∴对x R ∈，()()f x f x -=-成立，得2222,00111x b x b bb x x x -++=-∴=⇒=+++（利用奇函数，得()00f b ==也给1分）-------1分 ()2,1x f x x ∴=+得()()()2222222121,11x x x f x x x +--+'==++--------------------------------------------------2分 从()0f x '=得21,1x x =∴=± 经检验1x =±是函数()f x 的极值点. ------------------------------4分 (Ⅱ)()21ax b f x x +=+，()()()()()22222212211a x x axb ax bx a f x x x +-+--+'∴==++， 从()2020f x ax bx a '>⇒--+>，得220ax bx a +-<①0,0a b ==时，()0f x =，不存在单调递增区间；②0,0a b =≠时，<ⅰ>0b >时，0x <，单调递增区间为(),0-∞；-----------------------------------5分<ⅱ>0b <时，0x >，单调递增区间为()0,+∞；-----------------------------------6分③0a >，方程220ax bx a +-=的判别式22440b a ∆=+>，两根22b b x a a--==单调递增区间为,b b a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭---------------------------------------------------------7分④0a <时，单调递增区间为,b a ⎛-+-∞ ⎪⎝⎭和b a ⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎝⎭--------------------------8分 (Ⅲ)()2cos g x x π'=-，当[]0,x a ∈时，令()0g x '=得02cos x π=，其中00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当x 变化时，'()g x 与()g x 的变化情况如下表：∴函数()g x 在0,a 上的最小值为0g 与g a 的较小者()00g =,()02g a g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭,()()h a g a ∴= ()2s i n h a a a π∴=--------------10分函数()()21ax f x x R x =∈+是奇函数，且,2a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 0x ∴>时，()20112ax a af x x x x<==≤++，当1x =时取得最大值2a0x ∴=时，()00f =0x ∴<时，(),02a f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， ∴函数()f x 的最小值为()2af x =-最小，----------------------------------------------------------------------12分 要使对任意x R ∈，()()f x h a >恒成立，则()()f x h a >最小 2sin 2a a a π∴->-， 即不等式2sin 02a a a π-->在,2a ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上有解， a π=符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a ，使对任意x R ∈，()()f x h a >恒成立，---------------------------------------14分 （附：求()2af x =-最小的方法二如下） 当0,,2b a ππ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦时，()21ax f x x ∴=+,()()222011ax a f x x x -+'∴==⇒=±+ 当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：又0x >时，()0f x > ()2f x ∴=-最小。