江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(9) 含答案
2017年高考模拟试卷(9)参考答案
2017年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题一、填空题1. {}2,5．2. 15. 3.-4. 4. 0.5. 5. 26y x =-. 6. 60.7. 30. 线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x ,y 克，由题意3x+4y 1005x+2y 120≥⎧⎨≥⎩,设x+y=34)(52)x y x y λμ+++（，解得，31==λμ，，即可. 8.. 9.. 设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP=([3,))x ∈+∞,PQ ≤<. 10. 1e. 易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，21ln ()0x g x x -'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e ,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e e a g ==.11．9.223331212922k x x x x x=+=++≥=,也可以求导. 12. 116-.设弦AB 中点为M ，则()OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+⋅=⋅ ， 若MP BP ，同向，则0OP BP ⋅> ；若MP BP ，反向，则0OP BP ⋅< ， 故OP BP ⋅的最小值在MP BP ，反向时取得，此时1||||2MP BP += ，2||||1||||()216MP BP OP BP MP BP +⋅=-⋅-=- ≥， 当且仅当1||||4MP BP == 时取等号，即OP BP ⋅ 的最小值是116-．13．（方法一）由题意，得sin sin ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以αβ，是方程sin x x即方程()πsin 3x -5ππ()26k k αβ+=+∈Z，所以tan()αβ+=（方法二）同上，αβ，sin 0x x -的两根．设()sin f x x x -()cos f x x x '=-．令()0f x '=，得0tan x =，所以02x αβ+=，所以（方法三）直线210x y +-=交单位圆于A B ，两点， 过O 作OH AB ⊥，垂足为H ，易知OH =因为OC 60COH ∠=︒，即1502αβ+=︒，所以tan()tan300αβ+=︒=14．9⎧-⎨⎩⎭.32()322x x a x f x x a x a x ⎧--⎪=⎨⎪--+-<⎩，≥，，，当x a ≥时，320x x --=，得11x =-，23x =，结合图形知，① 当1a <-时，313x -，，成等差数列，则35x =-，代入3220x a --+-=得，9a =-； ② 当13a -≤≤时，方程3220x a x--+-=，即22(1)30x a x +-+=的根为34x x ，， 则343x x =，且3432x x +=，解得4x ，又342(1)x x a +=-，所以a .③ 当3a >时，显然不符合. 所以a 的取值集合95⎧-⎨⎩⎭. 二､解答题:本大题共6小题，共90分．15． (1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α．又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5cos 2α＝1，即cos 2α＝15． 所以 cos2α＝2cos 2α－1＝－35．(2)由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈(π4，π2)，所以2α∈(π2，π). 由题知cos2α＝－35，所以sin2α＝45．又因为β∈(0，π)，cos β＝－7210∈(－1，0)，所以β∈(π2，π)， 所以sin β＝210，且2α－β∈(－π2，π2)．因为sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22， 所以2α－β＝－π4．16.（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BA BC =，在△ABC 中，因为120ABC ∠=︒， 所以30BAC ∠=︒．因为△ACD 是正三角形，所以60DAC ∠=︒， 所以90BAD ∠=︒，即AD AB ⊥．因为=1AB ，120ABC ∠=︒，所以AD AC == 又因为1PA =，2PD =，由222PA AD PD +=， 知90PAD ∠=︒，即AD AP ⊥．因为AB AP ⊂，平面PAB ，AB AP A = ， 所以AD ⊥平面PAB ．（2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH ． 因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ， 因为PA ⊂平面PAB ，HN ⊄平面PAB ， 所以HN ∥平面PAB ．由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点，所以CH AD ⊥．由（1）知，BA AD ⊥，所以CH ∥BA ， 因为BA ⊂平面PAB ，CH ⊄平面PAB ，HPA BCDMN所以CH ∥平面PAB ．因为CH HN ⊂，平面CNH ，CH HN H = ， 所以平面CNH ∥平面PAB ． 因为CN ⊂平面CNH ， 所以CN ∥平面PAB ．（方法二）取PA 的中点S ，过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN ．因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且12SN AD =，因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN ． 由（1）知，AB AD ⊥，所以CT AT ⊥， 在直角△ CBT 中，1BC =，60CBT ∠=︒，得CT =由（1）知，AD =12CT AD =，所以CT SN =．所以四边形SNCT 是平行四边形， 所以CN ∥TS ．因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ， 所以CN ∥平面PAB ．17．（1）由题意知，124()2b b =-=，解得a =1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=. （2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则 直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x t=-.P A BCDMNTS由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+， 直线QM 的斜率22218161812818QMt t t k t t t ---+==+， 所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t =，2368t k t-=. 所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-， 所以132312k k k k k k +-为定值1-.18．(1)设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l2θ，所以S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π2)．(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以 l 2≥2ab －2ab cos2θ．所以 ab ≤l 22(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ，即S 2＝l 24tan θ．(3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π2)，． 令f (θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(sin θcos θ)'－1＝sin 2θcos 2θ．当θ∈[0，π2)时，f '(θ)＞0，所以f (θ)在区间[0，π2)上单调增．所以，当θ∈(0，π2)时，总有f (θ)＞f (0)＝0，即1S 2－1S 1＞0，即S 1＞S 2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一． 19． （1）易得2143a =．（2）由111241n n n a a S +-=-，得11241n nn n n a a a a S ++-=-，所以11241n n n n na a S a a ++-=-①．所以12121241n n n n n a a S a a +++++-=-②，由②-①，得12112112n n n n n n n n na a a aa a a a a +++++++=---．因为10n a +≠，所以22112n nn n n na a ++++=-． 所以121112n n n n n n a a a a a a +++++-=--，即12111n nn n n na a a a a a ++++-=--，即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列． 因为112134a b a a ==-，所以数列{}n b 的通项公式为14n b n =-．（3）由（2）知，114n n n a n a a +=--，所以11431141n n an a n n ++=+=--，所以14(1)141n n a a n n +=+--，所以数列41n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列．由124113a =⨯-，所以2(41)3n a n =-．（方法一）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列，则41m -，41p -，41r -成等比数列，所以2(41)(41)(41)p m r -=--， 所以2168164()0p p mr m r --++=，即2424()0p p mr m r --++=（*）． （途径一）（*）式即为2424()4p p mr m r mr -=-+<-，所以2211(2))22p -<，即11222p -<，所以p <2p mr <．（途径二）（*）式即为24241p p rm r -+=-．由222222(42)(42)(41)()0414141p p r p p r r r p p r mr p r p r r r -+-+----=⋅-==>---，所以2p mr <．（方法二）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列， 则41m -，41p -，41r -成等比数列， 记4m α=，4p β=，4r γ=（1αβγ<<<）， 则有1α-，1β-，1γ-成等比数列，所以2(1)(1)(1)βαγ-=--，即22()ββαγαγ-=-+．若2βαγ=，即2p mr =时，则2αγβ+=，所以αβγ==，矛盾； 若2βαγ>，则22()0βαγβαγ-+=->，所以1()12βαγ>+>，所以[][]2221(2)()()()()()0αγββαγαγαγαγαγαγ+---+>-+--+=->， 矛盾．所以2βαγ<，即2p mr <．20． (1) 由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)e f =；又因为222'()ln e x a f x a x b x x+=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0,'(1)e()e,f b f a b =+==+=⎧⎨⎩解得3,2a b ==-.(2) ①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()e 2ln 0x f x x b x=--+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，若'()0f x =时，得222ln b x x =+， 设22()2ln g x x x =+(0)x > .由2332424'()x g x x x x-=-=0=，得x =1ln 2g =+.当0x <<'()0g x <，函数()y g x =在区间上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x 12()x x <.此时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值.②由题意2e ln x a x b xkx ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立，取1x =得(2)e k b ≤+.下证2e ln e (2)x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立.首先，证明e e xx ≥. 设函数()e e xu x x =-，则'()e e xu x =-，当1x >时，'()0u x >； 当1x <时，'()0u x <；得e e (1)0xx u -=≥，即e e xx ≥，当且仅当都在1x =处取到等号.再证1ln 1x x+≥. 设1()ln 1v x x x=+-，则21'()x v x x -=，当1x >时，'()0v x >；当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v =≥，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号. 由上可得2e ln (2)e x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以min()(2)e f x b x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 即实数k 的最大值为(2)e b +.数学Ⅱ（附加题）21． A. 连结PQ ，因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形， 所以A PQD ∠=∠， 又在2O 中，PBD PQD ∠=∠，所以A PBD ∠=∠， 所以AC ∥BD ．B ．（1） 设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12234A ==-， 1213122A --⎛⎫ ⎪∴= ⎪-⎝⎭， 21582131461122M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ 代入22221x xy y ++=可得 ()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=．C. (1)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为22cos 10ρθ+-= 曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； (2) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2π． D. 因为0x >，0y >，0z >，所以1233x y z++，2463y x z++， 所以1239()()2462yx z x y z ++++≥．当且仅当::1:2:3x y z =时，等号成立．22．（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有37=35C种取法．其中X ABF ，这类三角形共有6个．因此(376635P X C ===． （2）由题意，X2，其中X ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△PAD (3个)，△PAB (6个)，共有9个；其中X PBD ，这类三角形共有6个；其中X =CDF ，这类三角形共有12个；其中X =BDF ，这类三角形共有2个．因此(635P X =，()9235P X ==，(635P X =，(1235P X ==，(235P X ==． 所以随机变量X 的概率分布列为：所求数学期望()E X 69612223535353535+⨯++． 23． (1)①当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(1＋1k (k ＋1))a k ＋12k ＞2．所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①，②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立．(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n )a n ＋12n ≤(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，第 11页，共 11页 故 ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12⨯3＋1 3⨯4＋…＋1 (n －1)n＋123＋124＋…＋12n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n ＜34． 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)，而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(九)-答案
由（1）知， ，故有 ，即 ，
而 ，所以对任意正整数n，有 ．
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（九）
解析
一、填空题
1~6．略
7. 30.线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x,y克，由题意 ,
设 ，解得， ，即可.
8. .9. .设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP= ,
13． .（方法一）由题意，得
所以 是方程 的两根．
即方程 ，所以 ，所以 ．
（方法二）同上， 是方程 的两根．
设 ，则 ．
令 ，得 ，所以 ，所以 ．
（方法三）直线 交单位圆于 两点，
过 作 ，垂足为 ，易知 ．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．
14． .
当 时， ，得 ， ，
结合图形知，
①当 时， 成等差数列，则 ，代入 得， ；
即实数 的最大值为 ．
B．（1）设 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，∴
即 代入 可得
，即 ，
故曲线 的方程为 ．
C．（1）曲线 ： ，极坐标方程为
曲线 的直角坐标方程为 ；
（2）曲线 与曲线 的公共点的坐标为 ，极坐标为 ．
D．因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ．
当且仅当 时，等号成立．
22．（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（九）
答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．0.5
5．
6．60
7．30
8．
9．
10．
11．9
12．
2017年江苏省南通市高考一模数学试卷【解析版】
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）函数的最小正周期为．2．（5分）设集合A＝{1，3}，B＝{a+2，5}，A∩B＝{3}，则A∪B＝．3．（5分）复数z＝（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为．4．（5分）口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．6．（5分）若实数x，y满足则z＝3x+2y的最大值为．7．（5分）抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为．8．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，则三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y＝0为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．10．（5分）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．11．（5分）在△ABC中，若•+2•＝•，则的值为．12．（5分）已知两曲线f（x）＝2sin x，g（x）＝a cos x，x∈（0）相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为．13．（5分）已知函数f（x）＝|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2＝4上两点，点A （1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，P A⊥PD．求证：（1）直线P A∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．18．（16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF 翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP＝时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1＝1，k2＝3，k3＝8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值范围．南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）已知圆O的直径AB＝4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE＝2CD，求△OCE的面积．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ＝4sinθ所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．[必做题]共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2＝2py（p＞0）上的点M （m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．2017年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）函数的最小正周期为．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．（5分）设集合A＝{1，3}，B＝{a+2，5}，A∩B＝{3}，则A∪B＝{1，3，5}．【解答】解：集合A＝{1，3}，B＝{a+2，5}，A∩B＝{3}，可得a+2＝3，解得a＝1，即B＝{3，5}，则A∪B＝{1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．（5分）复数z＝（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为﹣3．【解答】解：∵z＝（1+2i）2＝1+4i+（2i）2＝﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．（5分）口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为0.17．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35＝0.17．故答案为0.17．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5．【解答】解：当n＝1，a＝1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a＝5，n ＝3；满足进行循环的条件，执行循环后，a＝17，n＝5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．（5分）若实数x，y满足则z＝3x+2y的最大值为7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+2y得y＝﹣x+z平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z＝3x+2y得z＝3×1+2×2＝7．即目标函数z＝3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．（5分）抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为20．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲＝＝75，其方差S甲2＝[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]＝50；对于乙，其平均数乙＝＝75，其方差S乙2＝[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]＝20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，则三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3cm，AA1＝1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：＝＝＝＝＝（cm3）．故答案为：．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y＝0为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【解答】解：直线2x+y＝0为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b＝2a，即c2﹣a2＝4a2，可得＝．故答案为：．10．（5分）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．（5分）在△ABC中，若•+2•＝•，则的值为．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•＝•，得ac•cos B+2bc•cos A＝ba•cos C，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）＝（b2+a2﹣c2），化简得＝2，∴＝，由正弦定理得＝＝．故答案为：．12．（5分）已知两曲线f（x）＝2sin x，g（x）＝a cos x，x∈（0）相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为．【解答】解：由f（x）＝g（x），即2sin x＝a cos x，即有tan x＝＝，a＞0，设交点P（m，n），f（x）＝2sin x的导数为f′（x）＝2cos x，g（x）＝a cos x的导数为g′（x）＝﹣a sin x，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cos m•（﹣a sin m）＝﹣1，且tan m＝，则＝1，分子分母同除以cos2m，即有＝1，即为a2＝1+，解得a＝．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为．【解答】解：令g（x）＝f（x2+2）﹣f（x）＝x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）＝2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）＝2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）＝0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）＝2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）＝2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2＝4上两点，点A （1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为[，]．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2＝4上两点，点A （1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min＝＝，BC max＝＝．故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．【解答】解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB cos∠AOB，所以，＝，即．（2）因为，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，P A⊥PD．求证：（1）直线P A∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．【解答】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥P A．…4分又因为OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，所以直线P A∥平面BDE．…6分（2）因为OE∥P A，P A⊥PD，所以OE⊥PD．…8分因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．…10分又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD．…12分又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．【解答】解：（1）由题意得，，，…2分解得，c＝1，b＝1．所以椭圆的方程为．…4分（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．…6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y＝kx．由得（2k2+1）x2＝2，解得，所以，所以．…9分因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2＝2k2+2．…12分所以．综上，可知．…14分．18．（16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF 翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC 于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP＝时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【解答】解：（1）当∠EFP＝时，由条件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝．所以∠FPE＝．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．…3分所以四边形MNPE的面积S＝PN•MN＝2m2．…5分（2）解法一：设，由条件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ．所以，，．…8分由得所以四边形MNPE面积为＝＝＝＝…12分．当且仅当，即时取“＝”．…14分此时，（*）成立．答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分解法二：设BE＝tm，3＜t＜6，则ME＝6﹣t．因为∠EFP＝∠EFD＝∠FEP，所以PE＝PF，即．所以，．…8分由得所以四边形MNPE面积为＝＝…12分＝．当且仅当，即时取“＝”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．19．（16分）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当时，．所以，（x＞0）．…2分令f'（x）＝0，得x＝2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．所以当x＝2时，f（x）有最小值．…4分（2）由f（x）＝ax2﹣x﹣lnx，得．所以当a≤0时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．…6分因为当﹣1≤a≤0时，f（1）＝a﹣1＜0，，所以当﹣1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．综上，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分由f（x）＝ax2﹣x﹣lnx，得，令g（x）＝2ax2﹣x ﹣1．因为g（0）＝﹣1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．又因为，所以2lnx0+x0﹣1＞0，又因为函数h（x）＝2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）＝0，所以x0＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．…13分以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，，所以．因为，且f（x0）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．又因为（因为lnx≤x﹣1），且f（x0）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．…16分下面证明：lnx≤x﹣1．设t（x）＝x﹣1﹣lnx，所以，（x＞0）．令t'（x）＝0，得x＝1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．所以当x＝1时，t（x）有最小值t（1）＝0．所以t（x）＝x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1成立．20．（16分）已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1＝1，k2＝3，k3＝8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，…2分整理可得：4d2＝3a1d．因为d≠0，所以．…4分（2）设数列{k n}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2﹣k1﹣k3）＝d（2k2﹣k1﹣k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1＝d，即．…6分当时，a n＝a1+（n﹣1）d＝nd，所以．又因为，所以．所以，数列{k n}为等比数列．综上，当时，数列{k n}为等比数列．…8分（3）因为数列{k n}为等比数列，由（2）知a1＝d，．，a n＝a1+（n﹣1）d＝na1．因为对于任意n∈N*，不等式恒成立．所以不等式，即，恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．因为，则，解不等式，即，可得，所以．不妨取，则当n1＞n0时，原式得证．所以，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞）．…16分南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）已知圆O的直径AB＝4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE＝2CD，求△OCE的面积．【解答】解：设CD＝x，则CE＝2x．因为CA＝1，CB＝3，由相交弦定理，得CA•CB＝CD•CE，所以1×3＝x•2x＝2x2，所以．…2分取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．…6分又因为，所以△OCE的面积．…10分．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．【解答】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量，所以．所以…4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以…8分解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以．…10分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ＝4sinθ所截得的弦长．【解答】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y＝x①，…3分曲线ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0②．…6分由①②得或…8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ＝4sinθ所截得的弦长AB＝．…10分．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．【解答】解：…2分由柯西不等式得，…8分所以y max＝5，此时．所以函数的最大值为5．…10分．[必做题]共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．【解答】解：以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．（1）因为，，所以＝．所以AP与AQ所成角的余弦值为．…4分（2）由题意可知，，．设平面APQ的法向量为＝（x，y，z），则即令z＝﹣2，则x＝2λ，y＝2﹣λ．所以＝（2λ，2﹣λ，﹣2）．…6分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos＜，＞|＝＝，可得5λ2﹣4λ＝0，又因为λ≠0，所以．…10分．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2＝2py（p＞0）上的点M （m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．【解答】解：（1）抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y．…3分（2）因为，所以．设点，则抛物线在点E处的切线方程为．令y＝0，则，即点．因为，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty﹣t＝0．则点到直线PF的距离为．…5分联立方程消元，得t2y2﹣（2t2+16）y+t2＝0．因为△＝（2t2+16）2﹣4t4＝64（t2+4）＞0，所以，，所以．…7分所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则．因为时，g'（x）＜0，所以g（x）在上单调递减；上，g'（x）＞0，所以g（x）在上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．…10分．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(九)及答案解析
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（九）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，则U C A =________．2．设复数i z a b =+（,a b ∈R ，i 是虚数单位），若(2i)i z -=，则a b +的值为________． 3．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．4．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为________．5．顶点在原点且以双曲线2213x y -=的右准线为准线的抛物线方程是________．6．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,100)中的频数为24，则n 的值为________．7．甲，乙两种食物的维生素含量如下表：8，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为________．9．在角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP 平面直，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________． 10．若函数0,2,()0ln ,x x x f x x ax x ≤⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为________．11．设直线l 是曲线343ln y x x =+的切线，则直线l 的斜率的最小值为________． 12．扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则O P B P 的最小值是________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ是直线y =的两点，则tan()αβ+的值为________．14．已知函数3()||2f x x a a x=--+-有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为________．（1）求cos2α的值；（2）求2αβ-的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ACD △是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ，120ABC ∠=，=1PA AB =，2PD =，N 为PD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PAB ； （2）求证：CN ∥平面PAB ． 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下顶点，点1(0)2M ，为线段AO 的中点，AB .（1）求椭圆的方程（2）设(,2)N t （0t ≠），直线NA ，NB 分别 交椭圆于点P ，Q ，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ． ①求证：P ，M ，Q 三点共线；②求证：132312k k k k k k +-为定值． 18．（本小题满分16分）如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠＝（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积224tan l S θ=；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项为2，前n 项的和为nS ，且111241n n n a a S +-=-（*n ∈N ）．（1）求2a 的值；（2）设1nnn na ba a +=-，求数列{}nb 的通项公式；（3）若ma ，pa ，ra （*,,m p r ∈N ，m p r <<，）成等比数列，试比较2p 与mr 的大小，并证明．20．（本小题满分16分）已知函数2()e ln )x f x a x b x=++（，其中,a b ∈R ．e 2.71828=是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为e(1)y x =-．求实数a ，b 的值； （2）①若2a =-时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围； ②若2a =，2b ≥-．若()f x kx ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的最大值（用b 表示）．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答． A ．（选修4-1；几何证明选讲） 如图，1O ，2O 交于两点P ，Q ，直线AB 过点P ，与1O ，2O 分别交于点A ，B ，直线CD 过点Q ，与1O ，2O 分别交于点C ，D ．求证：AC BD ∥．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求二阶矩阵M ；（2）若曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中[0,2π)α∈），点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线2C：1π)4ρθ=+上．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）当0ρ≥，02πθ≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分．22．已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．（1）求概率(P X=的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．23.已知数列{}n a 满足：11a ＝，对任意的*n ∈N ，都有121)1(12n nna a n n +＋＝＋＋．（1）求证：当2n ≥时，2n a ≥；120，30．60，90，即120，所以90，即=，AB AP ACH HN H=60，2rθ，即．由余弦定理，得2)(4r p -=111113221232222412n n n n --+<-=--． 3<，即32e 2()a n <≥，，则()OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+⋅=⋅，若MP BP ，同向，则0OP BP ⋅>；若MP BP ，反向，则0OP BP ⋅<， 故OP BP ⋅的最小值在MP BP ，反向时取得， 此时1||||MP BP +=，2||||||||(MP BP OP BP MP BP +⋅=-⋅-≥当且仅当1||||4MP BP ==时取等号，即OP BP ⋅的最小值是（方法一）由题意，得sin 3cos αα=。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(三)-答案
为直角，有0=OB AB ，即有()0-=OB OB OA ，∴2=OA OB OB ； ， 5． ．[1,)-+∞． 13a b， b时，即，则(=-AP x ，(=-BP x ，根据2+=AP BP λ 2234403|334-+=<+)(7,)+∞1，函数f ， )(7,)+∞15．解：(1)∵在△ABC 中，3=B ，2=AC 2=BC ， 由余弦定理得2222cos =+-AC AB BC AB BC B ， 得21242=+-AB AB ，即2280--=AB AB 解之得4=AB ，2=-AB （舍去）．(2)cos 0=>A ，得π02<<A ，sin ==A sintan cos ==AA A ，又∵π3=B ，∴tan tan 333tan tan()1tan tan 33++=-+=-==-A B C A B A B ． 16．解：(1)在△AOB 与△COD 中， ∵∥DC AB ，2=DC AB ， ∴12==AO AB CO CD ， 又∵2=PE AE ， ∴在△APC 中，有12==AO AE CO PE ，则∥OE PC ． 又∵⊄OE 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ， ∴∥OE 平面PBC ．(2)∵⊥AB 平面PAD ，⊂DE 平面PAD ， ∴⊥AB DE ．又∵⊥AP DE ，⊂AB 平面PAB ，⊂AP 平面PAB ，⋂=AP AB A ， ∴⊥DE 平面PAB ，⊂PB 平面PAD ， ∴⊥DE PB ．17．解：(1)当010<≤t 时，32()1124100100=+-+<V t t t t ， 化简得211240-+<t t ， 解得3<t 或8>t ，又∵010<≤t ，故04<<t 或810<≤t ，当1012<≤t 时，()4(10)(341)100100=--+<V t t t ，得41103<<t ， 又∵1012<≤t ，故1012<≤t ． 综上得04<<t ，或812<≤t ．∴衰退期为1月，2月，3月，4月，…9月，10月，11，12月共8个月． (2)由(1)知：()V t 的最大值只能在(4,9)内取到． 由322()(1124100)32224''=-+-+=+-V t t t t t t 令()0'=V t ， 得6=t 或43=t （舍去）． 当t 变化时，()'V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在6=t 时取最大值(6)136()=亿立方米V ． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．解：(1)∵圆222:+=x y r O与椭圆22221(0):+=>>x y ab a C b相交于点(0,1)M∴1==b r ．又∵离心率为e 2==c a ， ∴=a∴椭圆22:12+=y C x ．(2)∵过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，∴直线l 的方程为1(0)=+≠y kx k ，由22112=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y 得22(21)40++=k x kx ， ∴222421(,)2121--+++k k B k k ， 同理2211=+⎧⎨+=⎩y kx x y 得到22(1)20++=k x kx ， ∴22221(,)11--+++k k A k k ，∵23=MB MA ，则224223211--=++k kk k ∵0≠k ，∴=k ，即直线l 的方程为1=+y ．②根据①222421(,)2121--+++k k B k k ，22221(,)11--+++k k A k k ，222111121-++-+====---+A N NAA N k y y k k k k x x k k ，22222111214221-++-+====---+B N NB B N k y y k k k k x x k k ， ∴2112=k k 为定值．19．解：(1)∵e ,()e |e ,⎧-+≥⎪=--=⎨+-<⎪⎩x xx x a x af x x a x a x a ，则e 1,()e 1,⎧-≥⎪'=⎨+<⎪⎩x x x a f x x a ，∵()f x 在R 上单调递增， ∴()0'≥f x 恒成立，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x 恒成立， 当≥x a 时，()e 10'=-≥x f x 恒成立， 故()0'≥f a ，即0≥a ．(2)由(1)知当0≥a 时，()f x 在R 上单调递增，不符题意， ∴有0<a ．此时，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x ，()f x 单调递增， 当≥x a 时，()e 1'=-x f x ，令()0'=f x ，得0=x ， ∴()0'<f x 在(,0)a 上恒成立，()f x 在(,0)a 上单调递减，()0'>f x 在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()()e ==极大af x f a ，()(0)1==+极小f x f a ，即0<a 符合题意．由2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，可得e 1--≥a a ka 对任意0<a 恒成立， 设()e (1)1=-+-a g a k a ，求导，得()e (1)'=-+a g a k ， ①当1≥-k 时，()0'≥g a 恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递增， 又∵1(1)0e-=+<g k ，与()0>g a 矛盾； ②当0≥k 时，()0'≤g a 在(,0)-∞上恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递减， 又∵(0)0=g ，∴此时()0≥g a 恒成立，符合题意；③当10-<<k 时，令()0'>g a 在(,0)-∞上解集为(ln(1),0)+k ， 即()g a 在(ln(1),0)+k 上单调递增， 又∵(0)0=g ，∴(ln(1))0+<g k 不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0,)+∞． 20．证明：(1)由312+++=n n n n a a a a ，可知323311...+++====n n n n a a aa a a a ，∴212232123212212()++---++==++n n n n n n n na a a a a a a a a a ， 当1=n 时，123+=a a ，即数列212{}-+n n a a 是以3为首项，3a 为公比的等比数列．(2)法一：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 又∵{}+n S t 为等比数列，故有221()()()++++=+n n n S t S t S t ，对+∀∈N n 恒成立， ∴222221()()()++++=+k k k S t S t S t 和222322()()()++++=+k k k S t S t S t 对+∀∈N k 恒成立，即123333333112333333333(1)3(1)(2)(1)()()(1)111(2)(1)(2)(1)3(1)(1)(1)()111+++⎧--+-++=++⎨---⎩+-+--++++=+---k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a 对+∀∈N k 恒成立， 解得34=a ，1=t ，此时2132(1)(1)(1)++=+S S S 也成立．∴34=a ，1=t ，即21=-nn S 得到12-=n n a ．法二：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，3212342123333(1)33()()...()111--=++++++==----k kk k ka S a a a a a a a a a a 要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有331=-t a 成立① 故当21=+n k 时，333321123451333(2)(1)22()()...()11111+-+-++=+++++++=+=-+---k k k n n a a a a S a a a a a a a a a a a ．要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有33211+=--a t a 成立② 联立①②得1=t ，34=a 以下同解法一法三：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 要使得{}+n S t 为等比数列必有2243()()()++=+S t S t S t 和2132()()()++=+S t S t S t 解得1=t ，34=a ，通过验证1=t ，31=a 时，{}+n S t 为等比数列．以下同解法一第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．解：A ．连接AD ， ∵AB 为圆O 的直径， ∴90∠=︒ADB ，又∵⊥EF AB ，90∠=︒AFE ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， ∴=BD BE BA BF ，又~△△ABC AEF ，即=AB AF AE AC ．∴2()-=-=-=BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ．B ．∵212()5614--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦f λλλλλ，由()0=f λ，得2=λ或3=λ． 当2=λ时，对应的一个特征向量为121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当3=λ时，对应的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；设321211⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m n ，解得11=⎧⎨=⎩m n ，∴33333312122143()12131135⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A αααααC ．∵直线l 的极坐标方程为π()3=∈θρR ，∴直线l的直角坐标方程为y ，又∵曲线C 的参数方程为2cos 1cos2=⎧⎨=-⎩x y αα，∴曲线C 的普通方程为212,[2,2]2=-+∈-y x x ，联立解方程组2122⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y y x ．解得3⎧=⎪⎨=-+⎪⎩x y3⎧=⎪⎨=-⎪⎩x y∴点P的直角坐标方程为(3-+． D ．∵0>a b ，0>b a ， ∴要证>a b b a ， 只要证ln ln >a b b a只要证ln ln >b ab a，构造函数ln (),(e,)=∈+∞x f x x x ． 21ln (),(e,)-'=∈+∞x f x x x，()0'<f x 在区间(e,)+∞恒成立， ∴函数()f x 在(e,)∈+∞x 上是单调递减，∴当e >>a b 时，有()()>f b f a 即ln ln >b ab a，得证． 22．解：(1)记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464==P A ．(2)由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()()4416==+=P X131333311345(4)()()()()4444128==+=P X C C ，27(5)(3)(4)128===-==P X P X P X ．∴比赛局数X 的分布列为∴比赛局数X 的数学期望是74527483()34516128128128=⨯+⨯+⨯=E X ．23．解：(1)当1=m 时，1100111(,1)(1)(1)111++--=∑-=∑-=+++nn kkk k nn k k P n C C k n n ， 又∵11(,1)1+==+n Q n C n ，显然(,1)(,1)1=P n Q n ． (2)0(,)(1)-=∑-+nk knk mP n m C m k111111(1)()(1)-----=+∑-++-++n k k k nn n k m mC C m k m k111(1,)(1)---=-+∑-+n k k n k m P n m C m k 0(1,)(1)-=-+∑-+n k knk m m P n m C n m k (1,)(,)=-+mP n m P n m n即(,)(1,)=-+nP n m P n m m n， 由累乘，易求得!!1(,)(0,)()!+==+n n mn m P n m P m n m C ，又∵1(,)+=nn Q n m C ，∴(,)(,)1=P n m Q n m ．。
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.函数的最小正周期为______ ．【答案】【解析】解：函数的最小正周期为，故答案为：．根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=A sin（ωx+φ）的周期等于，属于基础题．2.设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B= ______ ．【答案】{1，3，5}【解析】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．本题考查集合的交集、并集运算，注意运用定义法，以及集合中元素的互异性，属于基础题．3.复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为______ ．【答案】-3【解析】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=-3+4i，∴z的实部为-3．故答案为：-3．直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为______ ．【答案】0.17【解析】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17．故答案为0.17．利用对立事件的概率公式，可得结论．本题考查对立事件的概率公式，熟练掌握概率的基本性质是求解本题的关键．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为______ ．【答案】5【解析】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．6.若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为______ ．【答案】7【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=-x+z平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．【答案】20【解析】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65-75）2+（80-75）2+（70-75）2+（85-75）2+（75-75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80-75）2+（70-75）2+（75-75）2+（80-75）2+（70-75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．本题考查方差的计算，注意掌握方差的计算公式．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1-A1BD的体积为______ cm3．【答案】【解析】解：∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1-A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．三棱锥D1-A1BD的体积==，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9.在平面直角坐标系x O y中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2-a2=4a2，可得=．故答案为：．利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为______ 升．【答案】【解析】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．11.在△ABC中，若•+2•=•，则的值为______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cos B+2bc•cos A=ba•cos C，由余弦定理得：（a2+c2-b2）+（b2+c2-a2）=（b2+a2-c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．本题考查了平面向量的数量积以及余弦定理和正弦定理的应用问题，是综合性题目．12.已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为______ ．【答案】【解析】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=-asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（-asinm）=-1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查同角三角函数的基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.已知函数f（x）=|x|+|x-4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为______ ．【答案】，，【解析】解：令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，x≥4时，g（x）=2x2-2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2-4＞0，解得：x＞或x＜-，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；-≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜-时，g（x）=2x2+2x-4＞0，解得：x＞1或x＜-2，故x＜-2，故答案为： ，，．令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．14.在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为______ ．【答案】[，]【解析】解：在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，-）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用、考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题(本大题共12小题，共154.0分)15.如图，在平面直角坐标系x O y中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．【答案】解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA•OB cos∠AOB，所以，∠=，即．（2）因为，，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点，．【解析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．本题主要考查余弦定理，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式的应用，属于基础题．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．【答案】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA．…4分又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．…6分（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD． (8)分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC． (10)分又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．…12分又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．【解析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．17.如图，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．【答案】解：（1）由题意得，，，…2分解得，c=1，b=1．所以椭圆的方程为．…4分（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．…6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以．…9分因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2=2k2+2．…12分所以．综上，可知．…14分．【解析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【答案】解：（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．…3分所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．…5分（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．…8分由＞＞＜＜得＞＞，＜＜所以四边形MNPE面积为== ==…12分．当且仅当，即，时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当∠时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，．…8分由＜＜＞＞得＜＜＞，＜所以四边形MNPE面积为==…12分=．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．【解析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE 为矩形．即可得出．（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．可得PE=PF，即．，NP=3-T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数f（x）=ax2-x-lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当时，．所以′，（x＞0）．…2分令f'（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+ ）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+ ）上单调递增．所以当x=2时，f（x）有最小值．…4分（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．所以当a≤0时，′＜，函数f（x）在（0，+ ）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．…6分因为当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，所以当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上有零点．综上，当-1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，令g（x）=2ax2-x-1．因为g（0）=-1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+ ）上只有一个零点，设为x0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+ ）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即＜．又因为，所以2lnx0+x0-1＞0，又因为函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，且h（1）=0，所以x0＞1，得＜＜．又由，得，所以0＜a＜1．…13分以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，＞，所以＜＜．因为＞，且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．又因为＞（因为lnx≤x-1），且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在，内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．…16分下面证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，所以′，（x＞0）．令t'（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+ ）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增．所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．所以t（x）=x-1-lnx≥0，得lnx≤x-1成立．【解析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点，当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要＜．通过函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，利用导数求解函数的最值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．20.已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式＞恒成立，求a1的取值范围．【答案】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，…2分整理可得：4d2=3a1d．因为d≠0，所以．…4分（2）设数列{k n}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2-k1-k3）=d（2k2-k1-k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．…6分当时，a n=a1+（n-1）d=nd，所以．又因为，所以．所以，数列{k n}为等比数列．综上，当时，数列{k n}为等比数列．…8分（3）因为数列{k n}为等比数列，由（2）知a1=d，＞．，a n=a1+（n-1）d=na1．因为对于任意n∈N*，不等式＞恒成立．所以不等式＞，即＞，＜＜恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．因为＜，则＜，解不等式＜，即＞，可得＞，所以＞．不妨取，则当n1＞n0时，原式得证．所以＜，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+ ）．…16分【解析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，＞．得到＞，＜＜恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．本题考查等差数列的首项与公差的比值的求法，考查满足等比数列的等差数列的首项与公差的比值的确定，考查数列的首项的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高．21.已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．【答案】解：设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，所以1×3=x•2x=2x2，所以．…2分取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．…6分又因为，所以△OCE的面积．…10分．【解析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE 的面积．本题考查的是相交弦定理，垂径定理与勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量．在平面直角坐标系x O y中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．【答案】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量，所以．所以…4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以…8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．…10分．【解析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．本题考查矩阵的变换，考查方程思想，体现转化思想，属于中档题．23.在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【答案】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y=x①，…3分曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0②．…6分由①②得或…8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长AB=．…10分．【解析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查方程思想，比较基础．24.求函数的最大值．【答案】解：…2分由柯西不等式得，…8分所以y max=5，此时．所以函数的最大值为5．…10分．【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．本题考查是的最值，柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．25.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．【答案】解：以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．（1）因为，，，，，，所以＜，＞=．所以AP与AQ所成角的余弦值为．…4分（2）由题意可知，，，，，，．设平面APQ的法向量为=（x，y，z），则即令z=-2，则x=2λ，y=2-λ．所以=（2λ，2-λ，-2）．…6分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos＜，＞|==，可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以．…10分．【解析】（1）以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．求出，，，，，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），，，，，．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．26.在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．【答案】解：（1）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p=2，所以抛物线的方程为x2=4y．…3分（2）因为，所以′．设点，，，则抛物线在点E处的切线方程为．令y=0，则，即点，．因为，，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty-t=0．则点，到直线PF的距离为．…5分联立方程消元，得t2y2-（2t2+16）y+t2=0．因为△=（2t2+16）2-4t4=64（t2+4）＞0，所以，，所以．…7分所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则′．因为，时，g'（x）＜0，所以g（x）在，上单调递减；，上，g'（x）＞0，所以g（x）在，上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．…10分．【解析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的′．设点，，，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出，．推出直线PF的方程，点，到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，难度比较大．。
南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷 含答案
20XX 年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 若集合2{|11},{|20}M x x N x x x =-≤≤=-≤，则MN = ▲ ．2． 已知复数(2)z i i =--，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限.3． 某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4． 双曲线22132x y -=的离心率为 ▲ ．5． 执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6． 从2个黄球，2个红球，一个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲ ．7． 若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．8． 在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9． 若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e xf -<)(的解集为 ▲ ．10. 已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅= ▲ ．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ． 13． 设实数1m ≥，不等式||2x x m m -≥-对[1,3]x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．yAB 14．在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值：(2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求以||a 、||b 为边，夹角为θ的三角形的面积．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分）如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山（P 为圆弧TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR ..（1）设PAB θ∠=,试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； （2）求停车场PQCR 面积的最大值及最小值. .18．(本小题满分14分）如图，点A （1，3）为椭圆1222=+ny x 上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B 、C 两点. （1）求椭圆方程;（2）若直线AB 、AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形.()i 求直线BC 的斜率；()ii 求△ABC 的面积最大值，并求出此时直线BC 的方程.19．(本小题满分16分）已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn.（1）若12k =，且20172017S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若1,2n k S =-求.20．(本小题满分16分）已知函数'()ln ,()f x x a x f x =+为()f x 的导数，()f x 有两个零点1212,,()x x x x < ，且1202x x x +=.（1）当3a =-时，求 ()f x 的单调区间；（2）证明：'0()0f x > ；（3）证明：02(,),t x x ∃∈使得'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）O E D C B A21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的 中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间）.求证：∠CBE =∠BDE ．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a A 203，A 的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-10311b A （1）求a,b 的值；（2）求A 的特征值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为532cos 72sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3,3π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知x,y,z 都是正数且xyz =8,求证：(2+x )(2+y )(2+z )≥64【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．23．对于给定的大于1的正整数n ，设2012n n x a a n a n a n =++++，其中i a ∈{0,1,2,,1n -}，1,2,,0,,1i n n =-，且0n a ≠，记满足条件的所有x 的和为A n .（1）求A 2（2）设n A =(1)()2n n n f n -，求f （n ）.20XX 年高考模拟试卷(2)参考答案一、填空题1．[]0,1 2．四 3．16 4/3 5．286． 4/5. 1—（2222C C +）/25C =4/5 .7．3.圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高，故V=3. 8． 64. 先得公比q 2=4,知7a =64 .9． (,-∞-e). 11()ln 1,(0,),(,),().f x x f e e e e'=++∞=为减区间为增区间 由于)(x f 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,-∞-e) . 10. [1,7].根据可行域知，目标函数化为z=x-y+3(去掉绝对值是关键） 11． -8/9.令f(x)-g(x)=0,化简得2sin()0,,,66x x k k Z πππππ+=+=∈则15((66M N -，故OM ON ⋅=158((669-⋅12. -9或-1/9.设斜率为k,-k,则两条直线方程为kx-y+1-k=0,kx+y-1-k=0,两条弦心距为12d d ==12l l ==弦长之比得231030k k -+=，求出k=3,或k=-1/3,故结果为-9或-1/9.13．7(1,2][,)2+∞.（1）当12m≤≤时，不等式显然成立；（2）当3m≥时，由1(1)32(2)3m mm m-≥-⎧⎨-≥-⎩得72m≥；（3）当23m<<时，由02m≥-得m<2, 矛盾，综上，7[1,2][,)2m∈+∞..切化弦得22232()c a b=+，222221cos263a b c a bCab ab+-+==≥，于是知sinC的最大二、解答题15．(1)因为⊥a b，所以=0⋅a b，所以π2sin sin03θθ⎛⎫++=⎪⎝⎭，即5sin cos022θθ+=．因为cos0θ≠，所以tan5θ=-．(2)由a∥b，得π2sin sin13θθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2ππ2sin cos2sin cos sin133θθθ+=，即()11cos2212θθ-+=，整理得，π1sin262θ⎛⎫-=⎪⎝⎭又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以ππ266θ-=，即π6θ=．所以三角形的面积1sin302=16．（1）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC平面ABC BC=，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB.又因为CP⊥PB，且PB AB B=，,AB PB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．APBDxyAB CO又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ． 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ， 所以l //平面PBC ．17.(1)S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ）＝8100sin θcos θ－9000（sin θ＋cos θ）＋10000 , θ∈[0，2π]. （2）由（1）知S P Q C R ＝f （θ）＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000 ,θ∈[0，2π] .令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2）.答:停车场面积的最大值和最小值分别为 14050－90002 （m 2）和950（m 2）.18． (1)把点A （1，3）代入1222=+n y x 得n ＝6，故椭圆方程为22126x y +=. （2）（i ）显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直，因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为1k 、2k ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-162)1(3221y x x k y得点B 的横坐标为33261211++-=k k x （1=x 为点A 的横坐标）， ∴点B 的纵坐标为3632321121++-=k k k y ，即)36323,33261(21121211++-++-k k k k k B .同理可得点C 的坐标为)36323,33261(22222222++-++-k k k k k C∵ 021=+k k ,∴ 直线BC 的斜率为3=BC k .(ii)设直线BC 的方程为m x y +=3，代入方程16222=+y x 得0632622=-++m mx x ，∴ 212332||m BC -=又点A 到直线BC 的距离为2||m d =∴ 36)6(63)12(63||212222+--=-=⋅=m m m d BC S ∴ 当62=m ，即6=m 或6-=m 时，△ABC 面积取得最大值为3.此时，直线BC 的方程为63±=x y .19．⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，故12017201720172016(1)2a a =+⨯⨯-，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-,1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式，综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．20．(1) '3()3ln ,()x f x x x f x x-=-=，可得f (x)的单调减区间为（0,3），单调增区间为（3，+∞）. (2) 设2(1)()ln (1)1x x x x x ϕ-=->+，可证此函数在（1，+∞）是增函数，且(1)0ϕ>，令211x x x =>，代入得到211221ln ln 2x x x xx x -+<-， 而由21112221ln ,ln ln ln x x x a x x a x a x x -=-=-⇒=-->122x x +-,故有12''12012122()22()()1102x x x x af x f x x x x +-+==+>+=++. (3)令2200()ln()x G x x x x x =--，'2020(,),()ln 0,xx x x G x x ∈=>G(x)是增函数，D令201x t x =>，则有0022()[ln (1)]01()[ln (10G x x t t G x x t t =--<⎧⎪⎨=-->⎪⎩（用到lnx<x-1）, 由零点定理知，存在02(,),()0t x x G t ∈=， 即20202020ln ln ln ln 111x x x x aa tx x t x x --=⇔+=+--即'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）21.A .因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， 又CA CB =， 所以2CB CE CD =⋅， 即CB CDCE CB=， 又BCD BCD ∠=∠， 所以BCE ∽DCB ， 所以∠CBE =∠BDE ．B ．（1）因为A A －1＝⎣⎡⎦⎤302a⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 023＋ab a ＝⎣⎡⎦⎤1001． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23． （2）由（1）得A ＝⎣⎡⎦⎤3021， 则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－30－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3．C ．（1）⊙M ：227(()42x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3)2,(2,2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：223(()122x y -+-=（2）PQ =MN -3=431-=.D ．因为x 为正数，所以2＋x ≥22x ．同理 2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z ．（5分）所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22222288x y z xyz = 因为xyz ＝8， 所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64．22．( 1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率： p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=， P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 PEξ==1．23．⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =， 故满足条件的x 共有4个，分别为004x =++，024x =++，104x =++，124x =++, 它们的和是22． ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；n a 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -,n a 的不同取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， 当0a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，n a 有1n -种取法， 故n A 中所有含0a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn --++++--=；同理，n A 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n nn nn ----++++--⋅=⋅；当n a 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n +-+++-⋅=⋅；所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n nn +---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-．。
【江苏省南通市】2017届高三年级第二次模拟考试理科数学试卷(附答案与解析)
江苏省南通市2017届高三第一次调研测试理科数学试卷参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．棱锥的体积公式：1V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．{3}AB =，则A B =________为虚数单位，则z 的实部为________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．6．若实数x ，y 满足24,37,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =＋的最大值为________．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：8．如图，在正四棱柱1111–ABCD A B C D 中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥11D A BD -的体积为 ______3cm ．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0,)2x ∈相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．13．已知函数()|||4|f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且A B A C ⊥，则线段BC 的长的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5AB =． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E PC 为的中点，OP OC =，PA PD ⊥．求证：（1）直线PA BDE ∥平面； （2）平面BDE PCD ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O OP 作的垂线交直线y 于点Q ，求2211OP OQ +的值． 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F AD 为的中点，点E BC 在边上，裁剪时先将四边形CDFE EF MNFE 沿直线翻折到处（点C ，D BC M 分别落在直线下方点，N 处，FN BC P 交边于点），再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP ∠=π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ． （1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积．B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在棱长为11112ABCD A B C D -的正方体中，11P C D 为棱的中点，1Q BB 为棱上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP AQ 与所成角的余弦值； （2）若直线1AA APQ 与平面所成的角为45︒，求实数λ的值． 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点2F 的距离为． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E x P 处的切线与轴相交于点，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB △面积的最小值．江苏省南通市2017届高三第一次调研测试数学试卷∞2)(2,+)+2,62]二、解答题：本大题共∠OA OB AOBcos2-ABOA OB3，PC PD P=，PCD．PN MN=2m ）解法一：=0 EFDθ(<19．【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)()144x x f x x x x+-'=--=，（0x >）．2分令()0f x '=，得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． 所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()21,0ax x f x ax x x x--'=--=>．所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=，函数()f x 在(0,+)∞上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 6分因为当10a -≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e e af -+=，所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,+)∞上有零点．综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点．8分（3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln f x ax x x =--，得221(),(0)ax x f x x x--'=>，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<；当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '>>． 所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增．要使得函数()f x 在(0,+)∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数h()=2ln 1x x x +-在(0,+)∞上是增函数，且h(1)=0， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<．13分以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a a g a a a a-=--=>， 所以011x a <<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01(,)ex 上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=----=>≥（因为ln 1x x ≤-），且0()0f x <．所以函数()f x 在02(,)x a上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(0,1)．16分下面证明：ln 1x x ≤-．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（0x >）． 令()0t x '=，得1x =．当(0,1)x ∈时，()0t x '<；当(1,)x ∈+∞时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x ≤-成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x xa x +=，（0x >）有两个不等的实数解． 又因为ln 1x x ≤-，所以222ln 211(1)1x x x a x x x+-=≤=--+，（0x >）． 因为0x >时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当1a =时，1x =，即关于x 的方程2ln x xa x +=有且只有一个实数解．所以<<1a 0．13分（以下解法同解法1）20．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， 2分 整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．4分（2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =． 又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=． 6分当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列． 8分（3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n ∈*N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取20]1n =+，则当10n n >时，原式得证．所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2,)+∞．16分21．A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE =， 所以21322x x x ⨯==，所以2x =． 2分取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．6分又因为2CE x ==，所以OCE △的面积1122S OH CE ==⨯ 10分B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．【解】设ab Acd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵–1A 的属于特征值的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，．4分因为点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，．8分解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 10分C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线.π()4θρ=∈R .被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB =． 10分解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， 3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②．6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，8分所以(0,0),(2,2)A B ，所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =． 10分D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，8分所以max 5y =，此时3sinx =． 22．【解】以{}1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为=(1,2,2)AP ，=(2,0,1)AQ ，所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ <>==，．所以AP 与AQ ． 4分（2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为(,,)x n y z =，则0,0,AP AQ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即220,220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以(2,2,2)n λλ=--．6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒，所以111||=||||||2,AA AA AA cos n <>==n n ， 23．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3分（2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2(,)4t E t 到直线PF 的距离为3|2|t t t d +-= 5分联立方程2,420,x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =所以221212222164(4)1122tt AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7分所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22||t t S t t ++=⨯=⨯．不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x 在)+∞上单调递增．所以当x 32min 4)()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分。
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（第3题）（第6题）2017年高考模拟试卷(9)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，则U C A = ▲ ．2． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 是虚数单位），若()2i i z -=则a b +的值为 ▲ ．3． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．4． 概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．5． 顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线 方程是 ▲ ．6． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中， 其频率分布直方图如图所示．已知在[50 100)，中 的频数为24，则n 的值为 ▲． 7． 甲，乙两种食物的维生素含量如下表：100，120单位，则混合物重量的最小值为 ▲ kg ．8． 60°，则该棱锥的体积为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ▲ ． 10．若函数 0,2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为▲ ．11．设直线l 是曲线343ln y x x =+的切线，则直线l 的斜率的最小值为 ▲ ．12．扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos sin )A αα，，(cos sin )B ββ，是直线y =上的两点，则tan()αβ+的值为 ▲ ．14．已知函数3()2f x x a a x=--+-有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．(本小题满分14分)已知tan α＝2，cos β＝－ 7210，且α，β∈(0，π)， （1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，△ACD 是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ，ABC ∠=120° ，=1PA AB =，2PD =，N 为PD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PAB ； （2）求证：CN ∥平面PAB ．17. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A B ，分别是椭圆22221(0)yx a b a b+=>>的上、下顶点，点()102M ，为线段AO的中点，AB =.（1）求椭圆的方程；（2）设(2)N t ，（0t ≠），直线NA ，NB 分别交椭圆于点P Q ，，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k . ① 求证：P M Q ，，三点共线； ② 求证：132312k k k k k k +-为定值. 18．(本小题满分16分)如图，一个角形海湾AOB ，∠AOB ＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中⌒PQ ＝l ；D（第16题）PAPBPCM N（第17题）1O2O ABPQDC方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD ＝l ；（1）求方案一中养殖区的面积S 1 ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S 2＝l 24tan θ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且111241n n n a a S +-=-（*n ∈N ）．（1）求2a 的值； （2）设1nn n na b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（3）若m p r a a a ，，（*m p r ∈，，N ，m p r <<，）成等比数列，试比较2p 与mr 的大小，并证明．20．（本小题满分16分）已知函数2()ln )xf x e a x b x=++（，其中,a b R ∈． 2.71828e =是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e x =-．求实数,a b 的值； （2）① 若2a =-时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围； ② 若2a =，2b ≥-．若()f x kx ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的最大值（用b 表示）．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，1O ，2O 交于两点P Q ，，直线AB 过点P ，与1O ，2O 分别交于点A B ，，直线CD 过点Q ，与1O ，2O 分别交于点C D ，． 求证：AC ∥BD ．llAOBAOB图1Q PAOBC D 图2（第18题）2θ2θ2θB ．（选修4-2：矩阵与变换）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1）求二阶矩阵M ；(2）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.C．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:)4C ρπθ=+上． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(2)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标． D ．（选修4-5：不等式选讲）已知实数0x >，0y >，0z >，证明：1239()()2462yx z x y z ++++≥．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．（1）求概率(P X 的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．23.已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n)a n ＋12n ．（1）求证：当n ≥2时，a n ≥2；（2）利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．2017年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题一、填空题1. {}2,5．2. 15.3.-4. 4. 0.5. 5. 26y x =-.6. 60.7. 30. 线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x ,y 克，由题意3x+4y 1005x+2y 120≥⎧⎨≥⎩,设x+y=34)(52)x y x y λμ+++（，解得，31==λμ，，即可.8.. 9.. 设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP=([3,))x ∈+∞,据此可得2PQ ≤<. 10. 1e. 易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，21ln ()0x g x x -'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e ,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e ea g ==. 11．9.223331212922k x x x x x=+=++≥,也可以求导. 12. 116-.设弦AB 中点为M ，则()OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+⋅=⋅ ， 若MP BP ，同向，则0OP BP ⋅> ；若MP BP ，反向，则0OP BP ⋅< ， 故OP BP ⋅的最小值在MP BP ，反向时取得，此时1||||MP BP += ，2||||1||||()216MP BP OP BP MP BP +⋅=-⋅-=- ≥， 当且仅当1||||4MP BP == 时取等号，即OP BP ⋅ 的最小值是116-．13．（方法一）由题意，得sin sin ααββ⎧⎪⎨=⎪⎩所以αβ，是方程sin x x即方程()πsin 3x -=5ππ()26k k αβ+=+∈Z，所以tan()αβ+=（方法二）同上，αβ，sin 0x x -+的两根．设()sin f x x x =-+()cos f x x x '=-．令()0f x '=，得0tan x =，所以02x αβ+=，所以（方法三）直线210x y +-=交单位圆于A B ，两点， 过O 作OH AB ⊥，垂足为H ，易知OH =因为OC 60COH ∠=︒，即1502αβ+=︒，所以tan()tan300αβ+=︒=14．95⎧-⎨⎩⎭.32()322x x a x f x x a x a ⎧--⎪=⎨⎪--+-<⎩，≥，，，当x a ≥时，320x x --=，得11x =-，23x =，结合图形知，① 当1a <-时，313x -，，成等差数列，则35x =-，代入3220x a x --+-=得，95a =-； ② 当13a -≤≤时，方程3220x a x--+-=，即22(1)30x a x +-+=的根为34x x ，， 则343x x =，且3432x x +=，解得4x =，又342(1)x x a +=-，所以a .③ 当3a >时，显然不符合. 所以a的取值集合95⎧-⎨⎩⎭. 二､解答题:本大题共6小题，共90分．15． (1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α．又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5cos 2α＝1，即cos 2α＝15． 所以 cos2α＝2cos 2α－1＝－35．(2)由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈(π4，π2)，所以2α∈(π2，π). 由题知cos2α＝－35，所以sin2α＝45．又因为β∈(0，π)，cos β＝－7210∈(－1，0)，所以β∈(π2，π)， 所以sin β＝210，且2α－β∈(－π2，π2)．因为sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22， 所以2α－β＝－π4．16.（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BA BC =，在△ABC 中，因为120ABC ∠=︒， 所以30BAC ∠=︒．因为△ACD 是正三角形，所以60DAC ∠=︒， 所以90BAD ∠=︒，即AD AB ⊥．因为=1AB ，120ABC ∠=︒，所以AD AC == 又因为1PA =，2PD =，由222PA AD PD +=， 知90PAD ∠=︒，即AD AP ⊥．因为AB AP ⊂，平面PAB ，AB AP A = ， 所以AD ⊥平面PAB ．（2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH． 因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ， 因为PA ⊂平面PAB ，HN ⊄平面PAB ， 所以HN ∥平面PAB ．由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点，所以CH AD ⊥．由（1）知，BA AD ⊥，所以CH ∥BA ， 因为BA ⊂平面PAB ，CH ⊄平面PAB ， 所以CH ∥平面PAB ．因为CH HN ⊂，平面CNH ，CH HN H = ， 所以平面CNH ∥平面PAB ． 因为CN ⊂平面CNH ， 所以CN ∥平面PAB ．（方法二）取PA 的中点S ，过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN ．因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且12SN AD =，因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN ． 由（1）知，AB AD ⊥，所以CT AT ⊥， 在直角△ CBT 中，1BC =，60CBT ∠=︒， 得CT =由（1）知，AD =12CT AD =，所以CT SN =．所以四边形SNCT 是平行四边形，HPABCDMNPA BCDMNTS所以CN ∥TS ．因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ， 所以CN ∥平面PAB ．17．（1）由题意知，124()2b b =-=，解得a =1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则 直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x =-.由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q-++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+， 直线QM 的斜率22218161812818QMt t t k t t t ---+==+，所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t =，2368t k t-=.所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-， 所以132312k k k k k k +-为定值12-.18．(1)设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l2θ，所以S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π2)．(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以l 2≥2ab －2ab cos2θ．所以 ab ≤l 22(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ，即S 2＝l 24tan θ．(3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π2)，． 令f (θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(sin θcos θ)'－1＝sin 2θcos 2θ．当θ∈[0，π2)时，f '(θ)＞0，所以f (θ)在区间[0，π2)上单调增．所以，当θ∈(0，π2)时，总有f (θ)＞f (0)＝0，即1S 2－1S 1＞0，即S 1＞S 2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一． 19． （1）易得2143a =．（2）由111241n n n a a S +-=-，得11241n nn n n a a a a S ++-=-，所以11241n n n n na a S a a ++-=-①．所以12121241n n n n n a a S a a +++++-=-②，由②-①，得12112112n n n n n n n n na a a aa a a a a +++++++=---．因为10n a +≠，所以22112n nn n n na a ++++=-． 所以121112n n n n n n a a a a a a +++++-=--，即12111n nn n n na a a a a a ++++-=--，即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列． 因为112134a b a a ==-，所以数列{}n b 的通项公式为1n b n =-．（3）由（2）知，114n n n a n a a +=--，所以11431141n n an a n n ++=+=--，所以14(1)141n n a a n n +=+--，所以数列41n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列．由124113a =⨯-，所以2(41)3n a n =-．（方法一）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列，则41m -，41p -，41r -成等比数列，所以2(41)(41)(41)p m r -=--， 所以2168164()0p p mr m r --++=，即2424()0p p mr m r --++=（*）．（途径一）（*）式即为2424()4p p mr m r mr -=-+<-，所以2211(2))22p -<，即11222p -<，所以p <2p mr <．（途径二）（*）式即为24241p p rm r -+=-．由222222(42)(42)(41)()0414141p p r p p r r r p p r mr p r p r r r -+-+----=⋅-==>---，所以2p mr <．（方法二）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列， 则41m -，41p -，41r -成等比数列， 记4m α=，4p β=，4r γ=（1αβγ<<<）， 则有1α-，1β-，1γ-成等比数列，所以2(1)(1)(1)βαγ-=--，即22()ββαγαγ-=-+．若2βαγ=，即2p mr =时，则2αγβ+=，所以αβγ==，矛盾； 若2βαγ>，则22()0βαγβαγ-+=->，所以1()12βαγ>+>，所以[][]21(2αγββαγαγαγαγαγαγ+---+>-+--+=->， 矛盾．所以2βαγ<，即2p mr <．20． (1) 由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)e f =；又因为222'()ln e x a f x a x b x x+=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0,'(1)e()e,f b f a b =+==+=⎧⎨⎩解得3,2a b ==-.(2) ①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()e 2ln 0x f x x b x =--+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，若'()0f x =时，得222ln b x x=+，设22()2ln g x x x =+(0)x > . 由2332424'()x g x x x x-=-=0=，得x =1ln 2g =+.当0x <<时，'()0g x <，函数()y g x =在区间)上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x 12()x x <.此时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值.②由题意2e ln x a x b xkx ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立，取1x =得(2)e k b ≤+.下证2e ln e (2)x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立.首先，证明e e xx ≥. 设函数()e e xu x x =-，则'()e e xu x =-，当1x >时，'()0u x >； 当1x <时，'()0u x <；得e e (1)0xx u -=≥，即e e xx ≥，当且仅当都在1x =处取到等号.再证1ln 1x x+≥. 设1()ln 1v x x x=+-，则21'()x v x x -=，当1x >时，'()0v x >；当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v =≥，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号. 由上可得2e ln (2)e x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以min()(2)e f x b x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即实数k 的最大值为(2)e b +.数学Ⅱ（附加题）21． A. 连结PQ ，因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形， 所以A PQD ∠=∠， 又在2O 中，PBD PQD ∠=∠，所以A PBD ∠=∠，所以AC ∥BD ． B ．（1） 设1234A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则12234A ==-， 1213122A --⎛⎫⎪∴= ⎪-⎝⎭， 21582131461122M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ 代入22221x xy y ++=可得()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=．C. (1)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为22cos 10ρθ+-= 曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； (2) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2π． D. 因为0x >，0y >，0z >，所以1233x y z++，2463y x z++， 所以1239()()2462yx z x y z ++++≥．当且仅当::1:2:3x y z =时，等号成立．22．（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有37=35C种取法．其中X =ABF ，这类三角形共有6个．因此(376635P X C ===． （2）由题意，X2，其中X =ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△PAD (3个)，△PAB (6个)，共有9个；其中X =PBD ，这类三角形共有6个；其中X =CDF ，这类三角形共有12个；其中X =BDF ，这类三角形共有2个．因此(635P X ==，()9235P X ==， (635P X =，(1235P X ==，(235P X ==． 所以随机变量X 的概率分布列为：所求数学期望()E X 69612223535353535+⨯+++． 23． (1)①当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(1＋1k (k ＋1))a k ＋12k ＞2．所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①，②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立．(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n )a n ＋12n ≤(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，故 ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)，求和可得ln a n －ln a 2＜12⨯3＋1 3⨯4＋…＋1 (n －1)n＋123＋124＋…＋12n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＋123·1－12n 21－12＝12－1n ＋122－12n ＜34．由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)， 而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34．。