人教版数学九上22.2《降次──解一元二次方程》word教案
22.2.2 降次--解一元二次方程(公式法)
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分： 50+20 时间： 10 分钟 成绩： ）
必做题：（共5题，每题10分）
1、方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式是 ，求根公式是 。
2、方程()()1422-=-+x x x 化为一般形式得 ，其中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，用求根公式求得方程的两根=1x ，=2x 。
3、方程 ()()
22312+-=+x x x x 化简整理后，写出 ()002≠=++a c bx ax 的形式，其中a = ，b = ，c = 。
4、用公式法解下列方程：
（1）1382-=x x
（2）()()43213-+=-x x x
选做题：（共2题，每题10分）
1、（2012·德州）若关于x 的方程()0222
=+++a a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 。
2、用长为100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是（ ）
A 2325cm
B 2500cm
C 2625cm
D 2
800cm。
人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_12
公式法解一元二次方程教学目标1、知识与技能目标: 能够用配方法推导出一元二次方程的求根公式，能熟练的使用求根公式解一元二次方程。
2、过程与方法目标：在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的推理与归纳的能力。
3、情感与态度目标：培养学生的独立思考习惯和小组合作交流意识。
教学重、难点重点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
难点：正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解 b2-4ac对一元二次方程根的影响。
教学过程先出示学习目标、本节课的重点与难点。
（学生齐读一遍）一、复习导入通过解一元二次方程0-x-x来复习回顾，用配方法解二次项系10822=数不为1的一元二次方程的一般步骤，并通过纠正板演同学的解题过程，加深学生的印象。
二、呈现问题你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?让学生亲身体体会公式推导的过程（师生配合完成）。
三、探索与归纳小组交流、讨论：22244)2(a ac b a b x -=+ ①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？②等号右边的值有可能为负吗？说明什么？通过小组学习交流，师生互动，完成这两个问题。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解的情况由ac b 42-决定，用希腊字母“Δ”表示，即 ac b 42-=∆。
四、例题讲解用公式法解一元二次方程010822=--x x 。
五、总结步骤学生通过例题做到规范解题并在组内交流分享成果，并总结解题过程：1、把方程化成一般形式,并写出a ，b ，c 的值。
2、求出b 2-4ac 的值。
3、代入求根公式4、写出方程的解六、巩固练习七、课时小结本节课你有哪些收获？八、作业布置1、（必做）课本第17页 第5题2、（选做）优化设计第5页拓展点二 第2题3、（选做）优化设计第5页 第3题。
人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_21
21.2.2解一元二次方程(公式法)教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-76x=-16配方，得：x2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512x1=512+712=7512+=1x2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知x2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：a x2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a=即x=2b a-±∴x 1=2b a -+x 2=2b a-- 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=(4)22--±==⨯如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±= x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--=⨯∴x 1x 2 （3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．三、巩固练习教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5）五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业1．教材P 45 复习巩固4．。
人教版九年级数学上册《二十二章 一元二次方程 22.2 降次 .解一元二次方程(通用)》优质课教案_8
期中复习：第22章 一元二次方程的解法学习过程：一、自学复习1、关于y 的一元二次方程y(y-3)=-4的一般形式是 ，它的二次项系数是_____ , 一次项系数是_____ , 常数项是_____ 。
2、下列方程是一元二次方程的是（ ）A 、2x+y=1B 、212=-x xC 、(x-1)2=x 2+3D 、2x 2+5=0 3、关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+x+a 2-1=0的一个根是0，则a 的值是（ ）A 、1或-1B 、1C 、-1D 、04、x=m 是方程x 2＋x －2=0的根，则m 2＋m= 。
5、解下列方程：（1）2x 2=8 （2）(x-1)2=27 （3）x 2－6x+2=0（4）x 2+x+2=0 （5）x 2 -5x+6=06、方法总结：(1)解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为 方程，即 。
(2)一元二次方程主要有四种解法，它们是 ， ， ， 。
（3）配方法和公式法是较重要的方法：使用配方法时，先把二次项系数化为 ，再配上 ，最后直接开平方解方程。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时， 一定要把原方程化成 的形式，以便确定系数，先计算 的值，判断方程是否有解，再用公式x= 求方程的解。
二、过关练习：选择适当的方法解下列方程：(1) 4x 2－1＝0 (2) x 2+8x=0 (3) 2x 2+5x+2=0(4) x(x－3)+x－3=0 (5) (x-2)2=(2x+3)2方法小结：解一元二次方程时，一般考虑选择方法的顺序是：→→三、课堂提高：A组（基础巩固）：1、方程4x2 -16=0的解为。
2、填空：x2-6x+ =(x- )2。
3、关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是。
4、方程(x+2)(x-3)=0的解是。
5、用适当的方法解方程：x2－4x=5B组（强化提高）：1、方程2(2x-3)2 =18解为。
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22.2.1降次——配方法解一元二次方程 学案一、问题情境问题(1) 一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10二、探究新知（一）、一般地,对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得 这种解一元二次方程的方法叫做（直接）开平方法（square root extraction ）. 例1、用开平方法解下列方程:(1)3x 2－27=0; (2)(2x －3)2=5巩固练习1、（1）方程x 2=0.25的根是（2）方程（2x-1）2=9的根是（3） 方程3x 2=18的根是2. 选择适当的方法解下列方程：(1) x 2－81＝0 (2) x 2＝50 (3) (x ＋1)2=4 (4) x 2＋2x ＋1=0（二）、把一元二次方程的左边配成 ，然后用 求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.填空：(1)x 2＋8x ＋ =(x ＋4)2 (2)x 2－4x ＋ =(x － )2(3)x 2－___x ＋9 =(x － )2经验总结：配方时, 等式两边同时加上的是填一填：例2、解方程x 2＋6x ＋9=2练习1：解下列方程：___)(___)(___)(___)(22222222____21)4(_____5)3(_____8)2(_____2)1(-+-+=+-=++=+-=++y y y y x x x x y y x x ._________________________________________:22或的形式，那么可得或如果方程能化成归纳）（p p n mx x ==+1、2x2-8=02、9x2-5=33、(x+6)2-9=04、3(x-1)2-6=05、x2-4x+4=56、9x2+6x+1=4三、合作探究：（按要求填空）怎样解方程x2+6x-16＝0解：移项得：（等号左边只含未知数的项，右边只含常数项）两边加上得：（使左边配成完全平方式：a2+2ab+b2）即：（左边写成平方形式）变成一元一次方程得：（两边开平方）即：所以方程的解是：像上面通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方是为了，把一个一元二次方程转化成个一元一次方程来解。
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》教案
21．2解一元二次方程21．2.1配方法第1课时直接开平方法1．理解解一元二次方程的“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程．3．理解形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法．阅读教材第5至6页“练习”的部分，完成以下问题．问题1一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2＝25，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±5.问题2解下列方程：(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；(3)x2＋4x＋4＝9.知识探究一般地，对于方程x2＝p：(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：x1＝－p，x2＝p；(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；(3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根．自学反馈解下列方程：(1)x2＝8；(2)(2x－1)2＝5；(3)x2＋6x＋9＝2; (4)4m2－9＝0；(5)x2＋4x＋4＝1; (6)3(x－1)2－9＝108.解一元二次方程的实质：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．活动1小组讨论例 用平方根的意义解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝7； (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73.(2)－1±2 6. (3)4±113. 运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．活动2 跟踪训练用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0； (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；(7)x 2＋2x ＋1＝4.活动3 课堂小结应用直接开平方法解形如x 2＋2ax ＋a 2＝b(b ≥0)，可得x ＋a ＝±b 达到降次转化的目的．【预习导学】问题1 略． 问题2 (1)x ＝±2.(2)x 1＝－12，x 2＝52. (3)x 1＝1，x 2＝－5. 自学反馈(1)x ＝±2 2.(2)x 1＝5＋12，x 2＝－5＋12.(3)x 1＝2－3，x 2＝－2－3.(4)x ＝±32.(5)x 1＝－1，x 2＝－3.(6)x 1＝1＋39，x 2＝1－39.【合作探究】活动2 跟踪训练(1) x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(3)x 1＝－1，x 2＝13.(4)x 1＝16，x 2＝－16.(5)x 1＝92，x 2＝－92.(6)x 1＝0，x 2＝－10.(7)x 1＝1，x 2＝－3.第2课时 配方法通过可直接化成x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．阅读教材第6至9页的部分，完成以下问题．问题1 填空：(1)x 2＋6x ＋____＝(x ＋____)2；(2)x 2－x ＋____＝(x －____)2；(3)4x 2＋4x ＋____＝(2x ＋____)2.问题2 解方程：x 2＋6x ＋4＝0.知识探究1．如果方程能化成a(x ＋b)2＝c 的形式，那么可得x ＝________.2．以上解法中，为什么在方程x 2＋6x ＋4＝0两边加5？加其他数行吗？________.3．什么叫配方法？________________________________________________________________________.4．配方法的目的是什么？________.5．配方法的关键是什么？________.自学反馈用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2－4x ＋2＝0； (2)x 2－12x －1＝0； (3)2x 2－4x －8＝0; (4)2x 2＋2x ＝5.活动1 小组讨论例 用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2－8x ＋1＝0； (2)2x 2＋1＝3x.解：(1)x 1＝4＋15，x 2＝4－15.(2)x 1＝1，x 2＝12. (1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边，二次项系数不为1的，可以将方程各项除以二次项系数；(2)配方时所加常数为一次项系数一半的平方；(3)注意：配方时一定要在方程两边同加．活动2 跟踪训练1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q)2，则p 、q 的值分别是( )A ．p ＝4，q ＝2B ．p ＝4，q ＝－2C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．填空：(1)x 2＋10x ＋____＝(x ＋____)2；(2)x 2－12x ＋____＝(x －____)2；(3)x 2＋5x ＋____＝(x ＋____)2；(4)x 2－23x ＋____＝(x －____)2. 3．用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2－36x ＋70＝0； (2)x 2＋2x －35＝0； (3)2x 2－4x －1＝0; (4)x 2－8x ＋7＝0；(5)x 2＋4x ＋1＝0; (6)x 2＋6x ＋5＝0；(7)2x 2＋6x －2＝0; (8)9y 2－18y －4＝0；(9)x 2＋3＝23x.4．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．类似第4题的，通常将等式一边变形为几个非负数的和，而另一边为零的形式．活动3 课堂小结1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．【预习导学】问题1 (1)9 3 (2)14 12(3)1 1 问题2 x 1＝－3＋5，x 2＝－3－ 5.知识探究1．－b±c a2.不行3.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法4.降次5.配平 自学反馈 (1)x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.(2)x 1＝14＋174，x 2＝14－174.(3)x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.(4)x 1＝11－12，x 2＝－11－12. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．B 2.(1)25 5 (2)36 6 (3)254 52 (4)19 133.(1)x 1＝18＋254，x 2＝18－254.(2)x 1＝5，x 2＝－7.(3)x 1＝1＋62，x 2＝1－62.(4)x 1＝1，x 2＝7.(5)x 1＝－2＋3，x 2＝－2－ 3.(6)x 1＝－1，x 2＝－5.(7)x 1＝－32＋132，x 2＝－32－132.(8)y 1＝1＋133，y 2＝1－133.(9)x 1＝x 2＝ 3. 4．由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0.∴x ＝2，y＝－3，z ＝－2.∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136.21.2.2 公式法1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2．会熟练应用公式法解一元二次方程．阅读教材第9至12页的部分，完成以下问题．1．用配方法解下列方程：(1)6x 2－7x ＋1＝0； (2)4x 2－3x ＝52.2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．知识探究一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0，方程没有实数根； (2)x ＝－b±b 2－4ac 2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式； (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程可能有两个不等的实数根，也可能有两个相等的实数根或没有实数根；(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字“Δ”表示，即Δ＝b 2－4ac.自学反馈用公式法解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0； (2)5x ＋2＝3x 2；(3)(x －2)(3x －5)＝0; (4)4x 2－3x ＋1＝0.活动1 小组讨论例1 在什么情况下，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？解：Δ＝b 2－4ac ，Δ>0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等实数根；Δ<0时，没有实数根．例2 写出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的求根公式：x ＝－b±b 2－4ac 2a． 例3 方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是(B )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根活动2 跟踪训练1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0； (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0； (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0; (6)x 2＋25x ＋10＝0.用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a ，b ，c 的值，再判断Δ的正负．活动3 课堂小结1．求根公式的概念及其推导过程．2．公式法的概念．3．应用公式法解一元二次方程．4．一元二次方程根的情况．【预习导学】自学反馈(1)x 1＝1＋62，x 2＝1－62.(2)x 1＝2，x 2＝－13.(3)x 1＝2，x 2＝53.(4)无解．【合作探究】活动2跟踪训练1．(1)有两个不相等的实数根．(2)有两个相等的实数根．(3)无实数根．(4)有两个不相等的实数根． 2.(1)x1＝3，x2＝－4.(2)x1＝2＋32，x2＝2－32.(3)x1＝1，x2＝－3.(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(5)x1＝0，x2＝－2.(6)无解．21．2.3因式分解法1．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程．2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．阅读教材第12至14页，完成预习内容．1．将下列各题因式分解：am＋bm＋cm＝________；a2－b2＝________；a2±2ab＋b2＝________.2．解下列方程：(1)2x2＋x＝0(用配方法)；(2)3x2＋6x＝0(用公式法)．知识探究仔细观察上面两个方程特征，除配方法或公式法，你能找到其他的解法吗？1．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做________．2．如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或________，即x＝－1或________．自学反馈1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0；(2)4x2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.活动1 小组讨论例1 用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0；(2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.解：(1)x 1＝0，x 2＝45. (2)x 1＝23，x 2＝－12. (3)x 1＝－5，x 2＝－2.解这里的(2)(3)题时，注意整体的思想．例2 用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6.(2)x 1＝43，x 2＝－2. (3)x 1＝12，x 2＝－12. (4)x 1＝x 2＝2.注意本例中的方程可以使用多种方法求解．活动2 跟踪训练1．用适当的方法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0； (2)x 2＋x －12＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)4x 2－x －9＝0.2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．活动3 课堂小结1．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为0； (2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积； (3)令每个因式分别为0，得两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．归纳解一元二次方程不同方法的优缺点．【预习导学】(a ＋b ＋c)m (a ＋b)(a －b) (a±b)2知识探究1．因式分解法 2.x －1＝0 x ＝1自学反馈1．(1)x 1＝0，x 2＝8.(2)x 1＝－13，x 2＝52. 2．(1)x 1＝0，x 2＝4.(2)x 1＝72，x 2＝－72.(3)x 1＝x 2＝2. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．(1)x 1＝0，x 2＝－1.(2)x 1＝－4，x 2＝3.(3)x 1＝x 2＝1.(4)x 1＝112，x 2＝－112.(5)x 1＝1＋1458，x 2＝1－1458. 2.设小圆形场地的半径为x m ．则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m .*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．理解并掌握根与系数关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 2．会用根的判别式及根与系数的关系解题．阅读教材第15至16页，完成预习内容．知识探究1．完成下列表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 x 2－5x ＋6＝0 2 3 5 6 x 2＋3x －10＝02－5－3－10问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律；(两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项) ②x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律． (x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q) 2．完成下列表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 2x 2－3x －2＝0 2 －12 32 －1 3x 2－4x ＋1＝01314313问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：①用语言叙述发现的规律；(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比) ②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律． (x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca)3．利用求根公式推导根与系数的关系：ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝________________，x 2＝________________． 则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________. 自学反馈根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积： (1)x 2－3x －1＝0； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0.活动1 小组讨论例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： (1)x 2－6x －15＝0； (2)3x 2＋7x －9＝0； (3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝－73，x 1x 2＝－3.(3)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.先将方程化为一般形式，找对a 、b 、c 的值．例2 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 解：另一根为32，k ＝3.本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；另一种是利用根与系数关系解答．例3 已知α，β是方程x 2－3x －5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值． (1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β. 解：(1)－35.(2)19.(3)29或－29.活动2 跟踪训练1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： (1)x 2－3x ＝15； (2)5x 2－1＝4x 2； (3)x 2－3x ＋2＝10； (4)4x 2－144＝0； (5)3x(x －1)＝2(x －1); (6)(2x －1)2＝(3－x)2. 2．两根均为负数的一元二次方程是( ) A ．7x 2－12x ＋5＝0 B ．6x 2－13x －5＝0 C ．4x 2＋21x ＋5＝0 D ．x 2＋15x －8＝0两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．活动3 课堂小结1．一元二次方程的根与系数的关系．2．一元二次方程的根与系数的关系成立的前提条件．【预习导学】 知识探究3.－b ＋b 2－4ac 2a －b －b 2－4ac 2a －b a c a自学反馈(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1.(2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52.(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.【合作探究】 活动2 跟踪训练1．(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－15.(2)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－1.(3)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.(4)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－36.(5)x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝23.(6)x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－83. 2.C。
九年级数学上册 第二十二章 一元二次方程 22.2 降次──解一元二次方程名师教案2 人教新课标版
——解一元二次方程（直接开平方法）教学目标知识目标：1、使学生理解直接开平方法的定义和基本思想；2、学会用直接开平方法解一元二次方程；3、知道：形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。
能力目标：1、培养学生基本的运算技巧和能力；2、培养学生的观察、比较、分析、综合等能力，会应用学过的知识去解决新的问题。
情感目标：鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心。
教学重点、难点、关键重点：用用直接开平方法解一元二次方程；难点：如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解；关键：理解直接开平方法的基本思想，懂得形如：（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。
教学方法1、采用创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学。
2、遵循因材施教，循序渐进原则，采用活动式教学模式及分层尝试教学模式组织教学。
3、利用多媒体辅助教学，直观地展示教学内容，有效地突出重点，突破难点，使学生多种感官共同参与到整个学习过程中，激发学生的学习兴趣，提供课堂效率。
教学环节教师活动学生活动出示问题：为了将第二届中国木制玩具节举办的更加隆重，主办单位特意邀请了孙楠、孙悦等数位歌星、影星来我县献艺。
为此，主办单位将在运动场搭建一个舞台，其中一个方案是：在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么请问这个舞台的各边边长将会是多少米呢？教师了解学生的解题方法，并总结出：1、积极思考，并解决问题。
2、在练习本上写下解题。
人教版-数学-九年级上册- 22.2.3降次-解一元二次方程 教案
教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标1. 掌握用因式分解法解一元二次方程．2. 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键1．重点：用因式分解法解一元二次方程．2．•难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、复习引入问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离开地面的高度（单位：m)为 .你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗（精确到0.01s)方程①的右边为0，左边可因式分解，得()10 4.90.x x -=()104.90.x x -=010 4.90,x x =-= 或 可以发现，上述解法中，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．二、探索新知一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法求解.这种用当因式分解解一元二次方程的方法称为因式分解法.例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，•另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0x1=0，x2=114（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=4例2.用因式分解法解方程:（1）x2-4=0; （2）(x+1)2-25=0.解：（1）(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0,或x-2=0.∴x1=-2, x2=2.（2）=0,∴x+6=0,或x-4=0.∴x1=-6, x2=4.这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解?三、巩固练习教材练习1、2．四、应用拓展例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x 而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．五、归纳小结本节课要掌握：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、•十字相乘法等解一元二次方程及其应用．（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．六、布置作业习题1,2题;。
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主备教师 学习目标 授课教师 授课班级 备课时间
1、 能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学 方法。 2、 会用配方法解数字系数的一元二次方程。
问题与情景 一、温故知新：
师生活动
设计意图
1、 填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。 （1）x2+ 6x+ （3）x2-12x+ (5)a2+2ab+ =(x+3)2 =(x=(a+ )2 )2 (2) x2+8x+ (4) x2- 5
2
=(x+ =(x-
)2 )2 =(a)2
x+
第一题为口答题，复 习完全平方公式，旨 在引出配方法，培养 学生探究的兴趣。
(6)a2-2ab+
2、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2 二、自主学习： 自学课本Ｐ31---P32 思考下列问题： 1、 仔细观察教材问题 2，所列出的方 程 x2+6x-16=0 利用直接开平方法能 解吗？ 2、 怎样解方程 x2+6x-16=0？看教材框 图，能理解框图中的每一步吗？ （同学之间可以交流、师生间也可 交流。） 3、 讨论：在框图中第二步为什么方程 两边加 9？加其它数行吗？ 4、 什么叫配方法？配方法的目的是什 么？ 5、 配方的关键是什么？ 三、例题学习： 例（教材 P33 例 1）解下列方程： (1)x -8x+1=0 (2)2x2+1=-3x
通过练习加深学生用 配方法解一元二次方 程的方法。
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。 1、理解配方法解方程的含义。 2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程， 3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。 4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
七、教学反思
（2）将方程化成一般形式并把二次项系数化成 1； （方程两边都除以二次项系数） （3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平 方。 （4）原方程变为(x+k)2=a 的形式。 （5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求 取方程的解。
四、课堂练习： 1、教材Ｐ34 练习 1（做在课本上，学生 口答） 2、教材Ｐ34 练习 2 五、布置作业 对于第二题根据时间可以分两组完成，学生板演， 教师点评。 1、教材 P42 习题 22.2 第 3 题
2
交流与点拨： 重点在第 2 个问题，可以互相交流框图中的 每一步，实际上也是第 3 个问题的讨论，教师这时 对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加 9 是配方 的关键，使之配成完全平方式。利用ａ
2
± 2ab+b2=(a± b)2。注意 9=（ 6 ）2，而 6 是方程一次 2
学生通过自学经历 思考、讨论、分析的 过程，最终形成把一 个一元二次方程配成 完全平方式形式来解 方程的思想
项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数 一半的平方，从而配成完全平方式。
交流与点拨： 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项，使方程左边只含有二次项和一次项， 右边为常数项。 牢牢把握通过配方将 原方程变为(x+k)2=a 的 形式方法。
(3) 3x2-6x+4=0 教师要选择例题书写解题过程，通过 例题的学习让学生仔细体会用配方法解 方程的一般步骤。