数学奥赛辅导-高斯函数

数学奥赛辅导高斯函数知识、方法、技能这一讲介绍重要的数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][ba nb na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][；特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.（8）]][[][nx n x=，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略.（8）令Z m m nx ∈=,][，则1+≤≤m nxm ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]][[,1][m nx m n x m =+<≤故证毕.取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.定理一：*∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][nx 个是n 的倍数.【证明】因n n xx n n x n x n x nx ⋅+<≤⋅+<≤)1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这nx ][个：.][,,2,n nxn n ⋅定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是.][][][)!(32 +++=pnp n p n n p【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][p n个p 的倍数，有][2pn个p 2的倍数，…，所以.][][)!(2 ++=pnp n n p 此定理说明：M p n n p ⋅=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于]72000[]72000[)!2000(72+= +…=285+40+5=330，则2000！=7330·M ，其中7 M .定理三：（厄米特恒等式）][]1[]2[]1[][,,nx nn x n x n x x N n R x =-+++++++∈∈ 则 【证法1】引入辅助函数].1[]2[]2[]1[][][)(n n x n n x n x n x x nx x f -+--+--+-+--= 因=+)1(nx f …)(x f =对一切R x ∈成立，所以)(x f 是一个以n 1为周期的周期函数，而当]1,0[nx ∈时，直接计算知0)(=x f ，故任意R x ∈，厄米特恒等式成立.【证法2】等式等价于}].{[][]1}[{]1}[{}][{][x n x n nn x n x x x n +=-++++++ 消去][x n 后得到与原等式一样的等式，只不过是对)1,0[∈x ，则一定存在一个k 使得n k x n k <≤-1，即k nx k <≤-)1(，故原式右端.1][-==k nx 另一方面，由nkx n k <≤-1知，n n k x n n k n i k x n i k n k n x n k n k n x n k 12,,1,,221,11-+<≤-+++<≤++<+≤++<+≤ ，在这批不等式的右端总有一个等于1，设k n t n t k -==+即,1. 这时，==+= ]1[][nx x 0][=-+n k n x ，而1]1[]1[=-+==+-+n n x n k n x ，因此原式的左端是1-k 个1之和，即左端.1-=k 故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整”，把对任意实数的问题转化为)1,0[的问题；第二步对)1,0[分段讨论.高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理. 定理四：设函数],[)(b a x f y 在=上连续而且非负，那么和式∑≤<bt a b a t t f ],[)](([为内的整数）表示平面区域)(0,x f y b x a ≤<≤<内的格点个数.特别地，有（1）位于三角形：d x c b ax y ≤<>+=,0内的格点个数等于∑≤<+dx c x b ax 且]([为整数）；（2）1),(=q p ，矩形域]2,0;2,0[pq 内的格点数等于.2121][][2/02/0∑∑<<<<-⋅-=+q x p y q p y p q x q p （3）0>r ，圆域222r y x ≤+内的格点个数等于∑≤<--++2/0222]2[4][8][41r x r x r r .（4）0>n ，区域：n xy y x ≤>>,0,0内的格点个数等于∑<<-nx n x n 02][][2. 这些结论通过画图即可得到.赛题精讲例1：求证：,2!211--=⇔k n n n 其中k 为某一自然数.（1985年第17届加拿大数学竞赛试题） [证明]2为质数，n!中含2的方次数为∑∞==1].2[)!(2t t n n 若∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n -反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是 ≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++由于12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s ts n n n p 则的方次数中含故则n !.这与已知矛盾，故必要性得证.例2：对任意的∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和 （第10届IMO 试题）【解】因]212[]22[11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此，].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k nn n又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而例3：计算和式.]503305[502的值∑==n nS （1986年东北三省数学竞赛试题）【解】显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n]+.304]503)503(305[=-n 故∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S例4：设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？ （1982年瑞典数学竞赛试题）【解】显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数..1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x例5：求方程.051][4042的实数解=+-x x （第36届美国数学竞赛题） 【解】.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或 .2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得经检验知，这四个值都是原方程的解. 例6：.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明 （第10届美国数学竞赛试题）这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令 由于.,1],[1命题成立时则==n x A.,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k例7：对自然数n 及一切自然数x ，求证：)].([]1[]2[]1[][苏联数学竞赛题nx nn x n x n x x =-+++++++【证明】则},{][x x x +=]1[]2[]1[][nn x n x n x x -+++++++].[]1[]2[]1[][}].{[]1}[{]2}[{]1}[{}][{.}]{[.1}{,}{11}{1}{.]1}[{]}[{]1}[{]2}[{]1}[{}][{,11}{,1}{,1,.}]{[]1}[{]2}[{]1}[{}][{}],{[][}]{][[][].1}[{]2}[{]1}[{}][{][],1}[{][]2}[{][]1}[{][}][{][]1}{][[]2}{][[]1}{][[}]{][[nx n n x n x n x x x n nn x n x n x x k n x n k n x n k n x n nk x n k x k n n n x n k x n k x n x n x x nk x n k x n k k x n nn x n x n x x x n x n x n x n nx nn x n x n x x x n n n x x n x x n x x x x n n x x n x x n x x x x =-+++++++=-+++++++-=+-<-≥<-+≥+-=-+++++-+++++++<-+≥+≤≤=-++++++++=+=-++++++++=-+++++++++++=-+++++++++++= 从而有知故知且知及由则而使设存在即可故只要证明例8：求出]31010[10020000+的个位数字.（第47届美国普特南数学竞赛试题） 【解】先找出3101010020000+的整数部分与分数部分.3101010020000+=31033103)10(100200100200200100+++-.3108110310910310310]31010[,131093103.310310,3)10(|310310|3)10(,)3(])10[(3)10(1005020000100100200001002002000100200001001001002001002002000022100100200200002210010021002100200200100+-=+-=+-=+<+=++--+---=-知显然是整数知又知其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.。