江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧
一次方程组的解法
浅谈一次方程组的解法这些一次方程的解法是我在教学中总结出来的一些方法，一、代入消元法变形代入例1 解方程组 x=y+2 ○12x+3y=9 ○2分析：○1中的x的系数的值较为简单，可直接将○1代入○2，也可以将○1变形后代入○2解：将○1代入○2，得2（y+2）+3y=9解得 y=1将y=1代入○1中得，x=3所以原方程组的解为 x=3y=1整体代入当方程组中有一个整体是相同时，可整体代入解方程组 2(x-3)=16-3(y+2) ○14(x-3)=7（y-1）+1 ○2分析：○1、○2式中都含有整式2（x-3）,所以可以把其当作一个整体代入○2式，可很方便的求解解：把○1式代入○2式，得：2×｛16-3(y+2)｝=7（y-1）+1解得： y=2把y=2代入○1式中，解得：x=5所以原方程组的解是： x=5y=2二、加减消元法1.相同的未知数的系数相同或相反时，直接用两式相减或相加可方便解题。
例3 解方程组 2x+2y=10 ○12x-3y=5 ○2分析：未知数x的系数相同，直接用两式相减，可很快求解解：○1- ○2，得：5y=5y=1把y=1代入○1式，得：2x+2=10x=4所以原方程组的解是： x=4y=12.相同的未知数的系数不同的时候，把两式各乘以一个常数，使其相同或相反，一般找其系数绝对值的最小公倍数，然后再进行相加或相减。
例4 解方程组 2x+3y=10 ○13x+2y=15 ○2解：○1×3- ○2×2，得：5y=0y=0把y=0代入○1中，得：2x+0=10x=5所以原方程组的解是： x=5y=03.当常数项相同或相反时的相减或相加例5 解方程组 x+y=20 ○12x+5y=-20 ○2解：○1+○2，得：3x+6y=0x=-2y ○3把x=-2y代入○1式，得：y=-20把y=-20代入○3式，得：x=40所以原方程组的解是： x=40y=-204.再次组合相加法在方程组中，两个未知数的系数的和或差的绝对值相等时，可直接相加、相减，得到一个新的方程（组）后，在与原方程组中简单的一个方程联立方程组，这样就得到一个较简单的方程组，从而可以方便求解。
江苏省金湖县实验中学中考数学复习教案：一次函数的图
一次函数的图象与性质教学过程：一、复习准备1．下列函数，哪些是一次函数？正比例函数？(1)y=0.5x (2)y=-0.5x (3)y=2x+1 (4)y=2x-12．由前面学过的作函数图象知道，一次函数与正比例函数图象有一个共同的特征，这个特征是什么？（答：都是一条直线）二、引入课题既然一次函数与正比例函数图象都是一条直线，我们能否打出一种画一次函数与正比例函数图象的简便方法？一次函数与正比例函数的图象又有哪些性质？这便是本节课要探讨的问题。
（板书课题：13.5一次函数的图象与性质）三、一次函数与正比例函数图象的画法1．在坐标系1（如图1）中画出函数y=0.5x、y=-0.5x的图象；在坐标系2（如图2）中画出函数y=2x+1、y=2x-1的图象。
（教师示范y=0.5x、y=2x+1的图象画法，其余由学生完成）2．画图需要注意的问题(1)画函数y=kx(k≠0)的图象时，通常选取(0，0)和(1，k)两点；画函数y=kx+b(k≠0)的图象时，通常选取(0，b)和(- ，0)两点；(2)选取两点时应以简单为原则。
有时为了使所取的点的纵、横坐标都是整数，也可作适当的变通。
如画函数y=0.5x的图象时，可取(0，0)和(2，1)两点。
3．【练习一】（出示投影片1）(1)正比例函数的图象一定经过点（，）。
(2) 一次函数y=4x-3的图象经过点（0，）和点（，0）(3)一次函数y=-3x+6的图象与x轴的交点坐标是（，）、与y轴的交点坐标是（，）。
(4)课本P109 练习第1题。
四．一次函数与正比例函数图象的性质1．运用电脑软件lyd.gsp和正比例函数的解析式，通过观察、引导学生总结出正比例函数y=kx的性质。
(1)当k > 0时，y随x的增大而增大；(2)当k < 0时，y随x的增大而减小。
2．运用电脑软件lyd.gsp和一次函数的解析式，通过观察、引导学生总结出正比例函数y=kx+b的性质。
高中数学解题技巧之一元一次方程
高中数学解题技巧之一元一次方程一元一次方程是高中数学中最基础的内容之一，也是解题的基本方法之一。
在高中数学的学习过程中，我们会遇到很多与一元一次方程相关的问题，因此掌握一元一次方程的解题技巧对于我们的数学学习非常重要。
本文将介绍一些解一元一次方程的常用技巧，并通过具体的例子进行说明。
一、基本概念和性质首先，我们来回顾一下一元一次方程的基本概念和性质。
一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程就是求出使方程成立的未知数的值。
在解一元一次方程的过程中，我们需要注意以下几个性质：1. 两边加减相同的数，方程仍然成立。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以将方程两边都减去3，得到2x = 4。
2. 两边乘除相同的非零数，方程仍然成立。
例如，对于方程2x = 4，我们可以将方程两边都除以2，得到x = 2。
3. 如果方程两边都乘以一个含有未知数的表达式，方程仍然成立，但需要注意可能会引入新的解。
例如，对于方程2x = 4，我们将方程两边都乘以x，得到2x^2 = 4x。
这个方程除了原来的解x = 2外，还有一个新的解x = 0。
二、解题技巧接下来，我们将介绍一些解一元一次方程的常用技巧。
1. 移项法移项法是解一元一次方程最常用的方法之一。
当方程中含有未知数的项和常数项时，我们可以通过移项来求解。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以将常数项3移到方程的右边，得到2x = 7 - 3，即2x = 4。
然后，我们再将方程两边都除以2，得到x = 2。
2. 消元法消元法是解一元一次方程的另一种常用方法。
当方程中含有未知数的项和未知数的系数相同的项时，我们可以通过消元来求解。
例如，对于方程2x + 3 = 3x + 1，我们可以将未知数的系数相同的项移动到方程的同一侧，得到2x - 3x = 1 - 3，即-x = -2。
江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导线性递归数列
4、常见类型： 类型Ⅰ： an 1 p(n)a n q(n) ( p( n) 0) （一阶递归） a1 a ( a为常数） 其特例为：（ 1） a n 1 pan q ( p 0) （ 2） a n 1 pan q( n) ( p 0)
（ 3） a n 1 p(n)an q ( p 0)
解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
{ a n}
满足
2
an
a n a n 1 ，证明 a n
1 （ n 2 ， 3 ， 4 ，…）
n2
【练习】
1、已知数列 { an } 满足以下递归关系，求 a n 。（ 1） a1 1 ， a n 1 5an 12 （ n N ）
（ 2） a1 1 ， an 1 2an n 1 （ n N ） （ 3） a1 2 ， an 1
an 2 pa n 1 qa n ( p 0, q 0)
类型Ⅱ：
（二阶递归）
a1 a , a 2 b( a , b为常数）
解题方法：利用特征方程
x 2 px q ，求其根
、
，构造 an
n
A
B n ，代入初始值求得
A, B 。
类型Ⅲ： an 1 f (an ) 其中函数 f ( x) 为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
【例题】 例 1、已知数列 { a n} 满足以下递归关系
an 1 3a n 4 ，求通项 a n 。
a1 1
an 1 2an (2n 1)
例 2、已知数列 { a n} 满足
，求通项 a n 。
a1 2
a n 1 na n 2 ( n 2)
一次方程组的解法
一次方程组的解法
引言：
求解一元二次方程组是很多初学者在学习数学中遇到的普遍问题。
一元二次方程组是一个
也可以说是两个一元二次方程所组成的系统所构成的方程组。
求解一元二次方程组可以采
用两种不同的方法。
主体：
首先，解一元二次方程组可以采用两个方法：
第一种方法是用乘法分配系数法。
令所有变量中的一个变量等于一个定值，然后利用给定
的数值将所有的变量从左到右替换，从而可以得到方程组中另一个变量的值，最终可以求
得方程组的解。
第二种方法是用消元法。
这种方法是首先把一元二次方程组写成矩阵形式进行处理，然后
根据矩阵的推导规则将同一行中的各项都化为同一个非零的系数，最后根据对应位置的数值将各行的系数相减，就可以得到方程组的解。
结论：
总而言之，上述是求解一元二次方程组的两种常用方法，它们都是用系数来简化求解问题，可以帮助初学者更快更准确地求解方程组。
一次方程组的妙解技法
一次方程组的解法技巧解一次方程组的基本思想是消元，化三元为二元、化二元为一元，最终求出各未知数的值，常用的基本方法是代入法和加减法。
因为方程的形式是多种多样的，所以在解方程中要认真观察、分析方程组中每个方程的结构特征，即方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系，灵活运用消元的思想，找到最简便的解题方法，从不同角度巧妙求解.下面介绍几种常见的解题策略，仅供参考.一、基本法：例1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，①3x ＋y ＝2.② 1.代入消元法（简称代入法）：思路方法：由选方程组中的未知数系数简单一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程达到消元，进而求解．解：由①得：x ＝2y+3 ③将③代入②，得3⨯（2y+3）＋y ＝2.解得y ＝-1.将y ＝-1代入①，得x ＝1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.2.加减消元法（简称加减法）：思路方法：把方程组中两个方程的同一个未知数的系数化为相等（或相反数），通过两个方程相减（或相加），从而消去一个未知数，化为一元一次方程而求解．解：由①＋②×2，得7x ＝7.解得x ＝1.将x ＝1代入①，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 练习：解方程组（1）⎩⎨⎧==7-92-3y x y x 答案：⎩⎨⎧==12-5-y x （2）⎩⎨⎧==+65-41432y x y x 答案：⎩⎨⎧==24y x 二、整体法1.整体代入法例1.解方程组⎩⎨⎧=-=-12524-3y x y x x ）（ 思路分析：把x-2y 看成一个整体，将②代入①即可达到消元的目的．解：把②代入①，得：3x-4⨯1=5，解得：x=3．把x=3代入②，得：3-2y=1，解得：y=1．∴原方程组的解是⎩⎨⎧==13y x . ① ②练习：解方程组⎩⎨⎧=-+=-y x y x 22019333201932）（ 答案：⎩⎨⎧==3675y x 2.整体加减法（轮换对称式的方程组）例2.解方程组 2018x+2019y=2020 ①2019x+2018y ＝2017 ②思路分析：观察方程①、②中x 、y 的系数互调及常数和，发现规律由①+②可求出x+y 的值，然后再整体代入方程中可求解.也可以通过两次加减将原方程组化为简单方程组求解。
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧一、利用同类项的定义构造：例1：已知m n m n b a --319991和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造：例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则n m 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造：例3：若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5213by ax y ax 的解，求b a 、的值.四、利用相反数的性质构造：例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a五、利用非负数性质构造：例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=yx 六、利用多项式恒等性质构造：例6：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造：例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a八、取特殊值构造：例8：设b ax x x ++-232除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a九、弱化某些未知数构造：例9：若,073,0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造：例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算.已知：,2874,1553=*=*那么.________11=*。
高中数学竞赛培优讲解教案
高中数学竞赛培优讲解教案
主题: 多元一次方程组
目标: 学生能够有效地解决多元一次方程组问题
教学内容:
1. 多元一次方程组的概念及解法
2. 利用消元法和代入法解决多元一次方程组问题
教学过程:
1. 引入多元一次方程组的概念，让学生了解多元方程组是由多个未知数和多个方程组成的数学问题。
2. 着重介绍消元法的应用，通过例题演示如何通过消元法将方程组简化为只含有一个未知数的方程。
3. 继续介绍代入法的应用，通过例题演示如何通过代入法将多元一次方程组化简为只含有一个未知数的方程。
4. 给学生机会练习解决实际问题中的多元一次方程组，鼓励他们尝试不同的解题方法。
5. 总结本节课的内容，强调消元法和代入法在解决多元一次方程组问题中的重要性。
教学资源: 教科书、练习册、白板、彩色粉笔
评估方式: 在课堂上布置练习题，考察学生对多元一次方程组的理解和解题能力。
延伸拓展: 学生可通过参加数学竞赛题目的练习来加深对多元一次方程组的理解，并提高解题能力。
教学反思: 在授课过程中应注重引导学生灵活运用消元法和代入法，培养他们的解决问题的能力。
同时，鼓励学生多练习多元一次方程组的题目，提高解题效率和准确性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
- 1 - 一、利用同类项的定义构造：
例1：已知m n m n b a --31999
1和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造： 例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则n
m 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造：
例3：若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5
213by ax y ax 的解，求b a 、的值.
四、利用相反数的性质构造： 例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a
五、利用非负数性质构造：
例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=y
x 六、利用多项式恒等性质构造：
例6：已知多项式682322
2-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1
123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造：
例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a
八、取特殊值构造：
例8：设b ax x x ++-2
32除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a
九、弱化某些未知数构造：
例9：若,073,
0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造：
例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算.
已知：,2874,
1553=*=*那么.________11=*。