机械波

x y 0.02 cos 200 t 0.02 cos 5x 40
t = 0→0.0025(s)，波向 x 轴正方向前进的距离为
1 x u t 40 0.0025 0.1m 4 y
O
0.1 0.2 0.3 0.4
xm
练习：如图，一平面简谐波在介质中以速度 u 20m s 1 沿正x
x y A cos t u
x y 0.02 cos 200 t 40 所以得此波沿 x 正方向传播，且有
A 0.02m， 0.4m, 100Hz T 0.01s， u 40m s 1
（2）波形图：先求 t = 0 时刻波函数并画波形图
§6.1 机械波的产生、传播与描述 一、机械波的产生条件 （1）波源 （2）传播机械振动的弹性介质
振动: 于平衡位置附近振动，不随波逐流
波动: 波形、能量、振动状态、位相的传播
各质点离开平衡位置会受到弹性力作用。波 源发生振动后，由于弹性力作用，会带动邻近 的质点以同样频率振动，就把振动传播出去。 故机械振动只能在弹性介质中传播。
A 0.2m 2m T 0.2s p 2
u T 10m / s
原点初相:
波函数：
3 2
x x 3 y A cos (t ) 0.2 cos 10 (t ) m u 10 2
因时间变化 T/2 （0 ~ 2秒）
o
x
0
t=0s

3 2
t=2s
故位相变化 （ 0~ 3 /2）
0 2
y 0.5 cos t x y0 0.5 cos t 2 0.5 2 2 2
轴方向传播，已知A点的振动表达式为 y 3 cos4 t (SI)，试 求: （1）以A点为坐标原点写出波函数；
（2）以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波函数。
解：A 点的振动方程为
y y
y A振 3 cos 4t
（1）以 A 为原点的波函数为
B
u
A x
x x y 3 cos 4 t 3 cos 4 t u 20
0.01cos t
§6.3
先求t=0时刻的波形图，再重复上面方法
x x0 y A cos t u

为x0处的位相
例：一平面余弦横波在弦上传播，其波动表达式为
y 0.02 cos 5x 200t
式中 x，y 以（m）计，t 以（s）计。 （1）求其振幅、波长、频率、周期和波速。 （2）画出 t = 0 s和0.0025 s 各时刻弦上的波4波长

例：沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2时的波形曲 线如图，波速u=0.5m/s，求原点O的振动表达式、 波函数。（用两种方法求解） y u t=2 解法一（画波形曲线法） 0.5
T
2m u 0.5m / s 2
u 0.5 4s
o
1
2
x
x y 0.5 cos t 2 0.5 2 2
y
x0
p
x
（2）由所给的条件写出坐标原点的振动方程
（3）根据波传播的方向确定波动表达式中“+”、“-”号
x x0 y x, t A cos (t ) u
说明： 1) “”反映波的传播方向； 2) x0 是波源坐标； 3) 是波源的振动初相位。
二、波函数物理意义：
1 T
波的周期和频率由波源决定与媒质无关
波速：振动状态（或相位）的传播速度
u

T

（1）注意区分振动速度与波动速度 （2）波速由弹性媒质性质决定。取决于： 媒 质的弹性（弹性模量）和惯性（密度）。
媒质、波源

u
媒质 波源

§6.2 平面简谐波的波函数 一、平面简谐波函数 简谐波 波线上每点作同频率同振幅简谐运动 平面波 波面是平面 已知： 求：
x y x, t A cos (t ) u
(1) 当 x = x 0 (常数) 时，表示x0处质元的振动方程
x0 y (t ) A cos t u
(2) 当 t = t0 (常数) 时，表示各质元的位移分布函数
3、比较标准波动表达式得到： A,
,
u,
等
y a sin( bx ct d )
x y A cos t u
4、从波形图建立波动表达式
（1）已知t=0时刻的波形图 原点的振动表式 波动表达式
（2）已知任意时刻（t = t0 ）的波形图
t=0 沿着传播方向 位相依次落后
T 4
T 2


0
2

x
3T 4

2

T
2 2 4

二、两种类型的机械波——横波 纵波
横波：质点振动方向和波传播方向垂直 波形特征：存在波峰和波谷
4-30
疏密波
纵波：质点的振动方向和波动的传播方向相平行
波形特征：存在相间的稀疏和稠密区域。
（2） y 3 cos 4 t

x 5 3 cos 4t x u 5
例：如图所示为一平面简谐波在t =0时刻的波形图， 设此简谐波的频率为25Hz，且此时质点P的运动方 向向下，求 y /cm （1）波的传播方向及传播速度u； u P 1 （2）原点的振动表达式； （3）该波的波函数。 O 10 x /m 解（1）沿x轴负向传播

P点振动表达式：
2x y A cos t
——波动表达式
yO A cos t
振动传到坐标为x的任意点P点， P点的振动比 O 点落后一段时间 x
t
u
x点，t 时刻振动状态与O点（t - x/u）时相同
P点振动表达式：
x y A cos t u
可知 t=0的波形比2秒的波形倒退/2 y
o
t=0
y0 0.5 cos t u 2 2 2 x x y 0.5 cos t 2 0.5 2
解法二（旋转矢量法）
0.5
y 1 2
y
u t=2
T 4s t 2s 3 2

x
x
y x v A sin t t u 2 y x 2 a 2 A cos t t u
一般计算类型: 1、从振动表式 波动表达式 （1）已知坐标原点的振动表式 （2）已知非坐标原点的振动表式（如 x0 点）， 一般通过坐标变换求得 x x - x0 2、从波动表达式 振动表式
——波动表达式
平面简谐波的波函数：
x y x, t A cos (t ) u
落后的时间
2 2 T
u T
落后的位相
x y x, t A cos t 2
波沿x负方向传播：
(D) y 10 cosπt x 10 πcm
解：据题意 20m u 10m s -1 y (cm) u 10
B
u
2

2
20

10 0 -10 10 x (m) 20 · P
设波函数为
x y 10 cos t 10 2 T T 2 t 0.5 4
y(cm) 0 原点振动： 由图： 波函数： A 1 2 3
u 4 5 6 x(cm)
yo A cos( t )

A点振动表达式：
yo 0.01cos( t ) 2 2 x y 0.01cos[ ( t ) ] 0.02 2

0.01 y A 0.01cos[ ( t ) ] 0.02 2
u 20 25 500m s
（2） 2 50 s 1
1

2
y0 0.01cos(50t ) (SI) 2 x （3）波函数 y 0.01cos[50 (t ) ] (SI) 500 2

例：如图为一平面简谐波在t=0时的波形曲线，波 线上x=1m处P点的振动曲线如图所示，求波函数。 y(m) u y(m) 0.2 0.2 P o 1 2 x(m) o 0.1 0.2 t(s) 解：由波形曲线 由P点振动曲线
y0 A cos t
yP yx，t
o
y
u p
x
x
波函数：描述任意时刻各质点的振动状态
yo A cost
从位相角度看： P点位相落后：
2x
P点与O点同A、 t 时刻 O点位相 t 2x P点位相 t
例:已知 t=0时的波形曲线为Ⅰ，波沿x正向传播，经 t=1/2s后波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期T>1s，试据图 中条件求（1）波的表达式（2）A点振动表式。
解： y(cm) 1 Ⅰ A
u Ⅱ
2 3 4 5 6 x(cm)
A 0.01m
0
1
0.04m
x1 xo 0.01 1 波速： u 0.02m s t 12 2 0.04 1 s T 2s T u 0.02
例：已知t=0.5s 时的波形如图所示，波速的大小u =10m· s-1， 若此时P点处介质元的振动动能在逐渐增大，则波函数为：