第4章-机械波2

λ
2
k = −1 ,
2π
λ 2 4 2π π λ k =0 , x= , x0 = λ 2 4 2π 3π 3λ k =1 , x= , x1 = λ 2 4
x=−
π
4
, x−1 = −
λ
x−1 → x0 ,
2π
λ
x: −
π
2
→
π
2
cos
2π
驻波方程： y = 2A cos
2π
x0 → x1 ,
2π
y2 = 0.10cos[2π (10 t + x) + 0.75π ] (SI ) y2 = 0.10cos[2π (10 t + x) −π / 2] (SI )
(D) y1 = 0.10cos[2π (10 t − x) + 0.75π ]
α+β
2
y2 = 0.10cos[2π (10 t + x) + 0.75π ] (SI )
ϕ2
[ϕ2 −
2π
λ
(d − x1)] −[ϕ1 −
2π
λ
x1] = (2k +1)π
S1 o x2点的振动位相差： 点的振动位相差：
x1 x2 d
S2 x
[ϕ2 −
2π
λ
(d − x2 )] −[ϕ1 −
2π
（2）-（1） ）（ ）
4π
λ
x2 ] = (2k + 3)π
λ = 2(x2 − x1) = 2(12 −9) = 6m
两端固定的弦上形成驻波的条件： 两端固定的弦上形成驻波的条件：
等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。 只有当弦线长度 l 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。
l =n
驻波与行波 （1）振幅 ）
λn
2
行波：弦线上每个质点都以相同的振幅振动； 行波：弦线上每个质点都以相同的振幅振动； 驻波：不同质点的振幅不相同， 驻波：不同质点的振幅不相同，质点的振幅随质点 的位置x而改变 而改变。 的位置 而改变。
t x 反向波 y2 = 2.0×10 cos[2π ( + ) +ϕ] 0.02 20
−2
1 2x π 1 4π t π y = y1 + y2 = 4.0×10 cos[ ( +ϕ − )]cos[ ( +ϕ + )] 2 20 3 2 0.02 3
−2
1 2x π 1 4π t π y = y1 + y2 = 4.0×10 cos[ ( +ϕ − )]cos[ ( +ϕ + )] 2 20 3 2 0.02 3
λ
x:
π
2
→
λ 3π
2
x cos cos
λ 2π
x >0
T 2π
t x<0
驻波方程： y = −2A cos
2π
λ T 2π 2π = 2A cos x cos( t +π ) λ T
x cos
λ 2π
t
结论：两相邻波节之间的各点振动相位相同， 结论：两相邻波节之间的各点振动相位相同，在一 个波节的两侧（相邻两段）的各振动点反相位。 个波节的两侧（相邻两段）的各振动点反相位。
I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos∆ϕ
A sin( ϕ1 − 1
2π r 1
) + A2 sin( ϕ2 −
2π r2
)
加强 ± 2kπ ∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 − 2π ( )= λ ± (2k +1)π 减弱
r2 − r 1
若初相位相等
ϕ1 = ϕ2
r2 − r 1
δ 2π = ±(2k +1)π λ
P点的合振动表达式： 点的合振动表达式： 点的合振动表达式
2π r 1
)
yP = y1P + y2P = Acos(ωt + ϕ)
A = A + A + 2A A2 cos[ϕ2 −ϕ1 − 1
2 1 2 2
2π
λ
(r2 − r )] 1
tgϕ =
λ λ 2π r 2π r2 1 A cos(ϕ1 − ) + A2 sin( ϕ2 − ) 1 λ λ
−2
因为x 因为 = 0处为波节 处为波节
1 π π (ϕ − ) = 2 3 2
−2
4π →ϕ = 3
t x 4π + )+ ] y2 = 2.0×10 cos[2π ( 0.02 20 3
例11 若 例 ： 在弦 上 驻 线 的 波表 式 y = 0.20sin 2π x cos 20π t (SI ) 达 是
波源振动表达式： 波源振动表达式：
S1 : y1 = A cos(ω t +ϕ1) 10
S2 : y2 = A20 cos(ω t +ϕ2 )
P点振动表达式： 点振动表达式： 点振动表达式
S1 S2
r 1 r2
P
y1 = A cos(ω t +ϕ1 − 1
λ 2π r2 y2 = A2 cos(ω t +ϕ2 − ) λ
λ/4 P S1 S2
（D）3π/2 ）
δ=
λ λ
4 + 4
=
λ
2
KEY：B
4-8-3 驻波和半波损失
驻波的波形特点：
波节
λ2
波幅
λ
1. 没有波形的推进，也没有能量的传播，参与波 没有波形的推进，也没有能量的传播， 动的各个质点处于稳定的振动状态。 动的各个质点处于稳定的振动状态。 2. 各振动质点的振幅各不相同，但却保持不变， 各振动质点的振幅各不相同，但却保持不变， 有些点振幅始终最大，有些点振幅始终为零。 有些点振幅始终最大，有些点振幅始终为零。
由（1）式 ）
λ
(x2 − x1) = 2π
ϕ2 −ϕ1 = (2k +1)π +
2π
λ
(d − 2x1)] = (2k + 5)π
K = -2，-3时位相差最小 ， 时位相差最小
ϕ2 −ϕ1 = ±π
两相干波源S 相距λ/4，（λ为波长）， λ/4，（ 例9. 两相干波源S1和S2相距λ/4，（λ为波长）， 的位相比S 的相位超前π/2 π/2， 的连线上， S1的位相比S2的相位超前π/2，在S1，S2的连线上， 的外侧各点（例如P S1的外侧各点（例如P点）两波引起的两谐振动的 位相差： 位相差： （A）0 ） （B）π ） （C）π/2 ）
则 成 驻波 二 反向 行 行 形 该 的 个 进 的 波为 ：
( A) y1 = 0.10cos[2π (10 t − x) +π / 2] y2 = 0.10cos[2π (10 t + x) +π / 2] (SI )
(B) y1 = 0.10cos[2π (10 t − x) − 0.25π ] (C) y1 = 0.10cos[2π (10 t − x) +π / 2]
§4-8 波的干涉和波的衍射
4-8-1 波的叠加原理
波传播的独立性：
当几列波在空间某相遇后， 当几列波在空间某相遇后，各列波仍将保持其原 有的频率、波长、振动方向等特征继续沿原来的 有的频率、波长、 传播方向前进 。
波的叠加原理 ：
各列波在相遇区域内， 各列ห้องสมุดไป่ตู้在相遇区域内，任 一质元的振动是各列波单 独存在时对该质元所引起 振动的合振动。 振动的合振动。 波传播时的独立性叠加原理
2π y = 2Acos x cos t λ T
2π
2π y = 2Acos x cos t λ T
讨论：1、 2Acos
2π
2π
λ
x 为坐标为 质点的振幅 为坐标为x
结论： 参与波动的每个点振幅恒定不变，不同 参与波动的每个点振幅恒定不变， 质元的振幅不同。 质元的振幅不同。 2、 、
2π
λ
（2）能量 ） 行波：能量随波传播出去； 行波：能量随波传播出去； 驻波：能量不能流过弦线上的节点， 驻波：能量不能流过弦线上的节点，节点是静止 不动的， 常驻状态” 不动的，呈“常驻状态”， 它只在振动动能和弹性势能之间交替变换。 它只在振动动能和弹性势能之间交替变换。 （3）驻波的实质 ） 驻波的实质是一种特殊形式的简谐振动。 驻波的实质是一种特殊形式的简谐振动。 我们把驻波叫做波动的理由在于这个运动可 以看作为沿相反方向行进的二个波的迭加， 以看作为沿相反方向行进的二个波的迭加，结果 使弦线上各个质点都以相同的角频率和因位置而 异的振幅做简谐振动。 异的振幅做简谐振动。
子波波源 波前
4-8-2波的干涉
干涉：两列波在空间相遇（叠加），以至在空间的 干涉：两列波在空间相遇（叠加），以至在空间的 ）， 某些地方振动始终加强， 某些地方振动始终加强，而在空间的另一些地方振 动始终减弱或完全消失的现象。 动始终减弱或完全消失的现象。 干涉条件： 两列波的频率相同， 两列波的频率相同， 振动方向相同， 振动方向相同，有恒定的 位相差。 位相差。 相干波： 能产生干涉现象的波。 能产生干涉现象的波。
驻波演示实验
驻波产生的条件：
两列振幅相同的相干波沿相反方向传播叠加而成。 两列振幅相同的相干波沿相反方向传播叠加而成。
t x y1 = Acos 2π ( − ) T λ t x y1 = Acos 2π ( + ) T λ t x t x y = y1 + y2 = Acos 2π ( − ) + Acos 2π ( + ) T λ T λ 驻波方程：
x = kπ