[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 单元评估检测2 第2章 函
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第4章 平面向量、数系的扩
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第一节平面向量的概念及线性运算[考纲传真] (教师用书独具)1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．(对应学生用书第69页)[基础知识填充]1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与a 共线．[知识拓展]1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( ) (2)BA →＝OA →－OB →.( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)已知a ，b 是两个非零向量，当a ，b 共线时，一定有b ＝λa (λ为常数)，反之也成立．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形B [AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形．又|AB →|＝|BC →|，则四边形ABCD 为菱形，故选B ．]3．D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →A [如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.]4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．b －a －a －b [如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .]5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.－13[由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.](对应学生用书第70页)给出下列四个命题：【导学号：79140145】①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④ A [①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A ．] 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性2共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量动混为一谈4非零向量[跟踪训练0①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0； ③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.](1)(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →(2)已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．(1)A (2)－2 [(1)AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A ．(2)因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →，又PA →＋BP →＋CP →＝0， 所以PA →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →，与AP →＝λPD →比较，得λ＝－2.] 平面向量的线性运算方法①不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解②含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路①没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式3选取基向量，向量之间的相互表示，重视平行四边形法则4|a [跟踪训练的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A ．OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →(2)(2017·河南三市联考)在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则xy＝________.【导学号：79140146】(1)D (2)3 [因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.(2)由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.]设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 1证明向量共线：对于向量2证明三点共线：若存在实数3求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组求参数的值易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点[跟踪训练] (1)已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(1)B (2)C [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(2)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1，故选C ．]。
2019年高考数学一轮复习学案 训练 课件(北师大版理科) 第2章 函数、导数及其应用 第1节 函数及其表示学案
第一节函数及其表示[考纲传真] (教师用书独具).了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．函数与映射的概念.()函数的定义域、值域：数集叫作函数的定义域；函数值的集合{()∈}叫作函数的值域．()函数的三要素：定义域、对应关系和值域．()相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．()函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．．分段函数是高考必考内容，常考查()求最值；()求分段函数单调性；()分段函数解析式；()利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()函数是特殊的映射．( )()函数＝与＝是同一个函数．( )()与轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( )()分段函数是两个或多个函数．( )[答案]()√()×()√()×．(教材改编)函数＝＋的定义域为( )．(－∞，)∪(，＋∞)∪(，＋∞)．(，＋∞)[由题意知(\\(－≥，－≠，))解得≥且≠.]．如图所示，所给图像是函数图像的有( )图．个．个．个．个[()中，当＞时，每一个的值对应两个不同的值，因此()不是函数图像；()中，当＝时，的值有两个，因此()不是函数图像；()()中，每一个的值对应唯一的值，因此()()是函数图像，故选.]．设函数()＝(\\(＋，≤，,()，＞，))则(())＝.[()＝，(())＝＋＝.]．(·全国卷Ⅱ)已知函数()＝－的图像过点(－)，则＝.－[∵()＝－的图像过点(－)，∴＝×(－)－×(－)，解得＝－.](对应学生用书第页)()(·济南一模)函数()＝＋的定义域为．。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第8章 平面解析几何 第3
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第三节圆的方程[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第134页)[基础知识填充]1．圆的定义及方程2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )[解析]由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D[由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.] 3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2A [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜15D ．－15＜a ＜1D [由(2a )2＋(a －2)2＜5得－15＜a ＜1.]5．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．(x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.](对应学生用书第135页)(1)(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10(1)D (2)C [(1)设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C ．]1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数法：①若已知条件与圆心a ，和半径b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的标准方程为( )【导学号：79140274】A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(1)C (2)(x －2)2＋y 2＝9 [(1)到两直线3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，所以圆M 的圆心坐标为(－3，－1)，又两平行线之间的距离为1032＋42＝2，所以圆M的半径为1，所以圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1，故选C ． (2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.]已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.1．(变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值．[解] 设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.2．(变换条件)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．[解] ∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22， ∴|MQ |的最小值为7－2 2.1形如2形如3形如x －2＋y －2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题[跟踪训练(1)(2018·陕西质检(一))的距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2(2)(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4D.163(1)A (2)D [(1)由已知得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为|1－1－2|2＝2，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋2，故选A ．(2)由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.]已知A (2,0) 为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.【导学号：79140275】(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解2定义法：根据圆的定义列方程求解3几何法：利用圆的几何性质得出方程求解4代入法相关点法：找出要求的点与已知点的关系，[跟踪训练] 已知点－1,0)连线段的中点M 的轨迹方程．[解] 由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x ＋1)2＋y 2＝9.设M (x 0，y 0)，则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4)，代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9， 化简得x 20＋(y 0－2)2＝94，故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 专题探究课3 数列中的高考
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三 数列中的高考热点问题(对应学生用书第90页)[命题解读] 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a 1，a n ，S n ，d (q )，n ，“知三求二”．已知等差数列{a n }，公差d ＝2，S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求a n ； (2)令b n ＝(－1)n4na n ·a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .[解] (1)∵S 1，S 2，S 4成等比数列． ∴S 22＝S 1S 4，∴(2a 1＋2)2＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32×2 解得a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n·4n a n ·a n ＋1＝(－1)n·4n(2n －1) (2n ＋1)＝(－1)n ⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1.∴当n 为偶数时，{b n }的前n 项和T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝－1＋12n ＋1＝－2n2n ＋1，当n 为奇数时，{b n }的前n 项和T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.故T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2n ＋1，n 为偶数，－2n －22n ＋1，n 为奇数.n b >0是等比数列；nb >0是等差数列等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，等比数列之间的相互转化n n 1n 1n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？[解] (1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0. 若a 1＝0，则S n ＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0， 所以a n ＝0(n ≥1)． 若a 1≠0，则a 1＝2λ.当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }是等比数列， 所以a n ＝a 1·2n －1＝2λ·2n －1＝2nλ. 综上，当a 1＝0时，a n ＝0；当a 1≠0时，a n ＝2nλ.(2)当a 1>0，且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n，由(1)知，b n ＝lg 1002n ＝2－n lg 2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2.b 1>b 2>…>b 6＝lg10026＝lg 10064>lg 1＝0， 当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg 1＝0.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大．数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法．常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．[规范解答] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.3分 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. 5分 (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，7分 因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.9分记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.12分[阅卷者说]n n n和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)·d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.② 联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明． ◎角度1 数列与函数的交汇已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2 x 的图像上，求数列{b n }的前n 项和T n .【导学号：79140186】[解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .(2)由点(b n ，a n )在函数y ＝log 2 x 的图像上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，所以b n ＝2a n＝24n＝16n，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列． T n ＝16(1－16n)1－16＝16n ＋1－1615.(2018·东北三省三校二模)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b n ＝a n －n .(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若数列{c n }满足c n ＝b n (b n ＋1)(b n ＋1＋1)，且数列{c n }的前n 项和T n ，求证：T n ＜13.[证明] (1)∵a n ＋1＝2a n －n ＋1， ∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )，即b n ＋1＝2b n . 又b 1＝a 1－1＝2，∴数列{b n }是以2为首项、2为公比的等比数列． (2)由(1)知，b n ＝2×2n －1＝2n，∴c n ＝2n(2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1. ∴T n ＝12＋1－12＋1＋12＋1－12＋1＋…＋12＋1－12＋1＝13－12n ＋1＋1＜13.＋n (1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n .[解] (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，所以数列{x n }的通项公式x n ＝nn ＋1.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝(2n －1)2(2n )2>(2n －1)2－1(2n )2＝2n －22n ＝n －1n ， 所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得，对任意的n ∈N ＋，均有T n ≥14n.。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 不等式选讲 第2节 不等式
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第二节 不等式的证明[考纲传真] (教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．(对应学生用书第206页)[基础知识填充]1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． (3)柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ， 则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等． (1)比较法：①比差法的依据是：a －b >0⇔a >b 步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．②比商法：若B >0，欲证A ≥B ，只需证AB≥1. (2)综合法与分析法：①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ≤yA [x －y ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab. 由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0，所以(a －b )(ab －1)ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .]3．若a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >a >b A [“分子”有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6，所以a >b >c .]4．已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________.【导学号：79140398】4 [由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， 所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．]5．已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . [证明] 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0,1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .(对应学生用书第207页)已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . [证明] 法一：∵⎝⎛⎭⎪⎫a b＋b a －(a ＋b ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝(a －b )(a －b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab≥0，∴a b ＋ba≥a ＋b . 法二：由于a b ＋ba a ＋b＝a a ＋b bab (a ＋b )＝(a ＋b )(a －ab ＋b )ab (a ＋b )＝a ＋bab－1 ≥2abab－1＝1.又a ＞0，b ＞0，ab ＞0， ∴a b ＋ba≥a ＋b .作差比较法证明不等式的步骤：作差；变形；判断差的符号；下结论通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，合不等式的性质判断出差的正负注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第步要判断． [证明] 因为a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 又a ≠b ，所以(a －b )4>0， 所以a 4＋6a 2b 2＋b 4>4ab (a 2＋b 2)．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.A 为已知条件或数学定义、，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4b a ·ab＋4＝8 (当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8.∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.(1)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥3； (2)设x ≥1，y ≥1，求证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .【导学号：79140399】[证明] (1)因为a ，b ，c >0， 所以要证a ＋b ＋c ≥3， 只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立． 所以原不等式成立． (2)由于x ≥1，y ≥1， 要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)， 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．(c ＋1)2≥163；(2)若对任意实数x ，不等式|x －a |＋|2x －1|≥2恒成立，求实数a 的取值范围． [证明] (1)法一：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ＋b ＋c )＋3＝a 2＋b 2＋c 2＋5. 所以要证(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163，只需证a 2＋b 2＋c 2≥13.因为a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ca ) ≥(a ＋b ＋c )2－2(a 2＋b 2＋c 2)， 所以3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2. 因为a ＋b ＋c ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2≥13.所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163.法二：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ＋b ＋c )＋3＝a 2＋b 2＋c 2＋5. 所以要证(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163，只需证a 2＋b 2＋c 2≥13.因为a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，所以a 2＋b 2＋c 2＋13≥23(a ＋b ＋c )．因为a ＋b ＋c ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2≥13.所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163.法三：因为(a ＋1)2＋169≥83(a ＋1)，(b ＋1)2＋169≥83(b ＋1)，(c ＋1)2＋169≥83(c ＋1)，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2＋163≥83[(a ＋1)＋(b ＋1)＋(c ＋1)]．因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163.(2)设f (x )＝|x －a |＋|2x －1|，则“对任意实数x ，不等式|x －a |＋|2x －1|≥2恒成立”等价于“f (x )min ≥2”．当a <12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1，x <a ，－x ＋1－a ，a ≤x ≤12，3x －a －1，x >12.此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－a ，要使|x －a |＋|2x －1|≥2恒成立，必须12－a ≥2，解得a ≤－32.当a ＝12时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|2x －1|＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥23不可能恒成立．当a >12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1，x <12，x ＋a －1，12≤x ≤a ，3x －a －1，x >a .此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a －12，要使|x －a |＋|2x －1|≥2恒成立，必须a －12≥2，解得a ≥52.综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．[解] (1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187. 利用柯西不等式求最值的一般结构为：a 21＋＋＝在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.[跟踪训练，b ，c ＋d 2＝16ac ＋bd ≤8.[证明] 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 坐标系与参数方程 第2节
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第二节 参数方程[考纲传真] (教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．(对应学生用书第201页)[基础知识填充]1．曲线的参数方程(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程．(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程[意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( ) (3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.] 4．椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B ，则|AB |min ＝________.185 [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，消去参数φ得x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.]5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．[解] 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45. 当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.(对应学生用书第202页)(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.【导学号：79140389】[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3.法、加减消去法、恒等式三角的或代数的消去法普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，图2[解] 圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ， 则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11. 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、2根据直线的参数方程的标准式中过定点M ①弦长l⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(2018·石家庄质检(二))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos β，y ＝a sin β(a >0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32.(1)若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；(2)A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的面积最大值．[解] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆， 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得|a －3|2＝a ，解得a ＝－3(舍)，a ＝1. 所以a ＝1.(2)法一：曲线C 的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a >0)， 设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3＝34|2a cos θ|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3a 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵cos θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12cos 2θ－32sin θcos θ ＝12·cos 2θ＋12－34sin 2θ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2θ－32sin 2θ＋14 ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14，所以当θ＝－π6时，12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋14取得最大值34.△OAB 的面积最大值为33a24.法二：因为曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3，由正弦定理得|AB |sinπ3＝2a ，所以|AB |＝3a .由余弦定理得|AB |2＝3a 2＝|OA |2＋|OB |2－|OA |·|OB | ≥|OA |·|OB |，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3≤12×3a 2×32＝33a 24， 所以△OAB 的面积最大值为33a 24.1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的[跟踪训练1⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常数，0<α<π，且α≠π2)，点A ，B (A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点．(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB |的最大值及此时点B 的坐标.【导学号：79140390】[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 24＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝tan α·x －1.(2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 是参数)，设A (t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B (t 2cos α，－1＋t 2sin α)，将C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－1＋t sin α，代入x 24＋y 2＝1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8t sin α＝0， ∴t 1＝0，t 2＝8sin α1＋3sin α， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8|sin α|1＋3sin 2α ＝83|sin α|＋1|sin α|≤823＝433(当且仅当sin α＝33取等号)， 当sin α＝33时，∴0<α<π，且α≠π2， ∴cos α＝±63， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13， ∴|AB |的最大值为433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13.。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第3章 三角函数、解三角形
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第三节 三角函数的图像与性质[考纲传真] (教师用书独具)1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．(对应学生用书第51页)[基础知识填充]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质[(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 2．f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． (1)f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z .(2)f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．πD ．π2C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C ．] 3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈ZC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C ．]5．(教材改编)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．－22 [由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.](对应学生用书第52页)(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．(1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z [(1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112， 又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B ． (2)要使函数有意义，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .]求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组，常借助三角函数线或三角函数图1直接法：直接利用2化一法：把所给三角函数化为ω＋出函数的值域3换元法：把cos x 或x ±cos 解.[跟踪训练] (1)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3C ．3＋2D ．2－ 3(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． (1)B (2)[－1,1] [(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴y ＝2cos x 的值域为[－2,1]， ∴b －a ＝3.(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．](1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________.【导学号：79140111】(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)32 [(1)由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.]1代换法：求形如ω＞2图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间2.已知三角函数的单调区间求参数[跟踪训练] (1)函数y ＝|tan x |在⎝ ⎭⎪⎫－2，2上的单调减区间为________.【导学号：79140112】(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos 2x ，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6(1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π (2)A [(1)如图，观察图像可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.(2)由题意得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得函数y ＝f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A ．]◎角度1 三角函数的奇偶性与周期性(1)在函数：①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos2x ＋π6；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B ．①③④ C ．①②③D ．①③(2)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(1)C (2)A [(1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图像知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.(2)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．]◎角度2 三角函数的对称性(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的周期为π，则下列选项正确的是( )A ．函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π3对称D ．函数f (x )的图像关于直线x ＝－π12对称(2)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4(1)B (2)A [(1)因为ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π12，所以函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称，故选B ．(2)由题意得2πω＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54π－π4，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又0＜φ＜π，∴φ＝π4，故选A ．]x ＝A ω的奇偶性与对称性1若f x ＝ωx ＋φ为偶函数，则当x 取得最大或最小值；若f x ＝A ωx ＋φ为奇函数，则当＝0时，x ＝0.2对于函数y ＝A ωx φ，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝或点x 0，是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验x 0的值进行判断. 求三角函数周期的方法：1利用周期函数的定义2利用公式：ω和的最小正周期为ωx 的最小正周期为|.3借助函数的图像[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 (2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2(1)D (2) A [(1)A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D ．(2)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， 所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A ．]。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 坐标系与参数方程 第1节 坐标系学案 理 北师大版
第一节 坐标系[考纲传真] (教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第198页)[基础知识填充]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换． 2．极坐标与极坐标系的概念图1在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值． 3．极坐标与直角坐标的互化4.5.(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2.(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b (0＜θ＜π)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]3．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．1 [由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外．又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为______．522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)． ∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.]5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程可化为 ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.(对应学生用书第199页)在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2，∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点． 由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，∴y ＝x 即为所求直线l ′的方程．x 在变代入y x ，h x，即为所求变换之后的方程要分清变换前的点的坐标x ，与变换后的点的坐标x ′，y[跟踪训练] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程.【导学号：79140385】[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.[为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值． [解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0， 即圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )的对称直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点， 故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2， 所以实数m 的最大值为5－2.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．[解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.[跟踪训练] (2017·太原市质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.【导学号：79140386】[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32.曲线C 2化为x 26＋y 22＝1.(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.。
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单元评估检测(二) 第2章 函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设函数f (x )＝1－3x＋，则函数的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 [答案] A2．已知函数f (x )＝则f (f (4))的值为( )【导学号：79140406】A ．－19B ．－9 C.19 D ．9[答案] C3．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b[答案] D4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3[答案] B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2[答案] D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：单位：元/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10[答案] C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图像大致为( )[答案] D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[答案] D10．(2018·郑州模拟)设函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ＋2，那么⎠⎛12f (x )d x ＝( )A ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋2ln 2B ．72＋2ln 2 C ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋ln 2 D ．－(4＋2ln 2)[答案] A11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )【导学号：79140407】A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D12．(2018·岳阳模拟)设函数y ＝ax 2与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln x ＋1ax 的图像恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33e ，e B.⎝⎛⎭⎪⎫－33e ，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫33e [答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________． [答案] (1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.【导学号：79140408】[答案] －615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.[答案] 1816．(2017·长治模拟)对于函数f (x )给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x－512，请你根据上面探究结果，计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝________.[答案] 2 016三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．[解] (1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞)18．(本小题满分12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x2·log2x2.(1)求实数x 的取值范围；(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x 2·log2x2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14， 当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2， 即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(本小题满分12分)(2018·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图像都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝1，f ′(0)＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1，g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝d ＝1，g ′(0)＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x－(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)求k 的值；(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围；(3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值.【导学号：79140409】[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2.(2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x)＝(2x－2－x )2－2m (2x－2－x)＋2. 令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1，所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)·ln x －a x(a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x. (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(x －1)(x －a )x2. ①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－a .②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增，则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1， 所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e ax(a ∈R )．(1)当a ＝－2时，求函数g (x )＝x 2f (x )在区间(0，＋∞)内的最大值；(2)若函数h (x )＝x 2f (x )－1在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－2时，函数f (x )＝e －2x，所以函数g (x )＝x 2e－2x，所以g ′(x )＝2x e －2x＋x 2e－2x·(－2)＝2x (1－x )e－2x，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0，g (x )是增函数， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )是减函数， 所以在区间(0，＋∞)内g (x )的最大值是g (1)＝e －2.(2)因为函数h (x )＝x 2f (x )－1＝x 2e －ax－1，所以h ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )，令h ′(x )＝0，因为e －ax＞0，所以－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(a ≠0)．又h (x )在(0,16)内有两个零点， 所以h (x )在(0,16)内不是单调函数， 所以2a ∈(0,16)，解得a ＞18.①又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，16时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数， 所以在(0,16)上h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＝4a2e －2－1.令4a 2e －2－1＞0，解得－2e ＜a ＜2e.② 又⎩⎪⎨⎪⎧h (0)＜0，h (16)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，256e －16a－1＜0，解得a ＞12ln 2.③解①②③组成不等式组，解得12ln 2＜a ＜2e .所以实数a 的取值范围是12ln 2＜a ＜2e.。