北师大版初中八年级数学下册第1章第3节 第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图教案WORD

第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点)
2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．
一、情境导入
现在有A 、B 、C 三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？
二、合作探究
探究点一：三角形三边的垂直平分线 【类型一】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度
如图，在△ABC 中，∠BAC ＝
110°，点E 、G 分别是AB 、AC 的中点，DE ⊥AB 交BC 于D ，FG ⊥AC 交BC 于F ，连接AD 、AF .求∠DAF 的度数．
解析：根据三角形内角和定理求出∠B ＋∠C ，根据线段垂直平分线得出AD ＝BD ，AF ＝CF ，推出∠BAD ＝∠B ，∠CAF ＝∠C ，即可求出答案．
解：在△ABC 中，∵∠BAC ＝110°，∴∠B ＋∠C ＝180°－110°＝70°.∵E 、G 分别是AB 、AC 的中点，DE ⊥AB ，FG ⊥AC ，∴
AD ＝BD ，AF ＝CF ，∴∠BAD ＝∠B ，∠CAF ＝∠C ，∴∠DAF ＝∠BAC －(∠BAD ＋∠CAF )＝∠BAC －(∠B ＋∠C )＝110°－70°＝40°.
方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【类型二】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠
A ＝120°，BC ＝8cm ，A
B 的垂直平分线交B
C 于点M ，交AB 于点
D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点
E ，求MN 的长．
解析：首先连接AM ，AN ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，可求得∠B ＝∠C ＝30°.又由AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，易得△AMN 是等边三角形，继而求得答案．
解：连接AM ，AN ，∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，∴∠C ＝∠B ＝30°.∵AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，∴AN ＝CN ，AM ＝BM ，∴∠CAN ＝∠C ＝30°，∠BAM ＝∠B ＝30°，∴∠ANM ＝∠AMN ＝60°，∴△AMN 是等边三角形，∴AM ＝AN ＝MN ，∴BM ＝MN ＝CN .∵BC ＝8cm ，∴MN ＝8
3
cm.
方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
【类型三】三角形三边的垂直平分线的性质的应用
某公园有海盗船、摩天轮、碰碰
车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票
中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中
心的距离相等，请在图中确定售票中心的位
置．
解析：由三个娱乐项目所处位置到售票
中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、
摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三
边的垂直平分线的交点．
解：如图，①连接AB，AC，②分别作
线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线
相交于点P，则P即为售票中心．
方法总结：此题考查了线段垂直平分线
的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直
平分线的作法．
探究点二：作图
已知线段c，求作△ABC，使AC
＝BC，AB＝c，AB边上的高CD＝
1
2c
.
解析：由题意知，△ABC是等腰三角形，
高把底边垂直平分，且高等于底边长的一
半．
解：作法：1.作线段AB＝c；
2．作线段AB的垂直平分线EF，交AB
于D；
3．在射线DF上截取DC＝
1
2c，连接
AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形，
如图所示．
方法总结：已知底边长作等腰三角形
时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合
等腰三角形底边上的高确定另一个顶点的
位置．
三、板书设计
1．三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于一
点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
2．作图
本节课学习了用尺规作三角形，作图时要学
会分析．一般先画一个满足题目已知条件的
草图，有时结合基本作图和已知条件可作一
个与求作三角形相关联的三角形，然后应用
有关条件结合基本作图作出其余的图形.。