解直三角形应用教案第2课时
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案教案标题：解直角三角形的应用教学目标：1. 理解直角三角形的定义和性质。
2. 掌握解决直角三角形相关问题的方法和技巧。
3. 能够应用直角三角形的知识解决实际问题。
教学重点：1. 直角三角形的定义和性质。
2. 直角三角形的解题方法。
3. 直角三角形在实际问题中的应用。
教学难点：1. 将直角三角形的知识应用于实际问题的解决。
2. 理解并运用三角函数的概念和性质。
教学准备：1. 教材：包含直角三角形相关知识的教材。
2. 教具：直尺、量角器、计算器等。
3. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体设备展示一张直角三角形的图像，引发学生对直角三角形的认知和兴趣。
2. 提出问题：你知道直角三角形的定义和性质吗？请简单介绍一下。
3. 学生回答问题，教师适时给予引导和补充。
二、知识讲解（15分钟）1. 通过多媒体设备展示直角三角形的定义和性质，并解释其含义。
2. 介绍三角函数的概念和性质，如正弦、余弦和正切等。
3. 通过示例演示如何利用三角函数求解直角三角形的边长和角度。
三、例题演练（20分钟）1. 提供一些直角三角形的例题，要求学生利用所学知识求解。
2. 学生独立完成例题，教师巡回指导和解答疑惑。
3. 学生互相交流解题思路和方法，加深对知识的理解。
四、应用拓展（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直角三角形的知识解决。
2. 学生独立或小组合作完成应用题，教师提供必要的指导和帮助。
3. 学生展示解题过程和结果，进行讨论和总结。
五、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结直角三角形的相关知识和解题方法。
2. 学生回答问题并进行讨论，教师进行点评和补充。
3. 教师给出解题技巧和注意事项，并提供相关练习题进行巩固。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成。
2. 强调作业的重要性，并提供解题思路和方法。
3. 确定下节课的教学内容和要求。
《解直三角形应用》教学设计2
28.2解直角三角形及其应用 (2)学习目标：1．使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力；2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
重、难点：将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题。
教具准备：多媒体、三角板、圆规教学流程：一、自主预习1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tan A =∠A 的对边∠A 的邻边斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin二、教学活动问题1如图，PA 切⊙O 于点A，PO 交⊙O 于点B，⊙O 的半̂ = 1.10cm 。
径为 1 cm，PB=1.2 cm，则∠AOB= 62.92度，AB问题2 例3 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。
“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图28.2-5,当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？图28.2-5分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点。
在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图。
如图上图，用⊙O 表示地球，点F 是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体观测地球时的最远点。
问题中求最远点与P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？PQ̂的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计算PQ̂的长需先求出∠POQ（即α）．解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．∵cosα=OQOF =64006400+343≈0.9491，∴α ≈18.36°。
解直三角形应用教案
答： 斜坡 AB 的坡角α 约为 18° 26′， 坝底宽 AD 为 132.5 米， 斜坡 AB 的长约为 72.7 米．
3．巩固练习 (1)教材 P84. 2 由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生 会很快做完，教师可再给布置一题． (2)利用土埂修筑一条渠道， 在埂中间挖去深为 0.6 米的一块(图 6-35 阴影部分是挖去 部分)，已知渠道内坡度为 1∶1.5，渠道底面 宽 BC 为 0.5 米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积； ②修一条长为 100 米的渠道要挖去的土方 数．
引导学生分析例题，图中 ABCD 是梯形，若 BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成 Rt△ABE，矩形 BEFC 和 Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、 DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出 AD． 以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学 习习惯． 坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简 练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作 BE⊥AD，CF⊥AD，在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中，
∴AE=3BE=3× 23=69(m)． FD=2.5CF=2.5× 23=57.5(m)． ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
1 因为斜坡 AB 的坡度 i＝tan ＝ 3 ≈0.3333，查表得
如图，铅直高度 AB 一定，水平宽度 BC 增加，α 将变小，坡度减小，
AB 因为 tan ＝ BC ，AB 不变，tan 随 BC 增大而减小
解直角三角形及其应用教案(教学设计)
解直角三角形及其应用【教学目标】知识与技能：1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
3．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。
过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。
【教学难点】1．重点：直角三角形的解法。
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、复习旧知、引入新课引入：我们一起来解决关于比萨斜塔问题。
二、探索新知、分类应用活动一：理解直角三角形的元素提问：在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
活动二：直角三角形的边角关系直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）边角之间关系sin ;cos ;tan a b a A A A c c b ===。
（2）三边之间关系222a b =c +。
（3）锐角之间关系∠A+∠B=90°。
活动三：解直角三角形例1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，，解这个三角形。
例2：在Rt △ABC 中，∠B=35°，b=20，解这个三角形。
三、总结消化、积累经验1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系。
2．解决有关问题。
四、跟踪训练、巩固提升1．在下列直角三角形中不能求解的是（ ）。
初三数学教案-解直三角形应用 精品
解直三角形应用(一)知识目标使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． (二)能力目标：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识． 二、教学重点、难点1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 三、教学过程 1．导入新课上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而 使问题得到解决． 2．例题分析例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米， ∠A ＝26°，求中柱BC(C 为底边中点)和上弦AB 的长(精确到0.01米)．分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考 题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？由题意知，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°， AC=5米，可利用解Rt △ABC 的方法求出BC 和AB ．学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成。
例题小结：求出中柱BC 的长为2.44米后，我们也可以利用正弦 计算上弦AB 的长。
如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何 关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析 问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯． 另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题， 渗透了转化的数学思想．例2．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东650方向，距离灯塔 80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东340方向上的B 处。
九年级下册数学第2课时 解直角三角形的简单应用(教案)
第2课时解直角三角形的简单运用【知识与技能】本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的基本问题.【过程与方法】1.用解三角形的有关知识去解决简单的基本问题的过程.2.选择合适的边角关系式，使运算简便.努力培养学生数形结合，把基本问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力. 【情感态度】通过解决问题，激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与，并体验成功的喜悦.【教学重点】引导学生根据题意找出正确的直角三角形，并找到恰当的求解关系式，把基本问题转化为解直角三角形的问题来解决.【教学难点】使学生学会将有关简单的问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.一、知识回顾1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形2.直角三角形中诸元素之间的关系：（1）三边之间的关系：a 2+62=c 2 (勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系：b a A c b A c a A ===tan cos sin ，，.把∠A 换成∠B 同样适用.二、思考探究，获取新知 我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系 解直角三角形，那么请思考：对于简单的基本问题，我们能否用解直角三角形的方法去解决呢？如图，河宽AB(假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB = 30°，D 点测得∠ADB=60°，又CD=60m ，则河宽AB 为多少米？（结果保留根号）【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD 的度数，判断出△ACD 的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB 的值.【教学说明】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.三、典例精析，掌握新知例1 如图，为了测量河两岸A、两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC =m，∠ACB = α那么AB等于（）A. m sinαB. n cosαC. m tanαD. m /tanα【分析】本题易因记错∠α的正切或运算关系掌握不好而选错.答案 C例2 如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5米，风筝飞到C处时的线长BC为30米，这时测得∠CBD=60°，求此时风筝离地面的高度.（结果精确到0.1米，3 )73.1【分析】在Rt △BCD中，由BC =30米，∠CBD=60°，利用正弦可求得CD，又DE=AB，从而风筝离地面的高度CE=CD+DE.【教学说明】解答本题的关键是利用解直角三角形来求CD的长，利用矩形的性质求DE的长.四、运用新知、深化理解1.课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上影长BC长为24米，则旗杆AB的高约是多少？2.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径A河底线，弦CD水位线，CD//AB，且CD=24m.OE丄CD于点E.已测得水面距最高处有8m 已测得1312DOE sin =∠.（1）求半径OD;（2）根据需要，睡眠要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【教学说明】可让学生自主探究，也可小组内讨论.教师巡视，发现问题给予指导.【答案】1.解：∵太阳光线与地面成30°角，旗杆AB 在地面上的影长BC 为24米，∴旗杆AB 的高度约是：）（m 3830tan 24=︒=AB .2..分析：解决此题的关键是求出OE 的值.由垂径定理易求出DE 的长，Rt △OED 中，根据DE 的长以及∠EOD 的正弦值，可求出半径OD 的长， 再由勾股定理即可求出OE 的值.OE 的长除以水面下降的速度，即可求出将水排干所需要的时间.五、师生互动、课堂小结1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形.（作某边上的高是常用的辅助线）2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种问题时合理运用.1.布置作业：从教材P77〜79习题28.2中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想.。
解直角三角形的应用教案 (2)
初三数学解直角三角形的应用一.学习目标1. 了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。
2. 掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。
3. 会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。
二. 重点、难点：1. 仰角、俯角在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。
视线在水平线下方的叫做俯角。
2. 坡度坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即。
如果把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么。
3. 直角三角形在实际问题中的应用在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的作用。
具体来说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。
［教学难点］运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。
【典型例题】例1. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。
解：分两种情况计算（1）如图1，过C作CD⊥AB于D，则图1，故（米2）（2）如图2，过C作CD⊥AB且交AB的延长线于D，图2由（1）可得CD=20，，所以（米2）点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。
例2. 某片绿地的形状如图3所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。
（精确到1m，）图3解：延长AD，交BC的延长线于点E，可构成两个直角三角形，在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200m(m)在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100m∴点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。
例3. 如图4所示，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。
《解直角三角形》第2课时教案
《解直角三角形》第2课时教案教学目标1、了解测量中坡度、坡角的概念；2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：有关坡度的计算教学难点：构造直角三角形的思路。
教学过程一、引入新课如右图所示，斜坡AB 和斜坡A 1B 1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A 1B l 的倾斜程度比较大，说明∠A 1＞∠A 。
从图形可以看出，B 1C 1A 1C 1＞BC AC，即tanA l ＞tanA 。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
二、新课1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC BC，坡度通常用l ：m 的形式，例如上图中的1：2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tanB ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
2．例题讲解。
例1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽。
(精确到 0.1米)分析：四边形ABCD 是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB ＝AE ＋EF ＋BF ，EF ＝CD ＝12.51米．AE 在直角三角形AED 中求得，而BF 可以在直角三角形BFC 中求得，问题得到解决。
例2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)三、练习课本第19页课内练习。
四、小结会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。
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第三课时
解直三角形应用（二）
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
tanA=的邻边的对边
A A ∠∠ （二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
斜边
的邻边A A ∠=
cos 斜边
的对边
A A ∠=
sin
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地
平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)
解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC
∴AB=B AC sin =2843.01200
=4221(米)
答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．
例2.2003
年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。
如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。
将问题放到直角三角形FOQ 中解决。
．
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt △ABC 中的∠ABC ，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
斜边的对边
A ∠ 来解决的两个实际问题即已知α∠和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
O
P
Q
F
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B 的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
（1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．
（2）．请学生结合图形独立完成。
3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．
设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．
要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．
(四)总结与扩展
请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．
四、布置作业
1．课本p96 第3，.4，.6题。