模糊模式识别的方法
模糊模式识别
模糊模式识别1 模糊模式识别的原则(1) 最大隶属原则当模式是模糊的，被识别对象是明确的，问题可以描述如下：设有n 个模式，它们分别表示成某论域X （X 可以是多个集合的笛卡儿乘积集）的n 个模糊子集12,,,n A A A，而0x X ∈是一个具体被识别的对象，若有},2,1{n i ∈，使得12()m ax{(),(),,()}inA o A o A o A o x x x x μμμμ=则认为0x 相对属于模式i A。
对事物进行直接识别时，所依据的是最大隶属原则。
这种方法适合处理具有如下特点的问题：a 用作比较的模式是模糊的；b 被识别的对象本身是确定的。
(2) 贴近度原则当模式及被识别对象都是模糊的，问题可以描述如下：设论域X 的模糊子集12,,,n A A A代表n 个模糊模式，被识别的对象可以表示成X 的子集B，若有},2,1{n i ∈，使得12(,)max{(,),(,),,(,)}i n B A B A B A B A σσσσ=则认为B相对合于模式A。
在模糊模式识别的具体应用中，关键是模式或被识别对象的模糊集合的构造，即如何建立刻画模式或对象的模糊集合。
根据实际应用来看，通常有三种主要方法，简单模式的识别方法，语言模式的识别方法和统计模式的识别方法。
2 模糊模式识别方法（一）简单模式的模糊模式识别具体的模糊模式识别工作可分为如下三个步骤：1）选取模式的特征因子集合},,,{21n X X X =X，被识别的对象表示为nni i XXX X ⨯⨯⨯∆∏= 211上的向量（),,,21n x x x ，,1,2,,,i i x X i n ∈= 或者表示为∏=ni i X 1上的模糊子集；2）建立模糊模式的隶属函数()A X μ,1()ni i A F X =∈∏；3）利用最大隶属度原则或贴近度原则对被识别的对象进行归属判决。
特征因子(1,2,,)i X i n = 的选取直接影响识别的效果，它取决于识别者的知识和技巧，很难做一般性讨论，而模式识别中最困难的是建立模式的隶属函数，人们还没有从理论上彻底解决隶属函数的确定问题。
模糊数学在数学建模中的应用
则称R为U上的等价关系 。
特殊的等价关系
例10： 设Ｕ={u1,u2,u3}, 则 U×U={(u1, u1),(u1, u2),(u1, u3),(u2, u1),(u2, u2),(u2, u3) ,(u3, u1),(u3, u2),(u3, u3)}全称关系; I ={(u1, u1),(u2, u2), (u3, u3)}恒等关系。 用方阵表示如下：
模糊集合的表示方法
Zadeh 表示法
(1)
若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，
则 A F ( U ) 可表示为
Au1 u1 Au2 u2 Aun un
A
例4：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，
A 0.87 u1 0.75 u2 0.96 u3 0.78 u4 0.56 u5
(2)如果RT= R；则称R为对称的；
(3) 如果R ◦ R R ，则称 R 为传递的。 自反的，对称的，传递的模糊关系称为模糊等价关系。
模糊等价关系
例17： 设Ｕ={u1,u2,u3,u4,u5}, 如下R为模糊等价关系
1 0.80 R 0.80 0.20 0.85
１、模糊聚类分析
(１)、模糊数学的基本思想； (２)、普通关系与布尔矩阵；
(３)、模糊关系与模糊矩阵；
(４)、模糊聚类分析原理。
模糊数学的基本思想
经典 集合：是指具有某种特定属性的对象集体。
例1：“延大09级的学生”； 模糊集合： 例2：“延大09级个子高的学生”。 区别: 是否满足排中率。
经典集合与特征函数
若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典集合和所有模糊集合
6法及其应用PT(第四章：模糊模式识别)
j (1, 2,3, 4)
()
4个主要指标相应的隶属函数为：
0, Aij ( x j ) xj xj 2 ) , 1 ( 2s j x j x j >2s j x j x j 2s j
（i=1,2,3,4,5; j=1,2,3,4）
5类标准体质的4个主要指标的数据如下表所示
类型 指标 身高cm 体重kg 胸围cm 肺活量cm3 差 158.4±3.0 47.9±8.4 84.2±2.4 3380±184 中下 163.4±4.8 50.0±8.0 89.0±6.2 3866±800 中 166.9±3.6 55.3±9.4 88.3±7.0 4128±526 良 172.6±4.6 57.7±8.2 89.2±6.4 4399±402 优 178.4±4.2 61.9±8.6 90.9±8.0 4536±756
第四章 模糊模式识别
问题：已知某类事物的若干标准F 集，现有该类事物中的一个具体对
象，问把它归到哪一类？
例1 苹果分级问题.
按照苹果的大小，色泽，有无损伤将苹果分
为4级，分级是模糊的.标准模型库＝{Ⅰ级，Ⅱ 级，Ⅲ级，Ⅳ级}. 现有一个苹果，它属于哪一 级？ ――元素对问他应属于哪一类？ 解：计算45岁分别属于各模糊集的隶属度.
A1 (45) 0, A2 (45) 0.875, A3 (45) 0
max{ A1 (45), A2 (45), A3 (45)} max{0,0.875,0} A2 (45)
⑤其它三角形模糊集T，因
T ( I R E) I R E
3模糊识别
待识别的模糊模式为
指标 湖泊
总磷
mg/L 0.19697 0.159091 0.030303 0.045455 0.030303
耗氧量
mg/L
透明度
m
总氮
mg/L
模式
B1 ~ B2 ~
B3 ~
杭州西湖 武汉东湖 青海湖 巢湖 滇池
近似等腰直角 ~ ~ ~ 近似等腰直角 D = A∩ B :
D (α , β , γ ) = A (α , β , γ ) ∧ B (α , β , γ )
~ ~ ~
一般 ~ 一般 E = ( A∪ B ∪ C )c : ~ ~ ~
E (α , β , γ ) = 1 ( A (α , β , γ ) ∨ B (α , β , γ ) ∨ C (α , β , γ ))
在实际应用中，在确定模糊集时，某些指标 论域中的 在实际应用中，在确定模糊集时，某些指标(论域中的 某些元素)具有特殊意义，可用加权距离， 某些元素 具有特殊意义，可用加权距离，即 具有特殊意义
~ ~ 加权 d ( A, B) = q1 (a1 b1 ) + q2 (a2 b2 ) + L+ qn (an bn ) 欧式 n 距离： 距离： = ∑ qi (ai bi )2
② 择近原则
多个指标组成的模糊集时， 当 B 多个指标组成的模糊集时， ~
~
则考虑 A1 , A2 , L , Ak 与 B 最接近的模式 Ap ，则 ~ ~ ~ ~
B 为模式 Ap 。即近朱者赤，近墨者黑。 即近朱者赤，近墨者黑。 ~ ~
在考察与 B 最接近的 Ap ，我们直观地想到 B 与 ~ ~ ~ A1 , A2 , L , Ak 中每个模糊集的“距离”， B 的“距 中每个模糊集的“距离” ~ ~ ~ ~ 离” 与 最小者， 最小者，就应该是 Ap 。 ~ 那么，什么是两个模糊集的“距离” 那么，什么是两个模糊集的“距离”？我们借助 于平面解析几何中两点的距离公式， 于平面解析几何中两点的距离公式，即平面上的两 与 ， 点(x1,y1)与(x2,y2)，它们之间的距离为
岩体风化程度分带的模糊模式识别方法
５ ６
［ 文章编号 ］０ ２ ０ ２ （ ０ ７ ０ —０５ —０ １０ － ６ ４ ２０ ） ９ ０ ６ ３
东北水利水电
２０ 年第 ９ （ ２ 卷 ２８ ） ０７ 期 第 ５ ７期
岩体风化程度分带的模糊模式识别方法
孟凡 玲
（ 华北 水 利水 电学 院 ， 南 郑 州 ４０１ ） 河 ５０ １
按风化程度分 带 ． 已从 以往 的 肉 眼观 察和 经 验 判
指标的分带标准值 。 不同地区不同岩性的岩层 ， 其 分带的指标标准值各不相同。表 １ 给出了三峡区
三斗坪 坝 址 闪云斜 长 花 岗岩 的分 带指 标标 准 值 。
断等 定性分析 ． 逐步 向根据各 种测试指标进 行定
量化 分 的 方 向 发展 。岩 体 风 化程 度 分 带 定 量分 析
（） ２
Ｓ １ Ｉ， … ｓｌ Ｉ ２ Ｓ
现给定 ２ 个分带待定区，其样 品指标值如表
［ 要］ 摘 本文应用文献【 中 出的模糊模式识别模型， １ 提 】 结合三峡 区三斗坪坝址闪云斜长花岗岩风化程度
分带指标 ． 出一种岩 体风化程 度分 带的 多指标 综合评 定方法 。 给
［ 关键词］ 风化程度分带； 相对隶属度； 模糊模式识别 ［ 中图分类号 ］ ５２１ Ｐ １． ［ 文献标识码 ］ Ａ
表 １中 ，． 别为 第 ｉ 评价 指标 第 ｈ ＾ 分 ＋ 个
分 带 标 准 值 的上 、 限 ，＝１２ … ， ｈ ， ， ， 下 ｉ ， ， ｍ； ＝ｌ２ …
ｃ 这 里 ｍ＝ ， ＝ 。 ； ５ ｃ ４
所 考虑 的主要指标 有 ： 岩体 弹性波速 值 、 性模 弹
量 、 形模 量 、 变 岩体 质 量系 数 （ ． ＲＱＤ） 岩 石风 化 系 、 数、 回弹指 数 及 点 荷 载强 度 指 数 等 。
水库水质评价的模糊识别方法
Ｙ——第 １ 国家水质第 ｉ ｉ 级 项指标 的标准 值 ；
ｓ —第 ｈ级 国家标准 水质第 ｉ 项指标 的规
式 中：． ｘ——第 ｊ ． 个样本第 ｉ 项评价 指标 ， ｌ ２ … ， ｉ ， ， ｍ； ＝
ｊ １２ … ， ＝ ， ， ｎ。
对隶属度矩阵 ：
Ｒ （ ＝ （） ７
式 中： 广—待评价样本 ｊ Ｈ 的级别变量特征值 ，≤ｎ≤ｃ １ ｊ 。 级别 变量特 征值 综合 了待评价样本隶属 于各 级别 的相 对 隶属 度信息 ，能 够使 评价结 果更 加符 合客 观实 际 。若
ｋ ０５ ｊ ＋ ．， － ．≤ｎ ≤ｋ ０５ 则判定待评价样本 ｊ 属于第 ｋ 隶 个级别 。
维普资讯
Ｉ 【 科技论坛强
水库水质评价的模糊识别方法
孙 克 强 李希 灿
（ 山东省蓬莱市水务局
【 摘
蓬莱
２５ ０ ） （ ６ ６０ 山东农业大学信息科学与工程学 院 泰安
２ １ １） ７０８
要】 对水库水质进行合理评 价是加强水源地 管理的・项重要工作。 本文利用模 糊模式识别方法对水源 水质进行评价，
性ｋ 一８模 型 、 Ｎ ｋ 模 型 、多 尺 度 ｋ Ｒ Ｇ 一８ 一８ 模 型 、可 实 现 ｋ 模 型 以及 非 线性 Ｒ Ｇ 一８ 模 型 。 一８ Ｎ ｋ
…
式 中 ：． ｒ——样本 ｊ ｉ 指标 ｉ 的规格化值 ， ≤ｒ≤１ｉ ，， ０ ＝ ；＝１ ｉ ｊ ２
，
ｍ； １ ， 。 ｊ ， …ｎ ＝ ２
格化值 ， ≤ｓ≤ １。 ０ ｍ
（） ３ 式用于国家标准水质 级别 越高（Ｉ级水质级别为最
设 国家水质评价标准分 为 ｃ ， ｃ 级 则 级评价标 准 ｍ项 评价指标特 征值矩阵为 ：
Fuzzy模糊数学-共5节-电子书---讲义
模糊数学第1节模糊聚类分析第2节模糊模式识别第3节模糊相似优先比方法第4节模糊综合评判第5节模糊关系方程求解在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么x∈A，要么x∉A，二者必居其一。
这一特征可用一个函数表示为：A x x A x A()=∈∉⎧⎨⎩1A(x)即为集合A的特征函数。
将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。
定义1 设X为全域，若A为X上取值[0, 1]的一个函数，则称A为模糊集。
模糊模式识别
第6讲模糊模式识别（第三章模糊模式识别）一、模式识别一般原理1.模式识别的概念模式识别是人工智能的一个重要方面，也是一门独立的学科。
模式：用数学描述的信息结构或观察信号。
模式识别就是把要辨别的对象，通过与已知模式进行比较，从而确定出它和哪一个模式相类同的过程。
2.模式识别系统人们识别事物时，首先要对事物进行观察，抓住特点，分析比较，才能加以判断和辨别，而机器进行模式识别也同样要有这些过程。
因此模式识别系统通常由以下四个部分构成：①传感器部分：这是获取信息的过程。
比如摄像头就象人的眼睛，把图像信息变为电信号，麦克风象人的耳朵，获取声音信号，又如霍尔元件可以感受磁场，压电陶瓷可以把力转换为电信号等等。
②预处理部分：这是对信息进行前端处理的过程。
它把传感器送来的信号滤除杂波并作规范化、数字化。
③特征提取部分：这是从信号中提取一些能够反映模式特征的数据的过程。
④识别判断部分：这是根据提取的特征，按照某种归类原则，对输入的模式进行判断的过程。
二、模糊模式识别模糊模式识别主要是指用模糊集合表示标准模式，进而进行识别的理论和方法。
主要涉及到三个问题：（1）用模糊集合表示标准模式；（2）度量模糊集合之间的相似性；（3）模糊模式识别的原则。
例3.1 邮政编码识别问题识别：0，1，2，……，9关键：1）如何刻化，0，1，……，9（如何选取特征？）（区分）2）如何度量特征之间的相似性？ 1．模糊集合的贴近度贴近度是度量两个模糊集合接近（相似）程度的数量指标，公理化定义如下：定义3.1 设,,()A B C F X ∈，若映射[]:()()0,1N F X F X ⨯→ 满足条件：①(,)(,)N A B N B A =； ②(,)1,(,)0N A A N X φ==； ③若A B C ⊆⊆，则(,)(,)(,)N A C N A B N B C ≤∧。
则称(,)N A B 为模糊集合A 与B 的贴近度。
N 称为()F X 上的贴近度函数。
第二节 模糊模式识别(高等教学)
行业学习8ຫໍສະໝຸດ 例题3.3设论域R={1,2,3,4,5}, A,B ∈F(R)，且
A=(0.2, 0.3, 0.6, 0.1, 0.9), B=(0.1, 0.2, 0.7, 0.2, 0) 求欧几里得贴近度
行业学习
9
黎曼贴近度
若U为实数域，被积函数为黎曼可积且广义积 分收敛，则
行业学习
10
例题3.4
行业学习
4
模糊集的贴近度
贴近度 对两个模糊集接近程度的一种度量
定义1 设A,B,C∈F(U),若映射
满足条件：
则称N(A,B)为模糊集A与B的贴近度。N称为F(U)上的贴 近度函数
行业学习
5
海明贴近度
若U={u1, u2,…, un}, 则 当U为实数域上的闭区间[a,b]，则有
行业学习
标准模型库={正三角形E,直角三角形R，等腰三角形I，等腰直 角三角形I∩R，任意三角形T}。 某人在实验中观察到染色体的形状，测得起三个内角分别为 （94度，50度，36度），问此三角形属于哪一种三角形？
行业学习
31
择近原则(群体模糊模式识别问题)
设Ai,B ∈F(U)(i=1,2,…,n),若存在i0,是使
6
例题3.2
设模糊集 A=0.6/u1+0.8/u2+1/u3+0.8/u4+0.6/u5+0.2/u6 B=0.4/u1+0.6/u2+0.5/u3+1/u4+0.8/u5+0.3/u6 试应用海明贴近度计算N(A,B)
行业学习
7
欧几里得贴近度
若U={u1, u2,…, un}, 则 当U为实数域上的闭区间[a,b]，则有
第九章模糊识别技术
第九章模糊识别技术模式识别（Pattern Recognition）是本世纪六十年代初迅速发展起来的、与高技术的研究开发有着密切联系的一门新兴学科，是人工智能的重要组成部分。
从本质上讲，模式识别所讨论的的核心问题便是如何使机器模拟人脑的思维方法，来对客观事物进行有效地识别和分类，因此，模式识别又经常被称作模式分类（Pattern Classification）。
模式识别的过程大致如图9.1的框图所示，包括两个主要的阶段——学习过程和识别过程。
学习过程的主要目的是形成识别所需要的判决规则和标准模式，或者构造出分类器。
识别过程则是应用已得到的分类器或者识别准则对未知样本进行分类。
在学习过程和识别过程中，都首先需要将由“传感器”得到的表征样本的特性（往往表现为物理量和化学量）进行“数值化”后输入计算机，形成样本数据。
一般来说得到的样本数据的数据量大，它对应的特征空间的维数很高。
而一般的分类任务最后形成的类别数是比较少的，它对应的是一个低维的空间中的划分。
因此，模式识别可以理解成一个对高维空间不断变换，不断选取和保留重要的特征维，不断压缩维数，最后在合适的低维特征空间中的确定对该空间的划分过程。
而学习的目的就是要寻找出从高维数据空间到低维空间的映射关系（维数压缩方法）或映射规则，以及在对应的低维空间的划分形式。
识别的过程是用上述得到的知识来，确定待识的未知样本在已划分的特征空间中的位置。
学习过程是获得类模式原型、分类判决规则，设计分类器；识别过程，则主要是利用学习阶段训练好的分类器来对未知模式进行归类。
因此，在模式识别过程中，特征的选择、提取和分类规则的获取（分类器的构造）是关键。
图9.1 模式识别的过程设计模式识别系统，首先要用各种可能的手段对识别对象的性质作各种测量，并将这些测量值作为分类用的特征。
在实际应用中，能得到的性质测量值的数目可能很多，如果将这数目庞大的测量值不作分析，全部直接供作分类特征，这不仅耗费机时，而且分类效果也不一定好，往往出现所谓的“特征维数灾难”现象。
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所以x0应隶属于直角三角形.
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模糊数学
例2 大学生体质水平的模糊识别.
对某大学240名男生的体质水平按《中国学生体质健康调 查研究》手册上的规定,从18项体测指标中选出了反映体质水 平的4个主要指标(身高、体重、胸围、肺活量)根据聚类分析 法，将240名男生分成5类：
可归结为模式识别问题。
但是，在实际中，由于客观事物本身的模糊性，加上
人们对客观事物的反映过程也会产生模糊性，使得经典
的识别方法已不能适应客观实际的要求。因此，模式识 别与模糊数学关系很紧密。 后勤工程学院数学教研室
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模糊数学
§3.1 模糊模式识别的直接方法
一、最大隶属原则
例：学生学习成绩鉴定。 分数——百分制 规范化——优、良、差。
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模糊数学
等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下条件：
(1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1; (2) 当A =180, B =60, C =0时, I(A,B,C )=0; (3) 0≤I(A,B,C )≤1.
因此，定义I(A,B,C ) =1–[(A–B)∧(B – C)]/60. 则I(x0) =0.766.
模糊数学
最大隶属原则Ⅰ： 设 A F ( X ) 为标准模式，x1 , x2 , , xn X 为
n 个待录取对象，若存在 xi ，使得
A( xi ) A( x j ) max{ A( x1 ), A( x2 ),
1 j n
, A( xn )}
则应优先录取 xi 。
最大隶属原则Ⅱ：设 A1 , A2 , , An F ( X ) 为 n 个标准模式，
模糊数学Βιβλιοθήκη 先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.
直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下条件：
(1) 当A=90时, R(A,B,C)=1;
(2) 当A=180时, R(A,B,C)=0;
(3) 0≤R(A,B,C)≤1.
因此，定义R(A,B,C )=1-|A-90|/90. 则R(x0)=0.955.
C ( x)
1
B( x)
A( x)
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模糊数学
我们将 A, B, C 看作三个标准模式。
问题（1） ：当王五的化学成绩为 86 分时，即 x 86 ， 请问：王五的化学成绩是优，是良，还是差呢？
计算可知： A(86) 0.6, B(86) 0.4, C (86) 0 。可以看出， x 86 属于 A 的程度最大，因此，我们同意：王五的化学成绩相对于这 三个模式归属于 A ，即得评语“优” 。
标准模型库={E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰 三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三角形)}. 有人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得 其三个内角分别为94,50,36, 即待识别对象为 x0=(94,50,36). 问x0应隶属于哪一种三角形？
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模糊数学
模糊数学解决： 设论域 X [0,100] ，模糊集 A, B, C F ( X ) 分别表示优、良、差。
它们的隶属函数表示为：
0 x 80 0 x 80 A( x) 80 x 90 10 90 x 100 1
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模糊数学
正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下条件：
(1) 当A = B = C = 60时, E(A,B,C )=1;
(2) 当A = 180, B = C = 0时, E(A,B,C)=0;
(3) 0≤E(A,B,C)≤1.
因此，定义E(A,B,C ) = 1 – (A – C)/180. 则E(x0) =0.677.
问题（2） ：张三、李四、王五的外语成绩分别为 67、82、
86。问：三人外语成绩哪个更靠近“良”？
计算可知： B(67) 0.7, B(82) 0.8, B(86) 0.4 。显然 x 82 属于良 的程度最高，故我们同意李四的外语成绩最靠近“良” 。
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模糊数学
等腰直角三角形的隶属函数 (I∩R)(A,B,C) = I(A,B,C)∧R (A,B,C); (I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.
任意三角形的隶属函数 T(A,B,C) = Ic∩Rc∩Ec= (I∪R∪E)c. T(x0) =(0.766∨0.955∨0.677)c =(0.955)c =0.045. 通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,
0 x 60 10 B( x) 1 90 x 10 0 0 x 60 60 x 70 70 x 80 80 x 90 90 x 100
0 60 70 80 90 100
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0 x 60 1 70 x C ( x) 60 x 70 10 70 x 100 0
x0 X 为待识别对象，若存在 i :1 i n ，使得
Ai ( x0 ) A j ( x0 ) max{ A1 ( x0 ), A2 ( x0 ),
1 j n
, An ( x0 )}
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模糊数学
例1 细胞染色体形状的模糊识别
细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊 识别, 而几何图形常常化为若干个三角图形, 故设论 域为三角形全体.即 X={(A,B,C )| A+B+C =180, A≥B≥C}
模糊数学
第三章 模糊模式识别
§3.1 模糊模式识别的直接方法 §3.2 模糊模式识别的间接方法
§3.3 隶属函数的建立
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模糊数学
模式识别（Pattern Recognition）是一门判断学科，
属于计算机应用领域，主要目的是让计算机仿照人的思 维方式对客观事物进行识别、判断和分类。 如：阅读一篇手写文字；医生诊断病人的病情；破案时 对指纹图像的鉴别；军事上对舰船目标的识别等等，都