江西省抚州市乐安县第二中学高三数学上学期第一次月考试题理

江西省抚州市乐安县第二中学2017届高三数学上学期第一次月考试题 理一.选择题（每小题5分,共50分）1．设全集R U =,集合{}2log |2≤=x x A ,()(){}013|≥+-=x x x B ,则()=A B C U A.(]1,-∞- B ．(]()3,01, -∞- C ．[)3,0 D. ()3,0 2.设命题nn N n p 2,:2>∈∃,则p ⌝为A.nn N n 2,2>∈∀ B ．nn N n 2,2≤∈∃C ．nn N n 2,2≤∈∀ D.nn N n 2,2=∈∃3.设α是第二象限角,(),4P x 为其终边上的一点,且1cos tan 25x αα=，则= A.247B. 247-C. 127D. 127-4．若()()sin 2f x x θ=+,则“()f x 的图象关于3x π=对称”是“6πθ=-”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5．由直线2,21==y y ,曲线xy 1=及y 轴所围成的封闭图形的面积是 A ．2ln 2 B ．12ln 2- C ．2ln 21 D ．456. 已知()⎪⎭⎫⎝⎛+-=-απαπ2sin 2sin ,则ααcos sin ⋅等于A.52 B ．52-C. 52或52- D ．51-7．函数()()ϕω+=x A x f sin （其中2,0,0πϕω<>>A ）的图象如图所示,为了得到()sin3g x x=的图象,只需将()f x 的图象 A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 8. 如图所示的是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（ ）A ．32 B ．34 C ．38 D ．3169.已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是（ ）A. )1,(e -∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee - 10．已知函数()()R k x x x kx xf ∈⎩⎨⎧>≤+=.0,ln ,0,2,若函数()k x f y +=有三个零点,则实数k 的取值范围是A ．2≤kB ．2-≤kC ．12-≤≤-kD ．01<<-k 二.填空题（每小题5分,共25分） 11．若函数()()10.2,log 3,2,6≠>⎩⎨⎧>+≤+-=a a x x x x x f a 且的值域是[)+∞,4,则实数a 的取值范围是 .12. 已知()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则(2)f =____________． 13.已知()()0sin nf n nx dx π=⎰,若对于,R x ∈∀()()()1321-++<+++x x n f f f 恒成立,则正整数n 的最大值为___________.14.定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时, ()2f x =；则奇函数()f x 的值域是 ．15．已知函数()()0103223>+-=m nx mx x f 有且仅有两个不同的零点,n m 22lg lg +的最小值为______________.三.解答题（共6小题,共75分） 16．（本小题满分12分）（1）已知在△ABC 中,51cos sin =+A A ,求A tan 的值．（2）已知παπ2<<,()537cos -=-πα,求()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+πααπ27tan 3sin 的值．17. （本小题满分12分）已知0>c ,且1≠c ,设p ：函数xc y =在R 上单调递减;q ：函数()122+-=cx x x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21上为增函数,若“q p ∧”为假,“q p ∨”为真,求c 的取值范围．18.（本小题满分12分） 已知函数()()02sin 2sin 32>-=ωωωxx x f 的最小正周期为π3．(1)求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,ππ上的最大值和最小值; (2)在ABC ∆中,c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边,且c b a <<,23sin =C , 1311223=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA f ,求B cos 的值．19．（本小题满分12分）为了保护环境,某工厂在政府部门的支持下,进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为：[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+=.50,30,160040,30,10,64025123x x x x x y ,且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品． （1）当[]50,30∈x 时,判断该技术改进能否获利？如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损？（2）当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少．20.（本小题满分13分）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 在x=﹣与x=1时都取得极值 （1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间．（2）若对x ∈[﹣1，2]，不等式f （x ）＜c 2恒成立，求c 的取值范围．21. （本小题满分14分） 已知关于x 函数()()()()22ln ,g x a x a R f x x g x x=-∈=+, （1）试求函数()g x 的单调区间;（2）若()f x 在区间()0,1内有极值,试求a 的取值范围; （3）0a >时,若()f x 有唯一的零点0x ,试求[]0x .（注：[]x 为取整函数,表示不超过x 的最大整数,如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-; 以下数据供参考：ln 20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946====）数学（理）参考答案一,选择题 1-5 DCABA 6-10 BCABC二,填空题 11．(]2,1 12.10 13.3 14. {-2,0,2} . 15．131三,16． 解 (1))1.(51cos sin =+A A ∴两边平方得,251cos sin 21=+A A 02512cos sin <-=∴A A ,又π<<A 0,可知0cos ,0sin <>A A ,……2分 ()254925241cos sin 21cos sin 2=+=-=-A A A A , 又0cos ,0sin <>A A ,0cos sin >-∴A A ,)2.(57cos sin =-∴A A ……4分 由()()2,1可得53cos ,54sin -==A A , 345354cos sin tan -=-==∴A A A .--------------6分(2)()()53cos 7cos 7cos -=-=-=-ααππα ,53cos =∴α.-9分 .53cos cos sin sin 2cos 2sin sin 2tan sin 27tan )3sin(==⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+∴αααααπαπααπαπααπ--------------12分 17. 解 ∵函数xc y =在R 上单调递减,10<<∴c . -----------------2分 即p ：10<<c ,∵0>c ,且1≠c ,1:>⌝∴c p . -----------------3分 又函数()122+-=cx x x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21上为增函数,21≤∴c .即210:≤<c q ,∵0>c ,且1≠c ,∴21:>⌝c q 且1≠c . ------------5分 “q p ∧”为假,“q p ∨”为真,q p ,∴中必有一真一假. ----------6分① 当p 真,q 假时,{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠><<121|121|10|c c c c c c c 且 . -------------------8分②当p 假,q 真时,{}φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<>210|1|c c c c . -------------------10分 综上所述,实数c 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121|c c . ---------------------12分 18．解（1）()16sin 22cos 12sin 32sin 2sin 32-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⋅-=-=πωωωωωx x x x x x f . 由函数()x f 的最小正周期为π3,即πωπ32=,解得32=ω. ()1632sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴πx x f -------------3分⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,ππx 时,πππ326322≤+≤-x ,1632sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ,所以当π-=x 时,()x f 的最小值为3-,当2π=x 时,()x f 的最大值为1.6分（2）在ABC ∆中,由23sin =C ,可得,323ππ或=C c b a << ,3,32ππ=+=∴B A C . ------------8分由1311223=⎪⎭⎫⎝⎛+πA f ,得1312cos =A ,.135cos 1sin ,02=-=∴<<A A A π263512sin 3sin cos 3cos 3cos cos +=+=⎪⎭⎫⎝⎛-=∴A A A B πππ.----------12分 19．（1）当[]50,30∈x 时,设该工厂获利为S ,()()700301600402022---=+--=x x x x S . 所以当[]50,30∈x 时,0<S ,因此,该工厂不会获利,所以国家至少需要补贴700万元,才能使工厂不亏损 ------------4分 （2）由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为：[)[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+∈+==50,30,40160030,10,640251)(2x x x x xx x y x p①当[)30,10∈x 时,,640251)(2x x x p +=()()2322580002640252x x x x x P -=-='∴ []20,10∈∴x 时,()0<'x P ,()x P 为减函数;[]30,20∈x 时,()0>'x P ,()x P 为增函数,∴当20=x 时,()x P 取得最小值,即48=P ; ------------8分② 当[]50,30∈x 时,,404016002401600)(=-⋅≥-+=xx x x x p 当且仅当xx 1600=,即[]50,3040∈=x 时,()x P 取得最小值()4040=P 4048> ,∴当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少．------------12分20,解 （1）f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，f'（x ）=3x 2+2ax+b由解得， 3分f'（x ）=3x 2﹣x ﹣2=（3x+2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：（不列表也行） x（﹣∞，﹣） ﹣ （﹣，1）1 （1，+∞） f′（x ） + 0﹣+f （x ） ↑极大值 ↓ 极小值 ↑所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）． （2）， （上边不列，下边要列表）当x=﹣时，f （x ）=+c 为极大值，而f （2）=2+c ，所以f （2）=2+c 为最大值．要使f （x ）＜c 2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c 2＞f （2）=2+c ． 12分 解得c ＜﹣1或c ＞2． 13分（步骤不好，适当扣分） 21. 解：（1）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞2222-)(xax x a x x g +-=-=' ①若0≥a ,则()0<'x g 在),0(+∞上恒成立,),0(+∞为其单调递减区间; ②若0<a ,则由()0='x g 得a x 2-=,)2,0(ax -∈时,()0<'x g ,),2(+∞-∈a x 时,()0>'x g ,所以)2,0(a -为其单调递减区间;),2(+∞-a为其单调递增区间; ---4分（2）)()(2x g x x f += 所以)(x f 的定义域也为),0(+∞,且()2322222xax x x ax x x f --=+-=' 令),0[,22)(3+∞∈--=x ax x x h (*)，则()a x x h -='26(**)当0<a 时, ()0≥'x h 恒成立,所以)(x h 为),0[+∞上的单调递增函数,又0-)1(,02)0(>=<-=a h h ,所以在区间)1,0(内)(x h 至少存在一个变号零点0x ,且0x 也是()x f '的变号零点,此时)(x f 在区间)1,0(内有极值. --------8分0≥a 时)1,0(,0)1(2)(3∈<--=x ax x x h ,即在区间)1,0(上()0<'x f 恒成立,此时, )(x f 无极值.综上所述,若)(x f 在区间)1,0(内有极值,则a 的取值范围为)0,(-∞. -------9分(3) 0>a ,由（II ）且3)1(=f 知]1,0(∈x 时()01)(>≥f x f ,10>∴x .又由(*)及(**)式知)(x f '在区间),1(+∞上只有一个极小值点,记为1x , 且),1(1x x ∈时)(x f 单调递减, ),(1+∞∈x x 时)(x f 单调递增,由题意1x 即为0x ,⎩⎨⎧='=∴0)(0)(00x f x f ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+∴0220ln 20200020ax x x a x x 消去a ,得131ln 2300-+=x x 0>a 时令)0(131)(),1(ln 2)(321>-+=>=x x x t x x x t , 则在区间),1(+∞上为)(1x t 单调递增函数, )(2x t 为单调递减函数, 且)2(710577.022ln 2)2(21t t =<=⨯<= ,)3(263123ln 2)3(21t t =+>>= 320<<∴x 2][0=∴x -----------------------14分。