龙驭球《结构力学Ⅰ》(第三版)辅导系列-第16章 结构的稳定计算【圣才出品】
龙驭球《结构力学Ⅱ》配套题库-课后习题(结构的稳定计算)【圣才出品】
第 16 章 结构的稳定计算
15-1 图示刚性杆 ABC 在两端分别作用重力 FP1、FP2。设杆可绕 B 点在竖直面内自 由转动，试用两种方法对下面三种情况讨论其平衡形式的稳定性： （a）FP1＜FP2。（b）FP1＞FP2。（c）FP1＝FP2。
侧相对转角
，弹性铰 C 两侧相对转角为2 (2 1) ，所以
，
图 16-9
由
，可得
其中
，
要求行列式为 0，直接可以解得，
，
所以临界荷载
（2）解法二，能量法
求总势能
应变能为铰
B、C
的应变能之和，U
1 2
k
(
2 B
c2 )
1 2
k (512
812
5
2 2
)
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故 根据
，故 FP
2kl
6EI l2
15-5 试用两种方法求图示结构的临界荷载 FPcr。设各杆 I＝∞，弹性铰相对转动的 刚 度系数为 k。
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图 16-8
解：（1）解法一，静力法
体系失稳时，产生的微小位秱如图 16-9 所示。独立角位秱为 ， ，则弹性铰 B 两
，则
或者 q k cos
6
（2）解法二，按小挠度理论计算
平衡条件为，
整理得到，
，则
所以分支点的临界荷载为
或者 q k 6
15-3 试用两种方法求图示结构的临界荷载 FPcr。设弹性支座的刚度系数为 k。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第3版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
目 录第一部分 名校考研真题第1章 绪 论第2章 结构的几何构造分析第3章 静定结构的受力分析第4章 影响线第二部分 课后习题第1章 绪 论第2章 结构的几何构造分析第3章 静定结构的受力分析第4章 影响线第三部分 章节题库第1章 绪 论第2章 结构的几何构造分析第3章 静定结构的受力分析第4章 影响线第四部分 模拟试题龙驭球《结构力学Ⅰ》（第3版）配套模拟试题及详解第一部分 名校考研真题第1章 绪 论本章不是考研复习重点，暂未编选名校考研真题，若有最新真题会在下一版中及时更新。
第2章 结构的几何构造分析一、判断题图2-1所示体系的几何组成为几何不变体系，无多余约束。
（ ）[厦门大学2011研]图2-1二、选择题1．图2-2所示平面体系的几何组成是（ ）。
[浙江大学2010研]A ．几何不变，无多余约束 B ．几何不变，有多余约束C ．几何常变D．几何瞬变图2-2图2-3错【答案】如图2-1（b ），分别视ABD 和基础为刚片Ⅰ和Ⅱ,两刚片通过链杆AC 、BE 和D 处的支座链杆相连，三根链杆相交于一点O ，故该体系为几何瞬变体系。
【解析】A【答案】如图2-3所示，把大地看成刚片3，刚片1和2形成瞬铰（1,2），刚片1和3形成瞬铰（1,3），刚片2和3形成无穷远处瞬铰（2,3），三个铰不共线，因此是无多余约束的几何不变体系。
【解析】2．图2-4（a ）所示体系的几何组成是（ ）。
[武汉大学2012研、郑州大学2010研、华南理工大学2007研、河海大学2007研]A ．无多余约束的几何不变体系B ．几何可变体系C ．有多余约束的几何不变体系D．瞬变体系图2-4三、填空题1．图2-5所示体系是几何________变体系，有________个多余约束。
[重庆大学2006研]图2-52．如图2-6（a ）所示体系的几何组成为________体系。
[南京理工大学2011研]图2-6A【答案】鉴于刚片与构件可以等效互换，所以可将图2-4（a ）所示体系替换为图2-4（b ）所示体系，然后通过依次去除C 支座链杆与CE 杆、D 支座链杆与DE 杆所组成的二元体，以及二元体A-E-B 后，可知原体系为无多余约束的几何不变体系。
龙驭球《结构力学Ⅰ》笔记和课后习题(含考研真题)详解(虚功原理与结构位移计算)
第5章虚功原理与结构位移计算5.1 复习笔记一、应用虚力原理求刚体体系的位移1．推导位移计算一般公式的基本思路推导过程的基本思路是“化整为零和积零为整”：把结构的整体变形分解为局部变形，应先用刚体体系的虚力原理导出局部变形时的位移公式，然后应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
2．结构位移计算概述（1）计算结构位移的目的①验算结构的刚度；②为超静定结构的内力分析打下基础。
（2）产生位移的原因①荷载作用；②温度变化和材料胀缩；③支座沉降制造误差。
3．应用虚力原理求刚体体系的位移——单位荷载法例如，图5-1-1（a）中的静定梁，支座A向上移动一个已知距离c，现在拟求B点1的竖向位移 。
图5-1-1位移状态已给定，力系则可根据我们的意图来虚设。
在拟求位移∆的方向设置单位荷载，根据平衡条件，可得支座A 的反力R1F ＝ba-，图5-1-1（b ）中的虚设平衡力系在实际刚体位移上作虚功，虚功方程为可以求解出 1=b c a∆在拟求的位移∆方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求出与1c 相应的支座反力R1F 。
这个解法称为单位荷载法。
4．支座移动时静定结构的位移计算 归纳求解步骤如下：（1）沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力；（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，建立虚功方程R 10K K F c ∆⋅+∑⋅=（3）由虚力方程，解出拟求位移二、结构位移计算的一般公式——单位荷载法1．局部变形时静定结构的位移计算举例图5-1-2（a）所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。
试求A点的竖向位移Δ。
图5-1-2解：图5-1-2（a）中的实际位移状态可改用图5-1-2（b）来表示。
这里，在B处加铰，把实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态。
为了求未知位移Δ，可虚设力系如图5-1-2（c）所示。
这里，在A点沿拟求位移Δ的方向虚设单位荷载。
此外．在铰B处还必须虚设一对弯矩根据平衡条件可求出均数值如下令图5-1-2（c）中的平衡力系在图5-1-2（b）中的实际位移上作功，可写出虚功方程如下解得由此看出，位移Δ与截面相对转角θ成正比，它们之间的比例系数正好就是虚设单位荷载在该截面引起的弯矩。
结构力学龙驭球第三版课后习题答案课件
根据空间力矩的定义和性质，计算力对点 的矩和力对轴的矩。
03 材料力学部分习题答案
材料力学基 础
总结词
掌握材料力学的基本概念、原理和公 式。
详细描述
这部分习题答案将提供关于材料力学 基础知识的详细解释，包括应力和应 变的概念、胡克定律、弹性模量等， 以便学生更好地理解材料力学的基本 原理和公式。
振动分析
总结词：掌握振动分析的基本原理和方 法
掌握振动分析中常用的计算方法和技巧， 如模态分析和谱分析。
熟悉振动分析中常用的数学模型和方程， 如单自由度系统和多自由度系统的振动 方程。
详细描述
理解振动分析的基本概念和原理，包括 自由振动和受迫振动。
05 弹性力学部分习题答案
弹性力学基础
总结词
详细描述了弹性力学的基本概念、假设、基本方程和解题方法。
详细描述
这部分内容主要介绍了弹性力学的基本概念，包括应力和应变、胡克定律等。同时，也介绍了弹性力 学的基本假设，如连续性、均匀性、各向同性等。此外，还详细阐述了弹性力学的基本方程，包括平 衡方程、几何方程和物理方程，并给出了相应的解题方法。
平面问题
总结词
针对平面问题的解题技巧和思路进行了 深入探讨。
这部分习题答案将针对剪切与扭转的受力分析、应力和应变计算进行详细的解析，包括剪切与扭转的受力分析、 应力和应变计算等，帮助学生理解剪切与扭转的基本概念和计算方法。
04 动力学部分习题答案
动力学基础
详细描述
总结词：掌握动力学基本概 念和原理
01
掌握牛顿第二定律、动量定
理、动量矩定理等基本原理。
02
VS
详细描述
该部分内容主要针对平面问题进行了深入 的探讨，包括平面应力问题和平面应变问 题。对于平面应力问题，介绍了如何利用 应力函数和叠加原理求解；对于平面应变 问题，则介绍了如何利用格林函数和积分 变换等方法进行求解。此外，还对平面问 题的基本假设和简化方法进行了阐述。
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(结构的稳定计算)【圣才出品】
非完善体系的失稳形式是极值失稳。
（2）小扰度理论
设
，
，得平衡条件
解得
图 15-9 不大扰度相比，对于非完善体系，小扰度理论未能得出临界荷载会逐渐减小的结论。
3．几点认识 （1）一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳； （2）分支点特征是在交叉点出现平衡形式的二重性； （3）极值点失稳特征是只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点； （4）结构稳定问题只有根据大扰度理论才能得出精确的结论； （5）小扰度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。
路径Ⅱ的平衡是丌稳定平衡，分支点 A 处的临界平衡状态也是丌稳定的。对于这类具
有丌稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时，按非完善体系进行。
（2）小扰度理论
若
，则倾斜位置的平衡条件为：
得
图 15-5 路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。 小扰度理论能够得出临界荷载的正确结果，但丌能反映倾角较大时平衡路径Ⅱ的下降趋 势。
新平衡为的平衡条件
由
，得
图 15-10
2．能量法
在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值原理，求出临界荷
载。
弹簧应变能
，荷载势能
体系的势能为：
应用驻值条件
，得
取非零解，得 临界状态的能量特征：势能为驻值，且位秱有非零解。
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讨论势能
15-2 试用两种方法求图示结构的临界荷载 qcr。假定弹性支座的刚度系数为 k。
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题 15-2 图 解：（1）解法一，按大挠度理论计算 体系变形图，如图所示。
(NEW)龙驭球《结构力学Ⅰ》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(下册)
①设想先在结点B加一个阻止转动的附加约束阻止结点B转动，然后再 加载荷。载荷在附加约束处产生约束力矩 ，且结构发生如图8-11（b）所示变形。
②解除附加约束，使结构恢复到原来状态，相当于在原有附加约束力矩 处施加力偶（ ），力偶使结构产生变形,如图8-1-1（c）。
（1）忽略侧移的影响，用力矩分配法计算； （2）忽略每层梁的竖向荷载对其他各层的影响，把多层刚架分解，一 层一层地单独计算。
3．在水平荷载作用下忽略刚架的结点转角——反弯点法 多层多跨刚架采用反弯点法，基本假设是把刚架中的横梁简化为刚性 梁。
七、超静定结构各类解法的比较和合理选用
1．基本方程直接解法和渐近解法的比较 （1）直接解法是首先建立基本方程，通常是一组线性代数方程，然后 采用直接法求解这组线性代数方程；
（a） 弯矩方程可以表示为
（b）
（3）采用力矩分配法求得基本结构在荷载作用下的附加反力 和弯 矩。
（4）假设
，基本结构产生附加反力 和弯矩 。
（5）根据位移法的基本方程（a）,求出节点线位移
然后按式（b）可作出弯矩图。 六、近似法
1．忽略剪力和轴力引起的变形。 2．在竖向荷载作用下忽略刚架的侧移——分层计算法 分层计算法就是忽略侧移影响的一种近似法，采用两个近似假设：
③把图8-1-1（b）、（c）所示两种情况叠加，就得到结构实际的变形， 如图8-1-1（a）所示。此时将图8-1-1（b）、（c）两种情况下的杆端弯 矩叠加，可得图8-1-1（a）实际情况下的杆端弯矩。
二、多结点的力矩分配
1．多结点转动的连续梁和无侧移刚架的计算
对于具有多个结点转动的连续梁和无侧移刚架，只要逐次对每一个结点 应用单结点的基本运算，就可以渐近方式求出解答，求出杆端弯矩。
结构力学龙驭球完整版课件288页
瞬铰和无穷远处的瞬铰
图2-6b
图2-6c
在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中 关于∞点和∞线的下列四点结论： (1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。 (2) 不同方向上有不同的∞点。 (3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。 (4) 各有限远点都不在∞线上。
图2-4a
多余约束和非多余约束
链杆1、2和3共减少点 A 的 两个自由度，因此三根链杆 中只有两根是非多余约束， 有一个是多余约束。
图2-4b
瞬变体系
图2-5a
图2-5b
分析: (1)当链杆1和2共线时，圆弧Ⅰ和Ⅱ在 A 点相切(图2-5a)，因此 A 点可沿公 切线方向做微小运动，体系是可变体系。 (2)当 A 点沿公切线发生微小位移后，链杆1和2不再共线(图2-5b)，因此体系 不再是可变体系。 (3)点 A 在平面内有两个自由度，增加两根共线链杆后， A 点仍有一个自由 度，因此链杆1和2中有一个是多余约束。
§2-2 自由度计算
• 1. 实际自由度s和计算自由度w • 2. 部件和约束 • 3. 平面体系计算自由度w的求法（1） • 4. 平面体系计算自由度w的求法（2） • 5. 思考和讨论
实际自由度s和计算自由度w
S = （各部件自由度总和 a）－（非多余约束数总和 c ） W = （各部件自由度总和 a ）－ （全部约束数总和 d ） S －W = (全部约束数总和 d ) － (非多余约束数总和 c ) = 多余约束数 n
图3-5a
j=2,b=1 S = 2× 2 - 1 = 3
图3-5b (图中复链杆相当三个单链杆) j=3,b=3 S=2×3-3=3
平面体系的计算自由度 W 的求法(1)
龙驭球《结构力学Ⅱ》(第3版)章节题库-第十一章至第十八章【圣才出品】
（2）利用已知（a）作弯矩图。MP， M 1 如图 12-3
图 12-3 （3）图乘法计算系数和常数
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（4）确定基本未知量 （5）作最后弯矩图如 12-4。
图 12-4 3．对图 12-5a 所示刚架选择计算方法，并作 M 图。
分配系数为
“固端弯矩”为杆 CE、BD 因其两端有相对线位移△1＝1 所产生的杆端弯矩，即
力矩分配计算（过程略）可得 图，如图 12-5c 所示。由杆端弯矩求得杆端剪力为
由此求得
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（4）求自由项 F1p 用力矩分配法求荷载作用下图 12-5b 所示基本结构的 Mp 图，分 配系数同上。固端弯矩为
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第 12 章 超静定结构总论
1．图 12-1 所示结构各杆 EI 均为常数。试问求图示结构内力时采用什么计算方法最简 便？（各小题均可简化到只有一个基本未知量。）
图 12-1
解：（a）力法；（b）半结构，位移法（或力矩分配法）；（c）分解荷载，半结构，力法： （d）半结构，位移法（或力矩分配法）；（e）q 作用下，取半结构，位移法；FP 分解，在 反对称分量下取半结构，无剪力分配法；（f）取 结构，力法。
图 12-5
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解：（1）分析可知，若仅用力法或位移法求解，基本未知量过多。又因结点 D 有竖向 线位移，不能单独用力矩分配法，可运用位移法与力矩分配法联合求解。
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台
（4）结构稳定问题只有根据大扰度理论才能得出精确的结论；
（5）小扰度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。
三、有限自由度体系的稳定—静力法和能量法 确定临界荷载的方法 静力法：根据临界状态的静力特征而提出来的方法。 能量法：根据临界状态的能量特征而提出来的方法。 1．静力法 在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定二者的交叉点，求出临界荷载。
2．单自由度非完善体系的极值点失稳
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（1）大扰度理论 平衡条件：
解得
图 16-6
由
，得
相应的极值荷载为
图 16-7
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讨论势能
是位移 θ 的二次抛物线。
图 16-11
四、无限自由度体系的稳定—静力法 与有限自由度的区别：平衡方程是微分方程。
图 16-12
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弹性曲线的微分方程
改写为：
其中
，解
引入边界条件得
非零位移条件
展开，得
2a ka
sin sin
2aq a sin
FR
a cos
0
整理得到， a2 sin (6q k cos ) 0 ，则 0 或者 q k cos
6
所以分支点的临界荷载为 qcr
k 6
（2）解法二，按小挠度理论计算
平衡条件为， 2aq 2a 2aq a ka a 0
整理得到， a2 (6q k) 0 ，则 0 或者 q k
，这就是新的平衡形式（上图有曲线 AC 表示）。
A 点为分支点，对应的临界荷载为：
路径Ⅱ的平衡是不稳定平衡，分支点 A 处的临界平衡状态也是不稳定的。对于这类具
有不稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时，按非完善体系进行。
（2）小扰度理论
若
，则倾斜位置的平衡条件为：
得
图 16-5 路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。 小扰度理论能够得出临界荷载的正确结果，但不能反映倾角较大时平衡路径Ⅱ的下降 趋势。
15-2 试用两种方法求图示结构的临界荷载 qcr。假定弹性支座的刚度系数为 k。
图 16-2 解：（1）解法一，按大挠度理论计算 体系变形图，如图 16-3 所示。
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图 16-3
平衡条件为
2aq
FR
新平衡为的平衡条件
由
，得
图 16-10
2．能量法 在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值原理，求出临界 荷载。
弹簧应变能
，荷载势能
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体系的势能为：应用驻值源自件，得取非零解，得 临界状态的能量特征：势能为驻值，且位移有非零解。
图 16-13
五、无限自由度体系的稳定—能量法 以图示体系为例说明
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令压杆的变形曲线为 弯曲应变能为
与 FP 相应的位移
荷载势能为 体系的势能为
图 16-14
由势能驻值条件
，得
令 矩阵形式
，
，则
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图 16-8 非完善体系的失稳形式是极值失稳。 （2）小扰度理论
设
，
解得
，得平衡条件
图 16-9 与大扰度相比，对于非完善体系，小扰度理论未能得出临界荷载会逐渐减小的结论。
3．几点认识 （1）一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳； （2）分支点特征是在交叉点出现平衡形式的二重性； （3）极值点失稳特征是只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点；
1．分支点失稳（完善体系）
图 16-1
FP1 Fcr 时，压杆处于稳定的直线平衡状态；
FP2 Fcr 时，压杆可能处于直线平衡状态，也可能处于曲线的平衡状态。
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2．极值点失稳（非完善体系）
图 16-2 在荷载极值点处，平衡路径由稳定平衡转为不稳定平衡。 特征：平衡形式不会出现分支现象。
二、两类稳定问题计算简例 1．单自由度完善体系的分支点失稳
图 16-3
（1）大扰度理论
倾斜位置的平衡条件为：
考虑到
，得
第一个解为：
，这就是原始平衡形式（下图由直线 OAB 表示）。
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图 16-4
第二个解为：
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可简写为 由非零条件，得 最小根即为临界荷载。
16.2 课后习题详解
15-1 图示刚性杆 ABC 在两端分别作用重力 FP1、FP2。设杆可绕 B 点在竖直面内自 由转动，试用两种方法对下面三种情况讨论其平衡形式的稳定性： （a）FP1＜FP2。（b）FP1＞FP2。（c）FP1＝FP2。
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第 16 章 结构的稳定计算
16.1 复习笔记
一、两类稳定问题的概述 稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰消失后，能回到原来的平衡状态。
不稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰消失后，继续偏离。 中性平衡状态：由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态。 失稳：随荷载逐渐增大，结构的原始平衡位置可能由稳定平衡状态转化为不稳定状态。
图 16-1
解：（1） FP1 FP2 当 0 时，刚性杆处于稳定平衡；
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当
台
时，刚性杆处于不稳定平衡。
（2） FP1 FP2 当 0 时，刚性杆处于不稳定平衡；
当 时，刚性杆处于稳定平衡。
（3） FP1 FP2 角取任意值，刚性杆都会处于一种静止或动态平衡状态。
6
所以分支点的临界荷载为 qcr
k 6
15-3 试用两种方法求图示结构的临界荷载 FPcr。设弹性支座的刚度系数为 k。