高考数学总复习28等差数列

C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,„
由此可得a1000=-1.
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
∴a1000=a166×6+4=a4=-a1=-1. 答案:D
忽略数列项数
【典例1】已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2(n∈N+),求数列 {|an|}的前n项和Tn.
[错解]当n=1时,a1=S1=9;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=11-2n.
由于n=1时,a1=9也满足an=11-2n,
因此an=11-2n. 由11-2n>0,得
n 11. 2
4.与等差数列有关的结论
(1)若数列{an}和{bn}是等差数列,则{man+kbn}仍为等差数列, 其中m,k为常数.
(2)等差数列中依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,„ 成等差数列,且公差为k2d(d是原数列公差).
(3)项数为偶数2n的等差数列{an},有
S2n=n(a1+a2n)=„=n(an+an+1)(an与an+1为中间的两项);
即从第6项开始数列各项为负,那么 Tn=|a1|+|a2|+„+|an| =-(a1+a2+„+an)+2(a1+a2+„+a5) =-Sn+2S5=n2-10n+2×(10×5-52) =n2-10n+50. [剖析]错解中忽视了“项数”,默认了n>5,事实上,n完全可以
小于或等于5.显然,当n≤5时,结论就是错的.
6
5 6
0,
也
就是说零是这个数列的第13项,于是答案就出错了.
[正解]由于a1=10>0,d=
5 6
0,即数列{an}是一个首项为正的
递减的等差数列,又由于a13=0,由上述解法可知,该数列的
【典例2】已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8,„,2n,„项,按原来的顺序
排成一个新的数列,试求新数列的前n项和An.
[解]1设数列an的公差为d,由a2 8,S10 185得
a1 d 8,
4 a1 an 280a1 an 70.
而Sn
(a1
an )n 2
210 n
6.
(3)∵S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=1,S8S4=3.
∴新的数列前5项分别为1,3,5,7,9.
∴S20-S16=a17+a18+a19+a20=9.
第二十八讲等差数列
回归课本
1.等差数列的定义及等差中项
(1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am、
Sn≥Sn1,解此不
Sn≥Sn1
,
等式组确定n的范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最 值).
【典例4】已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n 项和为Sn,且a3=10,S6=72.
若bn= 12an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值. [分析]先判断{an}是等差数列,求an,再求bn,由{bn}的通项研究
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使
[正解]对n进行分类: (1)由上述可知an=11-2n. 当n>5时,同上述错解,得Tn=n2-10n+50; (2)当n≤5时, Tn=|a1|+|a2|+„+|an| =a1+a2+„+an=10n-n2.
综合 1 2 得Tn
10n n2 n2 10n
50
(n≤5), (n 5).
列.
考点陪练
1.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}前8项的和为( )
A.128 B.80
C.64
D.56
解析 :由aa11
d 3, 6d 13,
解得a1
1, d
2,
87 S8 8a1 2 d 64.
答案:C
2.(2010·山东烟台高三诊断)在等差数列{an}中,若前5项和
an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果a,A,b成等差数列,
那么A叫做a与b的等差中项,其中 A a b . 2
2.等差数列的通项公式及前n项和公式
等差n(a数1 列a的n ) 通项n公(n式为1a)n=a1+(n-1)d;前n项和公式为Sn=
2或
d. 2
3.等差数列的性质
(1)等差数列的通项是关于自然数n的一次函数(d≠0).(n,an)是 直线上的一群孤立的点,an=an+b(a、b是常数)是{an}成等 差数列的充要条件.
10a1
10 9 2
d
185,
ad1
5, 3.
a
n
3n
2.
(2)∵An=a2+a4+a8+„+a2n
=(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+„+(3×2n+2)
=3×(2+4+8+„+2n)+2n =3× 2(1 2n+) 2n=3×2n+1+2n-6.
1 2 [反思感悟]先求出数列的通项公式,然后用通项公式表示出新
类型二
等差数列的基本量运算
解题准备:①等差数列{an}中,a1和d是两个基本量,用它们可以 表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前n项 和公式,列方程组解a1和d,是解决等差数列问题的常用方法 ;
②由a1,d,n,an,Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量,需 选用恰当的公式,利用方程组观点求解.
类型四
等差数列前n项和的最值问题
解题准备:求等差数列前n项和Sn的最值问题,主要有以下方 法:①二次函数法:将Sn看作关于n的二次函数,运用配方法, 借助函数的单调性及数形结合,使问题得解;
②通项公式法:求使an≥0(或an≤0)成立的最大n值即可得Sn的 最大(或最小)值;
③不等式法:借助Sn最大时,有
S5=20,则a3等于(
)
A.4
B.-4
C.2
D.-2
解析:S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20.∴a3=4. 答案:A
3.(2010·辽宁大连高三一模)在等差数列{an}中,若
a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9- 1 a11的值为( )
3
A.14
B.15
C.16
D.17
S偶-S奇=nd;
S奇 an . S偶 an1
(4)项数为奇数2n-1的等差数列{an},有 S2n-1=(2n-1)an(an为中间项);S奇-S偶=an;
S奇 n . S偶 n 1
S奇､S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.
5.与等差数列有关的规律
(1)等差数列{an}中,若an=m,am=n(m≠n),则am+n=0. (2)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n). (3)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0. (4)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S′n,则
10 n
1
5 6
.
由a n
0,即10
n
1
5 6
0, 得n
13.
因此当n 12时,Sn有最大值, 其值为
S12
12a1
1211 d 2
1210
12
11 2
5 6
65.
[剖析]这是一个首项为正的递减的等差数列,零是这个数列的
项吗?由于a1=10,d=
5 ,得10+(13-1)×
数列{bn}的前n项和的最值.
[解]∵2an+1=an+an+2,
∴{an}是等差数列,
设{an}的首项为a1,公差为d,
由a3=10,S6=72,得
6a1a121d5d
10 72
,
ad1
2 4
,
a
n
4n
2.
则bn
1 2
an
30
2n
31.
解
2n 31≤0 2(n 1) 31≥0
,
得
29 2
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.