2020上海市华二附中高三下数学4月月考试卷(图片版,有答案)
2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________． 二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（ ） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。
2020届上海市华二附中高三下学期4月月考数学试题(解析版)
2020届上海市华二附中高三下学期4月月考数学试题一、单选题1．设,x y R ∈，“1x y +>”的一个充分条件是（ ） A ．1x ≥B ．1x y +≥C ．2y ≤-D ．12x ≥且12y ≥【答案】C【解析】举例说明ABD 推不出1x y +>，再证明C 推出1x y +>. 【详解】1,0x y ==时，满足1x ≥，但1x y +=，所以A 错；1,0x y ==时，满足1x y +≥，但1x y +=，所以B 错；11,22x y ==时，满足12x ≥且12y ≥，但1x y +=，所以D 错；2y ≤-时，21y x y ≥∴+>故选：C 【点睛】本题充分条件判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 2．图中曲线的方程可以是( )A ．()()22110x y x y +-⋅+-=B ()22110x y x y +-+-= C ．()22110x y x y +-+-= D 22110x y x y +-+-=【答案】C【解析】由图像可知曲线的方程是221x y +=或()22101x y x y +-=+≥,即可得出结论． 【详解】由图像可知曲线的方程是221x y +=或()22101x y x y +-=+≥,故选:C ． 【点睛】本题考查了根据图像求曲线的方程,解题关键是掌握圆的标准方程和直线方程,考查了分析能力,属于基础题.3．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．16【答案】A【解析】可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论. 【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A. 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．已知抛物线22y px =（0p >）与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）有相同的焦点F ，点A 是两条曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）A ．06π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．32ππ⎛⎫⎪⎝⎭，C ．43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】B 【解析】【详解】分析：因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以可得p 与c 之间的关系， 因为AF x ⊥轴，则点A 的坐标可以由抛物线求出，将其代入双曲线方程，再由a 、b 、c 之间的关系，可求出离心率，由离心率公式可得ba，即斜率的值，由斜率求出倾斜角的范围.详解：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以2p c =，因为AF 与x 轴垂直，所以可求得点A 的坐标为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程可得：222214p p a b-=，因为222b c a =-，代入上式可得：2222241c c a c a--=， 化简得：422460c c a a -+=，两边同时除以4a 得：42610e e -+=，解得23e =+3-，设渐近线斜率为k ，由22222211c b e k a a==+=+，解得223k =+>，所以倾斜角应大于60，所以区间可能是,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 故选B.点睛：本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，由焦点与公共点建立系数之间的联系，渐近线斜率与离心率有关，所以由系数求出离心率并求得斜率，与特殊倾斜角的斜率作对比，求出倾斜角取值范围.二、填空题5．若关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为32111m ⎛⎫⎪⎝⎭，若5x D =，则实数m =___________.【答案】2-【解析】根据增广矩阵相关概念列式，解得结果. 【详解】因为5x D =，所以1211252323211m mm -==∴=-- 故答案为：2- 【点睛】本题考查增广矩阵相关概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若()2nx +的二项展开式中,所有二项式的系数和为256,则正整数n =____． 【答案】8【解析】根据二项式的系数和计算公式:2n ,可得:2256n =,即可求得答案． 【详解】根据二项式的系数和计算公式:2n∴ 题意可得:2256n =解得8n =． 故答案为:8． 【点睛】本题考查了二项式的系数和,掌握二项式的系数和计算公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.7．已知球的半径为R ，A 、B 为球面上的两点.若A 、B 之间的球面距离是4Rπ，则这两点间的距离等于___________.【解析】设球心为O ，先根据A 、B 之间的球面距离得AOB ∠,再根据余弦定理求结果. 【详解】设球心为O ，因为A 、B 之间的球面距离是4R π，所以44RAOB R ππ∠==,因此22222||2cos (2||4AB R R R R AB π=+-=∴=【点睛】本题考查球面距离、余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.8．设()lg f x x =，若(1)()0f a f a -->，则实数a 的取值范围为________. 【答案】1(0,)2【解析】首先判断函数的定义域和单调性，不等式等价于()()1f a f a ->，利用函数性质解不等式. 【详解】函数()f x 的定义域是()0,∞+ ，并且函数是单调递增函数，()()()()101f a f a f a f a -->⇒-> 1001a a a a->⎧⎪∴>⎨⎪->⎩，解得：102a <<.故答案为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查根据函数的性质解抽象不等式，意在考查函数基本性质简单应用，解抽象不等式时，需注意函数的定义域.9．已知复数11z =+，22z =，12z z 是正实数，则复数2z =______________.【答案】1【解析】设复数2()z a bi a b R =+∈，,求出12z z ,再根据已知条件列出方程组,即可求得答案． 【详解】设复数2()z a bi a b R =+∈，,12(1)()()()z z a bi a b i =++=++,22z =,12z z 是正实数,∴20,0b a =+=>⎪⎩,解得:1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．则复数21z = 故答案为:1 【点睛】本题考查了复数的乘法运算和求复数模,掌握复数基础知识是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.10．设k 为常数,且cos 4k πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则用k 表示sin 2α的式子为sin 2α=____．【答案】221k -【解析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式,进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式即可求解．cos4k πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,∴()cos sin 2k αα+=,可得:cos sin αα+=, ∴两边平方可得:222cos sin 2cos sin 2k αααα++=,可得:21sin 22k α+=,∴ 2sin 221k α=-．故答案为:2sin 221k α=-． 【点睛】本题考查了两角差的余弦函数公式和同角三角函数基本关系式,掌握三角函数基本知识是解本题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.11．从集合11,,2,323⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任取一个数记作a ，从集合{}-2-1,1,2，中任取一个数记作b ，则函数xy a b =+的图象经过第三象限的概率是______ ． 【答案】38【解析】先求出基本事件(,)a b 的个数4416n =⨯=，再利用列举法求出函数x y a b =+的图象经过第三象限的情况，由此能求出函数x y a b =+的图象经过第三象限的概率． 【详解】解：从集合11,,2,323⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任取一个数记做a ，从集合{}21,1,2--，中任取一个数记做b ，基本事件(,)a b 的个数4416n =⨯=， 函数xy a b =+的图象经过第三象限有：①当3a =、1b =-时，②当3a =、2b =-时，③当2a =、1b =-时，④当2a =、2b =-时，⑤当13a =，2b =- 时，⑥当12a =，2b =- 时，共6种情况，∴函数x y a b =+的图象经过第三象限的概率是63168P ==．故答案为：38．本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题． 12．设等比数列{}n a 的通项公式为()1*n n a q n N -=∈，前n 项和为n S ，若1lim 2nn n S a →∞+=，则q =__________. 【答案】32【解析】根据公比分类求n S ，再求极限，即得结果. 【详解】当1q =时，1n S na =∴111lim lim lim 21n n n n n S naa a n q →∞→∞→∞+≠∴=≠= 当1,0q q ≠≠时，1(1)1nn a q S q -=∴-111(1)111lim lim lim 1n n n n n n nn a q S a q q q q a →∞→∞→∞+---==- 因此当||1q >时，113lim 212n n n S q a q →∞+-==∴=- 当||1,0q q <≠时，1lim nn n S a →∞+不存在， 综上，32q =故答案为：32【点睛】本题考查数列极限、等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题. 13．设()1fx -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________. 【答案】54π【解析】由函数()f x 是[]0,π上的递增函数，得到()1fx -的单调性相同，得出()()1y f x f x -=+的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，进而可得()()1y f x f x -=+的最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()cos 488f x x x ππ=-+是[]0,π上的单调递增函数， 且()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，所以函数()f x 与()1fx -的单调性相同，当x π=时，函数()f x 取得最大值()cos 4882f ππππππ=-+=，当0x =时， co (s 0)0088f ππ=-+=，当2x π=时， 1cos 4884()222f ππππππ=⨯-+=，所以函数()()1y f x f x -=+的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且当2x π=时，1()2fππ-=，所以()()1y f x f x -=+的最大值为15()()2244f f πππππ-+=+=， 故答案为：54π. 【点睛】本题主要考查了反函数的基本性质，函数的定义域与值域，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14．已知ABC ∆的面积为360，点P 是三角形所在平面内一点，且1144AP AB AC =+，则PAB ∆的面积为__． 【答案】90【解析】画出其几何图形,取AB 的中点D ,AC 的中点E ,则P 为DE 的中点,利用相似比,可得结论． 【详解】 画出其几何图形:取AB 的中点D ,AC 的中点E , 1144AP AB AC =+ ∴ P 为DE 的中点,ABC ∆的面积为360,根据几何关系可得:PDB PDA PAE S S S ∆∆∆==∴ AD PAB E S S ∆∆=ADEABC ∆∆,相似比为:1:2∴ PAB S ∆113609044ABC S ∆=⨯=⨯=． 故答案为:90． 【点睛】本题考查平面向量基本定理,掌握向量的基本知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.15．已知函数21,0()2,0x a x x f x x ax x ⎧++->=⎨-+≤⎩的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为__________.【答案】{2[1,1]--⋃-【解析】对参数a 进行分类讨论，结合二次函数的最值，由已知条件，求得不同情况下对应的参数范围，再求并集即可. 【详解】分情况进行讨论：当0a ≥时，21,0()2,0x a x x f x x ax x ⎧++->=⎨-+≤⎩， 0x >时()f x 在[,1]a -取得最小值1a +，0x ≤时在0x =时取得最小值2，故12a +≤，解得1a ≤，又因为此时0a ≥，所以01a ≤≤。
上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高三下学期3月月考化学试卷(原卷版)
化学试题
选择题无特殊说明，均为单选，标注“不定项”的，有1-2个正确选项；
可能用到的相对原子质量：
一、最“炫”分子
1.2023年6月，科学家首次合成含铍-铍能的固态化合物，相关成果发表于《科学》杂质。该分子入选2023年最“炫”分子榜单，其结构如图所示，回答下列问题：
（3）工业生产对催化剂进行选择的时候，除了要考虑催化剂的效宰以外，催化剂的稳定性也是很重要的参考条件，一般工业生产所用催化剂更换间隔为半年到一年，请根据下图信息，选出最适合的催化剂_____。
A. B. C. D.
（4）在恒温( )密闭容器中，往容器中注入一定量 和 发生以上反应， _____；若反应达到平衡时 和 浓度相等，则平衡时 的浓度 _____ 。
A．碱性B．中性C．酸性
Ⅱ．热分解法脱硫
在密闭容器中模拟工业热分解法脱硫，发生反应 。其他条件不变时， 的平衡转化率随温度和压强的变化如图。
（4） ，反应中 _____(填“是”或“不是")气态，理由是_____。
（5）实际反应在高温下进行的原因可能是_____(答出2条即可)。
四、阳宗海治理的“功臣”——
熔点/
552
399
488
510
① 中 原子的杂化方式为_____；
② _____(填“能”或“不能)溶于四氯化碳：
③ 、 、 的熔点依次升高的原因是_____。
（5） 易形成配离子 ，其中心阳离子的配位数为_____，配体是_____(填化学符号)，配离子的空间构型为_____。
（6）离子晶体中稳定配位多面体的理论半径比如表所示：
（5）通常用碘量法测定 的质量分数：称取 无水 样品，溶于稀盐酸，配制成 溶液；取出 溶液，加入稍过量的 溶液，充分反应后，滴入几滴淀粉溶液，并用 标准液滴定，消耗 标准液 (已知： )。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)
故答案为 ．
【点睛】
本题考查三角函数的单调性，解题时需把函数化为一个角一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解．
8．已知函数 的图象的一条对称轴是 ，若 表示一个简谐运动，则其初相是________.
【答案】
【解析】由对称性先求出 ，再利用辅助角公式即可得到答案.
【详解】
所以 ，所以 ；
（2）将函数 的图像向左平移 个单位长度后，
得到 的图像，
再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
得到 的图像，故 ，
因为 ，
时，函数 取最小值， ；
当 ，函数 取最大值， ，
故 .
函数 在区间 上存在零点，
所以 有解，
所以实数k的取值范围为 .
【点睛】
本题考查三角函数解析式以及三角函数的值域的求法，考查三角恒等变换以及三角函数图像的变化，考查化归与转化思想，属于简单题目..
18．已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到的函数为奇函数.
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）根据周期求出 ,利用图象变换求出 ,即可求 的解析式；
（2）由正弦定理得： ，进而求出 ，用 表示出 ，代入已知的等式,利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据 的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
上海华东师大附属中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析
上海华东师大附属中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y0）满足|y0|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2B．﹣C． +D． +参考答案：A【考点】J3：轨迹方程．【分析】由题意，过M作⊙O切线交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到动点M运动的区域满足（|y0|≥1）．画出图形，利用扇形面积减去三角形面积求得动点M运动的区域面积．【解答】解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMT≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y0|≥1）．把y0=1代入，求得A（），B（），∴，∴动点M运动的区域面积为2×（）=．故选：A．2. 设的内角所对的边为；则下列命题正确的是①若；则②若；则③若；则④若；则A.②③④B.①②③C.①②④D. ①③④参考答案：B3. “x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判断出结论．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c成等比数列，且，则cos B等于（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．【详解】解：成等比数列，，又，，则故选：B。
2020-2021上海华二附中高一下学期期末数学试题及答案
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（下）期末数学试卷一、填空题（共10小题）.1．与2023°终边重合的最小正角是．2．已知向量＝（2，﹣3），＝（3，λ），若与共线，则实数λ＝．3．已知α、β∈（0，），sinα＝，cosβ＝，则cos（α﹣β）＝．4．|（3﹣4i）4|＝．5．已知tan x＝﹣2，则sin2x＝．6．函数f（x）＝a sin2x+b tan x+3满足f（﹣2）＝1，则f（2﹣π）＝．7．空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是．8．已知关于x的方程sin x+cos x＝a在区间[0，]上有解，则实数a的取值范围是．9．将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得y＝sin2x的图象，则f（）＝．10．已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、z k、w1、w2，满足﹣＝，且|w j﹣z a|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为．二、选择题11．设a＝arcsin，b＝arccos，c＝arctan，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a12．已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（）A．2B．﹣1C．﹣1或2D．﹣213．P是△ABC所在平面内一点，＝λ+，则P点一定在（）A．△ABC内部B．在直线AC上C．在直线AB上D．在直线BC上14．空间中5个平面可以把空间最多分成的部分的个数为（）A．26B．28C．30D．32三、解答题15．在△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．（1）若C＝，求a的值；．（2）若a＝3，求S△ABC16．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m＝0的两根．（1）若|α﹣β|＝2，求m的值；（2）用m表示|α|+|β|．17．已知ω＞0，函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωx cosωx的最小值为m，且y＝f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是．（1）求m的值；（2）求y＝f（x）在[0，π]上的单调减区间；（3）求使得f（x）≥1成立的x的取值范围．18．已知θ∈[0，π），向量＝（cosθ，sinθ），＝（1，0），P1、P2、P3是坐标平面上的三点，使得＝2[﹣（•）]，＝2[﹣（•）]．（1）若θ＝，P1的坐标为（20，21），求；（2）若θ＝，||＝6，求||的最大值；（3）若存在α∈[0，π），使得当＝（cosα，sinα）时，△P1P2P3为等边三角形，求θ的所有可能值．参考答案一、填空题1．与2023°终边重合的最小正角是223°．解：因为2023°＝5×360°+223°，所以与2023°终边重合的最小正角是223°．故答案为：223°．2．已知向量＝（2，﹣3），＝（3，λ），若与共线，则实数λ＝﹣．解：∵向量＝（2，﹣3），＝（3，λ），若与共线，∴2λ﹣（﹣3）×3＝0，解得：λ＝﹣．3．已知α、β∈（0，），sinα＝，cosβ＝，则cos（α﹣β）＝．解：α、β∈（0，），sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝×+×＝，故答案为：，4．|（3﹣4i）4|＝625．解：由|（3﹣4i）4|＝（|3﹣4i|）4＝．故答案为：625．5．已知tan x＝﹣2，则sin2x＝﹣．解：因为tan x＝﹣2，所以sin2x＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．6．函数f（x）＝a sin2x+b tan x+3满足f（﹣2）＝1，则f（2﹣π）＝5．解：函数f（x）＝a sin2x+b tan x+3满足f（﹣2）＝1，∴f（﹣2）＝a sin（﹣4）+b tan（﹣2）+3＝﹣a sin4﹣b tan2+3＝1，∴a sin4+b tan2＝2，则f（2﹣π）＝a sin（4﹣2π）+b tan（2﹣π）＝a sin4+b tan2+3＝2+3＝5．故答案为：5．7．空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是3．解：若三条直线在同一故平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，若三条直线不在同一故平面内，则此时三条直线能确定三个平面，故三条两两平行的直线可以确定平面的个数为1个或3个，故答案为：3．8．已知关于x的方程sin x+cos x＝a在区间[0，]上有解，则实数a的取值范围是[0，2]．解：sin x+cos x＝a化为：sin x+cos x＝，∴sin（x+）＝，∵x∈[0，]，∴（x+）∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，∵关于x的方程sin x+cos x＝a在区间[0，]上有解，∴0≤≤1，解得0≤a≤2．则实数a的取值范围是[0，2]，故答案为：[0，2]，9．将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得y＝sin2x的图象，则f（）＝﹣．解：函数y＝sin2x的图象向下平移1个单位后，得到y＝sin2x﹣1的图象，再向右平移个单位，得到f（x）＝sin（2x﹣）﹣1的图象，所以f（）＝sin（）﹣1＝，故答案为：．10．已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、z k、w1、w2，满足﹣＝，且|w j﹣z a|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为5．解：设w1＝a+bi，w2＝c+di（a，b，c，d∈R），∵﹣＝，∴（﹣）•（w1﹣w2）＝4，即（（a﹣b）﹣（c﹣d）i）（（a﹣b）+（c﹣d）i）＝4，即（a﹣b）2+（c﹣d）2＝4，故w1、w2对应平面内距离为2的点，如图F、G，∵|w j﹣z a|∈{1，3}，∴z a与w1、w2对应的点的距离为1或3，构成了点A、B、C、D、E共5个点，故k的最大值为5，故答案为：5．二、选择题11．设a＝arcsin，b＝arccos，c＝arctan，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a解：根据反三角函数的定义a＝arcsin，整理得sin a＝，由于a，所以a＝，由于b＝arccos，所以cos b＝，由于b∈（0，π），所以b＝，由于c＝arctan，所以tan c＝，由于c，由于，所以c．故b＞a＞c．故选：C．12．已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（）A．2B．﹣1C．﹣1或2D．﹣2解：∵z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，∴，∴a＝2，故选：A．13．P是△ABC所在平面内一点，＝λ+，则P点一定在（）A．△ABC内部B．在直线AC上C．在直线AB上D．在直线BC上解：∵，＝λ+，∴＝λ+，∴﹣＝λ，∴∥，即与共线，∴P点一定在AC边所在直线上，故选：B．14．空间中5个平面可以把空间最多分成的部分的个数为（）A．26B．28C．30D．32解：根据题意，空间中1个平面可以将空间分为2部分，有1+1＝2；空间中有2个平面时，最多可以把空间分为4部分，有1+1+2＝4；空间中有3个平面时，最多可以把空间分为8部分，有1+1+2+4＝8；空间中有4个平面时，新增的一个平面最多和已知的3个平面有3条交线，这3条交线会把新增的这个新平面最多分成7部分，从而多出7个部分，最多可以把空间分为7部分，故总共有1+1+2+4+7＝15；空间中有5个平面时，新增的一个平面最多和已知的4个平面有4条交线，这4条交线会把新增的这个新平面最多分成11部分，从而多出11个部分，故总共有1+1+2+4+7+11＝26部分，故选：A．三、解答题15．在△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．（1）若C＝，求a的值；．（2）若a＝3，求S△ABC解：（1）△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．若C＝，所以，解得a＝2．（2）在△ABC中，设AB＝x，利用余弦定理：，解得，当x＝3+时，＝当x＝3时，＝．16．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m＝0的两根．（1）若|α﹣β|＝2，求m的值；（2）用m表示|α|+|β|．解：（1）∵α、β是关于x的方程x2+2x+m＝0的两根．∴α+β＝﹣2，αβ＝m，若α，β为实数，则2＝|α﹣β|＝＝，化为：m＝﹣1．若α，β为一对共轭复数，则2＝|α﹣β|＝＝|i|，化为：m＝3．综上可得：m＝﹣1或3．（2）x2+2x+m＝0，不妨设α≤β．△＝4﹣4m≥0，即m≤1时，方程有两个实数根．α+β＝﹣2，αβ＝m，0≤m≤1时，|α|+|β|＝|α+β|＝2．m＜0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|＝﹣α+β＝＝2．△＝4﹣4m＜0，即m＞1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|＝2|α|＝2＝2综上可得：|α|+|β|＝．17．已知ω＞0，函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωx cosωx的最小值为m，且y＝f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是．（1）求m的值；（2）求y＝f（x）在[0，π]上的单调减区间；（3）求使得f（x）≥1成立的x的取值范围．解：（1）f（x）＝sin2ωx﹣sinωx cos＝﹣sin2ωx＝sin（2ωx+），由题意可得T＝2×＝π，故2ω＝，即ω＝1，∴，当时，，∴m＝．（2）令，即，k∈Z，当k＝0时，，当k＝1时，，又∵x∈[0，π]，∴y＝f（x）在[0，π]上的单调减区间为．（3）∵f（x）≥1，∴，即，∴，k∈Z，∴，k∈Z，∴f（x）≥1成立的x的取值范围为．18．已知θ∈[0，π），向量＝（cosθ，sinθ），＝（1，0），P1、P2、P3是坐标平面上的三点，使得＝2[﹣（•）]，＝2[﹣（•）]．（1）若θ＝，P 1的坐标为（20，21），求；（2）若θ＝，||＝6，求||的最大值；（3）若存在α∈[0，π），使得当＝（cos α，sin α）时，△P 1P 2P 3为等边三角形，求θ的所有可能值．解：（1）若θ＝，则＝（cos，sin）＝（0，1），则＝2[﹣（•）]＝2{（20，21）﹣[（0，1）•（20，21）]（0，1）}＝2[（20，21）﹣（0，21）]＝（40，0），所以＝2[﹣（•）]＝2{（40，0）﹣[（1，0）•（40，0）]（1，0）}＝（0，0）；（2）因为||＝6，不妨设＝6（cos α，sin α），由向量＝（cos θ，sin θ），得＝2[﹣（•）]＝2[6（cos α，sin α）﹣6cos （α﹣θ）（cos θ，sin θ）]＝12（sin θsin （θ﹣α），cos θsin （α﹣θ））所以＝2[﹣（•）]＝2[12（sin θsin （θ﹣α），cos θsin （α﹣θ））﹣12sin θsin （θ﹣α）（1，0）]＝24（0，cos θsin （α﹣θ）），若θ＝，则cos θ＝﹣，sin θ＝，则||＝12|sin （α﹣）|＝12|sin （α+）|，所以，当|sin （α+）|＝1时，||取最大值12；（3）＝2[﹣（•）]＝2[（cos α，sin α）﹣（cos αcos θ+sin αsin θ）（cos θ，sin θ）]＝2（sin θsin （θ﹣α），cos θsin （α﹣θ）），＝2[﹣（•）]＝2[2（sin θsin （θ﹣α），cos θsin （α﹣θ））﹣2sin θsin （θ﹣α）（1，0）]＝4（0，cos θsin （α﹣θ）），所以＝（2sinθsin（θ﹣α）﹣cosα，2cosθsin（α﹣θ）﹣sinα），＝（2sinθsin（α﹣θ），2cosθsin（α﹣θ）），因为△P1P2P3为等边三角形，所以||＝||＝2|sin（α﹣θ）|＝1，cos＜，＞＝＝﹣，所以|sin（α﹣θ）|＝，2sinθsin（α﹣θ）[2sinθsin（θ﹣α）﹣cosα]+2cosθsin（α﹣θ）[2cosθsin（α﹣θ）﹣sinα]＝﹣，即﹣4sin²θsin²（α﹣θ）﹣2sinθcosαsin（α﹣θ）+4cos²θsin²（α﹣θ）﹣2cosθsinαsin（α﹣θ）＝﹣，即4sin²（α﹣θ）（cos²θ﹣sin²θ）﹣2sinθcosαsinαcosθ+2sinθcosαcosαsinθ﹣2cosθsinαsinαcosθ+2cosθsinαcosαsinθ＝﹣，即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θcos²α﹣2cos²θsin²α＝﹣，即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θcos²α﹣2sin²α（1﹣sin²θ）＝﹣，即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θcos²α﹣2sin²α+2sin²αsin²θ＝﹣，即cos²θ﹣sin²θ+2sin²θ﹣2sin²α＝﹣，即cos²θ+sin²θ﹣2sin²α＝﹣，即1﹣2sin²α＝﹣，即cos2α＝﹣，且2α∈[0，2π），所以α＝或，当α＝时，由|sin（α﹣θ）|＝可得θ＝或，当α＝时，由|sin（α﹣θ）|＝可得θ＝或，所以θ的所有可能值为、、．。
2021届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期4月月考数学试题及答案
绝密★启用前2020-2021学年上海市华师大二附中高三下4月月考数学卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、填空题1.已知2021(2)i z i +=（i 为虚数单位），则||z =2.若一个圆锥的轴截面是面积为433.若点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，点F 为该抛物线的焦点，则||PF 的值为4.圆1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的圆心到直线223:13x tl y t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩的距离为5.12nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为32，则展开式中x 的系数为 （用数字填写答案）6.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为 7.在数列{}n a 中，若对一切n N *∈都有13n n a a +=-且()24629lim 2n n a a a a ∞→++++=，则1a 的值为8.已知函数cos ,[,]y a x x ωππ=+∈-(其中,a ω为常数，且0ω>)有且仅有3个零点，则ω的最小值为9.关于x 的不等式|2||3|4x k x k k -+-<共有2021个整数解，则k 的取值范围为10.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率为11.已知ABC △的外接圆圆心为,||6,||8,(,)O AB AC AO AB AC R αβαβ===+∈， 若21sin 2A t αβ⎛⎫⋅+-⎪⎝⎭（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围为 12.关于x 的方程22cos sin 0x x a -+=在区间70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好有两个不等实根，则实数a 的取值范围为 二、选择题13.已知全集U ，集合,M N 是U 的非空子集，且U C M N ⊇，则必有（）A.U M C N ⊆B.U M C N ⊇C.U M C N =D.M N ⊆14.“2m =”是“直线210x my ++=与直线210mx y +-=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件 15.已知()1a xf x x a -=--的反函数图像的对称中心为(1,3)-，则a 的值为（）2 B.233 16.设04,0b a b m <<<>，若三个数22,2a ba b ab m ab ++-边长，则实数m 的取值范围为（） A.135,124⎤-⎥⎣⎦B.3)C.135,224⎤-⎢⎥⎣⎦D.3,2)三、解答题17.如图在三棱锥ABC P -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3===AP AC AB ，点M 在AP 上，且1=AM ．（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥BMC P -的体积．18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则该函数为“依附函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数()12x f x -=在定义域[](),0m n m >上“依附函数”，求mn 的取值范围. 19.由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB ∠=，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界PA 、PB 的距离分别为4m RS =，6m RT =，(m 为长度单位).陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M ，N 分别落在PA ，PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点P 到点R 的距离；（2）为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积最小值.20.已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线1C ：22221(0)x y y a b +=≤和曲线2C ：22221(0)x y y a b-=>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.（1）若23(2,0),(6,0)F F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ∆面积的最大值.21.已知无穷数列{}n a 满足：10a =，21n n a a c +=+（*n ∈N ，c ∈R ）．对任意正整数2n ≥，记{|{1,2,3,,|}, |2}n i M c i n a =∈≤对任意，*{|2},||i M c i a =∈≤N 对任意．（1）写出2M ，3M ；（2）当14c >时，求证：数列{}n a 是递增数列，且存在正整数k ，使得k c M ∈/；（3）求集合M ．2020-2021年上海市华师大二附中高三下4月月考 数学卷答案一、填空题1.已知2021(2)i z i +=（i 为虚数单位），则||z =【解析】因为41i =，所以2021ii =，所以2i z i=+，所以||2i z i ==+.2.若一个圆锥的轴截面是面积为43 【解析】设等边三角形的边长为a ，则23434=4a =， 所以圆锥的底面半径2r =，母线4l =，所以该圆锥的表面积为22 22412S S S r rl πππππ=+=⋅+=⨯+⨯⨯=侧底.3.若点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，点F 为该抛物线的焦点，则||PF 的值为 【解析】由抛物线的定义，||2021120222P pPF x =+=+=. 4.圆1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的圆心到直线223:13x tl y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩的距离为【解析】圆心(1,0)C 到直线2:210l x y ++=的距离|10221|22d ++-==.5.12nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为32，则展开式中x 的系数为 （用数字填写答案）【解析】由题意得232n=，所以5n =，所以展开式的通项为535521551(2)2rr rrr r r T C x C x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令5312r-=，得1r =， 所以展开式中x 的系数为1515280C -=.6.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为【解析】因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以面角和为426πππ+=，总曲率为5264πππ⨯-=.7.在数列{}n a 中，若对一切n N *∈都有13n n a a +=-且()24629lim 2n n a a a a ∞→++++=，则1a 的值为【解析】因为13n n a a +=-，所以数列{}n a 是公比为13-的等比数列，所以()121246222193lim 111219n n a a a q a a a a q q ∞→-++++====---，解得112a =-.8.已知函数cos ,[,]y a x x ωππ=+∈-(其中,a ω为常数，且0ω>)有且仅有3个零点，则ω的最小值为【解析】因为函数cos ,[,]y a x x ωππ=+∈-为偶函数，又有且仅有3个零点，故必有1个零点为0，所以cos00a +=，所以1a =-，故1cos ,[,]y x x ωππ=-+∈-，由0y =得2x k ωπ=，所以2,k x k Z πω=∈，而[,]x ππ∈-，所以24,ππππωω≤>，所以ω的最小值为2.9.关于x 的不等式|2||3|4x k x k k -+-<共有2021个整数解，则k 的取值范围为 【解析】显然0k >，由|2||3|4x k x k k -+-<解得1922k x k <<， 因为共有2021个整数解，所以912020202222k k <-≤，解得15055052k <≤， 所以113252252224k <≤，故这2021个整数解只能为253,254,,2273， 所以9227322742k <≤，解得1150550593k <≤.10.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率为【解析】因为逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍， 所以逆时针方向跳的概率是23，顺时针方向跳的概率是13， 若青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A 叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，若先按逆时针开始从A→B,则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为2132214=33327C ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭；若先按顺时针开始从A→C，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为2131124=33327C ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭；故跳四次之后停在A 叶上的概率为448272727+=. 11.已知ABC △的外接圆圆心为,||6,||8,(,)O AB AC AO AB AC R αβαβ===+∈，若21sin 2A t αβ⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围为【解析】因为211||||cos ,||||||1822AO AB AB AO AO AB AB AB AB ⋅=⋅⋅<=⋅==>， 211||||cos ,||||||3222AO AC AC AO AO AC AC AC AC ⋅=⋅⋅<=⋅==>，又(,)AO AB AC R αβαβ=+∈，所以221832AO AB AB AB AC AO AC AC AB AC αββα⎧⋅=+⋅=⎪⎨⎪⋅=+⋅=⎩，即43cos 268cos 3A A βααβ+=⎧⎨+=⎩， 解得2234cos 6sin 43cos 8sin A A AA αβ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入21sin 2A t αβ⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭，化简得2123cos cos 2382tA t A ⎛⎫-++⎪⎝⎭，因为1cos 1A -<<且有最小值， 所以233811122t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-<-<⨯，解得33151616t -<<，所以参数t 的取值范围为3315,1616⎛⎫-⎪⎝⎭.12.关于x 的方程22cos sin 0x x a -+=在区间70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好有两个不等实根，则实数a的取值范围为【解析】222cos sin 022sin sin x x a a x x -+=⇔+=+，令2211()2sin sin 2sin 48f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，由复合函数的单调性得()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,arcsin 24ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上递减， 在17arcsin ,46ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上递增， 又113,arcsin 248f f ππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故12,0(0,3)8a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故实数a 的取值范围为17,2(2,1)8⎛⎫--- ⎪⎝⎭. 二、选择题13.已知全集U ，集合,M N 是U 的非空子集，且U C M N ⊇，则必有（A ）A.U M C N ⊆B.U M C N ⊇C.U M C N =D.M N ⊆【解析】作出韦恩图易得A.14.“2m =”是“直线210x my ++=与直线210mx y +-=平行”的（D ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【解析】若直线210x my ++=与直线210mx y +-=平行，则2220m ⨯-=且2(1)0m ⨯--≠，即2m =，故为充要条件，故选D.15.已知()1a xf x x a -=--的反函数图像的对称中心为(1,3)-，则a 的值为（B ）2 B.233 【解析】(1)11()1111a x x a f x x a x a x a -----===--------，故()f x 的对称中心为(1,1)a +-，因为()f x 的反函数图像的对称中心为(1,3)-，所以()f x 的对称中心为(3,1)-， 所以13a +=，所以2a =，故选B.16.设04,0b a b m <<<>，若三个数2a b+边长，则实数m 的取值范围为（C ）A.5,14⎤-⎥⎣⎦B.C.5,24⎤⎥⎣⎦D.【解析】因为04,0b a b m <<<>，令,2a bx y z +===，则22223()024a b x y a b +⎛⎫-==--< ⎪⎝⎭，所以x y <， 因为,,x y z 能组成一个三角形的三条边长，所以y x z x y -<<+，22a b a b++<<， 因为04,0b a b m <<<>，所以令(14)at t b=<<，2m <<即2m+<<，因为14≥+=，当且仅当1t =时取等号，但是取不到，所以4>， 所以24m ≤，所以2m ≤；令52,2k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则k =，可用求导或其他方法得出k 在52,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以5522k <=，所以522m ≥，所以54m ≥-，综上，13524m -≤≤，故选C. 三、解答题17.如图在三棱锥ABC P -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3===AP AC AB ，点M 在AP 上，且1=AM ．（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥BMC P -的体积．【解析】法一：（1）如图，取线段1=AN ，连结MN 、BN .因为MN ∥PC ，所以BMN ∠的大小等于异面直线BM 和PC 所成的角或补角的大小．…………3分23122=+=AC PA MN ，10132=+==BN BM 105102221cos ===∠BM MN BMN ,105arccos =∠BMN ……6分所以异面直线BM 和PC 所成的角的大小等于105arccos．………………7分（2）因为AB 、AC 、AP 两两垂直,3==AC AB ，3=AP ,1=AM .所以29333213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABC P .…………9分 23133213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-MA S V ABC ABC M .…………11分32329=-=-=---ABC M ABC P BMC P V V V . 所以三棱锥BMC P -的体积大小等于3（立方单位）．……………14分法二：（1）因为棱,,AB AC AP 两两垂直，如图建系，则(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(0,0,1)B C P M ，所以(3,0,1),(0,3,3)BM PC =-=-， 设BM 和PC 所成角为θ，则||cos 10||||10BM PC θBM PC ⋅===⋅， 所以θ=（2）11||||23322PBM S PM BA ∆=⋅=⨯⨯=， 又,CA BA CA PA ⊥⊥，且,BA PA 相交于点P ， 所以CA ⊥平面PBA ， 则11||33333P BMC C PBM PBM V V S CA --∆==⋅=⨯⨯=. 18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则该函数为“依附函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()12x f x -=在定义域[](),0m n m >上“依附函数”，求mn 的取值范围. 【解析】（1）对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在16x π=，则()22sin 2g x x ==，无解. 故()sin g x x =不是“依附函数”；（2）首先证明：当()f x 在定义域上[,]m n 上单调递增，且为“依赖函数”时，有()()1f m f n =。
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)
2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（ ）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（ ）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。