自主招生模拟--二十一届“启程杯物理竞赛”试卷

解得v= （k=0、1、2、3、…）（1分）
六、（15分）解析：
（1）B、C恰好分离时，B、C之间的弹力为0，B、C的加速度大小相同，设为a，则由牛顿第二定律可得
对C：Fmin－8mgsinθ=8ma（2分）
对B： －mgsinθ=ma（2分）
解得Fmin=8 （1分）
（2）B、C的总质量为9m，施加拉力前有 = 9mgsinθ（1分）
由于A、B球的初速度均为0，故均无法向加速度，只有切向加速度。设球A的加速度为a1（方向竖直向下），球B的加速度为a2（方向水平向右），由质点组牛顿第二定律可得如答图2所示的矢量关系：
即2ma1=ma2=3masin45o（2分）
解得a1= g，a2= g（1分）
球A、球B的受力分析如答图3所示，
杆OA对球A的作用力方向竖直向上，大小为F1，由牛顿第二定律可得
ΔΦ=BLvΔt=B·2asin ·vΔt=vsin （1分）
感应电流I= = sin （1分）
金属丝上的感应电流是正弦式电流，Im= （1分）
将两金属丝全部拉入磁场中，外力所做的功
W=Q=I2·2R·t′=( )2·(2R)·( )= （2分）
C.（tc―ta）＞（td―tb）D.tc―tb=2（td―ta）
2．如图所示，弹簧1的一端固定在M点，另一端固定在滑轮的轮轴O上。弹簧2的一端固定在N点，另一端连结一根不可伸长的细线，细线跨过滑轮，并用大小为F的力沿水平向右拉住细线的P端。已知弹簧、细线和滑轮的质量均可不计，弹簧、细线均相互平行，已知两个弹簧的劲度系数都为k。若缓慢地将拉力增大至2F，则在此过程中细线P端水平向右移动的距离为___________
由功能关系可得
W+ΔE=ΔEp（2分）
故拉力所做的功W=ΔEp－ΔE=18mgLsinθ－ （2分）
七、（15分）解析：
如答图1，设A、B两小球的质心位置为C，C在AB连线间且AC∶BC=1∶2。由几何关系可得CO与竖直方向的夹角θ=45o（2分）
释放时，A、B两小球质心的加速度a=gsinθ= （1分）
（1）AB相对车静止前，车受A、B施加的摩擦力等值反向，车仍静止，A、B所受冲量数值相等，故B先减速到零，此后B相对车静止，最后小车和物体A、B三者共速，设为v共，
系统水平方向动量守恒，设向右为正，有
2mv0－mv0=3mv共（2分）
v共=v0/3（1分）
A、B滑上车到三者共速，摩擦力做功转化为内能，由功能关系得
将两金属丝以速度v匀速拉过磁场外力所做的功为
五、（10分）如图所示，虚线两侧存在匀强磁场，左侧磁场的磁感应强度大小为B，右侧为
B，磁场方向都垂直于纸面向里。质量都是m、电荷量都是q的带正电粒子束，以各种大小不同的速率从虚线上的a点沿与虚线成θ角的方向射入虚线右侧的磁场。b为虚线上的另一点，到a点的距离为L。不考虑粒子间的相互作用，如果从a点射入的粒子都能由b点从虚线右侧进入左侧，则粒子的速率应满足什么条件？
3.如图所示，将一根平底薄壳玻璃试管开口向下竖直插入水中，设当其处于平衡状态时，管顶露出水面的高度为a，管内外液面的高度差为b。现将试管缓慢竖直下压至全部浸入水中，当试管下压的位移为______________时，撤去压力后，试管将再次平衡。（设大气压强为p0，水的密度为ρ，重力加速度为g，且不考虑毛细现象及试管下压后槽中水面高度的变化）
（2）已知A、B带电系统的电势能E与A、B间距离x的关系图象如图乙所示。现对C施加一个沿斜面向上的拉力，使B、C一起缓慢沿斜面向上移动直至B、C分离，求该过程中拉力所做的功W。
七、（15分）如图所示，由长为L的轻杆OA和长为2L的轻杆OB组成一个直角支架，A端固定一个质量为2m的小球A，B端固定一个质量为m的小球B。支架可以绕通过直角端O且垂直于竖直面的固定转动轴自由转动。现把OA拉至水平后释放，试分别求出释放瞬间杆OA对A球、杆OB对B球的作用力的大小和方向。
六、（12分）如图甲所示，倾角为θ的足够长的光滑斜面底端固定有带电量为+Q的小球A，在斜面上与A相距为L处有一质量为m，带电量为+q的小球B，紧靠B有一不带电的绝缘小球C（视为质点），小球C的质量为8m，B、C均处于静止状态。（已知静电力常量为k，A、B均可视为点电荷）
（1）现对C施加一个沿斜面向上的拉力，为使B、C立即分离，求拉力的最小值Fmin；
对木板1有μmg=ma1/a1/=μg（向左）
对木板2有:4μmg-μmg=ma2/∴a2/=3μg（向左）
可见，木板1的加速度最小，因此运动速度最长，设其速度由v12减小为零用了t2时间，则有：
t2= =
所以系统进入静止状态所用时间为：
t=t1+t2= + = 1s
泉州市第二十一届“启程杯”高中物理竞赛试卷
四、（10分）一平板小车放在光滑水平面上，今有质量为m的物体A和B分别以2v0和v0的初速度沿同一直线从小车两端相向水平滑上小车，设A、B两物体与小车间动摩擦因数均为μ，小车质量也为m，物体A、B可视为质点。为使A、B两物体不相碰，求：
（1）小车长度至少为多大？
（2）由开始滑上平板车到两物体都静止在小车上为止，B通过的总路程多大？
r=
cosθ=
v= （1分）
v1=v0tanθ
Tsinθ=N（2分）
T－mgcosθ－Nsinθ= （2分）
由以上各式可解得T= + （3分）
吊绳的拉力对滑块A做功的功率PT=Tv0（1分）
滑块A的重力的功率PG=－mgv（1分）
故滑块A的动能随时间的变化率PEk=PT＋PG= （2分）
四、（15分）解析：
（1）求将两金属丝全部以速度v匀速拉入磁场中，外力所做的功。
（2）假设仅在－ <x<0的区域内存在垂xoy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，求将两金属丝全部以速度v匀速拉过磁场外力所做的功。
24.解：(1)在敲击木板1时，木板1对木板2的摩擦力大小为μmg，而地面对木板2的滑动摩擦力最大值为4μmg，可见，木板2不移动，只有木板1水平向右做匀减速移动。
sin(90°－γ)≥ （1分）
即 ≥
sinθ≤ （1分）
由（1）知sinθ≥ ，则 ≤sinθ≤ （1分）
由于 ≥
故n≥ （1分）
同时应有 ≤1，
即n≤ （1分）
故角θ取值范围为sin-1 ≤θ≤sin-1 （1分）
长方体材料的折射率n应满足的范围为 ≤n≤ （1分）
三、（12分）解析：
如图，滑块A运动到图中所示位置时，吊绳与竖直杆的夹角为θ，此时滑块A的速度为v，吊绳的拉力为T，竖直杆对滑块A的弹力为N，滑块A的重力为mg，滑块A到小滑轮B的距离为r，速度v按如图所示正交分解，沿吊绳的分速度大小为v0，垂直吊绳的分速度大小为v1。
2mg－F1=2ma1（2分）
得F1= mg（1分）
杆OB对球B的作用力为F2，F2沿法向和切向的分力分别为F21、F22，则有
F21=mg（1分）
F22=ma2= mg（2分）
故杆OB对球B的作用力
F2= = mg（2分）
方向与水平方向夹角为γ，则有
tanγ= = （1分）
八、（20分）解析：
（1）在t～t＋Δt时间间隔内，磁通量的变化量为
八、(15分)如图所示在xoy所在的平面内，有两根金属丝MN和PQ，其形状分别满足方程y=asin 和y=－asin ，在两金属丝端点从M、P和N、Q之间各接一条阻值为R的小电阻丝，中间三个相交处均有绝缘表面层相隔，金属丝电阻不计。x<0的区域内存在垂直xoy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场。两金属丝在沿x轴负方向的外力作用下，以速度v匀速进入磁场。
（2）将两金属丝拉入或拉出磁场区域的过程中，感应电动势最大值为
Em1=2Bav（1分）
感应电流最大值为Im1= （1分）
拉力做功W1=Q1=( )2·(2R)·( ) = （3分）
拉两金属丝穿过磁场区域过程中，感应电动势最大值为
Em2=4Bav（1分）
感应电流最大值为Im2= （1分）
拉力做功W2=Q2=( )2·(2R)·( ) = （3分）
设过了t1时间木板1和2达到共同速度v12，，则有
v12=v0－5μgt1v12=μgt1
∴t1=t0/6v12=v0/6，（1分）
木板1和2达到共同速度后一起运动,它们的加速度一样，设为a12，则有
4μmg=2ma12∴a12= 2μg（1分）
但木板1在最大摩擦力f1=μmg作用下，获得的最大加速度大小为a0=μg。可见a12＞a0，这是不可能的。所以木板1和2达到共同速度后，又会再错开，1超前2,此时两木板受到的摩擦力方向如下图所示。它们的加速度大小为a1/a2/则：
μmgL= m(2v0)2+ mv02－ ·3m·( v0)2（3分）
解得车长L= （2分）
（2）设B对地向左移动S1，有
－μmgS1=0－ mv02（2分）
得S1= （1分）
设B与小车共同对地向右移动S2，则
μmgS2= ·2mv共2－0（2分）
得S2= （1分）
则B通过的总路程S=S1+S2= （1分）
三、（10分）如图所示，两块同样的长方形木板按图示的方式叠放在桌面上，木板1和木板2、木板2和桌面之间的动摩擦因数分别为μ、2μ.用小榔头沿水平向右敲击上面木板1，结果系统经过t0=3s时间恢复静止状态。现在水平向右敲击木板2，使它具有敲击木板1时同样的速度。求敲击后经过多少时间系统恢复静止状态？设木板足够长。
评分标准2009.12.20
一、选择、填空题（每小题6分,共18分）
1.BD
2．
3.2a＋
二、（10分）解析：
（1）若要求此光束进入长方体能射到AD面上，折射光至少能射至D点，如图所示，由图可得tanγ≥ （1分）