2019年人教版高考数学一轮复习10.3 空间点、线、面之间的位置关系优质课教案

10.3 空间点、线、面之间的位置关系
典例精析
题型一 证明三线共点
【例1】 已知空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，
G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且BG GC ＝DH HC
＝2.求证：直线EG 、FH 、AC 相交于同一点P.
【证明】因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，
所以EF ∥BD ，且EF ＝12
BD. 又因为BG GC ＝DH HC ＝2，所以GH ∥BD ，且GH ＝13
BD ， 所以EF ∥GH 且EF ＞GH ，
所以四边形EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交，
设两腰EG 、FH 的延长线相交于一点P ，[]
因为EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，
所以P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD ＝AC ，所以P ∈AC ，
故直线EG 、FH 、AC 相交于同一点P.
【点拨】证明三线共点的方法：首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；
由公3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，
即三条直线交于一点.
【变式训练1】如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K. 求证：M 、N 、K 三点共线.[]
【证明】
⎪⎭⎪⎬
⎫===K DC RP N DB RQ M CB PQ ⇒
⇒M 、N 、K 在平面BCD 与平面PQR 的交线上，即M 、N 、K 三点共线. 题型二 空间直线的位置关系
【例2】 在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG.
求证：直线FG ⊂平面ABCD 且直线FG ∥A1B1.
【证明】因为E 为CD 的中点，在正方体中AE
⊂平面ABCD ，
又AE∩BC＝F ，所以F ∈AE ，所以F ∈平面ABCD ，
同G ∈平面ABCD ，所以FG ⊂平面ABCD.
因为EC 12
AB ，故在Rt △FBA 中，CF ＝BC ，同DG ＝AD ， 所以在正方体中CF DG ，所以四边形CFGD 是平行四边形， 所以FG ∥CD ，又CD ∥AB ，AB ∥A1B1，
所以直线FG ∥A1B1.
【点拨】空间直线的位置关系，常需利用线面、面面、线线的关系确定，推导时需有有据.
【变式训练2】已知AC 的长为定值，点D ∉平面ABC ，点M 、N 分别是△DAB 和△DBC 的重心. 求证：无论B 、D 如何变换位置，线段MN 的长必为定值.
【解析】如图，延长DM 交AB 于F ，延长DN 交BC 于
E.
因为M 、N 为重心，所以F 、E 分别为AB 、BC 的中点，
[]
所以EF ∥AC 且EF ＝12
AC. 又在△DEF 中，DM ∶MF ＝DN ∶NE ＝2∶1，
所以MN ∥EF 且MN ＝23EF ，所以MN ∥AC 且MN ＝13
AC ， 即MN 为与B 、D 无关的定值.
题型三 异面直线所成的角
【例3】 在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3且AD ⊥BC ，对
角线BD ＝132，AC ＝32
，求AC 和BD 所成的角. 【解析】作平行线，找出与异面直线所成的角相等的平面角，将空间问题转为平面问题. 如图所示，分别取AD 、CD 、AB 、BD 的中点E 、F 、G 、H ，连接EF 、FH 、HG 、GE 、GF.由三角形的中位线定知，
EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134
.GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角.
同，GH ＝12，HF ＝32
，GH ∥AD ，HF ∥BC.[] 又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF2＝GH2＋HF2＝1.
在△EFG 中，EG2＋EF2＝1＝GF2，
所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.
【点拨】立体几何中，计算问题的一般步骤：(1)作图；(2)证明；(3)计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
【变式训练3】线段AB 的两端在直二面角α－CD －β的两个面内，并与这两个面都成30°角，求异面直线AB 与CD 所成的角.[]
【解析】在平面α内作AE ⊥CD ，
因为α－CD －β是直二面角，由面面垂直的性质定，
所以AE ⊥β，所以∠ABE 是AB 与平面β所成的角.
所以∠ABE ＝30°，所以AE ＝12AB ，同作BF ⊥CD ，则易得BF ＝12
AB. 在平面β内作BG EF ，则四边形BGEF 是矩形，即BG ⊥GE. 又因为AE ⊥β，BG ⊂β，所以AE ⊥BG. 所以BG ⊥平面AEG ，所以BG ⊥AG.
因为BG ∥EF ，所以BG ∥CD ，所以∠ABG 是异面直线AB 与CD 所成的
角.[]
又因为在Rt△AEG中，AG＝AE2＋EG2＝AE2＋FB2＝
2
2
AB，[]
所以在Rt△ABG中，sin∠ABG＝AG
AB
＝
2
2
，
所以∠ABG＝45°.
总结提高
本节内容主要以四个公为依托，导出异面直线，等角定，线线、线面、面面关系.可见，解决此类问题要以公为标准，以眼前的点、线、面的实际物体为参考，培养空间想象能力，重点是点共线、线共面、异面直线、等角定应用.。