北师版七年级数学下册同步讲义经典
北师大版七年级下册数学讲义(4)
[教学课题】一元一次不等式组【教学目标】1. 知识目标:①理解一元一次不等式组解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法． ②会利用数轴较简单的一元一次不等式组③通过练习，理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况．2. 能力目标：①通过利用数轴来寻求不等式组的解，培养学生的观察能力、分析能力，②让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况，以培养学生归纳总结能力．3. 情感目标：将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生养成良好的学习习惯和转变一种观念——将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源。
【教学重难点】在紧密联系不等式的同时，理解不等式组解集的意义。
教学难点：借助数形结合的方法找出不等式的解集。
【教学过程】回顾：解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
（1）2x+3＞5 （2）6x —5≤1探索：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？ 比较解一元一次不等式和一元一次方程的步骤解一元一次方程 解一元一次不等式解法步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化成1 （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化成1在上面的步骤（1）和（5）中，要注意不等式号方向是否改变解的情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式的解集含有无限多个数用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在1200吨到1500吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？同时满足①②的未知数x 应是个不等式的解集的公共部分。
在数轴上表示出来∴x应取40≤x≤50 这就是所列不等式组的解集。
即答案为：大约需要40到50分钟才能将污水抽完。
概括：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。
解一元一次不等式组，其步骤通常为：(1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集；(2)在数轴上把它们的解集表示出来；(3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集。
北师版七年级数学下同步经典讲义(最新版;可直接打印)
第1讲 幂的运算知识点1 同底数幂的乘法1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．（m ，n 是正整数）（2）推广：（m ，n ，p 都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．【典例】1.如果a 2n﹣1•a n+2=a 7，则n 的值是____【方法总结】本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，底数不变，指数相加，确定积的次数，再列方程即可求得m 的值．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩同底数幂的乘法幂的乘方幂的运算积的乘方同底数幂的除法m n m n a a a +⋅=m n p m n p a a a a ++⋅⋅=3252()322a b ()422a b ()2x y -()3x y -a【随堂练习】1.若（a﹣b）•（a﹣b）3•（a﹣b）m=（a﹣b）11，则m的值为____【典例】1.已知a m=3，a n=6，a k=4，求a m+n+k的值．【方法总结】本题主要考查同底数幂的乘法法则逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，先根据同底数幂的乘法的运算法逆用，将a m+n+k变形为a m•a n•a k，然后将a m=3，a n=6，a k=4，代入a m•a n•a k，求解即可．【随堂练习】1.若3x+1=a，3y﹣1=b，则3x+y=____【典例】1.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013①，将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014②将②减去①得2S﹣S=22014﹣1即S=22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．【方法总结】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键．解答此题常用的方法是“a 倍的错位相减”即可求解．如：求1+a+a2+a3+a4+…+a n(a不等于0)的和．解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，两边同时乘a得：aS=a+a2+a3+a4+…+a n+a n+1②，②﹣①得：aS﹣S=a n+1﹣1，即S=（a n+1﹣1），则1+a+a2+a3+a4+…+a n=（a n+1﹣1）．注意：将①式乘以a得到②式，然后运用②﹣①，就是运用“a倍的错位相减”法．【随堂练习】1.为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S-S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+9+92+93+…+92018的值是_____知识点2 幂的乘方1．幂的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．【典例】1.若81x=312，则x=__________．【方法总结】本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把81x化成34x，即可得出4x=12，解方程即可求解．【随堂练习】1.若（9m+1）2=316，则正整数m的值为_____【典例】1.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_____【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2•（3y）3是解答本题的关键．【随堂练习】1.若2x+5y+3=0，则4x•32y的值为____【典例】1.比较3555，4444，5333的大小．【方法总结】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．【随堂练习】1.已知a=1621，b=3231，c=841，则a，b，c的大小关系为_____（用＜连接）2. a=5140，b=3210，c=2280，则a、b、c的大小关系是______（用＜连接）知识点3 积的乘方1．积的乘方（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=a n•b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．【典例】1.用简便方法计算下列各题：（1）（）2016×（﹣1.25）2017（2）（2）10×（﹣）10×（）11．【方法总结】此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数分别是和﹣，乘积正好是-1；如（2）中底数分别是、﹣、，乘积正是-1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．【随堂练习】1.计算（）2016×（﹣）2017的结果是____2.计算（﹣）2017×（2）2016的结果是_____【典例】1.（1）已知a n=3，b n=5，求（a2b）n的值；（2）若2n=3，3n=4，求36n．【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将（a2b）n转变为（a n）2 •b n，（2）中，需要将36n转变为（2n×3n）2．【随堂练习】1. 已知a2n=，b n=3，则（ab）4n的值为（）．知识点4 同底数幂的除法1．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m÷a n=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．2．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00无意义．3．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．【典例】1.（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=（ ）A.（a+b+c）2B.（a+b+c）4C.（a+b+c）2n+1D.a4+b4+c4【方法总结】此题主要考查了同底数幂的乘除运算:底数不变，指数相减．【随堂练习】1.计算a2• a4•（2•a2）4÷（a2）5的结果是_____【典例】1.若2018m=5，2018n=4，则20183m﹣2n等于____【方法总结】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的性质，解答本题的关键是将20183m﹣2n转化成同底数幂的除法，即转化成20183m÷20182n的形式，再利用幂的乘方法则，将20183m，20182n 分别用（2018m）3、（2018n）2代换，即20183m÷20182n转化成为（2018m）3÷（2018n）2，然后将2018m=5，2018n=4代入（2018m）3÷（2018n）2即可求解．【随堂练习】1.已知10x=9，10y=4，则102x﹣3y的值为_____2.若a x=2，a y=3，则a3x﹣2y=_____综合运用1.已知m a+b•m a﹣b=m12，则a的值为_________．2.若102•10n﹣1=106，则n的值为_________．3.已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．4.已知2x+3y﹣2=0，求9x•27y的值．5.根据已知求值：（1）已知a m=2，a n=5，求a3m+2n的值；（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．6.用简便方法计算下列各题（1）（）2015×（﹣1.25）2016．（2）（3）12×（）11×（﹣2）3．7.计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；第2讲 整式乘法与除法知识点1 单项式乘单项式单项式乘单项式（1）单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．（2）单项式乘单项式的“三点规律”：①利用乘法交换律、结合律转化为数与数相乘，同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄；②不论几个单项式相乘，都可以用这个法则；③单项式乘单项式的结果仍是单项式．【典例】1.（﹣3x 2）•（﹣x 3m •y n ）（﹣y m ）的结果是____⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩单项式乘单项式单项式乘多项式整式乘除多项式乘以多项式单项式除以单项式多项式除以单项式【方法总结】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【随堂练习】1.（﹣3a2）•（2ab2）•（﹣b）2的计算结果是____2.（﹣ab3）3•（﹣ab）•（﹣8a2b2）2等于_____【典例】1.已知（a2m b4）（a n+2b）=a9b m+2，求m+n2的值．【方法总结】本题考查了单项式乘单项式，根据单项式的乘法，可得同类项，根据同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列方程并解出m，n，将m，n的值代入m+n2．【随堂练习】1.已知单项式9a m+1b n+1与﹣2a2m﹣1b2n﹣1的积与5a3b6是同类项，求m n的值是_____2.已知3a n﹣6b﹣2﹣n和﹣a3m+1b2n的积与﹣a4b是同类项，则m n+n m等于____【典例】1.“三角”表示3xyz，“方框”表示﹣4a b d c，求×的值．【方法总结】本题考查了利用单项式的乘法解新定义中的有关计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【随堂练习】1.如果“三角”表示4xyz，“方框”表示a b d c，则×的结果为____知识点2 单项式乘多项式单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．【典例】1.计算：（﹣a2bc+2ab2﹣ac）•（﹣ac）2．【方法总结】本题考查了单项式与多项式相乘，先算积的乘方，再根据单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．计算时要注意符号的处理．【随堂练习】1. 化简（ab2﹣a2b﹣6ab）•（﹣6ab）的结果为_____【典例】1.已知xy2=﹣2，则﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）的值为____【方法总结】此题考查了单项式乘多项式，解题的关键是运用积的乘方的逆运算，使化简后的式子中出现xy2的因式，再整体代入xy2=﹣2计算即可．【随堂练习】1.已知pq2=1，则pq（p2q5﹣pq3﹣q）的值等于____【典例】1.当m、n为何值时，y[y（y+m）+ny（y+1）+m]的展开式中，不含有y2和y3的项？【方法总结】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．y[y（y+m）+ny （y+1）+m]去括号得到最简结果，根据结果中不含y2和y3的项，可令y2和y3的系数为0，列出方程，求出m与n的值即可．【随堂练习】1.若（mx2﹣nx+2）•（﹣2x2）﹣4x3的结果中不含x4项和x3项，则m，n的值分别为____知识点3 多项式乘多项式多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【典例】1.如果（x2+px+q）（x2+7）的展开式中不含x2与x3的项，那以p，q的值是___【方法总结】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，列方程，求出p、q的值．【随堂练习】1.如果多项式x+1与x2﹣bx+c的乘积中既不含x2项，也不含x项，则b、c的值是___【典例】1.已知（x+2）（x-3）=x2+mx+n，则n m=_________．【方法总结】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及负整数指数幂．已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与m 的值，代入n m，从而求出n m的值．【随堂练习】1.已知（x+m）（x﹣n）=x2﹣3x﹣4，则m﹣n+mn的值为____【典例】1.对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：=ad﹣bc，根据这一规定，计算=___________．【方法总结】本题考查了多项式乘多项式和新定义．解题的关键是弄清楚新定义运算法则．【随堂练习】1.对于实数a ，b ，c ，d ，规定一种运算=ad﹣bc，如=4×（﹣2）﹣0×2=﹣8，那么当=27时，则x 等于_____知识点4 单项式除以单项式单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的指数相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
北师版七年级数学下册同步精品讲义
学科教师辅导讲义考点一：同底数幂的乘法例4、计算①﹣x5•x2•x10 ②（2）9（2）8•（2）3③ a6•a2+a5•a3﹣2a•a7 ④（a﹣1）3•（a﹣1）2•（a﹣1）例5、若x=3a n，y=﹣，当a=2，n=3时，求a n x﹣ay的值．考点二：同底数幂的除法例1、已知（2a m b4）÷（4ab n）=，则m、n的值分别为（ ）A．m=1，n=4B．m=2，n=3 C．m=3，n=4D．m=4，n=5例2、已知x4n+3÷x n + 1=x n+ 3•x n+5，求n的值例3、（1）若33•9m+4÷272m﹣1的值为729，试求m的值；（2）已知3m=4，3m﹣4n=，求2008n的值例4、阅读材料：① 1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2015=1成立的x的值例5、若有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠2011B．x≠2011且x≠2012C．x≠2011且x≠2012且x≠0D．x≠2011且x≠0例6、（1）（2）（3）[﹣2﹣3﹣8﹣1×（﹣1）﹣2]××90（4）2考点三：科学计数法表示小于1的正数例1、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米。
数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为（ ）A、9.63×10﹣5B、96.3×10﹣6C、0.963×10﹣5D、963×10﹣4例2、一种细菌的半径是0.000045米，该数字用科学记数法表示正确的是（ ）A、4.5×105B、45×106C、4.5×10﹣5D、4.5×10﹣4，求5、计算：（1）（）5÷（）3•（）2 （2）﹣30﹣（1）2×+13÷（3）（﹣）0+（﹣）2+（﹣）﹣2（4）6、我们约定：a⊗b=10a÷10b，如4⊗3=104÷103=10（1）试求：12⊗3和10⊗4的值；（2）试求：21⊗5×102和19⊗3⊗4；（3）想一想，（a⊗b）⊗c和a⊗（b⊗c）是否相等，验证你的结论7、国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m，则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为（ ）（保留两位有效数字）。
1.6完全平方公式第2课时-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
拿出糖果招待他们.如果来1个孩子,老人就给这个孩子1块糖果;如果来2
个孩子,老人就给每个孩子2块糖果;如果来3个孩子,老人就给每个孩子3
块糖果……
假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老
人,第三天有(a+b)个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果
刀沿图中折痕剪开,把它分成四块完全相同的小长方形,然后按图②那样
拼成一个大正方形,则中间空白部分的面积是( C )
A.2m
B.(m+n)2
C.(m-n)2
D.m2-n2
四、当堂练习
6.化简:(x+2)2+4(1-x)= x2+8 .
7.一个正方形的边长增加3 cm,它的面积就增加45 cm2,则这个正方形的
思考：怎样计算1022，992更简便呢？
解:(1)1022=(100+2)2
(2)1972=(200-3)2
=1002+2×100×2+22
=2002-2×200×3+32
=10000+400+4
=40000-1200+9
=10404.
=38809.
你是怎样做的？与同伴进行交流.
二、新知探究
跟踪练习
方法二:逆用平方差公式
=a2+2ab+b2-9.
(x+3)2- x2
=(x+3+x)(x+3- x)
=(2x+3)·3=6x+9.
(3)(x+5)2-(x-2)(x-3).
(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)
北师版七年级下册数学同步讲义
目录第1讲同底数幂的乘法与乘方3第2讲同底数幂的除法13第3讲整式的乘法18第4讲平方差公式23第5讲完全平方公式27第6讲整式的除法31第7讲整式能力检测34第8讲相交线与平行线38第9讲探索直线平行的条件45第10讲平行线的性质51第11讲三角形的认识58第12讲全等三角形的性质和判定（SSS）65第13讲全等三角形的判定（SAS,ASA,AAS）73第14讲寒假综合能力检测第1讲 同底数幂的乘法与乘方【精讲精练】知识点1：同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（m,n 都是正整数，底数不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①都是正整数）②都是正整数）③都是正整数）【例题精讲】例1.计算（1）（2）（3） （4）【练一练】（1）（2）（3）（4）知识点2：同底数幂乘法之符号变换（n 为偶数）（n 为奇数）m n m na a a +∙=a (,,m n p m n p a a a a m n p++∙∙=(,,m n p m n p a a a a m n p++∙∙∙=L L L (,m n m n aa a m n+=∙712x x x g g 24x x x -g g ()()242a a a --gg 31001010mgg 5210x x x -g g ()()426b b b --g g ()()296y y y ---g g 510101000x gg ()()nnx y x y -=-()()nnx y y x -=-【例题精讲】例1.（1） （2）（3）（4）例2.（1）（2）【练一练】1. 计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）()()()23x y y x y x ---gg ()()()232a b a b b a ---g g ()()()23x y y x x y -⋅--()()()234222a b b a a b -⋅-⋅-()()()()()3224a a a a a ---+--()()()()234x y z z x y z x y x y z +------+-()4333-⋅()24x x ⋅-324816⨯⨯⨯()()()342a a a ⋅-⋅-112n n n x x x x -+⋅⋅⋅()()212m x y x y +--⋅--（7）（8）（9）（10）知识点3：同底数幂的乘法的逆运用例1、已知，求的值例2、已知， ，求的值例3、求下列各式中的m 值（1）（2）【练一练】1.求下列各式中x 的值（1）（2）2 .已知求的值。
北师大版七年级数学下册全部知识点归纳(新)上课讲义
北师大版七年级数学下册全部知识点归纳(新)第一章：整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。
北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案：平行线、平行线的构造（含答案）
四川省渠县崇德实验学校北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：平行线、平行线的构造）知识梳理 一、平行线1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a 外一点A 作b//a ，c//a ，则b 与c 重合．3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a ，c//a ，则b//c ．图1 图2 图34．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b ，则Ð1=Ð2． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b ，则Ð2=Ð3． （3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b ，则Ð3+Ð4=180°． 5．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若Ð1=Ð2，则a//b ． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若Ð2=Ð3，则a//b ． （3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若Ð3+Ð4=180°，则a//b ． 二、平行的构造1．如图4，若a//b ，则Ð1=Ð2+Ð3 2．如图5，若a//b ，则Ð1+Ð2+Ð3=360°(c )b aAcba b a4321a b` 213`a b213图4 图5例题讲解 一、平行线下列说法中：下列说法中：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交；②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交； ③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行；③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行； ④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 正确的是__________．【解析】①③④．【提示】这道题主要考查平行线的概念和平行公理．（1）如图2-1，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若125Ð=°，则2Ð的度数是（的度数是（ ） A ．155° B ．135° C ．125° D ．115°（2）如图2-2，已知AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于M 、N ，EMB Ð=50°，MG 平分BM BMF F Ð，交CD 于G ，MGN Ð的度数为__________．FE AMBC N G D12图2-1 图2-2（3）证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】（1）D ；（2）65°；（3）证法1：如右图，过△ABC 的顶点A 作直线l//BC ． 则B Ð1=Ð，C Ð2=Ð（两直线平行，内错角相等）． 又因为BAC Ð1+Ð+Ð2=180°．（平角的定义） 所以B BAC C Ð+Ð+Ð=180°（等量代换）． 即三角形三个内角的和等于180°． 证法2：如右图，延长BC ，过C 作CE//AB ， 则A Ð1=Ð（两直线平行，内错角相等），B Ð2=Ð（两直线平行，同位角相等）．又∵BCA Ð+Ð1+Ð2=180°， ∴BCA A B Ð+Ð+Ð=180°， 即三角形三个内角的和等于180°．【提示】这道题主要考查平行线的性质，（3）题证明方法老师可以自行补充，这个结论和平行公理是等价的．平行公理是等价的．另外，另外，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，然后然后再证明，重点强调格式．（1）根据图在（）根据图在（ ）内填注理由：）内填注理由： ①∵B CEF Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ②∵B BED Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ③∵B CEB Ð+Ð=180°（已知），（已知），l21CB A 21DCEBAA CDBFE∴AB//CD （ ）．）．（2）已知：如图所示，ABC ADC Ð=Ð，BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð，AED EDC Ð=Ð．求证：ED//BF ．证明：∵BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð（已知）（已知）∴EDC Ð=__________ADC Ð，FBA Ð=__________ABC Ð（ ）， 又∵ADC ABC Ð=Ð（已知），（已知）， ∴Ð__________FBA =Ð（等量代换）．（等量代换）． 又∵AED EDC Ð=Ð（已知），（已知），∴Ð__________=Ð__________（等量代换），（等量代换）， ∴ED//BF （ ）．）．【解析】（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行． （2）12；12；角平分线定义；EDC ；AED ；FBA ；同位角相等，两直线平行. 【提示】这道题主要考查平行的判定，这道题主要考查平行的判定，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，这种题型也是这种题型也是各学校的必考题型．如图，已知EF BC ^，C Ð1=Ð，Ð2+Ð3=180°．证明：AD BC ^．【解析】C Ð1=ÐQ ，（已知）\GD//AC ，（同位角相等，两直线平行） \CAD Ð=Ð2．（两直线平行，内错角相等）A CD BF EABCDEFG123又Ð2+Ð3=180°Q ，（已知）\CAD Ð3+=Ð180°．（等量代换）\AD//EF ，（同旁内角互补，两直线平行） \ADC EFC Ð=Ð．（两直线平行，同位角相等）EF BC ^Q ，（已知） ADC \Ð=90°，\AD BC ^．【提示】平行的性质和判定结合，时间可以留长点．请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明． （1）如图5-1，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（2）如图5-2，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（3）如图5-3，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð，相交于点O ．求证：MG NH ^．从本题我能得到的结论是：_____________________．图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）两直线平行，同位角的角平分线平行．A CG EB M H NDFOACGEB MHNDF A CG EBMHNDF（2）证明：∵AB//CD ，∴BMF CNE Ð=Ð，又∵MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð，∴GMF BMFCNE HNM 11Ð=Ð=Ð=Ð22，∴MG//NH ， 从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行． （3）证明：∵AB//CD ，∴AMF CNE Ð+Ð=180°，又∵MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð， ∴GMF HNE AMF CNE 11Ð+Ð=Ð+Ð=90°22，∴MON GMF HNE Ð=180°-Ð-Ð=90°，∴MG NH ^．从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【提示】平行线的性质和判定相结合，练习平行线倒角．二、平行线的构造（1）如图6-1，已知直线a//b ，Ð1=40°，Ð2=60°，则Ð3等于_________．（2）如图6-2，l 1//l 2，Ð1=120°，=Ð2100°，则Ð3=_________．（3）如图6-3，AB//CD ，ABE Ð=120°，ECD Ð=25°，则E Ð=_________．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）100°；（2）40°；（3）85°．321b aED CBAl 1l 2321【提示】练习基础的平行线倒角模型：铅笔模型和猪蹄模型．（1）如图7-1，AB//CD ，BAFEAF 1Ð=Ð3，FCD ECF 1Ð=Ð3，AEC Ð=128°，则AFC Ð的度数为________．（2）如图7-2，已知：AB//CD ，ABP Ð和CDP Ð的平分线相交于点E ，ABE Ð和CDE Ð的平分线相交于点F ，BFD Ð=54°，则BPD Ð=________，BED Ð=________．图7-1 图7-2【解析】（1）58°；（2）144°；108°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型综合．（1）如图8-1，AB//CD ，A Ð=32°，C Ð=70°，则F Ð=________．（2）如图8-2，AB//CD ，E Ð=37°，C Ð=20°，则EAB Ð的度数为________．图8-1 图8-2【解析】（1）38°；（2）57°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型的变形．EF A BPCDFD CBEAED CBA如图，直线AC//BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点当动点P 落在某个部分时，落在某个部分时，连结连结P A 、PB ，构成PAC Ð，APB Ð，PBD Ð三个角。
北师大版七年级下册数学《全等三角形》全等三角形的基本性质讲义
AFE全等三角形知识点一：全等形的有关概念1、全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3、对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点；重合的边叫对应边，重合的角叫做对应角.（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 4、“全等”的符号：“≅”，读作“全等于”.知识点二：从运动的角度看全等三角形的生成方法1、翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素；2、旋转法：三角形沿某一点旋转一定的角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素；3、平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素. 知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积相等. 例题一：1、下列命题中，真命题的个数是（ ）． ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2、如图，△ABC ≌△ADE ，其中C 和E ，B 和D 是对应点，写出其他的对应边和对应角．3、已知△ABC ≌△MNP ，∠A=48°，∠N=62°，则∠B=______°，∠C 、∠M 、∠P 的度数分别为__________， __________， __________.4、已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°，求∠ADB 的度数.5、如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．ABDCEDCABE EDCBA6、已知：如图，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE ． 练习一：1、如图，如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____．第1题图 第2题图 第3题图2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°3、如图所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____， ∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边___________________；（3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边___________________，对应角______________________． 4、如图，若ΔABE ≌ΔACD ，AB=8cm ，AD=5cm ，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_______，∠C=_______. 5、如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知∠DAE=43°，∠B=30°，求ADC ∠的大小.6、如图，已知△EAD ≌△ABC ，求证：CD+BC=AC.AB C D EFE DCBA第4题FE DCBA 7、如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠BEA=135°，求∠C 的度数. 例题二：7、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC 的度数.练习二：9、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为________度．10、如图，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于（ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC第9题 第10题 第11题11、如图, 在平行四边形ABCD 中, 将△ABE 沿BE 翻折, 点A 落在CD 边上, 成为点F, 如果△DEF 和△BCF 的周长分别是8cm 和22cm, 那么FC 的长度为_______________.综合：如图，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论．例题三：F EDC BA 8、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ） A 、15° B 、20° C 、25°D 、30°9、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB=( ) A 、40° B 、30° C 、20° D 、10° 练习三：12、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A 、70°B 、65°C 、50°D 、25°13、如图，将直角三角形BCA 沿BC 方向平移得到△FED ， H 是线段AC 和FD 的交点.如果ED=9, BF=4, AH=3, 那么四边形FBAH 的面积是_______________.例8题图 例9题图 练习12题图 练习13题图课 后 作 业1、△ABC 和△DEF 是全等三角形，若AB=DE ，∠B=50°，∠C=70°，∠E=50°，则∠D 的度数是_____．2、△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=________.3、如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，△AOB 绕O 旋转180º，可以与△___________重合，这说明△AOB ≌△___________.这两个三角形的对应边是AO 与__________，OB 与__________，BA 与__________；对应角是∠AOB 与________，∠OBA 与_________, ∠BAO 与___________.4、已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、如图，△ABC ≌△CDA ，AC ＝7cm ，AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，则AD 的长是（ ）A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、6cm6、如图所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.5EDB C′FCD ′AA 'B DAC A CD7、已知△DEF ≌△ABC ，AB=AC ，且△ABC 的周长是23cm ，BC=4cm ，则△DEF 的边长中必有一边等于（ ） A 、9.5cm B 、9.5cm 或4cm C 、9cm D 、4cm 或9cm8、如图，已知△ABC ≌△DBE ，∠BDA=∠A ．若∠A ：∠C=5：3，则∠DBE 的度数是（ ） A ．100° B ．80° C ．60° D ．120°9、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25°10、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11、如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.12、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，求∠DGB 的度数.第6题图FE CBA 第9题图第10题图第8题图DCB AE。
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C． (x y)2 (x y)2
3．下列各式中，正确的是（ ）
A． a 6 (a)2 a8
C． m2 m2 2m4
C. x 2 .x m1
）
D. x 2m x 2
B. ( y x)3 (x y)3
D. ( y x)( y x) (x y)(x y)
B. (2)5 10 D. (a b)2 (a b)2
（6）运算时要注意运算顺序，如 x5 x3 x2 x53 x2 x2 x2 x4 ， 如不注意顺序，则可能错写成 x5 x3 x2 x5 x32 = x5 x5 1
【典型例题】
例 1 若 (a b)a .(b a)b (a b)5 且(a b)a5.(a b)5b (a b)3 , 求a a bb的值.
多重乘方：
(am )n
p
= __________
3. 积的乘方: (ab)n ___________; (abc)n ________
4. 负指数幂： a p __________ 任何不等于 0 的数的 p 次幂（ p 是正整数），等于这
个数的 p 次幂的倒数.而 01 、 03 都是无意义的，
例 2 已知 n 是正整数,且 (x n )2 9, 求(1 x3n )2 3(x 2 )2n的值. 3
例 3 一个棱长为 2 103 的正方体，在某种物质的作用下，以每秒扩大到原来102 倍的速度膨胀，
求 10S 后该正方体的体积.
例 4 据测算，SARS 病人唾液中，一个单位体积的唾液中有 SARS 病毒106 个.某种消毒液一 滴可杀死 5104 个 SARS 病毒，医院要将 SARS 病人的一个单位体积的唾液中的所有 SARS 病
毒全部杀死，至少需要多少滴这样的消毒液？
【初试锋芒】
1．a、b 互为相反数，且都不为 0，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是（ ）
A． a n与b n
B. a 2n与b 2n
C. a 2n1与b 2n1
D. a 2n1与 b 2n1
2．若 n 为正整数，当 a=-1 时， (a 2n )2n1 等于（ ）
6.下列运算结果正确的是( )
①2x3-x2=x ②x3·(x5)2=x13 ③(-x)6÷(-x)3=x3 ④(0.1)-2×10-1=10
A.①②
B.②④
C.②③
D.②③④
7.若 a=-0.32,b=-3-2,c= ( 1)2 ,d= ( 1)0 , 则( )
3
3
A.a<b<c<d B.b<a<d<c C.a<d<c<b D.c<a<d<b
（1） (a 2 )3 =_____________ （3） 32 (2)2n (2) =_____________ （5） x p (x)2 p (x)2 p1 =_____________
三 计算
(1) (x 2 )m (x n )3 (x m1 )2 (x3 )n x 2
（2）
8.若102 y 25 ,则10 y 等于( )
1
1
11
1
A.
B.
C.- 或
D.
5
625
55
25
9．计算
(2a)2
3
等于（
）
A． 8a5
B. 64a 6
10.若 3m 5, 3n 4 ,则 32mn 等于(
C. 64a 6
)
25A.4Fra bibliotekB.6
C.21
D.20
D. 256a8
二 填空题
当 a 0 时， a p 的值一定是正的；
当 a 0 时， a p 的值可能是正的也可能是负的.如： (2)2 1 ， (2)3 1
4
8
5. 零指数幂 a0 1 （ a 0 ）. 00 没有意义.
学习时对于法则的理解应注意如下的问题：
（1）底数不同的幂相乘，不能应用法则，如 32 23 323 ； (2) 不要忽视指数为 1 的因数，如 c c5 c6 c05 ；
(m)3
4
=_____________
（4） (a3m )2 =_____________
（6） x10 x2 x3 x4 =______
(2) (2x 4 y 5 )3 (3x3 y 2 )2 (12x10 y10 )
（3） (3.6 1012 ) (2 102 )2 (3 102 )2
A．1
B.-1
C.0
D.1 或-1
3．计算. 0.3756 ( 4)6 等于（ ） 3
A．0
B.1
C.-5
1
D.
64
4． 32 3 9 32 27 =__________
5. ( 1 ab)3 1 a3b3 =__________
3
3
6. (3a 2 )3 (a 2 )2 .a 2 =__________
4．在 x n1 x mn 中，括号内应填写的代数式是（ ）
A． x mn1
B. x m1
C. x m2
D. x mn2
5．a、b 互为相反数，且都不为 0，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是（ ）
A． a n与b n
B. a 2n与b 2n
C. a 2n1与b 2n1
D. a 2n1与 b 2n1
(3) 底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看成一个整体，
勿犯 (x y)2 (x y)3 (x2 y2 )(x3 y3 ) 这种错误；
(4) a2 和 (a)2 不一样，它们互为相反数；
(5) 互为相反数的相同偶次方相等，即 (a)2n a2n （n 为正整数）；
互为相反数的相同奇次方仍互为相反数，即 (a)2n1 a2n1 （n 为正整数）；
第一节 指数运算
【知识要点】
1．同底数幂的运算性质 a m a n _______ a m a n _______ （ a 0 ）
同底数幂的运算性质推广：
a m a n a p ________; a m a n a p _________
2．幂的乘方： (a m )n __________
7. (4a)3.(a 2 )2 .a 2 =_________
8. 若 n 为正整数，且 x 2n 7, 求(3x3n )2 13(x 2 )2n 的值.
【大展身手】
一．选择题
1． x 2m2 可写成（ ）
A． 2x m1
B. x 2m x 2
2．若 x y ，则下列各式不成立的是（
A． ( y x)2 (x y)2