高等数学A课程教学大纲

《微分几何》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：06122001课程名称：微分几何英文名称：Differential Geometry课程性质：限选适用专业：数学与应用数学开课学期：春期总学时：34总学分：2课程简介：微分几何是数学与应用数学专业的基础课, 内容包括曲面论、曲线论、活动标架法、整体微分几何初步。

本课程的教学目的是使学生掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础，同时培养学生直观分析能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，培养其理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

本课程主要教学内容是曲线的切向量与弧长、曲率与扰率、Frenet标架与Frenet公式、曲线的局部结构、曲线论基本定理、曲面的表示、切向量、法向量、旋转曲面、直纹面与可展曲面、曲面的第一基本形式与内蕴量、曲面的第二基本形式、曲面上的活动标架与基本公式、Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线、法曲率、主方向、主曲率与曲率线、Gauss曲率和平均曲率、曲面的局部结构、Gauss映照与第三基本形式、全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面、曲面论基本定理、测地曲率与测地线、向量的平移、曲面上的Gauss-Bonnet公式、向量场与孤立奇点的指标、球面的刚性、极小曲面中的Bernstein定理、完备曲面与Hopf-Rinow定理等等。

课程英文描述：Differential geometry is a basic course of applied mathematics subject. The content includes surface theory, curve theory, method of moving frames, and introduction to global geometry. The purpose of this course is to introduce the students to some basic geometrical concepts, and to some common methods in the study of curves and surfaces, so as to lay the foundation for the further study of modern geometry. Meanwhile it is contented to cultivate their intuitive analysis capabilities, the ability to solve geometric problems by analysis, algebra and other tools, and to develop the ability to conform theory with practice, so as to develop the skill to analyze and solve problems.This main content of this course is tangent vectors and arc length of curves, curvature and torsion, Frenet frames and Frenet formulas, local structure of a curve, fundamental theorem of curve theory, representation of a surface, tangent vector, normal vector, surface of revolution, ruled surfaces, developable surfaces, the first basic form of a surface, intrinsic quantities of a surfaces, the second basic form of a surface, moving frames on a surface and basic formulas, Weingarten transform, asymptotic curves and conjugate curves of a surface, normal curvature, main directions, main curvatures, Gauss and mean curvature, the local structure of a surface, Gauss mapping and the third basic form, totally umbilical surfaces, minimal surfaces, surfaces with constant Gauss curvature, the fundamental theorem of surface theory, geodesic curvature and geodesics, vector translation, Gauss-Bonnet formula on a surface, indicator of a vector fields with isolated singularities, rigidity of the sphere, Bernstein Theorem for minimal surfaces, complete surfaces and the Hopf-Rinow theorem, etc.推荐教材：《微分几何》（第四版），梅向明黄敬之编，高等教育出版社，2008.5《微分几何》，苏步青等编，高等教学出版社，1979参考书目：1.《微分几何》，彭家贵等编，高等教育出版社，20022.《微分几何初步》，陈维桓编，北京大学出版社，20043.《微分几何讲义》，吴大任编，高等教育出版社，19814.《微分几何讲义》，虞言林等编，高等教育出版社，1989二、课程总目标1．在知识理论方面，本课程教学要求学生掌握曲线的切向量与弧长、曲率与挠率，掌握Frenet标架与Frenet公式，熟悉曲线的局部结构，理解曲线论的基本定理，掌握曲面的表示、切向量、法向量，熟悉旋转曲面、直纹面与可展曲面，掌握曲面的第一基本形式与内蕴量，掌握曲面的第二基本形式，掌握曲面上的活动标架与基本公式，熟悉Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线、法曲率、主方向、主曲率与曲率线，掌握Gauss曲率和平均曲率，熟悉曲面的局部结构，熟悉Gauss映照与第三基本形式，了解全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面，理解曲面论的基本定理，掌握测地曲率与测地线，掌握向量的平行移动，掌握曲面上的Gauss-Bonnet公式，理解向量场与孤立奇点的指标，理解球面的刚性，了解极小曲面中的Bernstein定理，熟悉完备曲面与Hopf-Rinow定理。

2．在能力和素质方面，本课程注重培养学生直观分析能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，培养其理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

三、理论教学内容与目标课程理论教学课时分配表注：带*号的为推荐学生自主学习的选学内容第一部分曲线论（12 学时）1、向量函数（2学时）教学内容：向量函数的概念及表示法，向量函数的运算极限、连续性、微分、积分。

教学目标：(1) 理解向量函数的概念，掌握向量函数的表示法。

(2) 理解向量函数的运算。

(3) 理解向量函数的运算极限、连续性、微分、积分。

(4) 了解定长、定向向量函数的特征。

2、曲率与挠率（4学时）教学内容：曲线的切线和法线；曲线的曲率与挠率。

教学目标：(1) 掌握曲线的方程。

(2) 理解导曲线的切线和法线。

(3) 掌握曲线的曲率与挠率。

3、Frenet方程组（4学时）教学内容：曲线的自然参数；曲线的基本三棱形；曲线的Frenet方程。

教学目标：(1) 理解曲线的自然参数。

(2) 掌握曲线的基本三棱形。

(3) 掌握曲线的Frenet方程。

第二部分曲面论（22 学时）1、曲面的第一基本形式（4学时）教学内容：曲面的第一基本形式。

教学目标：(1) 理解曲面的第一基本形式、第一基本量。

(2) 掌握第一基本形式、第一基本量的不同计算公式。

2、曲面的第二基本形式（4学时）教学内容：曲面的第一基本形式。

教学目标：(1) 理解曲面的第二基本形式、第二基本量。

(2) 掌握第二基本形式、第二基本量的不同计算公式。

3、直纹面、可展曲面（4学时）教学内容：直纹面；可展曲面；可展曲面的判断条件。

教学目标：(1) 掌握直纹面方程。

(2) 理解可展曲面的概念。

(3) 掌握可展曲面的判断条件。

4、曲面论的基本定理（2学时）教学内容：Christoffel符号；Riemann曲率张量；Gauss公式；Codazzi-Mainardi公式；曲面论的基本定理。

教学目标：(1) 了解Christoffel符号。

(2) 了解Riemann曲率张量。

(3) 了解Gauss公式。

(4) 了解Codazzi-Mainardi公式。

(5) 了解曲面论的基本定理。

5、曲面上的测地线（4学时）教学内容：测地曲率；测地线方程。

教学目标：(1) 理解测地曲率。

(2) 掌握测地曲率计算公式。

(3) 理解测地曲线。

(4) 掌握测地曲线方程。

6、常高斯曲率曲面（4学时）教学内容：常高斯曲率曲面；伪球面；罗氏几何。

教学目标：(1) 理解常高斯曲率曲面。

(2) 了解伪球面。

(3) 了解罗氏几何。

四、教学指南课程教学重点：函数极限、Frenet标架、曲线的挠率、Frenet公式、一般参数下曲率、挠率和Frenet公式的计算、曲面的第一基本形式、外微分形式的概念和运算、及其在曲面论讨论方面的应用。

课程教学难点：曲线论基本定理、曲面上的向量场、可微映射诱导的切映射、曲面间保长对应、保角对应、外微分形式的运算。

教学方法和手段：本课程主要采用多媒体辅助教学，在必要时辅以板书教学。

作为一门考查课，本课程将只对重要命题给予证明，侧重点在于引导学生自主思考、重点练习。

五、作业本课程课后作业内容主要是对行课内容进行巩固和复习的各种练习题，每次课后都要布置适量的练习题，学生每周都需要将书面作业上交，教师进行批改。

六、考核方式本课程考核采用闭卷考试的形式。

七、成绩评定本课程的期末成绩由期末考试成绩、考勤和平时作业三部分组成，分别占60%、10%和30%。