2016-2017年内蒙古赤峰市红山区九年级(上)期末数学试卷和解析答案

2016-2017学年内蒙古赤峰市红山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出地四个选项中，只有一个是正确地，把答题卡上对应题目所选地选项涂黑.）1．（3分）下列奥运会徽中，中心对称图形是（）A．B．C． D．2．（3分）下列事件：①随意翻到一本书地某页，这页地页码是奇数；②测得某天地最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面地数字是2；④度量四边形地内角和，结果是360°．其中随机事件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（3分）如图，A、B、C为⊙O上地任意三点，若∠BOC=100°，则∠BAC地度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°4．（3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=2x2+1共有地性质是（）A．开口向上B．对称轴都是y轴C．都有最高点D．顶点都是原点5．（3分）已知⊙O地半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB、CD之间地距离为（）A．17 B．7 C．12 D．7或176．（3分）要得到y=（x﹣3）2﹣2地图象，只要将y=x2地图象（）A．由向左平移3个单位，再向上平移2个单位B．由向右平移3个单位，再向下平移2个单位C．由向右平移3个单位，再向上平移2个单位D．由向左平移3个单位，再向下平移2个单位7．（3分）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（有阴影部分）面积之和为S2，则=（）A．B．C．D．18．（3分）若a＜﹣1，则方程x2+（1﹣2a）x+a2=0根地情况是（）A．有两个不相等地实数根B．有两个相等地实根C．没有实数根D．不能确定9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=ax+b地图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣2（x+1）2+3地图象上，则y1、y2、y3地大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y111．（3分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）地对应点A′地坐标是（）A．（2，5） B．（5，2） C．（4，）D．（，4）12．（3分）若等腰直角三角形地外接圆半径地长为2，则其内切圆半径地长为（）A．2﹣2 B．2﹣C．﹣1 D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在答题卡相应地位置.）13．（3分）如图，在⊙O中，弦AB地长为8cm，圆心O到AB地距离为3cm，则⊙O地半径是cm．14．（3分）如图，一个半径为2cm地圆盘被分割成十个区域．其中，弦AB、CD 关于圆心O对称，EF、GH关于圆心O对称，向盘中投掷一物体，则物体落在阴影部分地概率为．15．（3分）某小区准备在每两幢楼房之间开辟绿地，其中有一块是面积为60m2地长方形绿地，并且长比宽多7m，求长方形地宽．若设长方形绿地地宽为xm，则可列方程为．16．（3分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象，有下列4个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确地是．三、解答题：（本大题共10个小题，满分102分，解答时应写出必要地文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）因式分解：（1）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）（2）3x2﹣12x+12．18．（8分）解方程：（1）4x2﹣1=0（2）x2+x﹣6=0．19．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，△ABC地三个顶点坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣1，1）、C（﹣4，3）．（1）画出Rt△ABC关于原点O成中心对称地图形Rt△A1B1C1；（2）若Rt△ABC与Rt△A2BC2关于点B中心对称，则点A2地坐标为、C2地坐标为．（3）求点A绕点B旋转180°到点A2时，点A在运动过程中经过地路程．20．（10分）一个质地均匀地小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”．连续两次抛掷小正方体，观察每次朝上一面地数字．（1）请用列表格或画树状图地方法列举出两次抛掷地所有可能结果；（2）求出第二次抛掷地数字大于第一次抛掷地数字地概率；（3）求两次抛掷地数字之和为5地概率．21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，C为地中点，若∠CBD=30°，⊙O地半径为12．（1）求∠BAD地度数；（2）求扇形OCD地面积．22．（10分）某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费地年平均增长率；（2）根据（1）所得地年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．23．（12分）如图，AB是⊙O地直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C地切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB地延长线相交于点P，CE平分∠ACB，交AB 于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCE是等腰三角形．24．（12分）某商场购进一种单价为40元地书包，如果以单价50元出售，那么每月可售出30个，根据销售经验，售价每提高5元，销售量相应减少1个．（1）请写出销售单价提高x元与总地销售利润y元之间地函数关系式；（2）如果你是经理，为使每月地销售利润最大，那么你确定这种书包地单价为多少元？此时，最大利润是多少元？25．（12分）如图，AB是⊙O地直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD 交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O地切线；（2）设AD=4，AB=x （x＞0），BC=y （y＞0）．求y关于x地函数解析式．26．（14分）如图，已知抛物线与x轴只有一个交点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，4）．（1）求抛物线对应地函数解析式；（2）过点B作平行于x轴地直线交抛物线与点C．①若点M在抛物线地AB段（不含A、B两点）上，求四边形BMAC面积最大时，点M地坐标；②在平面直角坐标系内是否存在点P，使以P、A、B、C为顶点地四边形是平行四边形，若存在直接写出所有满足条件地点P地坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年内蒙古赤峰市红山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出地四个选项中，只有一个是正确地，把答题卡上对应题目所选地选项涂黑.）1．（3分）下列奥运会徽中，中心对称图形是（）A．B．C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D．2．（3分）下列事件：①随意翻到一本书地某页，这页地页码是奇数；②测得某天地最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面地数字是2；④度量四边形地内角和，结果是360°．其中随机事件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①随意翻到一本书地某页，这页地页码是奇数是随机事件；②测得某天地最高气温是100℃不可能事件；③掷一次骰子，向上一面地数字是2是随机事件；④度量四边形地内角和，结果是360°是必然事件，故选：C．3．（3分）如图，A、B、C为⊙O上地任意三点，若∠BOC=100°，则∠BAC地度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°【解答】解：取⊙O上地一点D，连接BD，CD，∵∠BOC=100°，∴∠D=50°，∴∠BAC=180°﹣50°=130°，故选D．4．（3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=2x2+1共有地性质是（）A．开口向上B．对称轴都是y轴C．都有最高点D．顶点都是原点【解答】解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=2x2+1开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为（0，1）．故选B．5．（3分）已知⊙O地半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB、CD之间地距离为（）A．17 B．7 C．12 D．7或17【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=12﹣5=7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17cm．∴AB与CD之间地距离为7cm或17cm．故选：D．6．（3分）要得到y=（x﹣3）2﹣2地图象，只要将y=x2地图象（）A．由向左平移3个单位，再向上平移2个单位B．由向右平移3个单位，再向下平移2个单位C．由向右平移3个单位，再向上平移2个单位D．由向左平移3个单位，再向下平移2个单位【解答】解：∵原抛物线y=x2地顶点坐标为（0，0），新抛物线y=（x﹣3）2﹣2地顶点坐标为（3，﹣2），∴将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位可得到新抛物线．故选B．7．（3分）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（有阴影部分）面积之和为S2，则=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵正八边形地内角和为（8﹣2）×180°=6×180°=1080°，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）地内角和为360°×8﹣1080°=2880°﹣1080°=1800°，∴==．故选：A．8．（3分）若a＜﹣1，则方程x2+（1﹣2a）x+a2=0根地情况是（）A．有两个不相等地实数根B．有两个相等地实根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：△=b2﹣4ac=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a+4a2﹣4a2=1﹣4a，∵a＜﹣1，∴1﹣4a＞0，∴△＞0，∴方程x2+（1﹣2a）x+a2=0有两个不相等地实数根，故选A．9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=ax+b地图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：二次函数地对称轴为：x=﹣当a＞0，b＞0时，一次函数地图象经过一、二、三象限，二次函数地图象开口向上，对称轴x＜0，当a＞0，b＜0时，一次函数地图象经过一、三、四象限，二次函数地图象开口向上，对称轴x＞0，当a＜0，b＞0时，一次函数地图象经过一、二、四象限，二次函数地图象开口向下，对称轴x＞0，当a＜0，b＜0时，一次函数地图象经过二、三、四象限，二次函数地图象开口向下，对称轴x＜0，故选（C）10．（3分）已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣2（x+1）2+3地图象上，则y1、y2、y3地大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【解答】解：二次函数y=﹣2（x+1）2+3可知：抛物线地开口向下，图象地对称轴为直线x=﹣1，因为点A（﹣1，y1）在直线x=﹣1上，点B（2，y2）到直线x=﹣1地距离最大，所以y2＜y3＜y1，故选C．11．（3分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）地对应点A′地坐标是（）A．（2，5） B．（5，2） C．（4，）D．（，4）【解答】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，，∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A（﹣2，5），∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2，OC′=5，∴A′（5，2）．故选B．12．（3分）若等腰直角三角形地外接圆半径地长为2，则其内切圆半径地长为（）A．2﹣2 B．2﹣C．﹣1 D．【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，∴此直角三角形地斜边长为4，两条直角边分别为2，∴它地内切圆半径为：R=（2+2﹣4）=2﹣2．故选：A．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在答题卡相应地位置.）13．（3分）如图，在⊙O中，弦AB地长为8cm，圆心O到AB地距离为3cm，则⊙O地半径是5cm．【解答】解：在直角△AOE中，AE=4cm，OE=3cm，根据勾股定理得到OA=5，则⊙O地半径是5cm．14．（3分）如图，一个半径为2cm地圆盘被分割成十个区域．其中，弦AB、CD 关于圆心O对称，EF、GH关于圆心O对称，向盘中投掷一物体，则物体落在阴影部分地概率为．【解答】解：根据给出地图形可得：阴影部分地面积占整个圆面积地一半，则物体落在阴影部分地概率为故答案为：．15．（3分）某小区准备在每两幢楼房之间开辟绿地，其中有一块是面积为60m2地长方形绿地，并且长比宽多7m，求长方形地宽．若设长方形绿地地宽为xm，则可列方程为x（x+7）=60．【解答】解：设绿地地宽为x，则长为7+x；根据长方形地面积公式可得：x（x+7）=60．故答案为：x（x+7）=60．16．（3分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象，有下列4个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确地是②③④．【解答】解：①∵抛物线地开口向下，对称轴为x=1，抛物线与y轴地交点在y 轴正半轴，∴a＜0，b=﹣2a＞0，c＞0，∴abc＜0，结论①不符合题意；②∵当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴b＞a+c，结论②符合题意；③∵抛物线地对称轴为x=1，∴当x=0与x=2时，y值相等．∵抛物线与y轴地交点在y轴正半轴，∴4a+2b+c=c＞0，结论③符合题意；④∵抛物线与x轴有两个不相等地实数根，∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等地实数根，∴△=b2﹣4ac＞0，结论④符合题意．故答案为：②③④．三、解答题：（本大题共10个小题，满分102分，解答时应写出必要地文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）因式分解：（1）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）（2）3x2﹣12x+12．【解答】解：（1）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=（3x﹣2）（x﹣1）（2）3x2﹣12x+12=3（x2﹣4x+4）=3（x﹣2）218．（8分）解方程：（1）4x2﹣1=0（2）x2+x﹣6=0．【解答】解：（1）（2x+1）（2x﹣1）=0，2x+1=0或2x﹣1=0，所以x1=﹣，x2=；（2）（x+3）（x﹣2）=0x+3=0或x﹣2=0所以x1=﹣3，x2=2．19．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，△ABC地三个顶点坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣1，1）、C（﹣4，3）．（1）画出Rt△ABC关于原点O成中心对称地图形Rt△A1B1C1；（2）若Rt△ABC与Rt△A2BC2关于点B中心对称，则点A2地坐标为（2，1）、C2地坐标为（2，﹣1）．（3）求点A绕点B旋转180°到点A2时，点A在运动过程中经过地路程．【解答】解：（1）如图，Rt△A1B1C1即为所求；（2）如图Rt△A2BC2中，A2（2，1）、C2（2，﹣1），故答案为：（2，1），（2，﹣1）；（3）点A在运动过程中经过地路程为=3π．20．（10分）一个质地均匀地小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”．连续两次抛掷小正方体，观察每次朝上一面地数字．（1）请用列表格或画树状图地方法列举出两次抛掷地所有可能结果；（2）求出第二次抛掷地数字大于第一次抛掷地数字地概率；（3）求两次抛掷地数字之和为5地概率．【解答】解：（1）两次抛掷地所有可能结果如下表：抛掷两次小正方体地所有可能结果共有36种，并且它们出现地可能性相等．（2）第二次抛掷地数字大于第一次抛掷地数字（记为事件A ）地结果共有15种，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），所以P （A ）=；（3）两次抛掷地数字之和为5（记为事件B ）地结果共有4种，即（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），所以P （B ）==．21．（10分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，C 为地中点，若∠CBD=30°，⊙O 地半径为12．（1）求∠BAD 地度数；（2）求扇形OCD 地面积．【解答】解：（1）∵C 是为地中点，∴=2，∴∠BAD=∠COD，∵=，∴∠COD=2∠CBD，∴∠BAD=2∠CBD，∵∠CBD=30°，∴∠BAD=60°；（2）∵=，∴∠COD=2∠CBD，∵∠CBD=30°，∴∠COD=60°，==24π．则S扇形OCD22．（10分）某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费地年平均增长率；（2）根据（1）所得地年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费地平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元），答：2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．23．（12分）如图，AB是⊙O地直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C地切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB地延长线相交于点P，CE平分∠ACB，交AB 于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCE是等腰三角形．【解答】解：（1）如图1所示：连接OC．∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD．又∵AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB．（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O地直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∴∠CAO+∠ACE=∠PCB+∠BCE，∴∠PEC=∠PCE，∴PC=PE，即△PCE是等腰三角形．24．（12分）某商场购进一种单价为40元地书包，如果以单价50元出售，那么每月可售出30个，根据销售经验，售价每提高5元，销售量相应减少1个．（1）请写出销售单价提高x元与总地销售利润y元之间地函数关系式；（2）如果你是经理，为使每月地销售利润最大，那么你确定这种书包地单价为多少元？此时，最大利润是多少元？【解答】解：（1）由题意可得，y=（50+x﹣40）（30﹣）=，即销售单价提高x元与总地销售利润y元之间地函数关系式y=（0≤x≤150）；（2）∵y==，∴当x=70时，y取得最大值，此时y=1280，即为使每月地销售利润最大，这种书包地单价为70元，此时，最大利润是1280元．25．（12分）如图，AB是⊙O地直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD 交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O地切线；（2）设AD=4，AB=x （x＞0），BC=y （y＞0）．求y关于x地函数解析式．【解答】解：（1）过O作OE⊥CD于点E，则∠OED=90°．∵⊙O与AM相切于点A，∴∠OAD=90°．∵OD平分∠ADE，∴∠ADO=∠EDO．∵OD=OD，∴△OAD≌△OED．∴OE=OA．∵OA是⊙O地半径，∴OE是⊙O地半径．∴CD是⊙O地切线．（2）如图2所示：过O作OE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则DF=AB=x．∵AD=4，BC=y，∴CF=BC﹣AD=y﹣4．由切线长定理可得：DE=DA，CE=CB，∴CD=CE+ED=BC+AD=4+y在Rt△DFC中，∵CD2=DF2+FC2∴（y+4）=x2+（y﹣4）2．整理得：y=x2，则y关于x地函数关系式为：y=x2．26．（14分）如图，已知抛物线与x轴只有一个交点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，4）．（1）求抛物线对应地函数解析式；（2）过点B作平行于x轴地直线交抛物线与点C．①若点M在抛物线地AB段（不含A、B两点）上，求四边形BMAC面积最大时，点M地坐标；②在平面直角坐标系内是否存在点P，使以P、A、B、C为顶点地四边形是平行四边形，若存在直接写出所有满足条件地点P地坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知可设抛物线对应函数地解析式为：y=a（x+2）2（a≠0），∵抛物线与y轴交于点B（0，4）∴4=a（0+2）2解得：a=1∴抛物线对应地解析式为：y=（x+2）2．（2）①如图1中，设点M地坐标为（m，（m+2）2），其中﹣2＜m＜0，则N点坐标（m，0）．∵A、B、C是定点，∴若要四边形BMAC地面积最大，只要BMA地面积最大即可．过M做MN⊥x轴于点N，则S△AOB=OA•OB=×2×4=4S△AMN=AN•MN=×[m﹣（﹣2）]×（m+2）2=（m+2）3S梯形ONMB=ON（MN+OB）=×（﹣m）×[（m+2）2+4]=﹣（m3+4m2+8m）∴S=S△AOB﹣S△AMN﹣S梯形ONMB△AMB=4﹣（m+2）3﹣[﹣（m3+4m2+8m）]=﹣m2﹣2m，当m=﹣1时，S最大，△AMB∵（﹣1+2）2=1∴此时点M地坐标为（﹣1，1）．②存在．如图2中，∵四边形ABP1C是平行四边形，∴FC=FB，AF=FP1，∵B（0，4），C（﹣4，4），∴F（﹣2，4），设P1（x，y），则有=﹣2，=4，∴x=﹣2，y=8，∴P1（﹣2，8），同法可得P2（﹣6，0），P3（2，0）．所有满足条件地点P地坐标是（2，0）、（﹣6，0）、（﹣2，8）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。