九年级数学下册小专题(四)相似三角形的基本模型习题课件(新版)新人教版
专题01 相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(原卷版)
专题01 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1. “A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“A ”字模型 条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC.2）反“A ”字模型 条件：如图2，∠AE D ＝∠B ；结论：△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AEF ∽△ABC ，△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AG BD CD AD ==例1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．例2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片ABC 中，C Ð3BC =，若沿AB 的垂直平分线的长为 ．例3．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在ABC V 中，AD BC ^，垂足为D ，5AD =，10BC =，四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形，且点E 、F 、G 、H 、N 、M 都在ABC V 的边上，那么AEM △与四边形BCME 的面积比为______．例4.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在ABC D 中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC D D ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD =．模型2. “X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD ＝OA OC ＝OB OD.2）反“8”字模型条件：如图2，∠A ＝∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD ＝OA OD ＝OB OC .3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE BE AB DF CF CD==4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3＝∠4.例1．（2022·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC ，BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为( )A ．8B ．10C ．12D ．14例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（ ）A ．DH CH FH BH =B ．GE CG DF CB =C ．AF HG CE CG =D ．=FH BF AG FA例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB V 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12×=×S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S值．例4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ，则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG··=··=．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB××=．(2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．模型3. “AX ”字模型（“A 8”模型）【模型解读与图示】图1 图2 图31）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△DEF ∽△CBF ⇔AD AE DE DF FE AB AC BC FC BF ====2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF +=.3）四“A ”一“8”模型条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG+==；结论：AF =AG 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC V 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A ．AD AE DB EC =B ．DE DF BC FC =C ．DE AE BC EC =D ．EF AE BF AC =例2．（2020·浙江·杭州启正中学九年级期中）如图，ABC V 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AG GF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA V 相似的三角形，并挑出一个进行证明．例3.（2023·安徽·九年级期中）图，AB GH CD ∥∥，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE ⊥BC ，求证：OE ＝CD ．（2）如图②，若AB ∥CD ，过点O 作EF ∥AB 分别交BC 、AD 于点E 、F ．求证：＝2．（3）如图③，若OC 平分∠AOB ，D 、E 分别为OA 、OB 上的点，DE 交OC 于点M ，作MN ∥OB 交OA 于一点N ，若OD ＝8，OE ＝6，直接写出线段MN 长度．课后专项训练1．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC V 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12Ð=Ð．若4BC =，2AF =，3CF =，则EF =______．3．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且2AE DE =，BD 与CE 相交于点F ，若DEF V 的面积是3，则BCF △的面积是______．4．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG ：GD ＝BG ：GE ＝CG ：GF ＝2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为 _____．5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，在ABC D 中，点,D E 分别在边,BA BC 上，且32AD CE DB EB ==，DBE D 与四边形ADEC 的面积的比为__________．6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 是AB 边上一点，3AE =，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且12F EDC Ð=Ð，则CF =_________．7．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，过点B 作BD CB ^，垂足为B ，且3BD =，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN CB ^，垂足为N ．若2AC =，则MN 的长为__________．8．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中1111//////AA BB CC DD ，且AB BC CD ==．为使其更稳固，在A ，1D 间加绑一条安全绳（线段1AD ），量得0.4m AE =，则1AD =________m ．9．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若8BE =，则GE =___．10．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在ABC V 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △∽AED V ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值．11．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D ，E ，F 依次是△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CF DB EC FA××=．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交△ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ．过点C 作CM ∥DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AF DM FC=（依据），∴BE AD EC DM ×＝BD AF DM FC×，∴BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CF DB EC FA××=．情况②：如图2，直线DE 分别交△ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ．…（1）情况①中的依据指： ；（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :FA ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．12．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC V 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =×V ，12DBC S BC h =×△．∴ABC DBC S S =V V ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h ¢，则ABC DBC S h S h =¢△△．证明：∵ABC S V(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ^，垂足为E ，过点D 作DF BM ^，垂足为F ，则90AEM DFM Ð=Ð=°，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM=．由【探究】（1）可知ABC DBCS S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．13．（2023·江苏连云港·校考三模）【阅读材料】教材习题：如图，AB 、CD 相交于点O ，O 是AB 中点，ACBD ∥，求证：O 是CD 中点．问题分析：由条件易证AOC BOD ≌V V ，从而得到OC OD =，即点O 是CD 的中点方法提取：构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．【基础应用】已知ABC V 中，90B Ð=°，点E 在边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，连接D ．(1)如图1，若AB BC =，AE CF =，求证：点D 是EF 的中点；(2)如图2，若2AB BC =，2AE CF =，探究CD 与BE 之间的数量关系；【灵活应用】如图3，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上一点，点E 是AB 上一点，点小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得m AC a =，m BC b =；（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得3a CM m =，m 3b CN =；测得m MN c =．求解过程：15.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中, 5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADES △ODB 的值；（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长；（3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ÐÐ=、, 求线段OC 的长．16．（2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝6，点E 在对角线AC 上，且满足AE ＝2EC ，点F 在线段CD 上，作直线FE ，交线段AB 于点M ，交直线BC 于点N ．（1）当CF ＝2时，求线段BN 的长；（2）若设CF ＝x ，△BNE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME 能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x 的值．17．（2023·上海奉贤·二模）已知：如图，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，∠DAB ＝90°，对角线AC 、BD 相交于点E ，AC ⊥BC ，垂足为点C ，且BC 2＝CE •CA ．（1）求证：AD ＝DE ；（2）过点D 作AC 的垂线，交AC 于点F ，求证：CE 2＝AE •AF ．18．（2023·河南省淮滨县九年级期中） 如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将ABE △沿直线AE 翻折，点B 落在点B ¢处．（1）当1BE CE=时，如图1，延长AB ¢，交CD 于点M ，①CF 的长为________；②求证：AM FM =． （2）当点B ¢恰好落在对角线AC 上时，如图2，此时CF 的长为________；BE CE =________； （3）当3BE CE =时，求DAB ¢Ð的正弦值．。
人教版九年级下册数学 27.2相似三角形 同步练习(含解析)
27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。
人教版初中数学九年级下册27.2：相似三角形 解答题专项
人教版九年级下册27.2相似三角形解答题专项1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝cm，CP＝cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．16．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．（1）求证：AE•CE＝BE•DE；（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD 的长．18．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为．20．如图，点E在△ABC的边AB上，过点B、C、E的⊙O切AC于点C，直径CD交BE 于点F，连接BD、DE，已知∠A＝∠CDE．（1）求证：∠CDB＝2∠A；（2）若AC＝，BD＝1，求BF的长．相似三角形专项练习参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA•BE；（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA•BE，∴BD＝4，∴DE＝＝＝4，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，∴∠ABD＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴EC＝4，CD＝4．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．【解答】解：（1）证明：①∵在正方形ABCD中，E是AD边的中点，∴在Rt△EBA中，AB＝2AE，∵AP⊥BE于点P，∴Rt△ABP∽Rt△EBA，∴＝＝，∴BP＝2AP．②如图，过点C作CH⊥BE于点H，则∠BCH+∠PBC＝90°，又∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠BCH＝∠ABP，又BC＝AB，∴Rt△BCH≌Rt△ABP（AAS），∴BH＝AP，又BP＝2AP，∴BH＝PH，又CH⊥BE，∴PC＝BC．（2）如图，同（1）②可证：Rt△AFD≌Rt△BEA，∴AF＝BE，在Rt△BEA中，若设AE＝1，则AB＝2，BE＝，∵AP⊥BE于点P，∴AP•BE＝AB•AE，∴AP＝＝，则PF＝AF﹣AP＝BE﹣AP＝﹣＝，∴＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5．分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t＝．②当△NBM∽△ABC时，同理可得：t＝，综上所述：当t＝或时，△MBN与△ABC相似；（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即＝，解得：MD＝t．设四边形ACNM的面积为y，y＝×5×5﹣（5﹣t）t＝（t﹣2.5）2+．根据二次函数的性质可知，当t＝2.5时，y的值最小值为．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【解答】解：（1）△BAP∽△CPD，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△BAP∽△CPD；（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠B＝∠C，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△PBA，∴，∴，∴BP＝．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．【解答】解：如图，过点E作EH∥AB交BG于点H，则有△ABF∽△EHF，∴，∴AB＝3EH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴EH∥CD，CD＝AB＝3HE，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG＝2EH，∴＝＝．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．【解答】证明：（1）∵C为的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠CAD，∵AB是直径，∴∠BCA＝90°＝∠ACE，∴∠E＝∠ABC，∴AB＝AE；（2）∵AB＝AE＝5，∠ACB＝90°，∴CE＝BC＝EB，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠ABC，又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴，∴，∴EC＝．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠ADE＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，∵∠AFB＝∠B，∠AFE+∠AFD＝180°，∴∠C＝∠AFD，∴△ADF∽△DEC；（2）∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴DE＝12，∵AE2＝DE2﹣AD2＝144﹣64＝80，∴AE＝4．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝t cm，CP＝（4﹣2t）cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：（1）经过t秒后，CQ＝t，CP＝4﹣2t，故答案为：t；（4﹣2t）．（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即，解得t＝1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，即，解得t＝；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或秒．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．【解答】证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴＝，即，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，∵，∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，F是AC的中点，∴BF＝AC＝AF，∴∠F AB＝∠FBA，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠ABC＝∠AGB，∴△ABC∽△BGA；（2）∵AF＝5，∴AC＝2AF＝10，BF＝5，∵△ABC∽△BGA，∴＝，∴BG＝＝，∴FG＝BG﹣BF＝﹣5＝．14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．【解答】证明：（1）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，∴△FQE∽△DPE，∴＝，又∵QE＝EP，∴BD＝FQ，EF＝DE，∵QF∥CD，∴△AFQ∽△ADC，∴，∴，∴；（2）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，过点P作PH∥BC交AD于H，∴QF∥PH，∴△FQE∽△HPE，∴，又∵QE＝EP，∴PH＝FQ，EF＝HE，∵FQ∥BC，∴△AQF∽△ACD，∴，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABD，∴，∴＝＝＝．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．【解答】证明：（1）∵△ADE∽△ABC，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴，∠ABD＝∠ACE，又∵BD＝3，∴CE＝2，∴CD＝CE＝2，∵∠ABD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝2．16．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．（1）求证：AE•CE＝BE•DE；（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．【解答】（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠B，∠D＝∠C，∴△ADE∽△BCE，∴＝，∴AE•CE＝BE•DE；（2）解：由（1）得，AE•CE＝BE•DE，则4×3＝BE×（8﹣BE），解得，BE1＝2，BE2＝6，即线段BE的长为2或6．17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD 的长．【解答】证明：（1）∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵，∴△ABD∽△ACE；（2）如图，∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝2，AE＝CE＝2，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝90°，∵，∴＝，∴DE＝3，∴CD＝＝＝．18．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．【解答】（1）证明：∵∠ADE+∠B＝180°，∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，而∠DCE＝∠BCA，∴△CDE∽△CBA；（2）连接BD，如图，∵AB为直径，∵∠BDC＝90°，∠C＝60°，∴BC＝2CD，∵△CDE∽△CBA；∴＝＝，∴DE＝AB＝×4＝2．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为2．【解答】解：（1）∵以DE为直径的圆交对角线AC于F，∴∠EAG＝∠EDF，∠EFD＝90°，∵EG⊥AC垂足为G，∴∠EGA＝90°＝∠EFD，∴△EFD∽△EGA；（2）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，∴∠EAD＝90°＝∠EFD，∴tan∠EAG＝＝＝，∴在三角形EGA中，sin∠EAG＝＝，∵∠EGF＝∠EAD＝90°，∵DE为圆的直径，∴∠GFE＝∠ADE，∴△EGF∽△EAD，∴＝＝，∵DA＝BC＝4，∴FG＝2；（3）过点G作GM⊥AD于点M，如下图所示：设AE＝2x，∵∠EAG＝30°，∴∠GAM＝60°，∴EG＝x，GA＝x，∴在直角三角形GAM中，AM＝x，GM＝x，∵AD＝BC＝4，∴MD＝4﹣x，∴在直角三角形GMD中，GD2＝GM2+MD2，∴GD2＝x2+16+x2﹣4x＝3x2﹣4x+16，∵在直角三角形AED中，直径ED＝，∵在直角三角形EFD中，∠EDF＝∠EAG＝30°，∴DF＝×ED，∴DF2＝3x2+12，∵当DF＝DG时，DF+DG取最小值，∴3x2﹣4x+16＝3x2+12，∴x＝，∴DF＝，DG＝，∴DF+DG取最小值为2．故答案为：2．20．如图，点E在△ABC的边AB上，过点B、C、E的⊙O切AC于点C，直径CD交BE 于点F，连接BD、DE，已知∠A＝∠CDE．（1）求证：∠CDB＝2∠A；（2）若AC＝，BD＝1，求BF的长．【解答】解：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥CF，∴∠ACF＝90°，∴∠A+∠AFC＝90°，∴∠A+∠BCD+∠ABC＝90°，又∠CDE＝∠ABC，∠A＝∠CDE，∴2∠A+∠BCD＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠CDB＝2∠A；（2）过C作CH⊥AB于H，交BD的延长线于G，如图：∵∠DCH+∠ACH＝90°，∠A+∠ACH＝90°，∴∠DCH＝∠A，又∵∠CDB＝2∠A；∴∠CDB＝2∠DCH，∴∠G＝∠DCH，∴CD＝DG．∵BD＝1，BC＝，在Rt△BCD中，CD＝，∴DG＝3，∴BG＝BD+DG＝4，CG＝，∴cos∠G＝，∴cos∠A＝，又cos∠A＝，∴AH＝AC•cos∠A＝，AF＝，∵∠A＝∠CDE，∠ABC＝∠CDE，∴∠A＝∠ABC，∴AC＝BC，∴AB＝2AH＝，∴BF＝AB﹣AF＝．。
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定同步练习新版新人教版
相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。
《相似三角形的判定》说课稿(附教学设计)
《相似三角形的判定》说课稿尊敬的各位评委老师，大家好！今天我说课的内容是人教版初中数学九年级下册《相似三角形的判定》第二课时的内容。
我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学程序四个方面来对本课进行说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，相似三角形是全等三角形的拓广和发展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义进行的的全面研究，也是学习《锐角三角函数》和《投影与视图》的重要工具，可见这部分内容在教材中具有承上启下的地位。
2、教学目标知识与技能：掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定定理，并会运用它们解决相关问题数学思考：经历探索两个三角形相似条件的过程，体验画图操作、观察猜想、分析归纳的过程；在定理论证中，体会转化思想的应用解决问题：会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理情感目标：通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发他们探索知识的兴趣，体验数学探索与创造的快乐二、说教学重、难点重点：掌握判定定理并学会应用定理判定两个三角形相似难点：探究三角形相似的条件和运用判定定理解决问题三、说教学方法针对初三学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，根据教学目标，本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态。
四、说学法这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程。
在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想。
五、说教学过程本课我遵循“教学、学习、探究”同步协调的原则，教学过程将按如下流程展开：一、复习引入1、复习提问：我们已掌握的判定三角形相似的方法有哪些？2、回顾三角形全等的判定方法，然后教师拿出两个大小不等的，但其中一个三角形各边与另一个三角形各边的比相等的三角板，让学生来观察并提问，用前面两种方法能否判定这两个三角形相似呢？学生讨论，教师点评后指出，根据定义所涉及的条件多，根据预备定理要求图形特殊，因此，我们能否探求出条件更简单的判定方法呢？引入课题。
精品九年级数学下册27相似专题训练课件新版新人教版可编辑
21．(2015·苏州)如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过 A，B，D 三点，过点 B 作 BE∥AD，交⊙O 于点 E，连接 ED.
(1)求证：ED∥AC； (2)若 BD＝2CD，设△EBD 的面积为 S1，△ADC 的面积为 S2， 且 S12－16S2＋4＝0，求△ABC 的面积．
解 ： ∵△ABC 为 正 三 角 形 ， ∴ ∠ B ＝ ∠C ＝ 60 ° ， AC ＝ BC.∵∠ADC ＝ ∠B ＋ ∠BAD ， ∠ ADC ＝ ∠ADE ＋ ∠CDE ， ∠ B ＝ ∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE.∴BCDE＝ACDB， 即C3E＝96，∴CE＝2，∴AE＝9－2＝7.
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变
24．(2015·青岛)已知，如图①，在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC ＝5 cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速 度为1 cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为 1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动 时间为t(s)(0＜t＜4)，连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：
(2)若 PA＝445，AB＝149，PD＝DC＋2，求点 O 到 PC 的距离．
解：连接 OD，作 OE⊥DC，垂足为点 E.∵PA＝445，AB＝149， PD＝DC＋2，∴PB＝16，PC＝2DC＋2.∵PA•PB＝PD•PC，∴445×16 ＝(DC＋2)(2DC＋2)，解得 DC＝8 或 DC＝－11(舍去)，∴DE＝ 4.∵OD＝5，∴OE＝3，即点 O 到 PC 的距离为 3
∵∠GCD＝180°－∠BCA－∠DCE＝60°，∴△CFG 为等边三角形，
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
2019年春九年级数学下册目录(新版)新人教版
第二十六章反比例函数26.1反比例函数
26.1.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时反比例函数的图象和性质
第2课时反比例函数与一次函数的综合应用
26.2实际问题与反比例函数
本章整合
第二十七章相似
27.1图形的相似
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时相似三角形的判定(1)
第2课时相似三角形的判定(2)
第3课时相似三角形的判定(3)
27.2.2 相似三角形的性质
27.2.3 相似三角形应用举例
27.3位似
本章整合
第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数
第1课时锐角的正弦
第2课时锐角的余弦和正切
第3课时特殊角的三角函数值
第4课时利用计算器求三角函数值
28.2解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
28.2.2 应用举例(1)
28.2.2 应用举例(2)
本章整合
第二十九章投影与视图
29.1投影
第1课时投影
第2课时正投影
29.2三视图
第1课时简单几何体的三视图
第2课时复杂几何体的三视图
第3课时从视图到实物
29.3课题学习制作立体模型(略) 本章整合。