2018-2019学年江西省九江一中高一(下)期中数学试卷(文科)

2018-2019学年江西省九江一中高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（5分×12=60分）1．设α为锐角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．2．设α为锐角，，，若与共线，则角α=（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．，，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4．已知角α终边上一点P（﹣2，3），则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．要得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．下列函数中，是偶函数且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin2x+cos2x B．y=sinx+cosxC．D．7．已知扇形的周长是5cm，面积是cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．3 B．C．D．28．已知，则等于（）A．B．C．D．9．若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t∈R）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，，P点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．函数f（x）=的最大值为M，最小值为N，则有（）A．M﹣N=4 B．M﹣N=0 C．M+N=4 D．M+N=012．设M，N，P是单位圆上三点，若MN=1，则的最大值为（）A．B．C．3 D．二、填空题（5分×4=20分）13．已知sinθ=，求cos2θ=？14．已知sinα+cosα=，求sin2α的值．15．在直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）和点B（﹣4，3）．若点M在∠AOB 的平分线上且，则=．（用坐标表示）16．半径为1的扇形AOB，∠AOB=120°，M，N分别为半径OA，OB的中点，P 为弧AB上任意一点，则的取值范围是．三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）17．已知向量，，α∈（0，π）．（Ⅰ）若，求角α；（Ⅱ）求的最大值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R）函数部分如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PC，若M，N分别为PB，AD的中点．求证：（Ⅰ）MN∥平面PDC；（Ⅱ）PD⊥AC．20．已知函数f（x）=cos2（x﹣）﹣cos2x，x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求y=f（x）在区间上的最大值和最小值．21．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线l：相切，且圆O与坐标轴x正半轴交于A，y正半轴交于B，点P为圆O上异于A，B 的任意一点．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）求的最大值及点P的坐标．22．已知向量，，且向量∥．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式及函数的定义域；（Ⅱ）若函数g（x）=x2﹣ax+1，存在a∈R，对任意，总存在唯一x0∈[﹣1，1]，使得f（x1）=g（x0）成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年江西省九江一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（5分×12=60分）1．设α为锐角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】α为锐角，cosα＞0，利用同角三角函数间的基本关系，即可求得．【解答】解：∵α为锐角，cosα＞0，sinα=，∴cosα==．故选：A．2．设α为锐角，，，若与共线，则角α=（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】与共线，可得2sinα=1，又α为锐角，即可得出．【解答】解：∵与共线，∴2sinα=1，即sin．又α为锐角，∴α=30°．故选：B．3．，，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵，∴﹣2=，化为：=﹣=1×2×cos，∴cos=﹣，故选：B．4．已知角α终边上一点P（﹣2，3），则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用任意角的三角函数求出cosα，sinα，利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：由==﹣tanα∵角α终边上一点P（﹣2，3），即x=﹣2，y=3．∴tanα=．则：﹣tanα=故选：A．5．要得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由于将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得函数的图象，从而得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得函数的图象，故选C．6．下列函数中，是偶函数且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin2x+cos2x B．y=sinx+cosxC．D．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正弦、余弦函数的图象和性质，对选项中的函数的奇偶性和周期性判断即可．【解答】解：对于A，函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+），是非奇非偶的函数，不满足题意；对于B，函数y=sinx+cosx=sin（x+），是非奇非偶的函数，不满足题意；对于C，函数y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，不满足题意；对于D，函数y=sin（2x+）=cos2x，是偶函数，且最小正周期为π，满足题意．故选：D．7．已知扇形的周长是5cm，面积是cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．3 B．C．D．2【考点】G7：弧长公式．【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，然后，建立等式，求解l、r，最后，求解圆心角即可．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则：l+2r=5，S=lr=，∴解得r=1，l=3或r=，l=2，∴α==3或，故选：C．8．已知，则等于（）A．B．C．D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】根据两角差的正弦公式和两角的和的余弦公式即可求出【解答】解：，∴sinα﹣cosα+sinα=（sinα﹣cosα）=﹣cos（α+）=，∴cos（α+）=﹣，故选：B．9．若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t ∈R）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】作出示意图，寻找在何时取得最小值，计算出向量与向量的夹角及||，由可知的终点在一个圆周上，结合图象，找出当取最大值时C的位置，进行几何计算即可求出．【解答】解：设=，=，=，如图：∵向量，的夹角为钝角，∴当与垂直时，取最小值，即．过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD=，∵||=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即与夹角为120°．∵，∴（）=0，∴||•||•cos120°+||2=0，∴||=2，即MA=2，∵，∴的终点C在以AB为直径的圆O上，∵O是AB中点，∴=2，∴当M，O，C三点共线时，取最大值，∵AB==2，∴OB=0C==，∵MA=MB=2，O是AB中点，∴MO⊥AB，∴∠BOC=∠MOA=90°，∴||=BC=OB=．故选：A．10．在平面直角坐标系中，，P点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】当，方向相同时，取得最大值．【解答】解：∵≤||+||，当且仅当与方向相同时取等号．∴的最大值为||+|=1+2=3．故选C．|11．函数f（x）=的最大值为M，最小值为N，则有（）A．M﹣N=4 B．M﹣N=0 C．M+N=4 D．M+N=0【考点】HW：三角函数的最值．【分析】化简函数f（x）=2+，令g（x）=，则f（x）=g（x）+2，g（x）为定义域上的奇函数，最大值与最小值的和为0；由此求出M+N的值．【解答】解：函数f（x）===+=2+；令g（x）=，则f（x）=g（x）+2，g（﹣x）==﹣g（x），∴函数g（x）为定义域上的奇函数，图象关于原点对称，最大值与最小值也关于原点对称，即函数g（x）的最值的和为0．∵f（x）=g（x）+2，∴M+N=g（x）min+2+g（x）max+2=4．故选：C．12．设M，N，P是单位圆上三点，若MN=1，则的最大值为（）A．B．C．3 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】固定M，N两点，设P（cosα，sinα），代入平面向量的坐标运算，根据三角恒等变换化简得出最大值．【解答】解：设M（1，0），N（，），P（cosα，sinα），则=（﹣，），=（cosα﹣1，sinα），∴=﹣cosα+sinα=cos（α+），∴当cos（α+）=﹣1时，取得最大值．故选A．二、填空题（5分×4=20分）13．已知sinθ=，求cos2θ=？【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式cos2θ=1﹣2sin2θ即可求解．【解答】解：cos2θ=1﹣2sin2θ=．14．已知sinα+cosα=，求sin2α的值．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】把所给的条件平方，再利用二倍角公式求得sin2α 的值．【解答】解：∵已知sinα+cosα=，∴平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴解得sin2α=﹣．15．在直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）和点B（﹣4，3）．若点M在∠AOB 的平分线上且，则=（1，3）．（用坐标表示）【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】求出与同向的单位向量，根据模长公式得出．【解答】解：与同向的单位向量为（1，0），与同向的单位向量为（﹣，），∵M在∠AOB的平分线上，∴=λ（1，0）+λ（﹣，）=（，），∴=10，解得λ=5．∴=（1，3）．故答案为：（1，3）．16．半径为1的扇形AOB，∠AOB=120°，M，N分别为半径OA，OB的中点，P 为弧AB上任意一点，则的取值范围是[，] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意，设∠POM=θ，将所求用向量，，表示，利用向量的数量积公式表示为θ的代数式，利用正弦函数的有界性求范围．【解答】解：由题意，设∠POM=θ，则•=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+2=××cos120°﹣1×cosθ﹣1×cos+1=﹣﹣cosθ﹣（﹣cosθ+sinθ）+1=﹣（cosθ+sinθ）=﹣sin（θ+30°），因为θ∈[0°，120°]，所以θ+30°∈[30°，150°]，所以sin（θ+30°）∈[，1]，所以•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）17．已知向量，，α∈（0，π）．（Ⅰ）若，求角α；（Ⅱ）求的最大值．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；93：向量的模．【分析】（Ⅰ）由，可得=sinα﹣cosα=0，化为：tanα=．又α∈（0，π）．即可得出．（Ⅱ）==，利用三角函数的单调性值域即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴=sinα﹣cosα=0，化为：tanα=．又α∈（0，π）．∴α=．（Ⅱ）==≤=3，当且仅当sin=1，即α=时取等号．因此的最大值为3．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R）函数部分如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）表达式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）根据函数解析式之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由图象的最高点和最低点，可知A=4．周期T=2[5﹣（﹣1）]=12．∵，∴ω=．图象过（﹣1，0），即4sin（﹣+φ）=0，可得：﹣ +φ=kπ，k∈Z．∵﹣π＜φ＜0，∴φ=∴函数f（x）表达式为：．（Ⅱ）由．令，k∈Z．得：12k+2≤x≤12k+8．∴函数f（x）的单调递增区间为[12k+2，12k+8]，k∈Z．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PC，若M，N分别为PB，AD的中点．求证：（Ⅰ）MN∥平面PDC；（Ⅱ）PD⊥AC．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（I）取PC的中点Q，连MQ，DQ，通过证明四边形MNDQ是平行四边形得出MN∥DQ，故MN∥平面PCD；（II）连结AC，根据AC⊥BD，AC⊥OP得出AC⊥平面PBD，故而AC⊥PD．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点Q，连MQ，DQ，则MQ BC，又ND BC，∴MQ ND，∴四边形MNDQ为平行四边形，从而MN∥DQ，又∵DQ⊂面PCD，MN⊄平面PCD，∴MN∥面PCD．（Ⅱ）连结AC交BD于O，则O是AC的中点，∵PA=PC，∴PO⊥AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩OP=O，∴AC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD．20．已知函数f（x）=cos2（x﹣）﹣cos2x，x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求y=f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】HW：三角函数的最值；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求出x∈[﹣，]f（x）的值域，再求f（x）的最大、最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2（x﹣）﹣cos2x=﹣=（cos2xcos+sin2xsin）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），x∈R；∴f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）x∈[﹣，]时，2x∈[﹣，]，2x﹣∈[﹣，]；∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]；∴y=f（x）在区间上的值域是[﹣，]；且x=时f（x）取得最大值为；令2x﹣=﹣，得x=﹣，此时f（x）取得最小值为﹣．21．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线l：相切，且圆O与坐标轴x正半轴交于A，y正半轴交于B，点P为圆O上异于A，B 的任意一点．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）求的最大值及点P的坐标．【考点】J1：圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由点到直线的距离公式求出O到直线的距离，即圆的半径，代入圆的标准方程得答案；（Ⅱ）由圆的方程求出A，B的坐标，设出P的坐标，把转化为三角函数求最值．【解答】解：（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，圆心O到直线的距离r=．∴圆O的方程：x2+y2=4；（Ⅱ）由圆的方程可得A（2，0），B（0，2），设P（x，y）=（2cosθ，2sinθ）（θ≠0，），则=4cos2θ﹣4cosθ+4sin2θ﹣4sinθ=．∴当θ=，即θ=，k∈Z时，取得最大值．22．已知向量，，且向量∥．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式及函数的定义域；（Ⅱ）若函数g（x）=x2﹣ax+1，存在a∈R，对任意，总存在唯一x0∈[﹣1，1]，使得f（x1）=g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）利用向量共线，求出函数的解析式，化简函数，然后求解函数的定义域；（Ⅱ）求出函数f（x）的值域为[0，4]．g（x）=x2﹣ax+1，﹣1≤x≤1，对任意y∈[0，4]，总存在唯一x0∈[﹣1，1]，使得y=g（x0）以下分三种情况讨论：①当即a≤﹣2时，②当时，③当时，求解a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）…有意义则∴，k∈z解得，定义域为，k∈z…（2）=，∵，∴﹣3≤log3x≤1∴函数f（x）的值域为[0，4]．…g（x）=x2﹣ax+1，﹣1≤x≤1由题意知：[0，4]⊆{y|y=x2﹣ax+1，﹣1≤x≤1}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x0∈[﹣1，1]，使得y=g（x0）…以下分三种情况讨论：①当即a≤﹣2时，则，解得a≤﹣2；…②当时，则，解得a≥2；…③当时，则或解得a∈φ…综上a≥2或a≤﹣2…。