【名师一号】2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库：6-1不等关系与不等式

第一节 不等关系与不等式
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．既不充分又不必要条件 C ．充要条件 D ．必要不充分条件
解析 由“a ＋c >b ＋d ”不能得知“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可得知“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，选D.
答案 D
2．(2013·北京卷)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1
b C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
解析 当c ＝0时，选项A 不成立；当a >0，b <0时，选项B 不成立；当a ＝1，b ＝－5时，选项C 不成立；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2
)＝(a －b )[(a ＋b 2)2＋3b 2
4]>0，故选D.
答案 D
3．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1b B ．|a |>|b | C ．a ＋b <2ab
D ．(12)a <(12)b
解析 ∵a >b >0，∴1a <1
b ， 且|a |>|b |，a ＋b >2ab ， 又2a >2b ，∴(12)a <(1
2)b ，选C. 答案 C
4．设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b
D ．c >b >a
解析 由1<e 2<10，知0<lge<1
2，∴a >b ，a >c ，
又c －b ＝lg e －(lge)2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12－lge ·lge>0，
∴a >c >b . 答案 B
5．(2014·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )
A ．xy >yz
B ．xz >yz
C ．xy >xz
D ．x |y |>z |y |
解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z
＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，
y >z ，
可得xy >xz ，故选C.
答案 C
6．(2014·山东济南调研)设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )
A ．n >m >p
B ．m >p >n
C ．m >n >p
D ．p >m >n
解析 因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .
答案 B
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2014·广州调研)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 解析 方法1：y 2－x 2＝2c (a －b )＞0，∴y ＞x . 同理，z ＞y .∴z ＞y ＞x .
方法2：令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z ＞y ＞x . 答案 z ＞y ＞x
8．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＜1，则4a 5－3a 3与a 1的大小关系是__________．
解析 4a 5－3a 3－a 1＝4a 1q 4－3a 1q 2－a 1 ＝a 1(4q 4－3q 2－1)＝a 1(q 2－1)(4q 2＋1)． ∵0＜q ＜1，∴q 2＜1，即q 2－1＜0. 又a 1＞0,4q 2＋1＞0，∴4a 5－3a 3－a 1＜0， 即4a 5－3a 3＜a 1. 答案 4a 5－3a 3＜a 1
9．已知1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2，则lg x 2y 的取值范围是________． 解析 由1≤lg xy ≤4，－1≤lg x
y ≤2得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2
y ≤5.
答案 [－1,5]
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e
(b －d )2
. 证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1(a －c )2<1
(b －d )2. 又∵e <0，∴
e (a －c )2>e
(b －d )2
. 11．已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >y
y ＋b .
证明 x x ＋a －y
y ＋b ＝x (y ＋b )－y (x ＋a )(x ＋a )(y ＋b )＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ).
∵b >a >0，x >y >0，∴bx >ay ，x ＋a >0，y ＋b >0， ∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，∴x x ＋a >y y ＋b
. 12．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．
(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
解 (1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．
则y ＝2 000＋60x 800＋ax (a ∈N *,1≤x ≤10)．
假设会超过3万元，则2 000＋60x
800＋10x
>3，
解得x >40
3>10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．
(2)设1≤x 1<x 2≤10，
则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1
800＋ax 1
＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)
(800＋ax 2)(800＋ax 1)>0，
所以60×800－2 000a >0，得a <24.
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．。