面面垂直的判定与性质

思考：
已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条 直线与地面平行、相交或垂直吗？这样的直线分别 有什么性质？

a
l

b l

c
l



类比：面面平行→线面平行， 面面垂直→线面垂直？？
面面垂直性质定理
判定定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直. 简记：面面垂直，则线面垂直 符号语言：若 , l , m , m l , 则m . 图形：

O
D
l

寻找平面角
D
1
S
C1 B1
A1 N M D C
A
A
B
B
D
中点
C
端点
寻找平面角
D
1
C1 B1
A1 N M D C
E
A
G
F
B
中点
小结：求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义垂直于棱； （3）计算.
面AA1C1C 面A1BD
A1 D1 B1 C1
证明: AA1 面 ABC D
又 BD 面 ABCD
A A1 B D
BD AC
且 AC AA1 A BD 面 AA1C 1C BD 面 A1 BD
D
C
A
B
面 AA1C 1C 面 A1 BD
ABDC 中， AB BC ,
CD DA ， E , F , G 分别是 DC , DA , AC 的中点 , 求证：平面 BEF 平面 BGD .
4 .如图，在四面体
ABCD 中， BD
2a ,
AB AD CB CD AC a , 求证：平面 ABD 平面 BCD .
求证：平面 PAC 平面 PBC .
2 .如图，已知边长为
a 的正三角形 ABC 的中线
AF 与中位线 DE 相交于点 G ，将此三角形沿 DE 折成二面角 A DE B . 求证：平面 A FG 平面 BCED .
证明面面垂直
3 .如图，在空间四边形
找线面垂直，用判定定理 计算二面角为90º ，用定义
C
D
三、活学活用，提升能力
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的
平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点。
求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
（四）、在独立思考的基 础上，在练习本上写出 证明过程，注意符号准 确，逻辑合理。
A
Ｃ
B
O
三、活学活用，提升能力
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC
线线垂直 线面垂直
复习回顾：
（二）判断空间垂直关系的关键是线线垂直， 你能想起多少种判断线线垂直的方法？独立思考 后举手回答，其他同学可作补充。 一、平面几何知识： 等腰三角形底边上的中线垂直于底边 勾股定理 圆直径所对的圆周角是直角 菱形对角线互相垂直 矩形邻边互相垂直 二、空间直线和平面垂直的定义。
注 意
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱 A O B
A
l
O
10
B
二 面 角 的 平 面 角 的 作 法
12
1、定义法

A
根据定义作出来
l
O B

2、垂面法
作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到

l
O

B
γ
3、三垂线定理法
A
A
借助三垂线定理或 其逆定理作出来
DAB 60 , AD AA 1 , F 为棱
BB 1的中点 ， M 为线段 AC 1的中点 . (1 ) 求证： MF // 平面 ABCD ; ( 2 ) 求证：平面 AFC
1
平面 ACC 1 A1 .
综合证明问题
5 .正方体 ABCD A1 B 1 C 1 D 1中， EF 与异面直线 AC , A1 D 都垂直相交，求证： EF // BD 1 .
β
E
二面角α CD β 为直二面角 。
B C
平面α 平面β 。
面面垂直性质定理证明过程
已知：平面 ⊥平面β ，平面 ∩平面β =CD， A平面 ，AB⊥CD且AB交CD于B。 求证：直线AB⊥平面β 。 证明：在平面β 内过B点作BE⊥CD，
AB CD
α A
ABE是二面角α CD β BE CD ABE 90。 的平面角
D1 C1 B1 A1
面 A1 B 面 A1C 1 面 A1 B 面 AD 1
D A B
C
面 A1 B 面 BC 1
面 A1 B 面 A C
三、活学活用，提升能力
（三） 知 AB 面 BC D , BC 已 几何体中哪些面互相垂直？
C D ，判断在该
A
AB 面 BC D 面 ABC 面 BC D AB 面 BC D 面 ABD 面 BC D C D 面 ABC 面 ABC 面 AC D B
在平面β 内过B点作BE⊥CD。 证明：设 β =CD，则AB β =B ，
AB β AB CD CD β ABE是二面角α CD β BE CD 的平面角
α A
D
AB β
AB BE BE β
ABE 90
平面与平面垂直的 判定与性质
复习回顾： 一、直线与平面垂直的定义 二、直线与平面垂直的判定定理 2.符号表示 （一）请同学们回忆“如何判定直线和平 1.图形表示 面垂直？” m ,n
a

m
O
n
m n O a a m,a n
关键：线不在多，相交则行
A
B
二、深入探究，形成规律
面面垂直的判定定理 ：如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
1.图形表示：

2.符号表示：
l α α β l β
l
线线垂直
线面垂直
面面垂直
三、活学活用，提升能力 探究1：
（二）在如图正方体,请问正方体的哪些面与 面A1 B垂直?

m l
面面垂直性质定理运用
1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内 的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .

P
b a

b a

c

c
P
2 .已知平面 平面 ，直线 a 满足 a , a , 判断直线 a 与平面 的位置关系， 并证明 .
α β

D
β
E
AB BE AB CD
BE β CD β
AB β 。
B
C
BE CD B
1
二面角及二面角的平面角
（1）半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。 （2）二面角—— 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。
α
按此继续
l
l
B
∠AOB
O
二面角－AB－
A C
二 面 角 的 认 识
A
二面角C－AB－ D
B
D

B

A

l
二面角－ l－

5
l
二 面 角 的 平 面 角
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
PA BC
又 AB 为圆的直径
面
AC BC PA BC AC BC PA AC A PA 面 PAC
AC 面 PAC
BC 面 PBC

BC 面PAC
面PAC 面PBC
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证:
综合证明问题
3 .如图， PA 矩形 ABCD 所在平 面， M , N 分 别是 AB , PC 中点 . (1 ) 求证： MN CD ; ( 2 ) 若 PDA 45 , 求证： MN 面 PCD .
4 .如图，已知直 四棱柱 面是菱 形，且
ABCD A1 B 1 C 1 D 1的底
6 .如图，平面 平面 ，在 与 的交线 l 上取线段 AB 4 cm , AC , BD 分别在平面 和平面 内， AC l , BD l , AC 3 cm , BD 12 cm , 求线段 CD 的长 .
面面垂直判定定理证明过程
已知：直线AB平面，直线AB平面。 求证：平面 平面。
l,
m

面面垂直
若
Hale Waihona Puke 线线平行综合证明问题
1 .过锐角 ABC 的垂心 H , 作 PH 平面 ABC ， 且使 APB 90 ，求证： BPC 和 APC 都是 直角三角形 .
2 .如图，平面 PAB 平面 ABC , 平面 PAC 平 面 ABC , AE 平面 PBC , E 为垂足 . (1 ) 求证： PA 平面 ABC ; ( 2 )当 E 为 PBC 的垂心时，求证： 直角三角形 . ABC 是
垂直关系综述
若 l m , l n, m , n ,
线线垂直