面面垂直的性质

平面与平面垂直的性质

一、教学重点

对性质定理的理解

二、教学难点

性质定理的引入和证明

三、教学设计

（一）复习回顾

1、面面垂直的定义；

2、面面垂直的判定。（二）探究新知

1、探究问题：教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一

条直线与地面垂直？

2、猜想

在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

3、推理证明

已知：α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB.

求证：CD⊥β.

证明：

此命题就是面面垂直的性质定理。

定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直；

（2）为判定和作出线面垂直提供依据。

（三）概念巩固

练习：判断下列命题的真假

1、若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于β。

2、两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直线互相垂直。

3、两平面互相垂直，分别在两平面且互相垂直的两直线一定分别与另一个平面垂直。

4、两平面互相垂直，过一平面内的任一点在该平面内作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面。

（四）巩固深化、发展思维

思考：设平面α⊥平面β，点C在平面α内，过点C作平面β的垂线CD，直线CD与平面α具有什么位置关系？

猜想：直线CD必在平面α内。

推理证明

（引导）要证直线在平面内，直接证法是依据公理1，需要在直线上找到两点在平面内.已知只有一点C∈α，再找合题意的点很困难.应该采用什么对策?

证明：

注：（1）此题运用了“同一法”来证明；

（2）这是面面垂直的另一个性质，它的作用是判定直线在平面内.

3、用语言叙述就是:；

（五）应用巩固

上面我们研究了面面垂直的两个性质定理。定理1是判定线面垂直的有效方法，性质2是判定直线在平面内的一种方法。

已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。

求证:a⊥γ.

（引导）本题条件是面面垂直，结论是线面垂直.选择适当的判定线面垂直的方法，给出证明.

证明：

此题还可采用间接的证明方法，请同学们课下尝试着用同一法来证明此题。（六）课堂总结

1．这节课我们学习了哪些内容？我们是如何得到这些结论的？

2．空间垂直关系有哪些？如何实现垂直关系的相互转化？指出下图中空间垂直关系转化的依据？

线线垂直线面垂直面面垂直

（七）课堂作业

1、课本73页练习

2、课本74页习题B组第3题

四．目标检测：

（一）基础达标

1．P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（）.

A. PA⊥BC

B. BC⊥平面PAC

C. AC⊥PB

D. PC⊥BC

2．（1998上海卷）在下列说法中，错误的是（）.

A. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β

B. 若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β

C. 若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β

D. 若平面α∥平面β，任取直线l ⊄α，则必有l ∥β

3．给出下列说法：①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α； ④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等.

其中正确的两个说法是（ ）.

A. ①②

B. ②③

C. ③④

D. ②④

4．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB =8，60BAC ∠=︒，PC ⊥面ABC ，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为（

）.

A. 27

B. 7

C. 19

D. 5

5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列说法：

①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中正确说法的个数是（ ）.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

其中正确的说法的序号依次是 .

7．P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是P 在平面α内的射影. 若P 到△ABC 的三个顶点距离相等，则O 是△ABC 的__________心；若P 到△ABC 的三边的距离相等，则O 是△ABC 的_______心；若P A ,PB ,PC 两两垂直，则O 是△ABC 的_______心.

（二）能力提高

1、把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面

所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？

2、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，P A ⊥平面ABC .

（1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.

A C α

B a