高中数学——面面垂直的性质

E
α， α，
A
α
B
D
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面
α⊥β α I β = l ⇒ AB ⊥ β AB ⊂ α AB ⊥ l
面面垂直 线面垂直 线线垂直 α β A
B
l
面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 求证: 如果两个平面互相垂直, 例1. 求证 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二 , 平面内的一点垂直于第二个平面的直线, 平面内的一点垂直于第二个平面的直线 个平面的直线, 在第一的平面内. 个平面的直线, 在第一的平面内. 在第一的平面内. 在第一的平面内. 已知： 已知：α⊥ β , P ∈α , P∈ a, a⊥ β. 求证： ⊂ 求证： a
A
P B Q C
D
练习 2：如图，将一副三角板拼成直二面角 A-BC-D，其 中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°， A （1）求证：平面 BAD⊥平面 CAD； （2）若 CD=2，求 C 到平面 BAD 的距离。
证明：（ ） 平面ABC⊥平面 证明：（1）∵平面 ：（ ⊥平面DBC 又DC⊥BC ∴DC⊥平面 ⊥ ⊥平面ABC B 在面ABC内 ∴DC⊥AB ∵AB在面 在面 内 ⊥ AC∩CD=C， AC，AD在面 在面ACD内 D 又AB⊥AC， ⊥ ， ， ， 在面 内 在平面ABD， ∵AB⊥平面 ⊥平面ACD 而AB在平面 在平面 ， 平面ABD⊥平面 ∴平面 ⊥平面CAD 于点E 平面ABD⊥平面 （2）过C作CE⊥AD于点 ∵平面 ） 作 ⊥ 于点 ⊥平面CAD ∴CE⊥平面 ⊥平面CAD
6 15 AC ⋅ CD 10 a， AD = ∴ a，CE = = a 3 AD 5 10 3 到平面BAD的距离为 5 a 即C到平面 到平面 的距离为 设AC = a，则CD =
E
C
练习 3：如图，矩形 ABCD 中，已知 AB=2AD，E 为 AB 的中点，将⊿AED 沿 DE 折起，使 AB=AC， 求证：平面 ADE⊥平面 BCDE
的直径， 上的动点， 例2、如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点 如图4 AB是 的直径 上的动点 的直线VC垂直于⊙ 所在平面 VC垂直于 所在平面， 分别是VA VC的中点 VA、 的中点， C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点， DE与平面VBC有什么关系 试说明理由． 与平面VBC有什么关系？ 直线 DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．
练习．在互相垂直的两个平面中， 练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正 [ ] 确命题的个数为 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线； 的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的无数多条直线； 的无数多条直线； ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平 面； ④过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线 过一个平面内任意点作交线的垂线， 必垂直于另一个平面． 必垂直于另一个平面． A．3 B．2 C．1 D．0 ． ． ． ．
例3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它 、如果两个相交平面都垂直于第三个平面， 们的交线垂直于第三个平面。 们的交线垂直于第三个平面。 已知： ⊥γ ⊥γ， ⊥γ， 已知： α⊥γ，β ⊥γ，α ∩ β=l 求证： 求证：l ⊥γ α lB β
γ
A
E
解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA
D C
A
M
B
2）过E作EM⊥AD于点M，连MC ∵平面AED⊥平面ABCD ∴EM⊥平面ABCD ∴∠AMC即为直线EC与平面ABCD所成的角
四、课堂小结 1、两个平面垂直的性质定理
2、“转化思想”
面面关系
面面平行
线面关系
线面平行
线线关系
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
练 习 1：如 图 ，平 面 ABD⊥ 平 面 BCD，且 ⊿ ABD 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∠ BAD=90° ,⊿ BCD 是 等 边 三 角 形 ， 求 二 面 角 A-CD-B 的 大 小
A D C D A E B M E N B C
练习4 在正方体 练习4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
(1) 求证：平面 1C⊥平面 1D 求证：平面A ⊥平面B (2) 若E、F分别是 、BC的中点， 分别是AB、 的中点 的中点， 、 分别是 求证： 平面A 求证： 平面 1C1FE⊥平面 1D ⊥平面B (3) 若G是BB1的中点 是 求证：平面 求证：平面A1C1G⊥平面 1D ⊥平面B
（２）利用判定定理［线面垂直 利用判定定理［
面面垂直］ 面面垂直］
想一想
如果两个平面垂直， 如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线 是否一定垂直于另一个平面？ 是否一定垂直于另一个平面？ α α
β
β
你得到了什么？ 你得到了什么？
面面垂直的性质定理： 面面垂直的性质定理：
如果两个平面相互垂直， 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一个平面. 们交线的直线垂直于另一个平面 ∩ AB 已知：平面α⊥平面β β=CD， 已知：平面α⊥平面β，α ∩ β=CD， α⊥平面 AB⊥CD. 求证：AB⊥β 求证： 证明：在平面β内过B点作BE⊥CD 证明：在平面β内过B点作BE⊥CD， BE⊥CD， AB⊥CD， 又∵AB⊥CD， C ∴∠ABE就是二面角 ∴∠ABE就是二面角 CD—β的平面角， α—CD β的平面角， β CD 。 ∴∠ABE=90 即AB⊥BE 又∵CD∩BE=B， CD∩BE=B， ∴AB⊥ β.
D1 A1 F A E Ｂ G G G G C1 B1 D C
α
•P
α.
α
b ac
•P
β 证明:设 过点P在平面 证明 设α I β = c,过点 在平面 β 内作直线 b⊥ c, 则 b⊥ β. 因为经过一点只能有一条直线与β 垂直, 所以直线 a与 b 垂直
b
ac
重合. 重合
∴a ⊂ α.
两个平面垂直的性质
[两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直的性质定理1] 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直， 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面． 交线的直线垂直于另一个平面． [两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直的性质定理2] 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直， 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点 垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
两个平面垂直的性质
面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线， 条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示： 符号表示：
l ⊥α ⇒α ⊥ β l ⊂ β
α A
β
l
B C D
线线垂直
线面垂直
面面垂直
两个平面垂直的判定： 两个平面垂直的判定：
（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］ 利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］