线面垂直,面面垂直的性质定理
线面垂直面面垂直的性质定理
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、
民生”三民主义，成为以后辛亥革命
的
指导思想。
(2)三民主义没有明确提出反帝要求，也
没
有提出废除封建土地制度，是一个
不彻
底的资产阶级革命纲领。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
D．航空运输
解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务
运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商
办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意
义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。
答案：C
2. 右图是1909年《民呼日报》上登载的 一幅漫画，其要表达的主题是( ) A．帝国主义掠夺中国铁路权益 B．西方国家学习中国文化 C．西方列强掀起瓜分中国狂潮 D．西方八国组成联军侵略中国
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平ab a //面平行。
符合表示：a// b2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：aa//a // bab二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n // b m // aa b M //mnN符号表示：2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
//符号表示：l l// d （更加实用的性质：一个平d面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直a c线垂直这个平面。
符号表示： a b ab c M＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直aoApoa oA A2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平 面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、 判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a , a2、 性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一 个平面。
， b, a ,a b a 符号表示:a PA。
线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件
学习目标
学习者能够理解面面 垂直的性质与判定定 理的基本概念。
学习者能够通过实际 案例分析，提高解决 实际问题的能力。
学习者能够掌握面面 垂直的性质与判定定 理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与 某一平面内的任意一条直 线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平 面内任意直线都垂直，且 线段与平面所成的角为直 角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该 直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底 面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直 。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。
智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。
然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB DE ⊥ 9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADVDCBA SA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
线面垂直面面垂直
垂直问题文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α1．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BCD＝90°．求证：PC⊥BC；2.如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)AE⊥平面PCD．3.如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，E为CD 上一点，DE＝1，EC＝3．证明：BE⊥平面BB1C1C4.(2014·高考江苏卷) 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5．求证：平面BDE⊥平面ABC．5.如图，已知正方形ABCD中AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD．求证：平面AOC⊥平面BCD；。
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用符号怎么表示?
l
a
例1.如图,已知平面 , , , 直线a满足a , a 试判断直线a与平面的关系 .
b
a
理论迁移
例2 如图，已知 l , CA , 于点A，CB 于点B， , a AB, a 求证：a // l .
C1 B1 C B A A1 D
D1
思考2:如果直线a，b都垂直于平面 α ，由观察可知a//b，从理论上如 何证明这个结论？a源自b b’cα
O
直线与平面垂直的性质定理.
垂直于同一个平面的两条直线平行
a
b
用符号表示?
α
作用:1证明线线平行. 2 作平行线
其它性质:1.直线与平面垂直,则垂直于平面内的任意直线. 2.垂直于同一直线的平面平行.
练习一
1.判断下列命题正确的是_______ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 (2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 (3)一条直线在平面内,另一条直线与主个平面 垂直,则这两条直线互相垂直.
2.已知直线a, b和平面 , 且a b, a , 则b与的 位置关系是_______
线面垂直面面垂直的性质
复习引入
1. 直线与平面垂直判定？
l
用符号表示?
a A
b
2.平面与平面垂直的判定定理？
a
用符号表示?
知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理 思考1:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱 AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何？它们彼此之间具有什么 位置关系？
AB? ⊥
在内引直线BE⊥ CD, 垂足为B, 则∠ ABE是二面角-CD- 的 平面角, 由 ⊥ 知, AB⊥ BE,又BE与CD 是 内的两条 C 相交直线.
E
D
A
B
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直
简记为:面面垂直,则线面垂直.
2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____ ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
β B α l A a
C
练习二
1.下列命题中错误的是 ( ) A.如果平面 , , l, 则l B.如果平面不垂直于平面 , 则内一定不存在 直线垂直于 C.如果平面 , 则内一定存在直线平行于 D.如果平面 , 则内所有直线都垂直于
知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，平面AA1D1D与平面ABCD垂直,直线 AA1垂直于其交线AD.平面AA1D1D内的 直线AA1与平面ABCD垂直吗？
C1 B1 C B A A1 D D1
推导:平面与平面垂直的性质定理
. 设 ⊥ , CD , AB , AB⊥ CD且AB CD B