两个平面垂直的性质定理
高中数学——面面垂直的性质
α， α，
A
α
B
D
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面
α⊥β α I β = l ⇒ AB ⊥ β AB ⊂ α AB ⊥ l
面面垂直 线面垂直 线线垂直 α β A
B
l
面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 求证: 如果两个平面互相垂直, 例1. 求证 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二 , 平面内的一点垂直于第二个平面的直线, 平面内的一点垂直于第二个平面的直线 个平面的直线, 在第一的平面内. 个平面的直线, 在第一的平面内. 在第一的平面内. 在第一的平面内. 已知： 已知：α⊥ β , P ∈α , P∈ a, a⊥ β. 求证： ⊂ 求证： a
A
P B Q C
D
练习 2：如图，将一副三角板拼成直二面角 A-BC-D，其 中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°， A （1）求证：平面 BAD⊥平面 CAD； （2）若 CD=2，求 C 到平面 BAD 的距离。
证明：（ ） 平面ABC⊥平面 证明：（1）∵平面 ：（ ⊥平面DBC 又DC⊥BC ∴DC⊥平面 ⊥ ⊥平面ABC B 在面ABC内 ∴DC⊥AB ∵AB在面 在面 内 ⊥ AC∩CD=C， AC，AD在面 在面ACD内 D 又AB⊥AC， ⊥ ， ， ， 在面 内 在平面ABD， ∵AB⊥平面 ⊥平面ACD 而AB在平面 在平面 ， 平面ABD⊥平面 ∴平面 ⊥平面CAD 于点E 平面ABD⊥平面 （2）过C作CE⊥AD于点 ∵平面 ） 作 ⊥ 于点 ⊥平面CAD ∴CE⊥平面 ⊥平面CAD
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
两个平面垂直的判定和性质
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
【立体几何】两个平面垂直
两个平面垂直●知识梳理1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n md±++，其中：d 是异面直线a 、b的 ，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.●点击双基1.在三棱锥A —BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有 A.平面ABD ⊥平面ADC B.平面ABD ⊥平面ABC C.平面ADC ⊥平面BCD D.平面ABC ⊥平面BCD 解析：由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD ，面AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD . 答案：C2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 A.aB.2aC. 22a D. 3a解析：取A 1C 的中点O ，连结AO . ∵AC =AA 1，∴AO ⊥A 1C . 又该三棱柱是直三棱柱， ∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .因此AO ⊥平面A 1BC ，即A 1O 等于A 到平面ABC 的距离.解得A 1O =22a .答案：C3.设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为A.3B.2C.1D.0解析：答案：C4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1—BD —A 的正切值为_____________.答案：25.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.解析：如下图，平面α⊥β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，AB =2a .AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ， 则CD 即为所求.∵α⊥β，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，∠ABC 就是AB 与平面β所成的角. 故∠ABC =30°，故AC =a .同理，在Rt △ADB 中求得AD =2a . 在Rt △ACD ，CD =222a a -=a.答案：a例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°． 求证：平面ABC ⊥平面BSC ．证明：略变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ；⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小． 证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ， 又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB(2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60°例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求：C A SDBASBC(1) 直线AB 和棱a 所成的角； (2) 直线AB 和平面Q 所成的角． 答案：(1) arc sin57 (2) arc sin103变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点． （1） 证明：平面PED ⊥平面PAB ；（2） 求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值． （1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ．∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ，∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ．（2）解：∵AB ⊥平面PED ，PE ⊂面PED ，∴AB ⊥PE ．连结EF ，∵ EF ⊂面PED ，∴AB ⊥EF ． ∴ ∠PEF 为二面角P －AB －F 的平面角． 设AD ＝2，那么PF ＝FD ＝1，DE ＝3．在△PEF 中，PE ＝7，EF ＝2，PF ＝1∴cos ∠PEF ＝147572212)7(22=⨯-+即二面角P －AB －F 的平面角的余弦值为1475．例3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P －CD －B 为45°．⑴ 求证：AF ∥平面PEC ；⑵ 求证：平面PEC ⊥平面PCD ；⑶ 设AD ＝2，CD ＝22，求点A 到面PEC 的距离． 证明：(1) 取PC 的中点G ，易证EG ∥AF ，从而AF ∥平面PEC (2) 可证EG ⊥平面PCD(3) 点A 到平面PEC 的距离即F 到平面PEC 的距离，考虑到平面PEC ⊥平面PCD ，过F 作FH ⊥PC 于Ｈ，则FH 即为所求，由△PFH ～△PCD 得FH ＝1变式训练3：如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD ． ⑴ 证明：AB ⊥平面V AD ；⑵ 求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小． （1）证明：C BD FP AE CVD平面V AD ⊥平面ABCD AB ⊥AD ⇒AB ⊥平面V ADAB ⊂平面ABCDAD ＝平面V AD∩平面ABCD（2）解：取VD 的中点E ，连结AE 、BE ． ∵△V AD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝23AD ．∵AB ⊥平面V AD ，∴AB ⊥AE ． 又由三垂线定理知BE ⊥VD ． 于是tan ∠AEB ＝AEAB ＝332,即得所求二面角的大小为arc tan 332例4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°. ⑴ 求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1；⑵ 求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； (3) 求点C 1到平面A 1CB 的距离． 证( 1) 因为四边形BCC 1B 1是矩形， 又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1． （2）过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，连结DC ， ∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ． ∴ A 1D ⊥平面BCC 1B 1，故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角， 在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13，因为四边形A 1ABB 1是菱形．∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴ A 1D ＝23∴ tan ∠A 1CD ＝133921=CDD A ．（3）∵ B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ．∴ C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离．连结AB 1，AB 1与A 1B 交于点O ，∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B ． ∵ 平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC ， ∴ B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离． ∵B 1O ＝23∴ C 1到平面A 1BC 的距离为23．BCAA 1B 1C 1变式训练4：如果在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ． ⑴ 若G 为AD 边的中点，求证BG ⊥平面PAD ； ⑵ 求证AD ⊥PB ；⑶ 求二面角A －BC －P 的大小；⑷ 若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ， 使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．(2) 略 (3) 45° (4) F 为PC 的中点在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．●闯关训练 夯实基础1.P 为△ABC 所在平面外的一点，则点P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂心的充分必要条件是A.PA =PB =PCB.PA ⊥BC ，PB ⊥ACC.点P 到△ABC 三边所在直线距离相等D.平面P AB 、平面PBC 、平面PAC 与△ABC 所在的平面所成的角相等解析：条件A 为外心的充分必要条件，条件C 、D 为内心或旁心的必要条件（当射影在△ABC 的形内时为内心，在形外时为旁心）.答案：B2.m 、n 表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为 ①α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m ，则m ⊥α ④m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βA.①②B.②③C.③④D.②④ 答案：C 3.设a 、b 是异面直线，α、β是两个平面，且a ⊥α，b ⊥β，a ⊄β，b ⊄α，则当__________（填上一种条件即可）时，有α⊥β.解析：本题为开放性问题.可以填上a ⊥b ，也可以填a ∥β，或b ∥α. 答案：a ⊥b4.三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O ，P 到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP 的长为__________.解析：构造棱长分别为3、4、5的长方体，使OP 为长方体的对角线.故OP =222543++=52.答案：52ACBPG D5.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C . 证明：如下图，∵E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，A A1∴EF ∥AC . ∵AB 1=CB 1， O 为AC 的中点， ∴B 1O ⊥AC . 故B 1O ⊥EF .在Rt △B 1BO 中，∵BB 1=3，BO =1，∴∠BB 1O =30°.从而∠OB 1D 1=60°，又B 1D 1=2，B 1O 1=21OB 1=1（O 1为BO 与EF 的交点）.∴△D 1B 1O 1是直角三角形，即B 1O ⊥D 1O 1. ∴B 1O ⊥平面D 1EF .又B 1O 平面ACB 1， ∴平面D 1EF ⊥平面AB 1C.6.（文）如下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD =G .A A1（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ； （2）求点D 1到平面B 1EF的距离d ；（3）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V . （1）证法一：如下图，连结AC .A A1∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD .又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC .∴EF ⊥平面BDD 1B 1.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证法二：∵BE =BF ，∠EBD =∠FBD =45°，∴EF ⊥BD . 又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.（2）解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H . ∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1， 且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H . ∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H . 在Rt △D 1HB 1中，D 1H =D 1B 1·sin ∠D 1B 1H .∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4，sin ∠D 1B 1H =sin ∠B 1GB =11GB B B =22144+=174，∴d =D 1H =4·174=171716.（3）解：V =V 11EFD B-=V EFB D11-=31·d ·S EF B 1∆=31·1716·21·2·17=316.评注：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如本题的三小问便是如此.本题主要考查正四棱柱等基本知识，考查逻辑推理能力及空间思维能力.（理）如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a .求：A C 1（1）AB 与B 1C 所成的角； （2）AB 与B 1C 间的距离； （3）AB 与B 1D 间的距离. 解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B 1CD 是AB 与B 1C 所成角. ∵DC ⊥平面BB 1C 1C ，∴DC ⊥B 1C .于是∠DCB 1=90°. ∴AB 与B 1C 所成角为90°.（2）连结BC 1交B 1C 于O ，则BO ⊥B 1C . 又AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BO . ∴BO 是异面直线AB 和B 1C 的公垂线段， 易得BO =22 a ，即AB 与B 1C 间的距离为22a .（3）∵AB ∥DC ，AB ⊄平面B 1DC ，DC ⊂平面B 1DC ，∴AB ∥平面B 1DC ，从而AB 与平面B 1DC 间的距离即为AB 与B 1D 间的距离.∵BO ⊥B 1C ，BO ⊥CD ，B 1C ∩DC =C ，∴BO ⊥平面DB 1C .∴BO 的长为B 到平面B 1DC 间的距离.∵BO =22a ，∴AB 与B 1D 间的距离为22a .培养能力7.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA =AB .（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （2）求点D 到平面PCE 的距离.（1）证明：取PD 的中点F ，则AF ⊥PD . ∵CD ⊥平面PAD ，∴AF ⊥CD .∴AF ⊥平面PCD .取PC 的中点G ，连结EG 、FG ，可证AFGE 为平行四边形. ∴AF ∥EG .∴EG ⊥平面PCD . ∵EG 在平面PCE 内， ∴平面PCE ⊥平面PCD .（2）解：在平面PCD 内，过点D 作DH ⊥PC 于点H .∵平面PCE ⊥平面PCD ，∴DH ⊥平面PCE ，即DH 为点D 到平面PCE 的距离. 在Rt △PAD 中，PA =AD =a ，PD =2a .在Rt △PCD 中，PD=2a ，CD =a ，PC =3a ， ∴DH =PCDC PD ⋅=36a .8.（2003年杭州高考质量检测题）如下图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =AA 1，E 是棱BB 1的中点.A 11（1）求证：平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C ；（2）若我们把平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由；（3）设AB =a ，求体积V EC A A 1-.（1）证明：连结A 1C 与AC 1交于点F ，连结EF ，则由条件可得EC =EA 1，则EF ⊥A 1C .同理EC 1=EA ，则EF ⊥AC 1，∴EF ⊥面AA 1C 1C .AA1而EF ⊂面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C .〔也可通过如下（2）的辅助线先证明EF ∥A 1H ，而A 1H ⊥面AA 1C 1C 得到〕（2）解：延长CE 交C 1B 1的延长线于点H ，则有C 1B 1=B 1H =A 1B 1，则∠HA 1C 1=90°，且∠CA 1H =90°，所以∠CA 1C 1为平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角的平面角.若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA 1C 1=60°，应有CC 1=3A 1C 1，与条件AB =AA 1矛盾.所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”. （也可利用公式cos θ=ABCC B A S S ∆∆111得到二面角的平面角来解决）（3）解：V EC A A 1-=V C AA E 1-=31·EF ·21AA 1·AC =61×23a ×a ×a =123 a 3.（或通过V EC A A 1-=V AE A C 1-来计算）探究创新9.如下图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB =60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD .（1）若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）求二面角A —BC —P 的大小；（4）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找一点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，G 为AD 边的中点，∴BG ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴BG ⊥平面PAD .（2）证明：连结PG ，则PG ⊥AD ，由（1）得BG ⊥AD ，又PG ∩BG =G ，BG ⊂平面PBG ，PG ⊂平面PBG ，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG .∴AD ⊥PB .（3）解：由（2）AD ⊥平面PBG ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥平面PBG .而PB ⊂平面PBG ，BG ⊂平面PBG ，∴BC ⊥PB ，BC ⊥BG .∴∠PBG 就是二面角A —BC —P 的平面角.在△PAD 中，PG =23a ，∴在△PGB 中，∠PBG =45°，即二面角A —BC —P 为45°.（4）解：当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下：取PC的中点F，连结DE、EF、DF，则由平面几何知识，在△PBC中，EF∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，ED⊂平面DEF，EF∩DE=E，∴平面DEF ∥平面PGB.又PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.故平面DEF ⊥平面ABCD.评述：本题第（1）问的论证中主要运用了面面垂直的性质定理，第（2）问通过线线垂直与线面垂直的转化得以证明，第（3）问是通过寻找与二面角的棱垂直的平面，进而得出二面角的平面角，再归结为论证与计算，第（4）问是探索性问题，这里通过直觉捕捉结果，再进行逻辑论证.●思悟小结在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用.●教师下载中心教学点睛1.结合图形向学生讲明两个平面垂直的判定定理及性质定理.2.在作二面角的平面角时，往往利用两个平面垂直的性质定理，即从某个平面内一点作它们交线的垂线，从而与另一个平面垂直，再作二面角、棱的垂线，由三垂线定理的逆定理得两垂足的连线也垂直于棱.3.对“线线垂直”“线面垂直”及“面面垂直”之间的关系作系统小结.拓展题例【例1】已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若mα，lβ且l⊥m，则α⊥β；④若lβ且l⊥α，则α⊥β；⑤若mα，lβ且α∥β，则l∥m.其中正确命题的序号是_____________.答案：①④【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.APD（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，∴BC⊥AC.又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面P AC.∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.（2）解：平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD .【例3】 如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P —CD —B 为45°.（1）求证：AF ∥平面PEC ；（2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ；（3）设AD =2，CD =22，求点A 到平面PEC 的距离.分析：对问题（1），关键是证明AF 与平面PEC 内的一条直线平行，为此可取PC 的中点G ，论证AF ∥EG ；对问题（2），可转化为证明线面垂直；对问题（3），可转化为求点F 到平面PEC 的距离，进而可以充分运用（2）的结论.（1）证明：取PC 的中点G ，连结EG 、FG .∵F 是PD 的中点，∴FG ∥CD 且FG =21CD .而AE ∥CD 且AE =21CD ，∴EA ∥GF 且EA =GF ，故四边形EGF A 是平行四边形，从而EG ∥AF .又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .（2）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影.又CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∠PDA 就是二面角P —CD —B 的平面角.∴∠ADP =45°，则AF ⊥PD .又AF ⊥CD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD .由（1），EG ∥AF ，∴EG ⊥平面PCD ，而EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD .（3）解：过F 作FH ⊥PC 交PC 于点H ，又平面PEC ⊥平面PCD ，则FH ⊥平面PEC ，∴FH 为点F 到平面PEC 的距离，而AF ∥平面PEC ，故FH 等于点A 到平面PEC 的距离.在△PFH 与△PCD 中，∵∠FHP =∠CDP =90°，∠FPC 为公共角，∴△PFH ∽△PCD ，CD FH=PC PF.∵AD =2，CD =22，PF =2，PC =22PD CD+=4，∴FH =42·22=1.∴点A 到平面PEC 的距离为1.。
两个平面垂直的判定与性质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
两个平面垂直的判定和性质
D1 E B1
C1
F
G
D
C
A
B
例3 P 为ABC 所在平面外一点，PA 面ABC
ABC 90 ，AE PB于 E ，AF PC 于 F ，求证
（1）平面AEF 平面 PBC
P
（2）平面AEF 平面 PAC
F
E
A
C
B
例4 P 是ABC 所在平面外一点，ABC 90 ,
黑龙一样,分成三团.而是分成两团,一团继续在灵魂海洋内游走,绞杀着恶魔黑龙,另外一份却是朝蓝色护罩闪电般冲去.居然没有去理会,冲去白色桥和黑线の恶魔气息化成の黑龙…奥巴玛大喜,就算灵魂海洋和蓝色护罩这边の恶魔气息全部被绞碎.但只要魔化了这桥梁,通过这桥梁迅速の朝两 边灵魂蔓延而去.当自己魔化了一半灵魂之后,就能获得白重炙灵魂の控制权.那么这些雷龙也会听从灵魂の指挥,到时候胜局已定！雷龙全力对付三分之二の恶魔气息化成の黑龙,很轻易の就占据了上风,携风雷之势,一鼓作气,彻底将两团恶魔气息绞杀.灵魂海洋上再次下起了黑色の雨！"杂碎, 狗屎！这是什么鬼东西?这是什么鬼灵魂…"另外一团七八条恶魔气息黑龙,很轻易就冲到了桥梁之上,留下一条朝那截黑线冲去.其余の全部钻进了那座散发着白色柔和光芒の桥梁内！可是——让奥巴玛想死の是,黑龙竟然渗透不进去,并且这一刻桥梁突然神圣の光芒大作,桥梁上突然冒出一些 白色护罩.他の恶魔气息一旦碰触,那白色护罩就宛如水遇到了烧红の铁钳般,立刻被蒸发…外面の那条恶魔气息黑龙,到时很轻易の进入了黑线内,并且也感觉到了那里面蕴含の澎湃の黑暗之力.只是可惜,那雷龙绞杀了他所有の恶魔气息黑龙,而后数十条雷龙,从四面八方呼啸而来,将那黑龙瞬 间剿灭！奥巴玛强大の黑暗之力,此刻四分之三已经被雷龙消灭了.还有四分之一却是被困在了桥梁之上,连动都不
两个平面垂直的性质定理
定理应用
该定理在三维几何、计算机图形 学等领域有广泛应用，例如在计 算两个平面的夹角、判断两个平 面是否垂直等问题中可以使用该
定理。
对未来研究的展望和建议
深入研究垂直性质
虽然两个平面垂直的性质定理已经得到了广泛应用，但是对于更复杂的几何形状，如曲面 、高维空间中的超平面等，其垂直性质的研究仍然不够深入。因此，未来可以进一步探索 这些复杂形状的垂直性质，并尝试将它们应用到实际问题中。
判定两平面垂直
如果一个平面经过另一个 平面的垂线，则这两个平 面垂直。
求解空间角
利用两个平面垂直的性质 定理，可以求解一些与空 间角相关的问题。
在物理中的应用
力的分解
在物理学中，经常需要将一个力分解 为两个互相垂直的分力，这时可以利 用两个平面垂直的性质定理来求解。
光的反射和折射
当光从一个介质射入另一个介质时， 其反射光线和折射光线分别与入射光 线和法线所在的平面垂直，这也涉及 到了两个平面垂直的性质定理。
两个平面垂直的性质 定理
汇报人：XX
目 录
• 引言 • 两个平面垂直的定义和性质 • 定理的证明和推导 • 定理的应用举例 • 定理的拓展和延伸 • 总结和展望
01
引言
定理的背景和意义
垂直关系的重要性
在几何学中，垂直是一种特殊而重要的位置关系。当两个平面垂直时，它们的交 线具有独特的性质，这些性质在建筑设计、工程绘图和计算机图形学等领域有广 泛应用。
在工程中的应用
建筑设计中
在建筑设计中，为了保证建筑物的稳 定性和安全性，经常需要利用两个平 面垂直的性质定理来设计建筑物的结 构和支撑系统。
机械制造中
航空航天工程中
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活动一：面面垂直性质定理应用
例3．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。 S 求证：AB⊥BC。
证明：过A点作AD⊥SB于D点.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC， ∴ AD⊥BC.
D A B C
又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面． 符号表示:
C
A B D
CD AB AB
AB CD
关键点： ①线在平面内. ②线垂直于交线. C 作用： ①它能判定线面垂直.
√
例1
如图，已知平面，， ，直线a满足a ,
a ，试判断直线a与平面的位置关系.
分析：寻找平面α内与a平行的直线. α b l β A a
解：在α内作垂直于 与 交线 的直线b，
α b l β A a
∵ ， ∴
b ，
∵ a ， ∴a∥b. 又∵ a ， ∴a∥α. 即直线a与平面α平行.
探究： 已知平面 ，
AB，直线a∥，
垂直
a AB，试判断直线a与的位置关系.
α b B l
β A
a
例2:求证：如果两个平面互相垂直，那么
经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面 的直线必在第一个平面内．
α Ｐ b a ba α P
β
β
已知:α⊥β,P∈α,P∈a,a⊥β 求证：a α.
A
练 习 2 ： 如 图 ， 在 多 面 体 EF ABCD 中 ， 四 边 形 ABCD, ABEF 均 为 直 角 梯 形 ，
ABC ABE 900 ，四边形 DCEF 为平行四边形，平面 ABCD 平面 DCEF ．
求证：平面 ADF 平面 ABCD
证明：因为
，所以 AB⊥平面 BCE，
∴BC ⊥ 平面SAB. ∴BC ⊥AB.
练习 1：四棱锥 P-ABCD 中，底面四边形 ABCD 为正方形，侧面 PDC 为正三角形，且平面 PDC ⊥底 面 ABCD，E 是 PC 的中点，求证：平面 EDB ⊥平面 PBC. P E D C B
证明：∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC， 在正方形ABCD中，DC⊥CB， ∴BC⊥平面PCD ∴DE⊥CB． 又PC∩BC=C，PC，BC⊂面PBC， ∵ PDC为正三角形， ∴ DE⊥PC ∴DE⊥面PBC． 又DE⊂面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC
2
如图，长方体中，α⊥β, 不一定 与AD垂直
C1 B1
(1)α内的直线都和β垂直吗？ (2)α内的哪些直线和β垂直？
D1
F
A1
α
E
A
D
β
B
C
猜想：
E
如果两个平面相互垂 直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。 证明猜想：
b
D
a
B C A
在平面β内过B作BE⊥CD，又∵AB⊥CD， ∴∠ABE为二面角α﹣CD﹣β的平面角，又∵α⊥β， ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥CD, BE∩CD = B,BE、CD ∴AB⊥β
A B D
②当两平面垂直时，它能在一个平面内作另一个平 面的垂线. 面面垂直 线面垂直
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
概念巩固
判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩
β＝l下列命题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×） (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ×） (3)过平面α内任一点作交线的垂线，则此垂 线必垂直于平面β（ ）
又 EF∥CD，所以 EF∥平面 ABCD，从而有 AB∥CD∥EF，… 所以 CD⊥平面 BCE，从而 CD⊥CE， 又 CE∥DF，所以 CD⊥DF， 又平面 DCEF⊥平面 ABCD，所以 DF⊥平面 ABCD DF 平面 ADF，所以 DF⊥平面 ABCD．所以平面 ADF⊥平面 ABCD
课堂小结
1、这节课我们学习了哪些内容，我们是如何得到这些结论的？
2、空间垂直关系有哪些?如何实现垂直关系的相互转化?指出下 图中空间垂直关系转化的依据. 面面垂直
线面垂直
线线垂直
3、平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线， 只需过这一点在平面 内作交线的垂线
1.2.4 平面与平面垂直的性质定理
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
b b
新知探究
观察实验
1、黑板所在的平面与地面所在的平面垂 直，你能否在黑板上画出一条直线与地面 垂直?