高一数学教案：苏教版两个平面垂直的性质定理
苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质
苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质一、教学目标：1. 理解两个平面垂直的判定方法，能够运用判定定理判断两个平面是否垂直。
2. 掌握两个平面垂直的性质，能够运用性质定理解决相关问题。
3. 培养学生的空间想象能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：两个平面垂直的判定方法和性质。
2. 教学难点：两个平面垂直的判定方法的灵活运用和性质的证明。
三、教学过程：1. 导入：通过复习三维空间中的基本概念，如点、线、面，引导学生回顾空间图形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课讲解：（2）运用判定定理，给出实例，判断两个平面是否垂直，并解释判断过程。
（4）运用性质定理，给出实例，解决相关问题，并解释解题过程。
3. 课堂练习：布置一些有关两个平面垂直的判定和性质的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
四、课后作业：2. 请学生运用所学知识，解决一些有关两个平面垂直的实际问题。
五、教学反思：六、课堂互动与讨论：1. 组织学生进行小组讨论，探讨两个平面垂直的判定方法在实际问题中的应用。
2. 邀请学生上台展示他们的解题过程，并鼓励其他学生提出疑问或不同解法。
3. 针对学生的疑问，进行解答和引导，帮助学生更好地理解和掌握两个平面垂直的判定方法。
七、案例分析：1. 提供一个实际问题，要求学生运用两个平面垂直的判定方法和性质进行分析和解决。
2. 引导学生通过画图、推理等方法，找到解决问题的突破口。
3. 分组讨论，每组给出自己的解决方案，并选代表进行汇报。
八、拓展与应用：1. 引导学生思考：两个平面垂直的判定和性质在现实生活中的应用。
2. 布置一些开放性问题，要求学生课后思考和探索，如寻找生活中的两个平面垂直的例子。
3. 鼓励学生在下一节课上分享他们的思考和探索成果。
2. 通过课堂练习和案例分析，巩固学生对两个平面垂直判定和性质的理解。
3. 强调两个平面垂直在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质
苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质第一章：两个平面垂直的判定1.1 教学目标理解两个平面垂直的概念。
学习两个平面垂直的判定方法。
能够运用判定方法解决实际问题。
1.2 教学内容两个平面垂直的定义。
两个平面垂直的判定定理。
判定定理的应用。
1.3 教学步骤1. 引入两个平面垂直的概念，引导学生思考如何判定两个平面是否垂直。
2. 引导学生学习两个平面垂直的判定定理，解释定理的意义和应用。
3. 提供一些实际问题，让学生运用判定定理解决问题，巩固理解。
1.4 练习题判断下列两个平面是否垂直：1. 平面P：方程为x+y=02. 平面Q：方程为x-y=0解决问题：一个长方体的底面是平面P，侧面是平面Q，求长方体的高。
第二章：两个平面垂直的性质2.1 教学目标学习两个平面垂直的性质定理。
能够运用性质定理解决实际问题。
2.2 教学内容两个平面垂直的性质定理。
性质定理的应用。
2.3 教学步骤1. 引导学生回顾两个平面垂直的概念和判定方法。
2. 引导学生学习两个平面垂直的性质定理，解释定理的意义和应用。
3. 提供一些实际问题，让学生运用性质定理解决问题，巩固理解。
2.4 练习题判断下列两个平面是否垂直：1. 平面P：方程为x+y=02. 平面Q：方程为x-y=0解决问题：一个长方体的底面是平面P，侧面是平面Q，求长方体的对角线长度。
第三章：空间中的直线与平面垂直3.1 教学目标理解直线与平面垂直的概念。
学习直线与平面垂直的判定方法。
能够运用判定方法解决实际问题。
3.2 教学内容直线与平面垂直的判定定理。
判定定理的应用。
3.3 教学步骤1. 引入直线与平面垂直的概念，引导学生思考如何判定一条直线是否与一个平面垂直。
2. 引导学生学习直线与平面垂直的判定定理，解释定理的意义和应用。
3. 提供一些实际问题，让学生运用判定定理解决问题，巩固理解。
3.4 练习题判断下列直线是否与给定的平面垂直：1. 直线l：方程为y=02. 平面P：方程为x+y=0解决问题：一个正方体中，一条直线l通过顶点A且与面ABCD垂直，求直线l与对角线BD的交点E的坐标。
苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质
苏教版高中数学必修教案——两个平面垂直的判定和性质教案章节：第一章两个平面垂直的判定教学目标：1. 理解两个平面垂直的判定方法。
2. 学会运用判定方法判断两个平面是否垂直。
3. 掌握两个平面垂直的性质。
教学重点：1. 两个平面垂直的判定方法。
2. 两个平面垂直的性质。
教学难点：1. 两个平面垂直的判定方法的运用。
2. 两个平面垂直性质的理解。
教学准备：1. 平面几何模型。
2. 投影仪。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一些生活中的实例，让学生观察并思考这些实例中是否存在两个平面垂直的情况。
2. 引导学生发现这些实例中两个平面垂直的特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 介绍两个平面垂直的定义。
2. 讲解两个平面垂直的判定方法。
3. 通过实例演示和讲解，让学生理解并掌握两个平面垂直的判定方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置一些判断题，让学生运用所学知识判断两个平面是否垂直。
2. 让学生互相讨论并解答，教师进行点评和指导。
四、性质讲解（15分钟）1. 介绍两个平面垂直的性质。
2. 通过实例演示和讲解，让学生理解并掌握两个平面垂直的性质。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结两个平面垂直的判定方法和性质。
2. 教师进行补充和强调。
教学反思：1. 本节课通过实例导入，激发学生的兴趣，让学生主动参与课堂。
2. 讲解过程中，注重引导学生思考和发现，培养学生的几何思维能力。
3. 课堂练习环节，鼓励学生互相讨论，提高学生的合作能力。
4. 性质讲解环节，注重引导学生通过实例理解和掌握两个平面垂直的性质。
5. 课堂小结环节，及时回顾和巩固所学知识，提高学生的总结能力。
教案章节：第二章两个平面垂直的运用教学目标：1. 学会运用两个平面垂直的判定和性质解决实际问题。
2. 提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 两个平面垂直的判定和性质的运用。
教学难点：1. 实际问题中两个平面垂直的判定和性质的运用。
高中数学 第九章 两个平面垂直的判定和性质(二)教学案 苏教版
高中数学第九章两个平面垂直的判定和性质（二）教学案苏教版一、素质教育目标(一)知识教学点1．两个平面垂直的性质定理．2．异面直线上两点间的距离公式．(二)能力训练点1．弄清反证法与同一法之间的关系，并会应用同一法证题，进一步培养学生的逻辑思维能力．2．掌握两个平面垂直的性质定理，理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题．3．异面直线上任意两点间的距离公式不仅可用于求其值，还可以证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的．另外，还可解决分别在二面角的面内两点的距离问题．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：掌握两个平面垂直的性质；会运用异面直线上两点间的距离公式．2．教学难点：异面直线上两点间距离公式的应用．3．教学疑点：(1)弄清反证法与同一法的联系与区别．(2)正确理解、应用异面直线上两点间的距离公式：EF＝三、课时安排本课题安排2课时．本节课为第二课时，主要讲解两个平面垂直的性质及异面直线上两点间的距离公式．四、教与学的过程设计(一)复习两个平面垂直的定义，判定师：什么是两个平面互相垂直？生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．师：如何判定两个平面互相垂直？生：第一种方法根据定义，判定两个平面所成的二面角是直二面角；第二种方法是根据判定定理，判定其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面．(二)两个平面垂直的性质师：今天我们接着研究两个平面垂直的性质．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：平面α⊥β，α∩β=CD，AB α且AB⊥CD于B．求证：AB⊥β．证明：在平面β内引直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．∵α⊥β，∴AB⊥BE．又∵AB⊥CD，∴AB⊥β．师：从性质定理可以得出，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题．例1 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β．求证：a α．师提示：要证明a α，一般用反证法，即否定结论→推出矛盾→肯定结论．下面请同学们写出它的证明过程．其中c为α与β的交线．∵α⊥β，∴b⊥β．又∵P∈α，P∈a，a⊥β，这与“过一点P有且只有一条直线与已知平面垂直”矛盾．∴a α．师：现在我们来看课本P．44的证明，这种方法叫同一法．什么是同一法呢？(幻灯显示)一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，这个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法的一般步骤是什么？(幻灯显示)1．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；2．证明所作的图形的特性，与已知条件符合；3．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是一个东西，由此断定原命题成立．证明(同一法)：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β．因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与直线b重合．即a α．师：比较反证法与同一法，我们可以知道：凡可用同一法证明的命题也可用反证法来证；反证法可适用于各种命题，同一法只适用于符合同一法则的命题．另外，例1的结论也可作为两个平面垂直的另一个性质，可直接应用．下面请同学们一齐完成例2．(三)异面直线上两点间的距离例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA'的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设，A'E＝m，AF＝n，求EF．解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA'的平面为β，α∩β＝c，则c∥a，因而b、c所成的角等于θ，且AA'⊥C．又∵AA'⊥b，∴AA'⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α，在平面β内作EG⊥C，则EG＝AA'．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连结FG，则EG⊥FG．在Rt△FEG中．EF2＝EG2+FG2∵AG＝m，∴在△AFG中．FG2＝m2+n2-2mncosθ．又∵EG2=d2∴EF2=dw+m2+n2-2mncosθ．如果点F(或E)在点A(或A')的另一侧，则EF2＝d2+m2+n2+2mncosθ．师：例2不仅求出两条异面直线上任意两点间的距离公式，还解决了下面的三个问题：(1)证明了两条异面直线公垂线的存在性．(2)证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离最小的．∵AA'＝EG，且AA'，EG是平面α的垂线，而EF是斜线，∴AA'＜EF．如在实际中，两条交叉的高压电线如果放电时，火花正是通过它们的最短距离．(3)也可以解决分别在二面角的面内两点的距离问题，请看下面练习．(四)练习在60°二面角的枝上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，利用异面直线上两点距离公式求CD．(P．45中练习3)∴AC与BD是异面直线．∵AB⊥AC交于点A，AB⊥BD交于点B，∴AB是AC、BD的公垂线，AC、BC所成角是60°．已知AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm．师点评：根据二面角的平面角来求异面直线上两点间的距离时，应用异面直线上两点间的距离公式一定要注意cosθ前正负号的选择(当θ≤90°时取“-”号)．(五)总结本节课我们学习了两个平面垂直的性质及异面直线上两点间距离的求法．正确理解、掌握异面直线上两点间的距离公式及其应用是本节课学习的关键．五、作业P．46中习题六9、10(2)、11、12．。
苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质
第24课时两个平面垂直的判定和性质教学目标：使学生掌握两个平面互相垂直的判定与性质，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。
教学重点：两个平面垂直的判定、性质。
教学难点：两个平面垂直的判定定理，性质定理运用；正确作出符合题意的空间图形。
教学过程：1．复习回顾：1）二面角、二面角的平面角.2）求作二面角的平面角的途径及依据.2．讲授新课：［师］两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是（0，π］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.请同学给两个平面互相垂直下一定义：［生］两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.［师］那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图.师生共同动手，图画的是否直观，直接影响问题解决.平面α和β垂直，记作α⊥β［师］还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面.即α⊥β,请同学给出面面垂直的判定定理.［生］两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.［师］请两位同学给出分析，证明.［生］已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB ⊂α求证：α⊥β.分析：要证α⊥β需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β＝CD，则由AB ⊂α知，AB、CD共面.∵AB⊥β，CD⊂β∴AB⊥CD，垂足为点B在平面β内过点B作直线BE⊥CD则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角.又AB⊥BE，即二面角α—CD—β是直二面角.∴α⊥β.［师］建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线.［师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直两个平面垂直的性质：［师］在所给正方体中，下式是否正确①平面ADD1A1⊥平面ABCD②D1A⊥AB③D1A⊥面ABCD［生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB ⊂面ABCD∴平面ABCD⊥平面ADD1A1②∵AB⊥面ADD1A1，D1A ⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD∴AD1与平面ABCD不垂直［师］平面ADD1A１⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，A是平面ADD1A1内一点.过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.［师］从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直.也给了以后我们证明问题的一种思想方法.请同学予以证明.［生］证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a, AB⊂α，AB⊥a于B.求证：AB⊥β.证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角由α⊥β可知，AB⊥BE又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线∴AB⊥β.［师］证明的难点在于“作BE⊥CD”.为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力.例1也可做为性质定理用.例1：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.已知:α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a⊂［师］请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证aα先作出直线b⊂α然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注.［生］证明：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，∵α⊥β∴b⊥β，而a⊥β，P∈a因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直.所以直线a应与直线b重合.那么a⊂α.［师］利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.其结论可作性质定理用.例2：如图，AB是⊙O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O 所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由.［生］可从多角度解决该题.解法一：∵VC⊥面ABC，AC面ABC，BC ⊂面ABC∴VC⊥AC，VC⊥BC则∠ACB就是面VBC—BC—面VAC的平面角.因AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°∴面VBC⊥面VAC又D、E分别是VA、VC的中点，则DE∥AC而AC⊥VC即DE⊥VC那么DE⊥面VBC.［运用面面垂直的判定及面面垂直的性质转化关系：二面角是直二面角面面垂直线面垂直.］解法二：因VC⊥面ABC，AC⊂面ABC∴VC⊥AC又AB是⊙O的直径，即有AC⊥BC由此AC⊥面VBC而D、E是VA、VC中点，DE∥AC故DE⊥面VBC.［此法比解法一简单明了，走的弯路较少.转化关系：线垂直面⇒线垂直面内线线垂直面⇒与此线平行的线也垂直平面.］解法三：可找VB中点F，证∠DEF＝90°,进而证明ED⊥面VBC（由AC⊥VC，BC⊥VC说明之）3．课堂练习：课本P47练习2，3，4.4．课时小结：（1）证明两个平面垂直.关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直.（2）证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直.（3）判定定理，性质定理有时要和其他定理结合起来用.5．课后作业：课本P476，7，8。
面面垂直判定定理 高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册
AC BD
P
PA 平面ABCD, BD 平面ABCD
PA BD
又 PA AC=A，PA，AC 平面PAC，
A
BD 平面PAC
又 BD 平面PBD
B
平面PAC 平面PBD
D C
16
2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1中点，求证：
（1）BD1 平面EAC
（2）平面EAC 平面AB1C
又因为 AC 平面AEC,
所以平面 AEC 平面PBD．
12
跟踪训练2：
如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面ABCD是平行四边 形，AC BC ， ABC 60, SA SB SC 4,ASB 90 ． 求证：平面 SAB 平面ABC；
13
取AB中点O，连接SO，OC， ABC 60, SA SB SC 4,ASB 90， AC BC ， SO AB ，CO SO 2 2 ，SC2 SO2 CO2 ，
8
证明 ∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PDB， ∴平面PDB⊥平面PAC.
9
反思 感悟
证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(3)记作： α⊥β .
3
2.平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的 垂线 ，那么这两个平面 文字语言
垂直
符号语言
l⊥α， l⊂β ⇒α⊥β
图形语言
4
1.下列命题正确的是 A.平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β B.若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面β C.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β D.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
苏教版高中数学必修二课件两个平面垂直的性质
五、两个平面垂直应用举例
例题1 如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动 点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中 点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由． 解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC ，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC-B的 平面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知 ∠ACB=90°。 因此，平面VAC⊥平面VBC．由DE是 △VAC两边中点连线，知DE∥AC，故 DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，知 直线DE与平面VBC垂直。
∴BC⊥平面SAB.
B
∴BC⊥AB.
例3．求证：如果两个相交平面都垂直于 第三个平面，则它们的交线垂直于第 三个平面.
已知：α⊥β，β⊥γ，γ⊥α，α∩β=l． 求证：l⊥γ. α l P β
证明：在l上取点P，且P∈γ.设 α∩γ=a，β∩γ=b，过点P作 PD⊥γ于D. a D b M ∵α⊥γ，∴D必在α与γ的交 γ Q N 线a上. 同理D必在β与γ的交线b上.∴D是a、b的交点.内有一条直线AB，若 AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°， 则此二面角的大小是（ D ） A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°。 如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C ，连OB、OC，则∠ABC=45° ，∠ABO=30°， ∠ACO就是所求二面角的平面角。
A′ α A
B′
在Rt△BB′A′中，
［总结提炼］
☆定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 ☆理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义
☆证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 ☆已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内
☆解题过程中应注意充分领悟、应用
高中数学苏教版必修2课时12两个平面垂直word学案1
CA 1课时12 两个平面垂直（1）【课标展示】1. 掌握平面与平面的位置关系.2．掌握平面和平面垂直的判定与性质定理．3. 应用平面和平面垂直的判定和性质定理证明线线垂直、线面垂直等有关问题． 【先学应知】 （一）要点1．二面角:___________________________________________ 二面角的棱：______________________________________ 2.平面与平面垂直的判定定理 （1）语言表示：_________________________________________________________________________ （2）符号表示：_________________________________________________________________________ （3）图像表示：________________________________________________________________________ 3.平面与平面垂直的性质定理 （1）语言表示：_________________________________________________________________________ （2）符号表示：_________________________________________________________________________ （3）图像表示：________________________________________________________________（二）练习４．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是______A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则//αβ 5．与平面11ACC A 垂直的面有___________________ 与平面1ACB 垂直的面有_____________________ 平面11ACC A 与平面11BCC B 的二面角为_______ 【合作探究】例1．如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．AC DD 1C 1B 1A 1（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ；例2．(1)求证: 如果两个平面互相垂直, 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.(2)如果三个平面两两垂直, 求证：它们的交线也两两垂直。
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两个平面垂直的性质定理教学设计
江苏省南菁咼级中学江荣芬
一、教材简析
两个平面垂直的性质定理是高中数学第二册（下）的内容，在学习本课之前，学生已具备了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力，已具备一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。
这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
本课借助生活中丰富的典型实例，让学生通过实验、分析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。
二、设计理念
长期以来，我们的课堂教学重结果，轻过程，在数学教学中往往采用所谓的“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用结论的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策。
数学是思维的体操，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体念，必须让学生追求过程的体念。
基于以上认识，在设计本节课时，不是简单地告诉学生两个平面垂直的性质定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理。
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题, 分析问题，解决问题的能力，这正是新课程所倡导的教学理念。
、教学目标
1、知识目标：1. 掌握面面垂直的性质定理；
2 能通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵
活运用知识学会分析问题、解决问题。
2、能力目标：以学生的经验为基础，通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力；在与位置有关的推理、有条理的具体操作、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义。
在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念。
逐步培养抽象的逻辑思维，使学生学会提出问题，培养学生解决问题的能力。
通过变式练习培养学生的发散思维，培养学生的创新能力。
3、情感目标：进一步丰富数学学习的成功体验，激发对空间图形研究的兴趣，形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。
四、教法和学法分析：
1．充分利用现实情景，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性。
利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源，生动活泼地展示图形，强调学生的动手操作实验和主动参与。
通过实验－猜想－论证－运用，培养学生分析问题解决问题的能力；通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促自主探究。
2．教师是学生学习的组织者、促进者、合作者；在本节的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。
通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择
五、教学过程：
（一）教学准备：
教师：制作上课用的三角板教具模型和铅垂线；准备学生用的表示平面的
纸板
设计意图：（1）为教学实验作准备（2）让学生更直观、形象地感受线面关系。
（二）教学实施
活动一：回顾已学知识
三角板的一边与铅垂线重合，另一边在讲台桌面上，请一学生检查与桌面是否密封。
转动一下，再验证。
师：结论：桌面是水平的。
问题：教师的判断对还是错？为什么？
2、问题：能否将纸板放在桌面上，使它与桌面正好垂直。
请说明
理由
学生检查教师实验，回答：是密封的。
学生回答问题。
学生实验：（可有几种方法）
让几个学生通过亲身实验，体验知识在实际的运用。
回顾已学知识
设计意图：以实验引入课题，使学生回顾已学知识，体验知识在实际中的运用，感受大众的数学。
同时以上设计更能激发起学生学习的兴趣。
活动二：引入课题
1、提出问题：如果：二」】,AB =I,AB _丨则AB与〉的
位置关系怎样？
2、引导学生提出猜想
3、教师观察了解学生证明情况，请一学生将证明过程投影到屏幕上。
4、引导学生归纳结论
出示课题：两平面垂直的性质定理
学生思考问题
学生通过实验检验AB_ ：
学生归纳得出结论：（两平面垂直的性质定理）：如果两个平面垂
直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面。
简述：面面垂直，则线面垂直
如果平面（纸板表示）与桌面垂直，点A是平面（纸板表示）内一点，过A作直线与桌面垂直，问：垂足B在什么地方？如果A 是平面内任意一点呢？
点B在什么位置？（点B在交线上）。
设计意图：通过问题导入，让学生思考、探索，实验验证得出
猜想；学生的空间想象力和对几何图形的记忆是发展学生空间观念的重要基础。
建立数学模型
通过实验、猜想、归纳、论证等活动是学生主动构建知识的一个过程。
问题辨析与小结:
问题：已知〉［二CD,I _CD且丨［则1_〉是否正确?
引导学生小结：
学生判定：错，缺少条件:-1
学生小结：两平面垂直的性质定理应注意：
定理的条件有：平面垂直，线在面内，线垂直交线
设计意图：使学生进一步体会性质定理的条件，进一步掌握符号
语言的运用
活动三：知识应用
例：将两块三角板（有一块30°角和一块4b角）拼成如图形状
已知面ABC面BCD
1、求直线AC与平面BCD所成的角
2、求二面角D- AC- B的大小
教师引导学生思考：如何作出二面角D- AC- B的平面角
第1问：学生可口答完成
第2问：过B点作BE_AC于E连DE可证.DEB为二面角的平面角学生完成计算
设计意图：运用所学知识解决问题，激发学生兴趣，使学生学会主动运用所学知识解决问题
活动四：知识拓展
变式思考：
1、如果厶BCD是等边三角形，求：二面角D —AC —B的大小
2、引导学生提出问题（注意：条件变化或结论变化）
思考：运用面面垂直的性质定理，过点D作BC的垂线，垂足为H, 再利用上例的方法即可作出二面角D— AC— B的平面角学生讨论、提出问题：
如：条件变化：A ABC也为等边三角形时的情况；• ABC = 120°时；
结论变化：求线面角或求二面角
设计意图：将把课本内容稍作变化，通过具体的情境让学生去探索和发
现，使学生把操作、模拟、直观与推理交织在一起，鼓励学生自主的、不断提出问题，解决问题的氛围中发展空间观念，鼓励学生勇于质疑，学会思考。
活动五：知识运用
将一正方形纸片折成一个直二面角，A、B在棱上且AC，BD分别在二面角的两个面内并都垂直于棱，若AB= 4，AO 6，BD= 8,求
学生讨论求CD长的方法：构造三角形
学生讨论题目变式的方法：
1、二面角改为60°或120°或其它
2、求异面直线AB CD所成的角
3、C D在两个平面上的射影所成的角
4、C D与平面所成的角…
设计意图：努力改善学生的学习方式，促使学生主动探索、合作交流与实践创新。
让学生从多角度来体验知识，理解知识，学会提出问题，解决问题。
（三）小结：教师引导学生进行小结由学生从以下方面进行总结：1、面面垂直的性质定理（注意定理的条件）2、面面垂直的定理在解决问题时的运用，学会提出问题设计意图：让学生通过这堂课的学习过程经历，给出相应的总结
本节课为学生的数学学习提供多样化的活动方式，激发学生的兴趣，让积极参与。
学生通过观察、实验、猜想、推理论证、归纳等丰富多
彩的活动达到了知识的主动构建与理解。
变式练习让学生体验到数学知识的结构特征不只是体现为形式化的处理，还可以表现为多样化的问题以及问题之间的自然联结和转换，这样数学知识系统就成为一个相互关联的动态的活动系统。
让学生学会提出问题并去尝试解决问题，使学生掌握学习方法。
同时，通过学生提出问题并解决问题使学生体验成功、感受成功获得情感的满足。